2.2.3 直线的一般式方程 课时练习（含答案）2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.2.3 直线的一般式方程 课时练习（含答案）2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 64.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 16:28:31 | ||
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文档简介
2.2.3 直线的一般式方程
一．选择题
1.直线x-y+1=0的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c通过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
3.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m等于( )
A.-1 B.1 C. D.-
4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为( )
A.-,-1 B.,-1
C.-,1 D.,1
5.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值为( )
A. B.-6
C.- D.6
6.(多选题)已知直线l1:mx-y-3=0,直线l2:4x-my+6=0,则下列命题正确的有( )
A.直线l1恒过点(0,-3)
B.存在m使得直线l2的倾斜角为90°
C.若l1∥l2,则m=2或m=-2
D.不存在实数m使得l1⊥l2
7.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4 B.-2
C.0 D.2
8.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的位置可以是( )
9.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率可以为0
B.若直线l与y轴的夹角为30°,则m=或m=-
C.直线l恒过点(2,1)
D.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则m=1或m=-1
二．填空题
10.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的斜截式方程为 ;一般式方程为 .
11.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,直线l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为 .
12.直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过的定点坐标是 .
13.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为 .
14.已知a+b=1(a,b∈R),则直线l:2ax+by-1=0过定点 ,若直线l不过第四象限,则实数a的取值范围是 .
三．解答题
15.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示一条直线.
(1)求实数m需满足的条件;
(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
16.(1)求经过点(1,2),且与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程;
(2)求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
17.已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有:
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2
18.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),
(1)若l在两个坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
2.2.3 直线的一般式方程
一．选择题
1.直线x-y+1=0的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案:A
解析:由直线的一般式方程,得它的斜率为,即倾斜角为30°.
2.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c通过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
答案:C
解析:由题意可把ax+by=c化为y=-x+.
∵ab<0,bc<0,
∴直线的斜率k=->0,
直线在y轴上的截距<0.
由此可知直线通过第一、三、四象限.
3.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m等于( )
A.-1 B.1 C. D.-
答案:B
解析:由两条直线垂直,得-=-1,解得m=1.
4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为( )
A.-,-1 B.,-1
C.-,1 D.,1
答案:A
解析:原方程可化为=1,则由题意可得=-1,解得b=-1.
∵直线ax+by-1=0的斜率k=-=a,且直线x-y-=0的倾斜角为60°,
∴k=tan 120°=-,∴a=-.
5.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值为( )
A. B.-6
C.- D.6
答案:B
解析:令y=0,则直线在x轴上的截距是,由题意得=3,解得m=-6.
6.(多选题)已知直线l1:mx-y-3=0,直线l2:4x-my+6=0,则下列命题正确的有( )
A.直线l1恒过点(0,-3)
B.存在m使得直线l2的倾斜角为90°
C.若l1∥l2,则m=2或m=-2
D.不存在实数m使得l1⊥l2
答案:AB
解析:对于A,直线l1:mx-y-3=0,令x=0,得y=-3,故直线l1恒过点(0,-3),A正确;对于B,当m=0时,直线l2的方程化为x=-,此时直线的斜率不存在,倾斜角为90°,B正确;对于C,当m=0时,两直线方程分别化为y=-3和x=-,此时两直线不平行,故m≠0.若l1∥l2,则m=,解得m=2或m=-2.当m=-2时,直线l1:mx-y-3=0,即2x+y+3=0,直线l2:4x-my+6=0,即2x+y+3=0,两直线重合,不合题意,C错误;对于D,当m=0时,两直线方程分别化为y=-3和x=-,此时l1⊥l2,D错误.故选AB.
7.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4 B.-2
C.0 D.2
答案:B
解析:易知直线l的斜率为-1.
∵l1⊥l,∴l1的斜率为1,
∴=1,解得a=0.
∵l1∥l2,∴l2的斜率为1,
∴=1,解得b=-2,
∴a+b=-2.
8.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的位置可以是( )
答案:C
解析:将l1与l2的方程化为斜截式得
y=ax+b,y=bx+a,
根据斜率和截距的符号可知选C.
9.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率可以为0
B.若直线l与y轴的夹角为30°,则m=或m=-
C.直线l恒过点(2,1)
D.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则m=1或m=-1
答案:BD
解析:当m=0时,直线l的方程化为x=1,此时斜率不存在.当m≠0时,直线l的斜率为,不可能等于0,故A错误;因为直线l与y轴的夹角为30°,所以直线l的倾斜角为60°或120°.因为直线l的斜率为,所以=tan 60°==tan 120°=-,解得m=或m=-,故B正确;直线l的方程可化为(x-1)-m(y-1)=0,所以直线l过定点(1,1),故C错误;当m=0时,直线l的方程化为x=1,此时直线在y轴上的截距不存在.当m≠0时,令x=0,得y=;令y=0,得x=1-m.由题意得=1-m,解得m=±1,故D正确.故选BD.
二．填空题
10.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的斜截式方程为 ;一般式方程为 .
答案:y=x-4 x-y-4=0
11.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,直线l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为 .
答案:x-3y+24=0
解析:由2x-3y+12=0,知斜率为,在y轴上的截距为4.
根据题意,直线l的斜率为,在y轴上的截距为8,故直线l的方程为x-3y+24=0.
12.直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过的定点坐标是 .
答案:(2,3)
解析:原方程可化为m(2x-y-1)-(x+3y-11)=0.
∵对任意m∈R方程恒成立,
∴
解得
∴直线恒过定点(2,3).
13.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为 .
答案:2x+3y+4=0
解析:由条件得易知两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)都在直线2x+3y+4=0上,即2x+3y+4=0为所求.
14.已知a+b=1(a,b∈R),则直线l:2ax+by-1=0过定点 ,若直线l不过第四象限,则实数a的取值范围是 .
答案: a≤0
解析:由a+b=1,得b=1-a,所以直线l:2ax+by-1=0可化为2ax+(1-a)y-1=0,即a(2x-y)+y-1=0,令解得所以直线l过定点P,
则直线PO的斜率kPO==2(O为坐标原点),由直线l不过第四象限知,0≤-≤2,解得a≤0,则实数a的取值范围是a≤0.
三．解答题
15.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示一条直线.
(1)求实数m需满足的条件;
(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
解:(1)由m2-3m+2与m-2不同时为零,解得m≠2.
(2)由题意知,m≠2,由-=1,解得m=0.
16.(1)求经过点(1,2),且与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程;
(2)求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
解:(1)(方法一)设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线3x+4y+1=0平行,∴k=-.
又直线l经过点(1,2),
∴直线l的方程为y-2=-(x-1),整理得3x+4y-11=0.
(方法二)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0(m≠1).
∵直线l经过点(1,2),
∴将点(1,2)代入直线方程得3×1+4×2+m=0,解得m=-11.
∴直线l的方程为3x+4y-11=0.
(2)设直线l的斜率为kl.
∵直线l与直线2x+y-10=0垂直,
∴kl·(-2)=-1,解得kl=.
又直线l经过点A(2,1),
∴直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0.
17.已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有:
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2
解:(1)由题意可得,(m+2)(2m-1)-6(m+3)=0,且-5(m+3)-(-5)(2m-1)≠0,
解得m=4或m=-.
故当m=-时,l1∥l2.
(2)由题意,得6(m+2)+(m+3)(2m-1)=0,得m=-1或m=-.
故当m=-1或m=-时,l1⊥l2.
18.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),
(1)若l在两个坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解:(1)当直线l经过原点时,直线在x轴和y轴上的截距都为零,显然相等.
将点(0,0)的坐标代入直线l的方程,得a=2,此时直线l的方程为3x+y=0.
当直线l不过原点时,由题意知a+1≠0,即a≠-1.
直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为a-2.
由=a-2,得a=0,则直线l的方程为x+y+2=0.
综上所述,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,由题意得解得a≤-1.
故实数a的取值范围为(-∞,-1].
一．选择题
1.直线x-y+1=0的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c通过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
3.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m等于( )
A.-1 B.1 C. D.-
4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为( )
A.-,-1 B.,-1
C.-,1 D.,1
5.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值为( )
A. B.-6
C.- D.6
6.(多选题)已知直线l1:mx-y-3=0,直线l2:4x-my+6=0,则下列命题正确的有( )
A.直线l1恒过点(0,-3)
B.存在m使得直线l2的倾斜角为90°
C.若l1∥l2,则m=2或m=-2
D.不存在实数m使得l1⊥l2
7.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4 B.-2
C.0 D.2
8.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的位置可以是( )
9.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率可以为0
B.若直线l与y轴的夹角为30°,则m=或m=-
C.直线l恒过点(2,1)
D.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则m=1或m=-1
二．填空题
10.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的斜截式方程为 ;一般式方程为 .
11.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,直线l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为 .
12.直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过的定点坐标是 .
13.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为 .
14.已知a+b=1(a,b∈R),则直线l:2ax+by-1=0过定点 ,若直线l不过第四象限,则实数a的取值范围是 .
三．解答题
15.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示一条直线.
(1)求实数m需满足的条件;
(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
16.(1)求经过点(1,2),且与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程;
(2)求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
17.已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有:
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2
18.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),
(1)若l在两个坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
2.2.3 直线的一般式方程
一．选择题
1.直线x-y+1=0的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案:A
解析:由直线的一般式方程,得它的斜率为,即倾斜角为30°.
2.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c通过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
答案:C
解析:由题意可把ax+by=c化为y=-x+.
∵ab<0,bc<0,
∴直线的斜率k=->0,
直线在y轴上的截距<0.
由此可知直线通过第一、三、四象限.
3.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m等于( )
A.-1 B.1 C. D.-
答案:B
解析:由两条直线垂直,得-=-1,解得m=1.
4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为( )
A.-,-1 B.,-1
C.-,1 D.,1
答案:A
解析:原方程可化为=1,则由题意可得=-1,解得b=-1.
∵直线ax+by-1=0的斜率k=-=a,且直线x-y-=0的倾斜角为60°,
∴k=tan 120°=-,∴a=-.
5.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值为( )
A. B.-6
C.- D.6
答案:B
解析:令y=0,则直线在x轴上的截距是,由题意得=3,解得m=-6.
6.(多选题)已知直线l1:mx-y-3=0,直线l2:4x-my+6=0,则下列命题正确的有( )
A.直线l1恒过点(0,-3)
B.存在m使得直线l2的倾斜角为90°
C.若l1∥l2,则m=2或m=-2
D.不存在实数m使得l1⊥l2
答案:AB
解析:对于A,直线l1:mx-y-3=0,令x=0,得y=-3,故直线l1恒过点(0,-3),A正确;对于B,当m=0时,直线l2的方程化为x=-,此时直线的斜率不存在,倾斜角为90°,B正确;对于C,当m=0时,两直线方程分别化为y=-3和x=-,此时两直线不平行,故m≠0.若l1∥l2,则m=,解得m=2或m=-2.当m=-2时,直线l1:mx-y-3=0,即2x+y+3=0,直线l2:4x-my+6=0,即2x+y+3=0,两直线重合,不合题意,C错误;对于D,当m=0时,两直线方程分别化为y=-3和x=-,此时l1⊥l2,D错误.故选AB.
7.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4 B.-2
C.0 D.2
答案:B
解析:易知直线l的斜率为-1.
∵l1⊥l,∴l1的斜率为1,
∴=1,解得a=0.
∵l1∥l2,∴l2的斜率为1,
∴=1,解得b=-2,
∴a+b=-2.
8.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的位置可以是( )
答案:C
解析:将l1与l2的方程化为斜截式得
y=ax+b,y=bx+a,
根据斜率和截距的符号可知选C.
9.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率可以为0
B.若直线l与y轴的夹角为30°,则m=或m=-
C.直线l恒过点(2,1)
D.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则m=1或m=-1
答案:BD
解析:当m=0时,直线l的方程化为x=1,此时斜率不存在.当m≠0时,直线l的斜率为,不可能等于0,故A错误;因为直线l与y轴的夹角为30°,所以直线l的倾斜角为60°或120°.因为直线l的斜率为,所以=tan 60°==tan 120°=-,解得m=或m=-,故B正确;直线l的方程可化为(x-1)-m(y-1)=0,所以直线l过定点(1,1),故C错误;当m=0时,直线l的方程化为x=1,此时直线在y轴上的截距不存在.当m≠0时,令x=0,得y=;令y=0,得x=1-m.由题意得=1-m,解得m=±1,故D正确.故选BD.
二．填空题
10.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的斜截式方程为 ;一般式方程为 .
答案:y=x-4 x-y-4=0
11.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,直线l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为 .
答案:x-3y+24=0
解析:由2x-3y+12=0,知斜率为,在y轴上的截距为4.
根据题意,直线l的斜率为,在y轴上的截距为8,故直线l的方程为x-3y+24=0.
12.直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过的定点坐标是 .
答案:(2,3)
解析:原方程可化为m(2x-y-1)-(x+3y-11)=0.
∵对任意m∈R方程恒成立,
∴
解得
∴直线恒过定点(2,3).
13.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为 .
答案:2x+3y+4=0
解析:由条件得易知两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)都在直线2x+3y+4=0上,即2x+3y+4=0为所求.
14.已知a+b=1(a,b∈R),则直线l:2ax+by-1=0过定点 ,若直线l不过第四象限,则实数a的取值范围是 .
答案: a≤0
解析:由a+b=1,得b=1-a,所以直线l:2ax+by-1=0可化为2ax+(1-a)y-1=0,即a(2x-y)+y-1=0,令解得所以直线l过定点P,
则直线PO的斜率kPO==2(O为坐标原点),由直线l不过第四象限知,0≤-≤2,解得a≤0,则实数a的取值范围是a≤0.
三．解答题
15.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示一条直线.
(1)求实数m需满足的条件;
(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
解:(1)由m2-3m+2与m-2不同时为零,解得m≠2.
(2)由题意知,m≠2,由-=1,解得m=0.
16.(1)求经过点(1,2),且与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程;
(2)求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
解:(1)(方法一)设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线3x+4y+1=0平行,∴k=-.
又直线l经过点(1,2),
∴直线l的方程为y-2=-(x-1),整理得3x+4y-11=0.
(方法二)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0(m≠1).
∵直线l经过点(1,2),
∴将点(1,2)代入直线方程得3×1+4×2+m=0,解得m=-11.
∴直线l的方程为3x+4y-11=0.
(2)设直线l的斜率为kl.
∵直线l与直线2x+y-10=0垂直,
∴kl·(-2)=-1,解得kl=.
又直线l经过点A(2,1),
∴直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0.
17.已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有:
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2
解:(1)由题意可得,(m+2)(2m-1)-6(m+3)=0,且-5(m+3)-(-5)(2m-1)≠0,
解得m=4或m=-.
故当m=-时,l1∥l2.
(2)由题意,得6(m+2)+(m+3)(2m-1)=0,得m=-1或m=-.
故当m=-1或m=-时,l1⊥l2.
18.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),
(1)若l在两个坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解:(1)当直线l经过原点时,直线在x轴和y轴上的截距都为零,显然相等.
将点(0,0)的坐标代入直线l的方程,得a=2,此时直线l的方程为3x+y=0.
当直线l不过原点时,由题意知a+1≠0,即a≠-1.
直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为a-2.
由=a-2,得a=0,则直线l的方程为x+y+2=0.
综上所述,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,由题意得解得a≤-1.
故实数a的取值范围为(-∞,-1].