上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高二上学期数学期中试卷（含答案）

复旦附中2025-2026学年第一学期高二年级数学期中B卷
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．直线的倾斜角为________．
2．圆的圆心坐标为________．
3．已知向量为直线的一个法向量，则的值为________．
4．已知椭圆的左焦点为，，为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________．
5．在平面直角坐标系中，为原点，为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________．
6．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________．
7．已知为圆上一动点，则的最大值为________．
8．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为_______．
9．圆与曲线有且仅有三个公共点，则的取值范围
是______．
10．已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为________．
11．若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为________．
12．直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（、、、从左到右依次排列），若，且，则双曲线的离心率的取值范围是________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．
13．圆与圆的位置关系为（ ）．
（A）外离 （B）外切 （C）相交 （D）内切
14．已知直线，直线，则“”是“”的（ ）．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
15．某颗卫星的运行轨道可以看作是以地球的地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，若椭圆近地点、远地点（距离地心最近、最远的点）离地面的距离分别是、，则该运行轨道的离心率为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
16．已知曲线的对称中心为，如果对于曲线上的任意一点，都存在上另外的两点、，使得的垂心为，则称为“自垂曲线”，现有如下两个命题：
①任意双曲线都是“自垂曲线”；②任意椭圆都是“自垂曲线”．
则下列判断正确的是（ ）．
（A）①是真命题，②是真命题 （B）①是假命题，②是真命题
（C）①是真命题，②是假命题 （D）①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．
17．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度；
（3）若直线过点，求、的横坐标之积．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，
如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线的方程为．过原点作直线的平行线与椭圆交于、两点．
（1）求证：直线与椭圆有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求证：、、、四个点在同一圆上，并求该圆的一般方程．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆、半圆拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有、两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求、的距离尽可能远．
（1）、两位同学应处在什么位置？请说明理由；
（2）若要在操场边界上关于中轴线对称的两点、处分别放置两个音箱（、两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时、两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
在平面直角坐标系中，对于及直线，记、、分别表示、、到的距离，且．对于给定的，记的最小值为．
（1）已知定点，，，直线的方程为，求的值；
（2）已知定点，，，直线过原点，求此时的取值范围；
（3）已知定点，，，若直线使得，求证：直线过的重心.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
如图所示，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点是角终边上的点（异于原点），设，将点绕逆时针旋转后得到．
（1）求证：
（2）已知曲线，是函数的图像，曲线绕原点逆时针旋转后得到，求的标准方程；
（3）已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点作直线交曲线于点、，过原点作直线与直线垂直，直线交曲线于点、，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为________．
【答案】
【解析】将曲线方程转换为极坐标形式：
设，代入方程得：．
化简
，
因此原式变为：，两边除以，可得．
进一步化简
当时，取得最大值．
此时分母最小值为，代入得：故答案为：2．
二、选择题
13.C 14.A 15.A 16.B
15．某颗卫星的运行轨道可以看作是以地球的地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，若椭圆近地点、远地点（距离地心最近、最远的点）离地面的距离分别是、，则该运行轨道的离心率为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由题意椭圆中：解得：，
所以离心率．故选：．
三、解答题
17.（1） （2） （3）
18.（1）证明略， （2）证明略，
19.（1）分别在圆弧中点，距离为160米 （2）米
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
在平面直角坐标系中，对于及直线，记、、分别表示、、到的距离，且．对于给定的，记的最小值为．
（1）已知定点，，，直线的方程为，求的值；
（2）已知定点，，，直线过原点，求此时的取值范围；
（3）已知定点，，，若直线使得，求证：直线过的重心.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为，直线的方程为，
由点到直线的距离公式可得
又因为，
所以
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
如图所示，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点是角终边上的点（异于原点），设，将点绕逆时针旋转后得到．
（1）求证：
（2）已知曲线，是函数的图像，曲线绕原点逆时针旋转后得到，求的标准方程；
（3）已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点作直线交曲线于点、，过原点作直线与直线垂直，直线交曲线于点、，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）是，
【解析】（1）证明：经过逆时针旋转到后，角冬边与重合，
所以
得证
（2）设曲线上一点为，逆时针旋转后的点在的图像上，
则，即，
由（1）知：即，
代入得
化简即得曲线的方程为．
（3）设长轴在轴上的椭圆上一点为，
逆时针旋转得到点在的图像上，
由（1）知，满足，
所以
化简得
因此，由此得，所以．点旋转后的坐标为．
当直线旋转后斜率不存时，
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，直线旋转后为，
旋转后，
联立，消去可得
则由韦达定理得
所以，
将代入椭圆方程中，有
则