专题05 二元一次方程组
题型1 二元一次方程的定义 题型2 二元一次方程的解
题型3 二元一次方程组的定义 题型4 二元一次方程组的解
题型5 解二元一次方程组 题型6 由实际问题抽象出二元一次方程组
题型7 二元一次方程组的应用 题型8 解三元一次方程组
题型9 三元一次方程组的应用 题型10 一次函数与二元一次方程（组）
▉题型1 二元一次方程的定义
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x+y＝2 B．xy＝1 C． D．x2﹣x﹣1＝0
【答案】A
【解答】解：A、方程3x+y＝2是整式方程，含两个未知数x和y，且x和y的次数均为1，是二元一次方程，符合题意；
B、方程xy＝1中，项xy的次数为2（x和y的次数之和），不是二元一次方程，不符合题意；
C、方程含有分式，不是整式方程，不符合题意；
D、方程x2﹣x﹣1＝0仅含一个未知数x，且x2的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意．
故选：A．
2．若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1
【答案】A
【解答】解：根据题意得m+1＝1，2n﹣3＝1，
解得m＝0，n＝2，
故选：A．
3．若（R﹣2）x|R|﹣1﹣3y＝2是关于x，y的二元一次方程，那么3R﹣2的值为（ ）
A．4 B．﹣8 C．8 D．4或﹣8
【答案】B
【解答】解：根据题意得：，
解得R＝﹣2，
∴3R﹣2＝﹣6﹣2＝﹣8，
故选：B．
4．下列方程中：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④3xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【答案】A
【解答】解：二元一次方程的定义可知：
是二元一次方程的是①x+y＝1；⑤．
故选：A．
5．关于x，y的方程5xa﹣1﹣3y＝7是二元一次方程，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：由题意可得：a﹣1＝1，
解得：a＝2，
故选：C．
6．已知□x﹣2y＝5是二元一次方程，“□”覆盖了x的系数，则覆盖的数不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，当□的值为2、1、﹣1时，方程都是二元一次方程，
当□的值为0时，方程不是二元一次方程，
故□不可能是0．
故选：B．
▉题型2 二元一次方程的解
7．在下列二元一次方程中，其中一组解为的是（ ）
A．x﹣y＝﹣1 B．x+4y＝﹣1 C．x﹣2y＝0 D．3x+y＝0
【答案】B
【解答】解：将代入x﹣y＝﹣1中，得3+1＝4≠﹣1，
∴A不正确；
将代入x+4y＝﹣1中，得3﹣4＝﹣1，
∴B正确；
将代入x﹣2y＝0中，得3+2＝5≠0，
∴C不正确；
将代入3x+y＝0中，得9﹣1＝8≠0，
∴D不正确；
故选：B．
8．已知是方程2x+ky＝6的解，则k等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵是方程2x+ky＝6的解，
∴2×（﹣2）+2k＝6，
∴2k＝10，
∴k＝5．
故选：C．
9．已知是方程ax+y＝7的一个解，那么常数a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【答案】C
【解答】解：由题意得：3a﹣2＝7，
解得：a＝3，
故选：C．
10．若是二元一次方程ax+by＝3的一个解，则a﹣b的值等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，a×1+b×1＝3，
∴a﹣b＝3．
故选：D．
11．二元一次方程x+y＝5的正整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：方程x+y＝5，
解得：y＝﹣x+5，
当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝3；x＝3时，y＝2；x＝4时，y＝1，
则方程的正整数解个数有4个，
故选：C．
12．已知是关于x，y的方程x+ky＝3的一个解，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：∵是关于x、y的方程x+ky＝3的一个解，
∴把代入到原方程，得1+2k＝3，
解得k＝1，
故选：B．
13．若和都是方程ax+y＝b的解，则a，b的值为（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝2，b＝3 D．a＝1，b＝3
【答案】C
【解答】解：根据二元一次方程的解的定义把和代入方程ax+y＝b中，得
∴，
解得：，
故选：C．
14．已知是二元一次方程ax﹣by＝3的解，则2a+4b﹣2的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【解答】解：根据题意得，a+2b＝3，
∴2a+4b﹣2＝2（a+2b）﹣2＝3×2﹣2＝4，
故选：B．
15．下列各组数满足方程x﹣2y＝3的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据方程解的定义：
当时，方程左边＝﹣1﹣2×2＝﹣5，方程左边≠方程右边，A不符合题意；
当时，方程左边＝3﹣2×1＝1≠3，方程左边≠方程右边，B不符合题意；
当时，方程左边＝2﹣2×（﹣3）＝8≠3，方程左边≠方程右边，C不符合题意；
当时，方程左边＝﹣1﹣2×（﹣2）＝3，方程左边＝方程右边，D符合题意；
故选：D．
16．小明用表格求代数式2x﹣5和代数式﹣x+1的值，观察表格里面的数据．其中既是方程y＝2x﹣5的解，也是方程y＝﹣x+1的解的是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
2x﹣5 … ﹣7 ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 …
﹣x+1 … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 …
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：观察表格中的数据，可得出：当x＝2时，2x﹣5＝﹣1，此时﹣x+1＝﹣1，
∴既是方程y＝2x﹣5的解，也是方程y＝﹣x+1的解的是．
故选：B．
17．甲、乙两人求二元一次方程ax﹣by＝1的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成ax﹣by＝7，求得一组解为，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得，，
解得，
故选C．
18．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c≠0）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：ax+by＝c的“亲密方程”为cx+by＝a．
（1）方程x+3y＝5的“亲密方程”为 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a﹣2b+c＝0，且ax+by＝c与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m﹣2n）m﹣p（p﹣2n）+2025的值；
（3）已知整数m，n，t，满足条件t＜n＜m，并且（4m﹣t）x+2025y＝m+2t﹣4是关于x，y的二元一次方程nx+2025y＝3m+4的“亲密方程”，求m的值．
【答案】（1）5x+3y＝1；
（2）2025；
（3）m的值为5．
【解答】解：（1）根据定义得：x+3y＝5的“亲密方程”为5x+3y＝1；
（2）ax+by＝c的“亲密方程”方程为cx+by＝a，
联立得，解得，
∵a﹣2b+c＝0，
∴a+c＝2b，
∴方程组的解为，
∵恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，
∴﹣m+2n＝p，
∴p﹣2n＝﹣m，
∴（m﹣2n）m﹣p（p﹣2n）+2025
＝﹣pm+pm+2025
＝2025，
∴代数式（m﹣2n）m﹣p（p﹣2n）+2025的值为2025；
（3）∵（4m﹣t）x+2025y＝m+2t﹣4是关于x，y的二元一次方程nx+2025y＝3m+4的“亲密方程”，
∴，化简得，
∵整数m，n，t，满足t＜n＜m，
∴m﹣4＜3m﹣12＜m，
∴整数m满足4＜m＜6，
∴m的值为5．
▉题型3 二元一次方程组的定义
19．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、第二个方程中的xy是二次的，故该选项错误；
B、该方程组中的第二个方程是分式方程，故该选项错误；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义；
D、该方程组中有三个未知数，故该选项错误．
故选：C．
20．在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①② D．只有①
【答案】B
【解答】解：方程组①，④符合二元一次方程组的定义，符合题意．
方程组②属于二元二次方程组，不符合题意．
方程组③中的第一个方程不是整式方程，不符合题意．
故选：B．
21．已知是关于a，b的二元一次方程组，则是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．12
【答案】A
【解答】解：，
把方程组中两个方程相加可得3a+3b＝9，
∴a+b＝3．
∴，
故选：A．
22．若方程组是二元一次方程组，则“…”可以是（ ）
A．3x﹣m＝8 B．xy＝0 C．x2﹣1＝0 D．x＝y
【答案】D
【解答】解：A、3x﹣m＝8，含有m，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
B、xy＝0，是二元二次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
C、x2﹣1＝0，是二元一次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
D、x＝y能组成二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
23．请写出一个二元一次方程组 ．
【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：二元一次方程组可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
24．已知是关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝ ．
【答案】3．
【解答】解：方程组两个方程相加得3（x+y）＝9，
解得，x+y＝3．
故答案为：3．
▉题型4 二元一次方程组的解
25．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．7 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：，
①﹣②得2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
代入x﹣y＝4，可得m+3＝4，
解得：m＝1，
故选：C．
26．已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论：
①当k＝0时，该方程组的解和方程x﹣2y＝﹣1的解相同；
②存在有理数k，使得x+y＝0；
③当3x+5y＞3时，k；
④对于任意有理数k，x+3y的值始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解答】解：当k＝0时，关于x，y的方程组为：，
①×2得：2x+4y＝0③，
③﹣②得：y＝1，
把y＝1代入①得：x＝﹣2，
把x＝﹣2，y＝1代入x﹣2y＝﹣1，
左边＝﹣2﹣2×1＝﹣4，右边＝﹣1，
左边≠右边，
∴当k＝0时，该方程组的解和方程x﹣2y＝﹣1的解不相同，
故①错误；
，
②﹣①得：x+y＝2k﹣1，
∵x+y＝0，
∴2k﹣1＝0，
2k＝1，
，
∴存在有理数k，使得x+y＝0；
故②正确；
，
①+②得：3x+5y＝4k﹣1，
∵3x+5y＞3，
4k﹣1＞3，
4k＞4，
k＞1，
故③错误；
，
①×2得：2x+4y＝2k③，
③﹣②得：y＝﹣k+1，
把y＝﹣k+1代入①得：x+2（﹣k+1）＝k，
x﹣2k+2＝k，
x＝3k﹣2，
∴x+3y
＝3k﹣2+3（﹣k+1）
＝3k﹣2﹣3k+3
＝1，
∴对于任意有理数k，x+3y的值始终不变，
故④正确；
综上可知：正确结论的序号是②④，
故选：C．
27．关于x，y的方程组的解为，且，则（m+n）2024为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2024
【答案】A
【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
又∵，
∴，
∴（3m+2m）+（2n+3n）＝﹣7+2，
即5m+5n＝﹣5，
∴m+n＝﹣1，
∴（m+n）2024＝（﹣1）2024＝1．
故选：A．
28．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+3y＝﹣5，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：令，
②﹣①，得2x+6y＝2﹣3m，
∵方程组的解满足x+3y＝﹣5，
∴2x+6y＝2（x+3y）＝﹣10，
∴2﹣3m＝﹣10．
解得：m＝4．
29．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求2a﹣3b的值．
【答案】6．
【解答】解：由题意可得，
①+②得4a＝6，
a，
代入①得2b＝4，
b＝﹣1，
∴2a﹣3b＝23×（﹣1）＝6．
▉题型5 解二元一次方程组
30．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y得x+4x＝5，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．分类讨论思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
【答案】A
【解答】解：在解二元一次方程组时，
将第一个方程代入第二个方程消去y得x+4x＝5，
从而将二元一次方程降次转化为一元一次方程求解，
这种解法体现的数学思想是：转化思想，
故选：A．
31．对于方程组下列变形中错误的是（ ）
A． B．
C． D．由②，得y＝2x+5
【答案】D
【解答】解：由①得：x或y，
则A，B均不符合题意；
由②得：y＝2x﹣5或x，
则C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
32．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：∵（a是常数），
∴y＝﹣a﹣1，
x＝a+3，
则kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1），
∴kx﹣y＝（k+1）a+3k+1，
故k的值为﹣1，
故选：A．
33．解方程组时，把①代入②，得（ ）
A．2（3y﹣2）﹣5x＝10 B．2y﹣（3y﹣2）＝10
C．（3y﹣2）﹣5x＝10 D．2y﹣5（3y﹣2）＝10
【答案】D
【解答】解：把①代入②得：2y﹣5（3y﹣2）＝10，
故选：D．
34．如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于x，y的方程组为“反解方程组”，则a的值为（ ）
A．4 B．﹣8 C．﹣6 D．8
【答案】D
【解答】解：两方程相加得得，2x+2y＝8﹣a，
∴，
∵x、y互为相反数，
∴，
∴a＝8，
故选：D．
35．已知x，y满足方程组，则（x﹣y）2025的值为（ ）
A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025
【答案】B
【解答】解：将方程组中的两个方程相加得5x﹣5y＝﹣5，
则x﹣y＝﹣1，
那么（x﹣y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1，
故选：B．
▉题型6 由实际问题抽象出二元一次方程组
36．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意得：
，
故选：A．
37．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，
根据题意，得，
故选D．
38．【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元．
【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元．
根据题意，得（Ⅰ）
②×2，得6x+2y＝114．③
③﹣①，得2x＝28，
解得x＝14．
把x＝14代入②，得4×14+2y＝86，
解得y＝15，
所以原方程组的解为．
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元．
【反思改进】
（1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便．请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程．
（2）把题目中的数量关系列表表示如下：
笔记本/本 钢笔/支 总价/元
第一种情况 4 2 86
第二种情况 3 1 57
增加量 4﹣3＝1 2﹣1＝1 86﹣57＝29
请根据表格的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】解：（1）设每本笔记本x元，每支钢笔y元，
根据题意，得，
方程组化简为，
②﹣①，得x＝14，
把x＝14代入①，得2×14+y＝43，
解得y＝15，
所以原方程组的解为，
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元；
（2）设每本笔记本x元，每支钢笔y元，
根据增加量，可得x+y＝29，
列方程组为，
①﹣②，得2x＝28，
解得x＝14，
把x＝14代入②，得14+y＝29，
解得y＝15，
所以原方程组的解为，
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元
39．阅读理解：
为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务，由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天．
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请分别指出未知数x，y表示的意义．
甲：x表示 ，y表示 ；乙：x表示，y表示 ．
（2）补全乙方方程组，求出乙方方程组的解，并回答A，B两个工程队分别整治河道多少米．
【答案】（1）甲：A工程队整治天数；B工程队整治天数；乙：A工程队整治长度；B工程队整治长度；
（2）乙：；，A工程队整治120米，B工程队整治240米．
【解答】解：（1）甲：，乙：；
甲：A工程队整治天数；B工程队整治天数；B工程队整治长度，
故答案为：A工程队整治天数；B工程队整治天数；乙：A工程队整治长度；B工程队整治长度；
（2）乙：；整理得，
方程①×2﹣方程②得﹣y＝﹣240，
∴y＝240，
∴x+240＝360，
解得x＝120，
∴，
答：A队整治河道120米，B队整治河道240米．
▉题型7 二元一次方程组的应用
40．现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等．将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态．用Δ，□，〇分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1﹣图3，其中图3的天平右边托盘中是n个球，那么n的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解答】解：设一个圆锥的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个球的质量为z，
由图1得2x+5z＝3y+z，
整理得：2x﹣3y＝﹣4z①，
图2得3x+3z＝2x+2y，
整理得：x﹣2y＝﹣3z②，
①﹣②×2得：y＝2z，
将y＝2z代入②得：x﹣4z＝﹣3z，
则x＝z，
那么2x+y+2z＝2z+2z+2z＝6z，
即n＝6，
故选：C．
41．将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝（ ）
A．12 B．16 C．20 D．40
【答案】A
【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），
根据图象可得：，
解得，
∴S1＝16，S2＝4，
则S1﹣S2＝12．
故选：A．
42．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
（2）购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
【解答】解：（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，
根据题意得：w＝8000m+5000，
即w＝﹣4500m+100000，
∵﹣4500＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m，均为正整数，
∴m的最小值为2，
∴当m＝2时，w取得最大值，最大值为﹣4500×2+100000＝91000（元），此时15（辆）．
答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
43．2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．
（1）求篮球和排球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元．为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，
根据题意得，
解得，
答：篮球每个100元，排球每个80元；
（2）设学校购进篮球a个，则购进排球（20﹣a）个，商场获利为W元，
篮球的进价为100÷（1+25%）＝80（元），
根据题意得，W＝80×25%a+（80﹣50﹣m）（20﹣a）＝（m﹣10）a+600﹣20m，
∵商场所有购买方案获利相同，即W与a无关，
∴m﹣10＝0，
∴m＝10．
▉题型8 解三元一次方程组
44．若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（ ）
A．﹣3 B．0
C．3 D．不能确定值
【答案】A
【解答】解：，
①﹣②得：y＝﹣z﹣2，
把y＝﹣z﹣2代入①得：x+z+2＝1﹣4z，
解得：x＝﹣1﹣5z，
把x＝﹣1﹣5z，y＝﹣z﹣2代入得：x+y+6z＝﹣1﹣5z﹣z﹣2+6z＝﹣3．
故选：A．
45．方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：，
根据消元法可知由方程③﹣方程①得y＝﹣5，
把y＝﹣5代入②得z﹣2×（﹣5）＝﹣1，
解得z＝﹣11，
把z＝﹣11代入①得x﹣（﹣11）＝4，
解得x＝﹣7，
∴．
故选：C．
46．若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：已知方程组，
将三个方程相加可得2x+2y+2z＝18，
则x+y+z＝9，
∵方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，
∴3k＝6+x+y+z＝6+9＝15，
∴k＝5，
故选：C．
47．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（ ）
A．m﹣2t＝﹣1 B．m+2t＝1 C．2m﹣t＝1 D．2t+m＝﹣1
【答案】D
【解答】解：由题意得：，
①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8，
∵4x+y﹣z为定值，
∴2t+m＝﹣1．
故选：D．
48．实数a，b，c满足等式2a+b+c＝﹣1，a+2b﹣c＝4，则102a 100b＝（ ）
A．20 B．100 C．200 D．1000
【答案】B
【解答】解：∵实数a，b，c满足等式2a+b+c＝﹣1，a+2b﹣c＝4，
∴两个方程相加得：3a+3b＝3，
∴a+b＝1，
∴102a 100b
＝100a 100b
＝100a+b
＝1001
＝100，
故选：B．
49．已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足2a﹣b+c＝4，3a+b+c＝0，令t＝3a+2b，则t的取值范围是（ ）
A．﹣10＜t＜﹣2 B．﹣12＜t＜﹣4 C．﹣12＜t＜﹣2 D．﹣10＜t＜﹣4
【答案】B
【解答】解：因为2a﹣b+c＝4，3a+b+c＝0，
所以，
又∵a＜0，b＜0，
即，
∴2＜c＜12，
∵，
∴﹣12＜t＜﹣4．
故选：B．
▉题型9 三元一次方程组的应用
50．某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（ ）
A．140元 B．145元 C．150元 D．165元
【答案】B
【解答】解：设保温杯成本为x元、电子手表成本为y元、蓝牙耳机的成本为z元，根据题意列三元一次方程组得：
，
则（2x+3y+z）﹣（x+2y+z）＝155﹣100，
化简得：x+y＝55，
由x+2y+z＝100得z＝100﹣x﹣2y，
则A盒成本为：
x+3y+2z
＝x+3y+2（100﹣x﹣2y）
＝x+3y+200﹣2x﹣4y
＝﹣x﹣y+200
＝﹣55+200
＝145（元），
即A盒的成本为145元，
故选：B．
51．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）元．
A．25 B．100 C．50 D．125
【答案】C
【解答】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元、y元、z元，
根据题意列三元一次方程得，，
把这两个方程相加得：4x+4y+4z＝200，
∴x+y+z＝50，
∴购甲、乙、丙各一件共需50元，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
52．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【答案】D
【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x，y，z个，
根据题意列方程得5x+10y+15z＝100，
即x+2y+3z＝20，
由题意得x，y，z均为正整数．
①当z＝1时，x+2y＝17，
∴，
∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z＝2时，x+2y＝14，
∴，
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6＝14种购买方案，
综上所述，只有选项D正确，符合题意．
故选：D．
53．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（ ）
A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5
【答案】A
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3．
故选：A．
54．若m1，m2，…m2025是从0，﹣1，2这三个数中取值的一列数，且m1+m2+…+m2025＝220，，则在数m1，m2，…m2025中，取值为2的数有（ ）个．
A．150 B．160 C．180 D．200
【答案】D
【解答】解：m1，m2， ，m2025是从0，﹣1，2这三个数中取值的一列数，
∴设其中有a个0，b个﹣1，c个2，则 a+b+c＝2025，
m1+m2+ +m2025＝220，
∴0×a+（﹣1）×b+2c＝﹣b+2c＝220，
∵，
∴a×02+b×（﹣1）2+c×22＝b+4c＝980，
联立得到，
解得，
∴在数m1，m2， ，m2025中，取值为2的数有200个．
故选：D．
55．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
【答案】A
【解答】解：设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，
根据题意得：，
（①+②）÷4得：x+y+z＝128，
∴购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元．
故选：A．
▉题型10 一次函数与二元一次方程（组）
56．如图，若一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象交于点（1，m），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：当x＝1时，y＝2，
∴交点坐标为（1，2），
∴方程组的解是．
故选：A．
57．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m）．关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：m＝3；乙：关于x、y的方程组的解为
A．只有甲的对 B．只有乙的对
C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对
【答案】A
【解答】解：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m）．
∵点A（﹣1，m）在直线l1：y＝﹣3x上，
∴m＝﹣3×（﹣1）＝3，
∴甲说法对；
∵直线l1：y＝﹣3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，3），
∴关于x、y的方程组的解为，
∴乙说法错，
故选：A．
58．一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点．则下列结论：
①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2；
②；
③方程组的解为；
④四边形AODP的面积为．正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【解答】解：一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），
∴一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2，①正确；
2k+5＝4+k，
解得k＝﹣1，②错误；
∴一次函数为y1＝﹣x+5，y2＝2x﹣1，
把P（2，m）代入得﹣2+5＝m，
∴m＝3，
∴P（2，3），
∴方程组的解为，③正确；
∵一次函数为y1＝﹣x+5，y2＝2x﹣1，
∴A（0，5），D（，0），
∴四边形AODP的面积为：，④正确．
∴正确的结论是①③④．
故选：D．
59．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（4，8） B．（3，8） C．（2，8） D．（8，4）
【答案】A
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴把y＝8代入y＝x+4得x＝4，
∴m＝4，
∴二元一次方程组的解为，
∵二元一次方程组的解就是两个一次函数y＝kx+b和y＝x+4图象的交点坐标，
∴直线y＝kx+b与直线y＝x+4相交于点P的坐标为：（4，8），
故选：A．
60．如图，直线l1与l2的交点坐标为A（1，3）．根据图象，小敏认为点A坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是3x﹣y＝0，则另一个方程是（ ）
A．x+y＝﹣4 B．x+y＝4 C．x﹣y＝﹣4 D．x﹣y＝4
【答案】B
【解答】解：A．把代入方程x+y＝﹣4，左边＝4，右边＝﹣4，左边≠右边，故A不合题意；
B．把代入方程x+y＝4，左边＝4，右边＝4，左边＝右边，故B符合题意；
C．把代入方程x﹣y＝﹣4，左边＝﹣2，右边＝﹣4，左边≠右边，故C不合题意；
D．把代入方程x﹣y＝4，左边＝﹣2，右边＝4，左边≠右边，故D不合题意；
故选：B．专题05 二元一次方程组
题型1 二元一次方程的定义 题型2 二元一次方程的解
题型3 二元一次方程组的定义 题型4 二元一次方程组的解
题型5 解二元一次方程组 题型6 由实际问题抽象出二元一次方程组
题型7 二元一次方程组的应用 题型8 解三元一次方程组
题型9 三元一次方程组的应用 题型10 一次函数与二元一次方程（组）
▉题型1 二元一次方程的定义
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x+y＝2 B．xy＝1 C． D．x2﹣x﹣1＝0
2．若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1
3．若（R﹣2）x|R|﹣1﹣3y＝2是关于x，y的二元一次方程，那么3R﹣2的值为（ ）
A．4 B．﹣8 C．8 D．4或﹣8
4．下列方程中：①x+y＝1；②；③x2+2x＝﹣1；④3xy＝1；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
5．关于x，y的方程5xa﹣1﹣3y＝7是二元一次方程，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知□x﹣2y＝5是二元一次方程，“□”覆盖了x的系数，则覆盖的数不可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
▉题型2 二元一次方程的解
7．在下列二元一次方程中，其中一组解为的是（ ）
A．x﹣y＝﹣1 B．x+4y＝﹣1 C．x﹣2y＝0 D．3x+y＝0
8．已知是方程2x+ky＝6的解，则k等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知是方程ax+y＝7的一个解，那么常数a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
10．若是二元一次方程ax+by＝3的一个解，则a﹣b的值等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
11．二元一次方程x+y＝5的正整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．已知是关于x，y的方程x+ky＝3的一个解，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
13．若和都是方程ax+y＝b的解，则a，b的值为（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝2，b＝3 D．a＝1，b＝3
14．已知是二元一次方程ax﹣by＝3的解，则2a+4b﹣2的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
15．下列各组数满足方程x﹣2y＝3的是（ ）
A． B．
C． D．
16．小明用表格求代数式2x﹣5和代数式﹣x+1的值，观察表格里面的数据．其中既是方程y＝2x﹣5的解，也是方程y＝﹣x+1的解的是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
2x﹣5 … ﹣7 ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 …
﹣x+1 … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 …
A． B． C． D．
17．甲、乙两人求二元一次方程ax﹣by＝1的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成ax﹣by＝7，求得一组解为，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
18．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c≠0）中的常数项c与未知数x的系数a互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：ax+by＝c的“亲密方程”为cx+by＝a．
（1）方程x+3y＝5的“亲密方程”为 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a﹣2b+c＝0，且ax+by＝c与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m﹣2n）m﹣p（p﹣2n）+2025的值；
（3）已知整数m，n，t，满足条件t＜n＜m，并且（4m﹣t）x+2025y＝m+2t﹣4是关于x，y的二元一次方程nx+2025y＝3m+4的“亲密方程”，求m的值．
▉题型3 二元一次方程组的定义
19．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
20．在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①② D．只有①
21．已知是关于a，b的二元一次方程组，则是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．12
22．若方程组是二元一次方程组，则“…”可以是（ ）
A．3x﹣m＝8 B．xy＝0 C．x2﹣1＝0 D．x＝y
23．请写出一个二元一次方程组 ．
24．已知是关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝ ．
▉题型4 二元一次方程组的解
25．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．7 C．1 D．2
26．已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论：
①当k＝0时，该方程组的解和方程x﹣2y＝﹣1的解相同；
②存在有理数k，使得x+y＝0；
③当3x+5y＞3时，k；
④对于任意有理数k，x+3y的值始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
27．关于x，y的方程组的解为，且，则（m+n）2024为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2024
28．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+3y＝﹣5，求m的值．
29．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求2a﹣3b的值．
▉题型5 解二元一次方程组
30．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y得x+4x＝5，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．分类讨论思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
31．对于方程组下列变形中错误的是（ ）
A． B．
C． D．由②，得y＝2x+5
32．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
33．解方程组时，把①代入②，得（ ）
A．2（3y﹣2）﹣5x＝10 B．2y﹣（3y﹣2）＝10
C．（3y﹣2）﹣5x＝10 D．2y﹣5（3y﹣2）＝10
34．如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于x，y的方程组为“反解方程组”，则a的值为（ ）
A．4 B．﹣8 C．﹣6 D．8
35．已知x，y满足方程组，则（x﹣y）2025的值为（ ）
A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025
▉题型6 由实际问题抽象出二元一次方程组
36．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
37．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
38．【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元．
【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元．
根据题意，得（Ⅰ）
②×2，得6x+2y＝114．③
③﹣①，得2x＝28，
解得x＝14．
把x＝14代入②，得4×14+2y＝86，
解得y＝15，
所以原方程组的解为．
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元．
【反思改进】
（1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便．请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程．
（2）把题目中的数量关系列表表示如下：
笔记本/本 钢笔/支 总价/元
第一种情况 4 2 86
第二种情况 3 1 57
增加量 4﹣3＝1 2﹣1＝1 86﹣57＝29
请根据表格的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程．
39．阅读理解：
为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务，由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天．
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请分别指出未知数x，y表示的意义．
甲：x表示 ，y表示 ；乙：x表示，y表示 ．
（2）补全乙方方程组，求出乙方方程组的解，并回答A，B两个工程队分别整治河道多少米．
▉题型7 二元一次方程组的应用
40．现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等．将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态．用Δ，□，〇分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1﹣图3，其中图3的天平右边托盘中是n个球，那么n的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
41．将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝（ ）
A．12 B．16 C．20 D．40
42．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
43．2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．
（1）求篮球和排球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元．为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．
▉题型8 解三元一次方程组
44．若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（ ）
A．﹣3 B．0
C．3 D．不能确定值
45．方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
46．若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
47．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（ ）
A．m﹣2t＝﹣1 B．m+2t＝1 C．2m﹣t＝1 D．2t+m＝﹣1
48．实数a，b，c满足等式2a+b+c＝﹣1，a+2b﹣c＝4，则102a 100b＝（ ）
A．20 B．100 C．200 D．1000
49．已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足2a﹣b+c＝4，3a+b+c＝0，令t＝3a+2b，则t的取值范围是（ ）
A．﹣10＜t＜﹣2 B．﹣12＜t＜﹣4 C．﹣12＜t＜﹣2 D．﹣10＜t＜﹣4
▉题型9 三元一次方程组的应用
50．某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（ ）
A．140元 B．145元 C．150元 D．165元
51．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）元．
A．25 B．100 C．50 D．125
52．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
53．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（ ）
A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5
54．若m1，m2，…m2025是从0，﹣1，2这三个数中取值的一列数，且m1+m2+…+m2025＝220，，则在数m1，m2，…m2025中，取值为2的数有（ ）个．
A．150 B．160 C．180 D．200
55．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
▉题型10 一次函数与二元一次方程（组）
56．如图，若一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象交于点（1，m），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B．
C． D．
57．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m）．关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：m＝3；乙：关于x、y的方程组的解为
A．只有甲的对 B．只有乙的对
C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对
58．一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点．则下列结论：
①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2；
②；
③方程组的解为；
④四边形AODP的面积为．正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
59．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（4，8） B．（3，8） C．（2，8） D．（8，4）
60．如图，直线l1与l2的交点坐标为A（1，3）．根据图象，小敏认为点A坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是3x﹣y＝0，则另一个方程是（ ）
A．x+y＝﹣4 B．x+y＝4 C．x﹣y＝﹣4 D．x﹣y＝4
