上海闵行区2024-2025学年高三上学期数学六校联考期中试卷（含答案）

闵行六校2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
2．函数的最小正周期为 ．
3．不等式的解集是 ．
4．函数且的图像恒过的点是 ．
5．若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ．
6．已知函数，则 ．
7．函数的值域为 ．
8．求函数在上的单调增区间 ．
9．已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ．
10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成＂全食＂；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成＂偏食＂．已知集合和集合，若集合构成＂偏食＂，则实数的取值范围为 ．
11．设表示不超过的最大整数，则关于的不等式的解集是 ．
12．设函数，其中．若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）.
13．下列函数定义域为的是（ ）.
A． B． C． D．
14．已知，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）.
A． B．
C． D．
16．若函数有4个零点，则正实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题.
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
设集合
（1）若，求；
（2）若＂＂是＂＂的充分不必要条件，求实数的取值范围
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知.
（1）若将函数图像向左平移得到函数的图像，求函数的解析式，并求出函数的零点.
（2）在中，角的对边分别为，若，求面积的最大值.
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形，经测量，边界.
（1）若的长为，求的长；
（2）现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数
（1）求方程的解集
（2）解不等式；
（3）求出函数的最小值，若，求的最小值，并写出取最值时的值
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数
（1）当，求函数的驻点
（2）若函数在上为单调增函数，求的取值范围
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．设函数，其中．若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】对都使得不等式成立，
等价于，
当时，，所以0
当时，，所以0，所以恒成立，
当且仅当时，，
所以对恒成立，即对恒成立，
当成立，
当时，恒成立，即恒成立，
记，因为恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以恒成立，即，
所以，所以的最大值为1．故答案为1．
二、选择题
13.B 14.A 15.A 16.B
15．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为
故，即，
即即，解得
因为，则，故故选．
16．若函数有4个零点，则正实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，令，解得：，
又因为有4个根，所以当时，有3个零点，
因为，所以，
所以有，解得：，故选
三、解答题
17.（1） （2）
18. （2）
19.（1） （2）
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数
（1）求方程的解集
（2）解不等式；
（3）求出函数的最小值，若，求的最小值，并写出取最值时的值
【答案】（1） （2）
（3）的最小值为，此时．
【解析】（1）根据，
可得等价于，
①当时，左边，右边，
此时恒成立，即符合条件；
②当时，左边，右边，
由，解得，结合，可知此时；
③当时，左边3，右边，
由，解得，结合，可知此时；
④当时，左边，右边，
此时恒成立，即符合条件．
综上所述，方程的解集为．
（2）由题意得
所以不等式等价于或或
由，解得；由，解得；
由，解得，
综上所述，，即不等式的解集为．
（3）因为
当时，单调递增，且
当时，单调递减，且
所以，即，可得，整理得，
所以
当且仅当，即时取等号，
综上所述，的最小值为，此时．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数
（1）当，求函数的驻点
（2）若函数在上为单调增函数，求的取值范围
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）已知，
当时，.对求导得.
令，即，通分得到
因为，所以，解得或（舍去，因为）.
所以，当时，函数的驻点为.
（2）已知，对求导得
因为函数在上为单调增函数，所以在上恒成立，
即在，上恒成立.移项可得在上恒成立.
令，对求导得0，所以在上单调递增.
所以，所以，所以的取值范围是.
（3）已知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
化简可得，即对任意的恒成立.
令，对求导得
令，对求导得
因为在上恒成立，
所以在上单调递增.所以，
所以在，上恒成立，所以在上单调递增.
所以
所以实数的取值范围是.