专题02 实数
题型1 平方根 题型2 算术平方根
题型3 非负数的性质：算术平方根 题型4 立方根
题型5 计算器—数的开方 题型6 无理数
题型7 实数 题型8 实数的性质
题型9 实数与数轴 题型10 实数大小比较
题型11 二次根式的定义 题型12 二次根式有意义的条件
题型13 二次根式的性质与化简 题型14 最简二次根式
题型15 二次根式的乘除法 题型16 分母有理化
题型17 同类二次根式 题型18 二次根式的加减法
题型19 二次根式的混合运算 题型20 二次根式的化简求值
题型21 二次根式的应用
▉题型1 平方根
1．16的平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±2
2．若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．16 D．9
3．下列说法中正确的是（ ）
A．任何数都有平方根 B．﹣16的平方根是﹣4
C．0的平方根是0 D．4的平方根是2
▉题型2 算术平方根
4．下列说法错误的是（ ）
A．﹣4是16的平方根
B．17是（﹣17）2的算术平方根
C．的算术平方根是
D．0.9的算术平方根0.03
5．设a，b，则用含a，b的式子表示，可得（ ）
A．25ab B．5 C．5ab D．25
6．已知，若n是整数，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
▉题型3 非负数的性质：算术平方根
7．已知实数m，n满足，则n+2m的值为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．0
8．若实数x，y满足，则（x+y）2025的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
9．对两个整式A＝a﹣b，B＝a+b进行如下操作：将B加上A，结果为C1＝2a，称为第1次操作；将第1次操作的结果C1加上2B，结果为C2＝4a+2b，称为第2次操作；将第2次操作的结果C2加上3A，结果为C3＝7a﹣b，称为第3次操作；将第3次操作的结果C3加上4B，结果为C4＝11a+3b，称为第4次操作 ．下列说法正确的个数有（ ）
①第5次操作的结果为：C5＝16a﹣2b；
②若，则C198＝19602；
③若a2﹣2ab+b2＝0，则C2023＝C2024．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
▉题型4 立方根
10．如图，某港口有一个体积为27m3的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为216m3的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍
11．解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）8（x+1）3﹣27＝0．
12．已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．
（1）求a和b的值；
（2）求2a﹣b2+17的立方根．
▉题型5 计算器—数的开方
13．利用计算器计算出的如表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
根据以上规律，若3.81，，则（ ）
A．38.1 B．381 C．12 D．120
14．用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（ ）
A．计算，按键：
B．计算，按键：
C．计算，按键：
D．计算，按键：
15．估算： ．（精确到0.1）
▉题型6 无理数
16．下列八个实数：，，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
17．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14 B． C． D．
18．f（x）＝ex是一个数学函数，它表示自然数e的指数次幂．其中自然数e是一个无理数（e＝2.718281828459045 ）则在下列实数中，（ ）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
▉题型7 实数
19．下列实数中，是负数的是（ ）
A． B．﹣3 C．0.1 D．
20．实数，，，，，0.12，中，分数的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．7个
21．圆周率日（Piday）是一年一度的庆祝圆周率π的节日，由圆周率π最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率π是（ ）
A．分数 B．负数 C．有理数 D．无理数
▉题型8 实数的性质
22．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
23．手机通用的信号强度单位是dBm（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列表示信号最强的是（ ）
A．﹣7 B． C．﹣2 D．﹣9
24．实数﹣5的倒数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．
▉题型9 实数与数轴
25．如图，直角三角形OBC的直角边BC的长为1，线段OB绕点O旋转，使点B落在数轴上并记为点A，则数轴上点A表示的实数是（ ）
A．1 B． C． D．
26．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）
（1）abc＞0；（2）﹣c＞a＞﹣b；（3）；（4）|c|＞|a|
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
▉题型10 实数大小比较
28．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．下列四个数中，比大的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
30．在，0，﹣3，﹣π中，最小的实数是（ ）
A． B．0 C．﹣3 D．﹣π
▉题型11 二次根式的定义
31．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
32．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
33．下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
▉题型12 二次根式有意义的条件
34．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
35．二次根式有意义的条件是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
▉题型13 二次根式的性质与化简
36．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
37．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
▉题型14 最简二次根式
38．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
39．已知，，，A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求代数式的值．
40．已知y，求（x﹣y）2023的值．
▉题型15 二次根式的乘除法
41．观察下列等式：
①；②；③；…
（1）类比上述等式，写出第⑤个等式： ；
（2）观察这类等式的规律，写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示，n为正整数），并给出证明．
42．．
43．如图，数轴上右边两个边长为1的小正方形可以通过拆分拼接成左边一个大正方形．
（1）这个大正方形的边长为 ；
（2）作图：在如图数轴上作出实数“”对应的点P（要求保留作图痕迹）；
（3）在（2）的基础上，在答题卷备用图数轴上通过尺规作图来判断是正数还是负数？
▉题型16 分母有理化
44．已知a，b，则a与b的关系是（ ）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
45．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，② 1，③b，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
46．若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“+”“﹣”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
▉题型17 同类二次根式
47．若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
48．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
▉题型18 二次根式的加减法
49．下列等式中，能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
50．下列计算正确的是（ ）
A．2 B．431
C． D．2
51．综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 是关于1的平衡数；与 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值；
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
▉题型19 二次根式的混合运算
52．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
53．学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式＝a+1﹣a＝1；
小芳：解：原式＝a+|1﹣a|，∵a＞1，∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1．
（1） 的解法是正确的；
（2）化简：，其中a＜0，b＜0．
54．下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：a11，
特例2：a2，
特例3：a32，
特例4：a42，
特例5： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，求a1+a2+a3+…+a20的值．
▉题型20 二次根式的化简求值
55．已知a，b，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A．a+b B．2a C．2b D．ab
56．已知，，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）xy．
57．先化简，再求值：，其中：．
▉题型21 二次根式的应用
58．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从a（m）高空抛物到落地所需时间为t1，从2a（m）高空抛物到落地所需时间为t2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
59．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知S1＝48，S2＝32，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
60．综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，△ABC的面积为 ；
（2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：S，其中p（a+b+c）；
秦九韶公式：S．
（3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．专题02 实数
题型1 平方根 题型2 算术平方根
题型3 非负数的性质：算术平方根 题型4 立方根
题型5 计算器—数的开方 题型6 无理数
题型7 实数 题型8 实数的性质
题型9 实数与数轴 题型10 实数大小比较
题型11 二次根式的定义 题型12 二次根式有意义的条件
题型13 二次根式的性质与化简 题型14 最简二次根式
题型15 二次根式的乘除法 题型16 分母有理化
题型17 同类二次根式 题型18 二次根式的加减法
题型19 二次根式的混合运算 题型20 二次根式的化简求值
题型21 二次根式的应用
▉题型1 平方根
1．16的平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±2
【答案】C
【解答】解：16的平方根是±4，
故选：C．
2．若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．16 D．9
【答案】D
【解答】解：因为2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，
所以2m﹣5+3m﹣15＝0，
解得m＝4，
所以2m﹣5＝3，3m﹣15＝﹣3，
所以这个数是9．
故选：D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．任何数都有平方根 B．﹣16的平方根是﹣4
C．0的平方根是0 D．4的平方根是2
【答案】C
【解答】解：A、负数没有平方根，选项说法错误，不符合题意；
B、﹣16没有平方根，选项说法错误，不符合题意；
C、0的平方根是0，选项说法正确，符合题意；
D、4的平方根是±2，选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
▉题型2 算术平方根
4．下列说法错误的是（ ）
A．﹣4是16的平方根
B．17是（﹣17）2的算术平方根
C．的算术平方根是
D．0.9的算术平方根0.03
【答案】D
【解答】解：A、∵16的平方根有4和﹣4两个，∴﹣4是16的一个平方根，故此选项正确；
B、∵（﹣17）2＝172，172的算术平方根是17，故此选项正确；
C、的算术平方根是，故此选项正确；
D、∵0.032＝0.009，∴0.009的算术平方根是0.03，故此选项错误；
故选：D．
5．设a，b，则用含a，b的式子表示，可得（ ）
A．25ab B．5 C．5ab D．25
【答案】C
【解答】解：∵a，b，
∴ab，
即ab，
∴55ab，
故选：C．
6．已知，若n是整数，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
∴m的值可能是，
故选：D．
▉题型3 非负数的性质：算术平方根
7．已知实数m，n满足，则n+2m的值为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．0
【答案】A
【解答】解：∵，
∴n﹣2＝0，m﹣1＝0，
∴m＝1，n＝2，
∴n+2m＝2+2×1＝4．
故选：A．
8．若实数x，y满足，则（x+y）2025的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】B．
【解答】解：∵，
∴x+3＝0，y﹣4＝0，
∴x＝﹣3，y＝4，
∴（x+y）2025＝（﹣3+4）2025＝1．
故选：B．
9．对两个整式A＝a﹣b，B＝a+b进行如下操作：将B加上A，结果为C1＝2a，称为第1次操作；将第1次操作的结果C1加上2B，结果为C2＝4a+2b，称为第2次操作；将第2次操作的结果C2加上3A，结果为C3＝7a﹣b，称为第3次操作；将第3次操作的结果C3加上4B，结果为C4＝11a+3b，称为第4次操作 ．下列说法正确的个数有（ ）
①第5次操作的结果为：C5＝16a﹣2b；
②若，则C198＝19602；
③若a2﹣2ab+b2＝0，则C2023＝C2024．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：根据题意可知：第1次操作：C1＝B+A＝a+b+a﹣b＝2a，
第2次操作：C2＝C1+2B＝2a+2a+2b＝4a+2b，
第3次操作：C3＝C2+3A＝4a+2b+3a﹣3b＝7a﹣b，
第4次操作：C4＝C3+4B＝7a﹣b+4a+4b＝11a+3b，
第5次操作：C5＝C4+5A＝11a+3b+5a﹣5b＝16a﹣2b；
故①正确；
由题意可知规律：C2﹣C1＝2B，C3﹣C2＝3A，C4﹣C3＝4B，C5﹣C4＝5A，C6﹣C5＝6B，C7﹣C6＝7A，…，C11﹣C10＝11A，C12﹣C11＝12B，…，C85﹣C84＝85A，…，C198﹣C197＝198B，…，
∵，
∴a﹣1＝0，b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，
∴A＝a﹣b＝1﹣（﹣1）＝2，B＝a+b＝1﹣1＝0，
此时，（ C2﹣C1）+（C3﹣C2）+…+（C82﹣C81）+…+（C198﹣C197）＝2B+3A+4B+5A+…+197A+198B，
∴C198﹣C1＝3A+5A+…+197A+2B+4B+…+198B＝2×（3+5+…+197）＝219600，
∴C198＝19600+C1＝19600+2a＝19600+2＝19602，
故②正确；
③∵a2﹣2ab+b2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴C2024﹣C2023＝2024B＝2024（a+b）＝4048a，
∴当a＝0时，C2023＝C2024；
故③错误；
故选：C．
▉题型4 立方根
10．如图，某港口有一个体积为27m3的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为216m3的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，改造前集装箱的棱长为：，
改造后集装箱的棱长为：，
∵6÷3＝2，
∴棱长应变为原来的2倍．
故选：A．
11．解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）8（x+1）3﹣27＝0．
【答案】（1）x＝5或x＝﹣1；
（2）x．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝±3，
x＝5或x＝﹣1；
（2）8（x+1）3﹣27＝0，
8（x+1）3＝27，
，
，
x．
12．已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．
（1）求a和b的值；
（2）求2a﹣b2+17的立方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得x＝4，
∴2x﹣2＝6，
∴a＝62＝36，
∵a﹣4b的算术平方根是4，
∴a﹣4b＝16，
∴b＝5；
（2）∵2a﹣b2+17＝2×36﹣52+17＝64，
而64的立方根是4，
∴2a﹣b2+17的立方根为4．
▉题型5 计算器—数的开方
13．利用计算器计算出的如表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
根据以上规律，若3.81，，则（ ）
A．38.1 B．381 C．12 D．120
【答案】A
【解答】解：被开方数的小数点每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
若3.81，，
∴1450＝14.5×100，
∴，
故选：A．
14．用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（ ）
A．计算，按键：
B．计算，按键：
C．计算，按键：
D．计算，按键：
【答案】B
【解答】解：求 的按键顺序是：，（，2，÷，3，），故选项A不正确，不符合题意；
求的按键顺序是：，3，+，1，故选项B正确，符合题意；
求的按键顺序是：2ndF，，﹣，2，故选项C不正确，不符合题意；
求的按键顺序是：2ndF，，1，．，2，故选项D不正确，不符合题意．
故选：B．
15．估算： 5.1 ．（精确到0.1）
【答案】5.1
【解答】解：5.1．
故答案为：5.1．
▉题型6 无理数
16．下列八个实数：，，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解答】解：3，2，4，
实数，，，，，3.14159265，，0.101001000100001…中，无理数有，，0.101001000100001…共3个．
故选：A．
17．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：3，
无理数为．
故选：C．
18．f（x）＝ex是一个数学函数，它表示自然数e的指数次幂．其中自然数e是一个无理数（e＝2.718281828459045 ）则在下列实数中，（ ）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
【答案】D
【解答】解：根据无理数的定义可得，是无理数．
故选：D．
▉题型7 实数
19．下列实数中，是负数的是（ ）
A． B．﹣3 C．0.1 D．
【答案】B
【解答】解：A、是正数不是负数，不符合题意；
B、﹣3是负数，符合题意；
C、0.1是正数，不符合题意；
D、是正数，不符合题意．
故选：B．
20．实数，，，，，0.12，中，分数的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．7个
【答案】B
【解答】解：所给实数中，分数有，，0.12，，共4个，
故选：B．
21．圆周率日（Piday）是一年一度的庆祝圆周率π的节日，由圆周率π最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率π是（ ）
A．分数 B．负数 C．有理数 D．无理数
【答案】D
【解答】解：π是无限不循环小数，所以是无理数，
故选：D．
▉题型8 实数的性质
22．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：的绝对值是，
故选：C．
23．手机通用的信号强度单位是dBm（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列表示信号最强的是（ ）
A．﹣7 B． C．﹣2 D．﹣9
【答案】C
【解答】解：∵﹣2，，
∴|﹣2|＜||＜|﹣7|＜|﹣9|，
∴﹣27＞﹣9，
则信号最强的是﹣2，
故选：C．
24．实数﹣5的倒数是（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵﹣5×（）＝1，
∴﹣5的倒数是，
故选：C．
▉题型9 实数与数轴
25．如图，直角三角形OBC的直角边BC的长为1，线段OB绕点O旋转，使点B落在数轴上并记为点A，则数轴上点A表示的实数是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意得：OC＝2，
∴OB，
∵线段OB绕点O旋转，使点B落在数轴上并记为点A，
∴OA＝OB，
∴数轴上点A表示的实数是．
故选：D．
26．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）
（1）abc＞0；（2）﹣c＞a＞﹣b；（3）；（4）|c|＞|a|
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得c＜﹣2＜b＜0＜1＜a，|c|＞|a|＞|b|，
∴（1）abc＞0，正确；
（2）﹣c＞a＞﹣b，正确；
（3），错误；
（4）|c|＞|a|，正确．
故选：C．
27．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由条件可知正方形的边长为，
∴，
∴点E表示的数为．
故选：D．
▉题型10 实数大小比较
28．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
29．下列四个数中，比大的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【解答】解：A、，负数的绝对值越大，本身便越小，则，符合题意；
B、，负数的绝对值越小，本身便越大，则，不符合题意；
C、，则，不符合题意；
D、，则，不符合题意，
故选：A．
30．在，0，﹣3，﹣π中，最小的实数是（ ）
A． B．0 C．﹣3 D．﹣π
【答案】D．
【解答】解：∵﹣π＜﹣3＜0，
∴最小的数是：﹣π．
故选：D．
▉题型11 二次根式的定义
31．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：2，
∵是整数，
∴n的最小值是5，
故选：D．
32．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、被开方数为负数，没有意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、是二次根式，故此选项符合题意；
C、根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、当x﹣1＜0时不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
33．下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：①是二次根式；
②，当x＜0时，2x＜0，无意义，故不是二次根式；
③，当x＜0时，x3＜0，无意义，故不是二次根式；
④，﹣5＜0，无意义，故不是二次根式；
⑤不符合二次根式的定义，故不是二次根式；
∴二次根式有1个．
故选：A．
▉题型12 二次根式有意义的条件
34．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
【答案】A
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故选：A．
35．二次根式有意义的条件是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【答案】B
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
▉题型13 二次根式的性质与化简
36．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、±±2，故该项不正确，不符合题意；
B、3，故该项不正确，不符合题意；
C、2，故该项不正确，不符合题意；
D、3，故该项正确，符合题意；
故选：D．
37．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：由数轴可知：5＜a＜10，
∴a﹣4＞1，a﹣11＜﹣1，
∴原式＝|a﹣4|+|a﹣11|
＝（a﹣4）﹣（a﹣11）
＝a﹣4﹣a+11
＝7，
故选：A．
▉题型14 最简二次根式
38．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A：3，故A错误；
选项B和选项D，一个有分母，一个有小数，都不是最简二次根式，故B和D错误；
选项C：是最简二次根式．
故选：C．
39．已知，，，A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求代数式的值．
【答案】3．
【解答】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且A+B＝C，
则3x﹣1＝x+3，
解得：x＝2，
那么A，B＝3，
则A+B＝4，
那么7x+6y＝80，
即14+6y＝80，
解得：y＝11，
原式3．
40．已知y，求（x﹣y）2023的值．
【答案】﹣1．
【解答】解：由题意，∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
又∵3﹣x≥0，
∴x≤3．
∴x＝3．
∴y＝4．
∴（x﹣y）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
▉题型15 二次根式的乘除法
41．观察下列等式：
①；②；③；…
（1）类比上述等式，写出第⑤个等式： ；
（2）观察这类等式的规律，写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示，n为正整数），并给出证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解答】解：（1）由题意知，第⑤个等式为．
故答案为：；
（2））由题意知，第n个等式为，
证明：左式，
右式＝n+1，
∴左式＝右式，等式成立．
故答案为：．
42．．
【答案】．
【解答】解：
．
43．如图，数轴上右边两个边长为1的小正方形可以通过拆分拼接成左边一个大正方形．
（1）这个大正方形的边长为 ；
（2）作图：在如图数轴上作出实数“”对应的点P（要求保留作图痕迹）；
（3）在（2）的基础上，在答题卷备用图数轴上通过尺规作图来判断是正数还是负数？
【答案】（1）；
（2）详见解答；
（3）3﹣2 是正数．
【解答】解：（1）大正方形的边长恰好是边长为1的正方形的对角线，
所以大正方形的边长为，
故答案为：；
（2）如图，设原点为O，以点O为圆心，以OA为半径画弧交数轴的正半轴于点P，则点P所表示的数是；
（3）3﹣2是正数，作图验证如下：
如图，由（2）可得OP，再在点P的右侧的数轴上截取PQ＝OP，
则OQ＝2，此时点Q在数轴上表示3的点的左侧，
即3＞2，
所以3﹣2 是正数．
▉题型16 分母有理化
44．已知a，b，则a与b的关系是（ ）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
【答案】A
【解答】解：b，a，
故选：A．
45．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，② 1，③b，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴①，原计算错误；
② 1，正确；
③b，正确．
故选：B．
46．若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“+”“﹣”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、，不符合题意；
B、（2） （2）22＝5﹣4＝1，不符合题意；
C、，
，
，
，
无论中间是哪种运算符号，运算结果均不为有理数，符合题意；
D、，不符合题意．
故选：C．
▉题型17 同类二次根式
47．若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：3，
∵与最简二次根式能合并，
∴m+1＝2，
∴m＝1．
故选：B．
48．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、2与不是同类二次根式，不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，不符合题意；
C、2，与是同类二次根式，符合题意；
D、a，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
▉题型18 二次根式的加减法
49．下列等式中，能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
C、a﹣b，而为最简二次根式，故本选项错误；
D、 ，故本选项正确．
故选：D．
50．下列计算正确的是（ ）
A．2 B．431
C． D．2
【答案】D
【解答】解：A.2，故此选项不合题意；
B.43，故此选项不合题意；
C.无法合并，故此选项不合题意；
D.22，故此选项符合题意；
故选：D．
51．综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 ﹣2 是关于1的平衡数；与 ﹣3 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值；
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，4+（﹣2）＝2，5（﹣3）＝2，
∴4与﹣2是关于1的平衡数，5与﹣3是关于1的平衡数；
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）∵m与n是关于1的平衡数，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，
∴，
解得；
（3）不是，
∵（m）×（1）＝mm3，
又∵（m）×（1）＝﹣5+3，
∴mm3＝﹣5+3，
∴mm＝﹣2+2，
即 m（1）＝﹣2（1），
∴m＝﹣2，
∴（m）+（5）＝（﹣2）+（5）＝3，
∴（﹣2）与（5）不是关于1的平衡数．
▉题型19 二次根式的混合运算
52．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）9；
（3）．
【解答】解：（1）原式＝2
；
（2）原式＝8+41﹣3
＝9；
（3）原式＝2×2
＝4
＝4
．
53．学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式＝a+1﹣a＝1；
小芳：解：原式＝a+|1﹣a|，∵a＞1，∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1．
（1） 的解法是正确的；
（2）化简：，其中a＜0，b＜0．
【答案】（1）小芳；
（2）ab+b．
【解答】解：（1）当a＞1时，aa+|1﹣a|＝a+a﹣1＝2a﹣1，
所以小芳的解法正确．
故答案为：小芳；
（2）原式
＝|ab|﹣|b|，
∵a＜0，b＜0，
∴原式＝ab+b．
54．下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：a11，
特例2：a2，
特例3：a32，
特例4：a42，
特例5： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，求a1+a2+a3+…+a20的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由题意得：特例5为：，
故答案为：；
（2）∵a11，
a2，
a32，
a42，
...，
∴，
故答案为：；
（3）a1+a2+a3+…+a20
．
▉题型20 二次根式的化简求值
55．已知a，b，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A．a+b B．2a C．2b D．ab
【答案】D
【解答】解：∵，
∴ab，
故选：D．
56．已知，，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）xy．
【答案】（1）
（2）4．
【解答】解：（1）∵，，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
；
（2）∵，，
∴xy
＝9﹣5
＝4．
57．先化简，再求值：，其中：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当时，原式＝4×（1）﹣3＝44﹣3＝41．
▉题型21 二次根式的应用
58．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从a（m）高空抛物到落地所需时间为t1，从2a（m）高空抛物到落地所需时间为t2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意得：，
∴，
故选：A．
59．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知S1＝48，S2＝32，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长，
∴重叠部分也是正方形，
∵三个小正方形的面积分别为48，32，8，
∴三个小正方形的边长分别为、、，
由题图知：大正方形的边长为：，
∴
．
故选：A．
60．综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，△ABC的面积为 ；
（2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：S，其中p（a+b+c）；
秦九韶公式：S．
（3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
【答案】（1），，，3.5；（2）作图见解析；△GHQ的面积为3；（3）．
【解答】解：（1）由题意，AB，BC，AC．
S△ABC＝S长方形DEFC﹣S△ADC﹣S△AEB﹣S△BCF
＝92×32×13×1
＝9﹣3﹣1﹣1.5
＝3.5．
故答案为：，，，3.5．
（2）由题意，可以作图如下．
S△GHQ＝S长方形ABQD﹣S△AGH﹣S△BGQ﹣S△DHQ
＝82×12×24×1
＝8﹣1﹣2﹣2
＝3．
答：△GHQ的面积为3．
（3）由题意，令，b，，
∴a2＝5，b2＝6，c2＝7．
∴
．
