课件23张PPT。1.3函数的基本性质
1.3.1单调性与最大（小）值 如图为我市某日24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图： 试举出生活中其他的
数据变化情况.情景引入观察思考：下列函数有哪些变化规律xO50100642yxxyyOO-1考察图象的升降规律1xyox观察下列函数的图象，回答当自变量 的值增大时,函数值 是如何变化的？0y1124-1-2-11(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小xyoxOy1124-1-21当x增大时f(x)随着增大函数在R上是增函数函数在(-∞,0]上是减函数(0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大函数在(0,+∞)上是增函数1?函数 f(x)=x2 :x12x22x0x1x2yf (x1)f (x2)在(0,+∞)上任取 x1、x2 , 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.一般地，设函数 f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.某个区间D某个区间D在(-∞,0)上是____函数在(0,+∞)上是____函数减减问:能否说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?反比例函数 ：-2yOx-11-112yOx-11-11 取自变量－1< 1，
而 f(－1) f(1)<解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].逗号
隔开例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？ 其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.例2 证明函数 (k为正常数)
在区间（0,+∞）上是增函数.分析：利用定义进行证明，思考书写步骤 证明函数 在区间(0,+∞)上是增函数证:设 是(0,+∞)上任意两个值且∴ 即∴ 判断差符号下结论4.下结论:由定义得出函数的单调性.1.取值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x22.作差、变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形；3.判号:确定f(x1)-f(x2)的正负；证明函数单调性的步骤：画出下面两个函数的图象,说明其单调区间和单调性:
(1) y=3x+2; (2)2. 结合下列各函数的图象,完成填表:单调递增单调递减单调递增单调递减3. 结合下列各函数的图象,完成填表:单调递减单调递减单调递增单调递增单调递减单调递增单调递增单调递减证明：任取因此 在 上是减函数.另解:向上平移向左平移2 个单位3个单位所以函数f(x)的递减区间是 判断函数 在区间(-1,1)上的单调性.则 f(x1)－f(x2)∵－1＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴ f(x1)－f(x2)＞0 .即 f(x1)＞f(x2) .故此函数在(-1,1)上是减函数.解:在区间(-1,1)上任取3.(定义法)证明函数单调性的步骤:2.图象法判断函数的单调性：1. 增函数、减函数的定义；上升下降课件30张PPT。1.3.1 单调性与最大（小）值 （2） 知识探究（一）观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象有何共同特征？思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？思考4:怎样定义函数 的最大值？用什么符号表示？ 一般地，设函数 的定义域为I，如果存在
实数M满足：
（1）对于任意的 , 都有 ；
（2）存在 ，使得 .
那么称M是函数 的最大值.思考3:设函数 ，则 成立吗？
的最大值是2吗？为什么？ 显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。知识探究（二）观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
的最小值？ 一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的 , 都有 ;
（2）存在 ，使得 .
那么称m是函数 的最小值.知识探究（三）思考1:如果在函数 定义域内存在x1和 x2，
使对定义域内任意x都有
成立，由此你能得到什么结论？思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而
言，有哪几种可能情况？思考3:如果函数 存在最大值，那么有几个？思考4:如果函数 的最大值是b，最小值是a，
那么函数 的值域是[a，b]吗？判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。 1.求函数的单调区间;2.判断函数的单调性(证明);5.求函数的最值或值域;3.比较函数值的大小;函数单调性的应用4.求参数的取值范围; 【例1】函数 y=x2 -2|x|-3 的单调递增区间是____________;[-1,0],[1,+?)-21-1一、求函数的单调区间【1】 求函数 y=|x+1|－|1－x| 的单调区间.解:由 y = | x + 1 |－|1－x |,知故函数的增区间为[－1, 1].练一练【2】画出函数y = |x2-2x－3|的图象.解:当 x2-2x-3≥0 ,即 x ≤－1 或 x≥3 时,y = x2-2x－3=( x-1)2－4. 当 x2-2x－3＜0, 即 －1＜x＜3时,y =－(x2-2x-3) =－(x-1)2+4. 【3】求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.解:(1)当x<0时,y=-2(x-1)+3x=x+2;(2)当0≤x<1时,y=-2(x-1)-3x=-5x+2;(3)当x≥1时,y=2(x-1)+3x=-x-2.1.函数 的单调减区间为______.2.函数y=|2x-1|的单调增区间是______.巩固练习练一练【1】写出函数 的单调区间. 二、判断(证明)函数的单调性 【1】函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞,6]内递减,则a的取值范围是………………( )
A.a≥3 B.a≤3
C.a≥-3 D.a≤-3D 【2】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上递减,在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的值域________.[21,49]练一练三、利用单调性比较函数值的大小例3.已知函数 对任意实数t都有 比较f(1), f(2), f(4)的大小. 【1】已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,则
的大小关系为___________. 练一练1.设函数y=x2+2(a-1)x+2在区间[2,+?)上是增函数,求实数a的取值范围.解:函数y=x2+2(a-1)x+2的对称轴方程为x=1-a,函数的单调增区间是[1-a,+?),∴ [2,+?)是[1-a,+?)的一个子集,∴ 1-a≤2即a≥-1.即所求的实数取值范围是a≥-1.由二次函数性质知,四、利用函数单调性求参数的取值范围【3】已知f(x)是R上的增函数, 若a+b>0,证明：
f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).证明:由a+b>0,得a>-b,b>-a.又因为f(x)是R上的增函数,∴ f(a) > f(-b), ① f(b)>f(-a), ②①+②得f(a)+f(b) >f(-a)+f(-b).练一练分析:设则确定 正负号的关键,是确定的正负号.由于x1, x2在同一区间内,要使 则需要使 则需例5.求函数 的最大值.五、求函数的最大(小)值或值域例5.求函数 的最大值.解:任取x1, x2 , x1, x2∈[2,4],且x1< x2,当 时,所以函数f(x)在[2,4]上是减函数.同理函数f(x)在[4,10]上是增函数.五、求函数的最大(小)值或值域解：∵函数在[2,4]上是减函数.所以f(x)在[2,4]上有最大值,∵函数在[4,10]上是增函数.所以f(x)在[4,10]上有最大值,所以函数f(x)在[2,10]上的最大值是 例6.函数f(x)是定义在(0,+?)上的减函数,且f(x)< f(2x-3),求x的取值范围.解: ∵函数f(x) 定义在(0,+?)上为减函数,∴x的取值范围是解之, 得六、利用函数单调性解不等式 【1】已知函数y=f(x)在定义域R上是单调减函数,且f(a+1) > f(3-a),求实数a 的取值范围 【2】函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,若f(2-a) > f(3-a),求实数a 的取值范围（2，3）练一练【例7】求f(x)=x2-2ax+2在 [ 2,4 ]上的最小值.解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2,① 当a＜2时,②当2≤a＜4 时， ③当a≥4时, ∴ f(x)min=f(2)=6－4a;f(x)在[ 2,4 ]上是增函数,∴ f(x)min=f(a)=2－a2.f(x)在[2,4]上是减函数.∴ f(x)min=f(4) = 18－8a.七、有关最值讨论题求最大值：① 当 a ＜ 3 时， ② 当 a ≥ 3 时， f ( x ) max = f ( x ) max = f ( 4 ) = 18 －8af ( x ) max = f ( 2 ) = 6 －4a例6.已知f(x)=x2－4x－4,x∈[t,t+1](t∈R )，
求 f(x)的最小值g(t)的解析式.解:f(x)=(x－2)2－8(1)当2∈[t,t+2],即1≤t≤2时， g(t)=f(2)=－8;(2) 当 t ＞ 2 时，∴g(t) = f(t)=t2－4t－4;(3)当t+1＜2,即t＜1时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,∴g(t)=f(t+1)=t2-2t -7.综上所述:g ( t ) = f(x)在[t,t+1]上是增函数，
