第一章 三角形的证明及其应用
1.1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
教学设计
课题 第1课时 三角形内角和定理 授课人
教学目标 1.理解三角形内角和定理及其证明过程，感悟具有传递性的数学逻辑，提升推理能力。 2.能灵活运用该定理解决简单的与三角形有关的角的计算和证明问题，能规范的书写简单的推理过程。 3.经历添加辅助线将三角形三个内角转化为平角或平行线间同旁内角的过程,体会转化思想.
教学重点 三角形内角和定理的证明及其应用.
教学难点 如何添加辅助线证明三角形内角和定理.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 在八年级上册“命题与证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 三角形的内角和定理 我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以发现三角形的三个内角有什么关系？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角，即三角形三个内角的和是180°. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 我们知道，三角形三个内角的和等于180° 。你还记得这个结论的探索过程吗？ （1）如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论吗？ 证明：∵∠1=∠A， ∴a∥b。 ∴∠B=∠2。 ∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°。 （2）如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？你能说说这个结论的证明思路吗？请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。 可以用做平行线的方法证明。 证明：三角形三个内角的和等于180°。 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1，∠B=∠2。 ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴∠1+∠2+∠ACB=180°。 ∴∠A+∠B+∠ACB=180°。 教师提醒：这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线。 由此得到： 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 你还能想出其它的方法推出这个结论吗？ （1）如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？ 可行，证明如下。 证明：∵PQ∥BC， ∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC。 ∵点P，A，Q在同一条直线上， ∴∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°。 ∴∠B+∠BAC+∠C=180°。 （2）对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流。 多种方法证明的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. （连接例1、针对练习） 知识点2 全等三角形的判定-AAS 思考 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 如图，在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF。 试证明：△ABC≌△DEF。 解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°. ∴∠C＝180°－∠A－∠B. 同理 ∠F＝180°－∠D－∠E. 又∠A＝∠D，∠B＝∠E, ∴∠C＝∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F. ∴△ABC≌△DEF（ASA）. 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） 根据全等三角形的定义，我们可以得到 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （连接例2） 让学生在探究活动中验证三角形内角和为180°，请多个同学展示不同方法，为后边证明做铺垫.引导学生找到证明三角形内角和定理的方法，体会证明活动是探索活动的自然延续和必要发展,感受合情推理和演绎推理的相互依赖和相互补充的关系.
典例精析 【例1（教材P3例题）】 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 【解】在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°。 ∵∠B=38°，∠C=62°, ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°。 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°。 在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°。 ∵∠B=38°，∠BAD=40°, ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°。 【针对练习】在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C的度数. 【解】设∠B=∠C=x°. ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴40°+x°+x°=180°, 解得x=70. ∴∠B=∠C=70°. 【例2】如图所示,AC是∠BAE的平分线,D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD.试说明:△BAC≌△DAE. 【证明】∵AC是∠BAE的平分线, ∴∠BAC=∠DAE. 在△BAC和△DAE中, ∠BAC=∠DAE,∠C=∠E,AB=AD, ∴△BAC≌△DAE(AAS). 通过例题讲解为学生规范书写证明过程，使学生逐步掌握证明的步骤和格式。
随堂检测 1.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个锐角的度数是( D ) A.18° B.36° C.54° D.72° 2.如图所示，在△ABC中，点D在AB上,点E在AC上，DE∥BC.若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为( C ) A.54° B.62° C.64° D.74° 3.如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,那么这个三角形中最大的一个内角等于 90 度. 4.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,若∠ABC=25°，则∠ACD= 25 °. 5.如图所示，已知∠AON=40°，P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A的度数为 50°或90° . 6.如图所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B. (1)试说明:CD⊥AB； (2)如果∠A=28°,求∠B和∠BCD的度数. 【解】(1)∵∠ACB=90°, ∴∠1+∠BCD=90°. 又∵∠1=∠B, ∴∠B+∠BCD=90°. ∴∠BDC=90°. ∴CD⊥AB. (2)∵∠A=28°,∠ACB=90°, ∴∠B=90°-28°=62°. ∵∠BCD+∠B=90°, ∴∠BCD=90°-∠B=28°. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.你收获了哪些知识 2.你是如何证明三角形内角和定理的？你有什么感受？ 3.在本节的基础上,你还想继续探究哪些问题 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第1课时 三角形内角和定理 1 三角形的内角和定理 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 2 全等三角形的判定-AAS 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
教学反思(共23张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
我们曾经探索过三角形的一些性质，如三角形三个内角的和等于180°、等腰三角形“三线合一”等。你还记得这些结论的探索过程吗？你能根据已有的基本事实和定理证明这些结论吗？
本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明：三角形内角和定理及其推论，等腰三角形、直角三角形的性质定理和判定定理，线段的垂直平分线和角平分线的有关性质定理。还将研究直角三角形全等的特殊判定方法。在这一过程中，你将深化对几何证明的认识，体会数学证明的力量，逐步养成重论据、合乎逻辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力等。
1.1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
1. 掌握三角形内角和等于180°的探索及证明过程；
2. 理解并掌握两个三角形全等的判别方法（AAS）;（重点）
3. 掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题.（难点）
在八年级上册“命题与证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角，即三角形三个内角的和是180°.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以发现三角形的三个内角有什么关系？
我们知道，三角形三个内角的和等于180° 。你还记得这个结论的探索过程吗？
（1）如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论吗？
证明：∵∠1=∠A，
∴a∥b。
∴∠B=∠2。
∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
（2）如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？你能说说这个结论的证明思路吗？请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。
可以用做平行线的方法证明。
证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
1
2
D
E
C
B
A
证明：三角形三个内角的和等于180°。
∴ ∠A=∠1，∠B=∠2。
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴∠1+∠2+∠ACB=180°。
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线。
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。
由此得到：
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
（1）如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？
A
C
B
Q
P
可行，证明如下。
证明：∵PQ∥BC，
∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC。
∵点P，A，Q在同一条直线上，
∴∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°。
∴∠B+∠BAC+∠C=180°。
（2）对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流。
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
A
C
B
D
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°。
∵∠B=38°，∠C=62°,
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°。
在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°。
∵∠B=38°，∠BAD=40°,
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°。
在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C的度数.
解:设∠B=∠C=x°.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴40°+x°+x°=180°,
解得x=70.
∴∠B=∠C=70°.
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
如图，在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF。
试证明：△ABC≌△DEF。
A
B
C
D
E
F
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
∴∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
在△ABC和△DEF中，
解：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
又∠A＝∠D，∠B＝∠E,
∴∠C＝∠F.
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
A
B
C
D
E
F
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
证明：∵AC是∠BAE的平分线,
∴∠BAC=∠DAE.
∴△BAC≌△DAE(AAS).
在△BAC和△DAE中,
例2 如图所示,AC是∠BAE的平分线,D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD.试说明:△BAC≌△DAE.
∠BAC=∠DAE,
∠C=∠E,
AB=AD,
1.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个锐角的度数是( )
A.18° B.36° C.54° D.72°
D
C
2.如图所示，在△ABC中，点D在AB上,点E在AC上，DE∥BC.若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为( )
A.54° B.62° C.64° D.74°
3.如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,那么这个三角形中最大的一个内角等于 度.
90
25
50°或90°
4.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,若∠ABC=25°，则∠ACD= °.
5.如图所示，已知∠AON=40°，P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A的度数为 .
解:(1)∵∠ACB=90°,
∴∠1+∠BCD=90°.
又∵∠1=∠B,
∴∠B+∠BCD=90°.
∴∠BDC=90°.
∴CD⊥AB.
(2)∵∠A=28°,∠ACB=90°,
∴∠B=90°-28°=62°.
∵∠BCD+∠B=90°,
∴∠BCD=90°-∠B=28°.
6.如图所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)试说明:CD⊥AB；
(2)如果∠A=28°,求∠B和∠BCD的度数.
三角形内角和定理
AAS
三角形的内角和
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
三角形的内角和等于180°
