中考数学（广东专用）复习专题九“逆等线”问题课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
专题突破
方法解读
逆等线：如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的动点，且AD＝CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线.
逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开.
模型分析
如图，在△ABC中，∠ABC＝α，BC＝m，AC＝n，点D，E分别是AB，AC上的动点，且AD＝CE，求CD＋BE的最小值.
模型一　三角形边上的逆等线
证明思路：
(1) AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角构全等；
(2)如图，过点C作CF∥AB，且CF＝AC(构造一边一角，得全等)；
(3)构造出△ADC≌△CEF ( SAS)，证出EF＝CD；
(4)CD＋BE＝EF＋BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B，E，F三点共线；
(5)求BF，构造直角三角形，再利用勾股定理求出BF即可.
例题精讲
例1　如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D，E在AB，AC边上，且AD＝CE，则CD＋BE的最小值为__________.
举一反三
1.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分
别为AB，AC边上的动点，且总满足AD＝CE，则
BE＋CD的最小值为__________.
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，
BC＝6，点D，E分别是AB，AC上两动点，
且AD＝CE，连接CD，BE，CD＋BE的最小
值为_________.

模型分析
如图1，已知三角形ABC中，AB＝a，
BC＝b，CD为高，CE＝BF，求AF＋
BE的最小值.
证明思路：
(1)如图1，CE在△BEC中，以BF为一边
构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角构全等；
模型二　非边上的逆等线
(2)如图2，过点B作BG∥CE，且BG＝
BC＝b(构造一边一角，得全等)；
(3)构造出△BEC≌△GFB ( SAS)，证
出EB＝FG；
(4)AF＋BE＝AF＋FG，根据两点之间，
线段最短，连接AG，则AG即为所求，
此时A，F，G三点共线；
(5)求AG，在直角三角形中利用勾股定理求出AG即可.
例题精讲
例2　如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E在边BC上，
点F在∠ACB的平分线CD上，CE＝CF，则AE＋AF的最小值
为__________.
举一反三
3.如图，在三角形ABC中，∠BAC＝50°，AB＝
AC，BD⊥AC于点D，M，N分别是线段BD，BC
上的动点，BM＝CN，当AM＋AN最小时，
∠MAD＝ __________.
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝100°，
BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上
一点，且BN＝MC，若当AM＋AN的最小值为
4时，AB的长度是__________.
12.5°
4
模型分析
如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，AB＝a，点E，D是线段AB上的
动点，且满足AD＝BE，求CD＋CE的
最小值.
证明思路：
(1)BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角构全等；
模型三　同边上的逆等线
(2)如图2，过点A作AF∥BC，且AF＝BC
＝b(构造一边一角，得全等)；
(3)构造出△BEC≌△ADF ( SAS)，证出
CE＝FD；
(4)CD＋CE＝CD＋FD，根据两点之间，
线段最短，连接CF，则CF即为所求，
此时F，D，C三点共线；
(5)求FC，在直角三角形中利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC＝AB也可.
例题精讲
例3　如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B
＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝
BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD＋CE的
最小值为__________.
举一反三
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两
动点E和F，连接BE和BF，若AE＝CF，
AC－AB＝9，AC－BC＝2，则BE＋BF的
最小值是__________ .
4
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模型分析
如图1，已知在矩形ABCD中，AD＝a，AB
＝b，点E，F分别是边BC、对角线BD上的
动点，且满足BE＝DF，求AF＋AE的最小
值.证明思路：
(1)BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角构全等；
模型四　特殊平行四边形的逆等线
(2)如图2，过点D作∠FDG＝∠ABE＝
90°，且DG＝AB＝b(构造一边一角，
得全等)；
(3)构造出△ABE≌△GDF ( SAS)，证
出AE＝FG；
(4)AF＋AE＝AF＋FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时A，F，G三点共线；
(5)求AG.先利用相似求出DH和HG(若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度)，再利用勾股定理求出AG即可.
7.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，连接 AE，BF交于点 O.若 AE ＝ BF，则下列结论：
①AE⊥BF；②△ABE≌△BCF；③AO ＝ BO；④S△ABE ＝
S△BCF.其中一定成立的是__________(填序号).
①②④