专题01 勾股定理
题型1 勾股定理 题型2 勾股定理的证明
题型3 勾股定理的逆定理 题型4 勾股数
题型5 勾股定理的应用
▉题型1 勾股定理
1．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．7 D．25
【答案】D
【解答】解：由勾股定理得字母A所代表的正方形的面积为9+16＝25；
故选：D．
2．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
【答案】A
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝12，
∴π×（）2π×（）2AC×BCπ×（）2＝12，
∴AC×BC＝24，
AB2．
故选：A．
3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（ ）
A．184 B．86 C．119 D．81
【答案】B
【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
连接BD，在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝135﹣49＝86，
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
由勾股定理得：AC8，
∴cosA，
故选：A．
5．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
【答案】B
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD，
故选：B．
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列等式正确的是（ ）
A．a2＝b2+c2 B．a2＝2c2 C．c2＝2b2 D．b2＝2a2
【答案】C
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，
∴a＝b，a2+b2＝c2，
∴c2＝2b2，
故选：C．
7．如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB、BC两段构成，若BC段长度为8cm，点A，C之间的距离比AB段长2cm，则AB段的长度为（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
【答案】C
【解答】解：设AB为xcm，则AC＝（x+2）cm，
由题意可知，∠ABC＝90°，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
即AB段的长度为15cm，
故选：C．
8．如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ）
A．8 B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：如图，连接AC，
∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，
∴AB＝2，AC＝1，AD＝2，DE＝1，
∴BC＝AE，
∴按此手势解锁一次的路径长为：AB+BC+CD+DE+AE＝21+14+2．
故选：B．
9．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（ ）
A． B． C．或 D．15
【答案】B
【解答】解：当AC＝AB＝4时，
过A作AE⊥BC，交BC于点E，
，
∵BC＝6，
∴BE＝CE＝3，
由勾股定理，AE，
S△ABCAE×BC＝3，
当CA＝CB＝6时，
∵AC不满足小于AD+CD，
∴此种情况不存在，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC且AD⊥BC于D，EF垂直平分AC，与BC交于E，与AC交于F，若AB＝5，BC＝8，则ED的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接AE，
由线段垂直平分线可知，AE＝CE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴，
由勾股定理可得，，
设AE＝CE＝x，则DE＝4﹣x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得：，
即．
故选：B．
▉题型2 勾股定理的证明
11．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：由题意得DH＝AE＝6，
∵AD＝10，
∴AH8，
∴EH＝AH﹣AE＝2，
∴小正方形的边长EF为2，
故选：D．
12．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：，
∴，
∴（a﹣b）2＝30﹣14＝16，
∴a﹣b＝4，
故选：C．
13．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意知，3+4＝7≠5，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
14．意大利著名画家达 芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由图可得：S2＝S1，，
故选：C．
15．将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解答】解：由图2可知，大正方形的面积＝5×5＝25，图3中小正方形的面积＝1×1＝1，
设直角三角形的较长边为a，较短边为b，
则由图2可得a2+b2+425，
即a2+b2+2ab＝25①，
由图3可得（a﹣b）2＝1，
即a2+b2﹣2ab＝1②，
联立①和②可得a2+b2＝13，
即图2中阴影部分的面积为13，
故选：C．
16．意大利文艺复兴时期的著名画家达 芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为14，S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠B'A'F'＝90°，则四边形B'C'E'F'的面积为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABGF、四边形CDEG是正方形，
∴GB＝GF，GC＝GE，∠BGF＝∠CGE＝90°，
∴∠BGC＝∠FGE＝90°，
在△BGC和△FGE中，
，
∴△BGC≌△FGE（SAS），
同理可证△BGC≌△B′A′F′≌△E′D′C′，
∴BC＝EF，B′C′＝B′F′＝F′E′＝E′C′，设BC＝EF＝c，
∴四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′＝c，
∵∠DEF＝∠A′F′E′，∠OEF＝∠A′F′B′，
∴∠B′F′E′＝90°，
∴四边形B′C′E′F′是正方形，
∵S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1，
∴设S正方形ABGF＝4m，S正方形CDEG＝1m，
∴FG＝2，EG，
∵六边形ABCDEF的面积为14，
∴4m+m+2214，
∴m＝2，
∴EF，
∴E′F′＝EF，
∴四边形B′C′E′F′的面积＝10．
故选：B．
17．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（ ）
A．121 B．110 C．100 D．90
【答案】B
【解答】解：如图，延长AB与KL相交于点O，延长AC与ML相交于点P，
∵∠BAC＝90°，
∴AC4，
∵∠ABC+∠ACB＝∠ABC+∠OBF＝90°，
∴∠ACB＝∠OBF，
在△ABC和△OFB中，
，
∴△ABC≌△OFB（AAS），
同理△ABC≌△QCG≌△LGF≌△NFB，
∴GP＝FL＝AC＝4，LG＝OF＝AB＝3，
又∵PM＝CH＝AC＝4，KO＝EB＝AB＝3，
∴ML＝4+4+3＝11，KL＝3+3+4＝10，
∴长方形KLMJ的面积＝10×11＝110．
故选：B．
18．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设CE＝a，HG＝b，则正方形BDFA的面积是（ ）
A． B． C．a2﹣b2 D．a2+b2
【答案】B
【解答】解：设CD＝x，则DE＝a﹣x，
∵HG＝b，
∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，
∴x，
∴BC＝DE＝a，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2，
∴正方形BDFA的面积为．
故选：B．
19．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性．这种验证方法体现了我们数学的（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．方程思想 D．类比思想
【答案】B
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：B．
20．如图，四个全等的直角三角形围成了正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点P，Q．已知，正方形ABCD的面积为30，则图中阴影部分面积和为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，∠AEP＝∠CGQ＝∠CFP＝90°，AE＝CG＝BF，BE＝CF，
∴AE∥CF，BE∥DG，EF＝GF，
∴∠EAP＝∠GCQ，
∴△AEP≌△CGQ（ASA），
∴EP＝GQ，S△AEP＝S△CGQ，
∵，
∴设AE＝x，则AE＝CG＝BF＝x，BE＝CF＝3x，
∴EF＝GF＝CF﹣CG＝2x，
∴S△FGQ＝2S△CGQ＝S△AEP+S△CGQ，
∴阴影部分的面积之和＝S梯形GQPF（GQ+PF）GF（EP+PF） GFEF GF（2x）2＝2x2，
∵正方形ABCD的面积为30，
∴AE2+BE2＝AB2即x2+9x2＝30，
∴x2＝3，
∴阴影部分的面积之和为6．
故选：A．
▉题型3 勾股定理的逆定理
21．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13
【答案】A
【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故错误．
故选：A．
22．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．，，
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝2∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B+∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴A可以判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，
∴B不能判定△ABC是直角三角形，符合题意；
∵a＝5，b＝12，c＝13，
∴a2＝25，b2＝144，c2＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴C可以判定△ABC是直角三角，不符合题意；
∵，，，
∴a2＝5，b2＝2，c2＝3，
∴c2+b2＝c2，
∴D可以判定△ABC是直角三角；不符合题意．
故选：B．
23．依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A．52+122＝132，是直角三角形，故本选项符合题意；
B．42+52≠82，不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．22+22≠32，不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．（）2+（）2≠（）2，不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
24．下列哪个选项不能判断△ABC是直角三角形（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C
B．三个内角的度数之比是3：4：5
C．
D．三角形的三条边之比是5：12：13
【答案】B
【解答】解：A．由∠A＝90°﹣∠C可得∠A+∠C＝90°，即∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意；
B．设三个内角读数为3x°，4x°，5x°，则3x+4x+5x＝180，解得x＝15，最大角为75°，则△ABC不是直角三角形，故该选项符合题意；
C．设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则x+2x+3x＝180，解得x＝30，最大角为90°，则△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意；
D．设三条边是5x，12x，13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，则△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B．
25．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30m，40m和50m，已知40m长的边线为南北向，则30m长的边线方向为（ ）
A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向
【答案】A
【解答】解：如图，
∵402+302＝502，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵AC为南北向，
∴BC为东西向，
故选：A．
26．在如图的网格中，以AB为一边画Rt△ABC，则满足条件的格点C共有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】B
【解答】解：如图所示，
当AB是斜边时，点C、D、E、H均可以使得三角形为直角三角形，
如△ABC，AC＝1，BC＝3，AB，
则AC2+BC2＝AB2，故△ABC为直角三角形，
同理可得△ABH、△ABE、△ABD也是直角三角形；
当AB为直角边时，点G、F均可以使得三角形为直角三角形，
如△ABF，AF，AB，BF2，
则AF2+AB2＝BF2，故△ABF为直角三角形，
同理可得△ABG是直角三角形；
由上可得，满足条件的格点C共有6个，
故选：B．
27．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【答案】B
【解答】解：A、22+32＝14，42＝16，
∵14≠16，
∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长；
B、32+42＝25，52＝25，
∵25＝25，
∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长；
C、42+52＝41，62＝36，
∵41≠36，
∴4，5，6不能作为直角三角形的三边长；
D、52+62＝61，72＝49，
∵61≠49，
∴5，6，7不能作为直角三角形的三边长．
故选：B．
28．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵72＝49，152＝225，202＝400，242＝576，252＝625，
∴72+242＝252，152+202＝252，
∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，
故选：C．
29．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A＝2∠B＝3∠C；④a：b：c＝3：4：5；⑤∠A＝∠C﹣∠B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x、∠B＝2x、∠C＝3x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①能判断△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故②能判断△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴设∠C＝x，则∠A＝3x，，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，解得，
∴，，，
∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5；
∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∴a2+b2＝（3x）2+（4x）2＝25x2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故④能判断△ABC是直角三角形；
⑤∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠C＝∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故⑤能判断△ABC是直角三角形；
∴能判断△ABC是直角三角形有①②④⑤，共4个，
故选：D．
30．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、C两处相距3米，B、C两处相距4米，A、B两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段AC、BC铺设2段水管；
八（2）班方案：过点C作CD⊥AB于点D，沿线段CD，AD，BD铺设3段水管；
（1）求证：AC⊥BC；
（2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
【答案】（1）证明：∵AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2＝25，
∴△ABC为直角三角形，
∴AC⊥BC；
（2）选用八（1）班方案，
理由：方案一所需水管长度为：AC+BC＝3+4＝7（米）；
方案二所需水管长度如下：
由（1）得AC⊥BC，且CD⊥AB，由等面积法可得，
（米），
∴CD+AD+BD＝CD+AB＝2.4+5＝7.4（米）；
∵7＜7.4，
∴方案一所用的水管少，
故选用八（1）班方案．
【解答】（1）证明：∵A、C两处相距3米，B、C两处相距4米，A、B两处相距5米，
∴AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2＝25，
∴△ABC为直角三角形，
∴AC⊥BC；
（2）解：选用八（1）班方案，理由如下：
方案一所需水管长度为：AC+BC＝3+4＝7（米）；
方案二所需水管长度如下：
由（1）得AC⊥BC，且CD⊥AB，由等面积法可得，
（米），
∴CD+AD+BD＝CD+AB＝2.4+5＝7.4（米）；
∵7＜7.4，
∴方案一所用的水管少，
故选用八（1）班方案．
31．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∠D是直角．
理由：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四边形ABCDAB BCAD CD，
，
＝234．
▉题型4 勾股数
32．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25
【答案】B
【解答】解：A、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意；
B、52+122＝132，正确，是勾股数，符合题意；
C、82＝64≠62+72，错误，不是勾股数，不符合题意；
D、82+242≠252，错误，不是勾股数，不符合题意
故选：B．
33．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
【答案】C
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
34．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（ ）
A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
【答案】B
【解答】解：A、∵a：b：c＝7：24：25，
∴设a＝7k，b＝24k，c＝25k，
∵a2+b2＝（7k）2+（24k）2＝625k2，c2＝（25k）2＝625k2，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
故不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故符合题意；
C、∵a，b，c长分别为6，8，10，
∴a2+b2＝c2，且a，b，c长都是正整数，
∴a，b，c是一组勾股数．
故不符合题意；
D、∵∠A﹣∠B＝∠C①，
∠A+∠B+∠C＝180°②，
将①代入②得：2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意．
故选：B．
35．勾股定理a2+b2＝c2可以看作一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1）…，通过分析上面规律，可得第9个勾股数组为（ ）
A．（9，19，20） B．（9，40，41）
C．（19，60，61） D．（19，180，181）
【答案】D
【解答】解：3＝2×1+1，4＝1×（3+1）＝1×（2×1+1+1），
5＝2×2+1，12＝2×（5+1）＝2×（2×2+1+1），
7＝2×3+1，24＝3×（7+1）＝3×（2×3+1+1），
……
2×9+1＝19，9×（2×9+1+1）＝180，
则第9个勾股数组为（19，180，181），
故选：D．
36．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a＝42时，b+c的值为（ ）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．722 B．800 C．882 D．968
【答案】C
【解答】解：由表格得规律：c＝b+2，
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，
将a＝42代入得，422+b2＝（b+2）2，
解得b＝440，
∴b+c＝882，
故选：C．
37．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】B
【解答】解：根据题意可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝m（m为偶数且m≥4），则另一条直角边，弦．
则弦为．
故选：B．
38．如果正整数a，b，c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数．某同学将探究勾股数的过程列成表格，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
a 3 8 15 24 … x
b 4 6 8 10 … 16
c 5 10 17 26 … y
A．67 B．98 C．128 D．73
【答案】C
【解答】解：由表格可知：c＝a+2，
∴y＝x+2，
∵x、16、y是勾股数，
∴x2+162＝y2，即x2+162＝（x+2）2，
解得x＝63，
∴y＝63+2＝65，
∴x+y＝63+65＝128．
故选：C．
39．已知m、x、y均为正整数，且x≠y，当m＝x2+y2时，我们称正整数m为“可媲美勾股数”，把x与y的积称为m的“勾股值”，用A（m）表示，即A（m）＝xy．例如：13＝32+22，A（13）＝3×2＝6，13就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值．
（1）下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有 ．
①5
②25
③49
（2）求A（65）﹣A（20）的值．
（3）已知正整数m为“可媲美勾股数”，且满足18＜m＜60，m的勾股值为，求m的值．
【答案】（1）①；
（2）20或0；
（3）m的值是29或45．
【解答】解：（1）①5＝22+12，则5是一个“可媲美勾股数”；
②25＝32+42，则25是一个“可媲美勾股数”；
③49＝72，则49不是一个“可媲美勾股数”；
故答案为：①②；
（2）∵20＝22+42，
当65＝42+72时，
∴A（65）＝4×7＝28，A（20）＝2×4＝8，
∵A（65）﹣A（20）＝28﹣8＝20；
当65＝12+82时，
∴A（65）＝1×8＝8，A（20）＝2×4＝8，
∵A（65）﹣A（20）＝8﹣8＝0；
综上，A（65）﹣A（20）的值是20或0；
（3）由题意得：m＝x2+y2（x≠y），A（m）＝xy，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝m﹣29，
∴x﹣y＝±3，
∴m＝（y+3）2+y2，
∵18＜m＜60，
∴当y＝2时，m＝52+22＝29，
当y＝3时，m＝62+32＝45，
综上，m的值是29或45．
40．观察下列等式．
第1个等式：（22﹣1）2+42＝52；
第2个等式：（32﹣1）2+62＝102；
第3个等式：（42﹣1）2+82＝172；
第4个等式：（52﹣1）2+102＝262．
（1）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上面的规律，并证明其正确性．
（2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，证明见解析；
（2）35，12，37．
【解答】解：（1）第1个等式：（22﹣1）2+42＝52；
第2个等式：（32﹣1）2+62＝102；
第3个等式：（42﹣1）2+82＝172；
第4个等式：（52﹣1）2+102＝262，
由题中等式的规律可得（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
证明：左边＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n+1）2＝右边．
（2）它的三边长能为勾股数，理由如下：
∵35＝36﹣1＝62﹣1，
把n＝6代入，得（62﹣1）2+（2×6）2＝（62+1）2，
即352+122＝372，
∴它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37．
▉题型5 勾股定理的应用
41．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B．20 C．15 D．
【答案】C
【解答】解：展开图：
12÷3＝4（米），
（米），
5×3＝15（米），
故选：C．
42．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（ ）
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
【答案】C
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5米，BC＝8米，
∴BE＝CEBC8＝4（米），
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE3（米），
由题意可知，AE≤AD＜AC，
即3米≤AD＜5米，
故这根木头需要长度可能是4米，
故选：C．
43．如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（ ）
A． B．1m
C．2m D．
【答案】A
【解答】解：∵AB＝25m，AO＝24m，
∴OB7（m），
∵OB＝7m，BD＝2m，
∴OD＝7﹣2＝5（m），
∵CD＝25m，
∴OC10（m），
∴，
故选：A．
44．如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（ ）米
A．15 B．12 C．10 D．6
【答案】B
【解答】解：∵梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，
∴梯子顶端离地面的距离为：（米），
故选：B．
45．如图，矩形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝8米，CD＝6米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B，D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（ ）米，踏之何忍”．
A．4 B．6 C．10 D．14
【答案】A
【解答】解：∵四边形BCFG是矩形，
∴∠C＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：，
∴BC+CD﹣BD＝8+6﹣10＝4（米），
∴牌子上写着“少走4米，踏之何忍”．
故选：A．
46．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．13m B．17m C．18m D．26m
【答案】B
【解答】解：∵高为5m，坡面长为13m的楼梯，
由勾股定理得：楼梯的水平宽度为：12（m），
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是12+5＝17（m）．
故选：B．
47．如图1，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．如图2，是秋千摆动过程示意图，其中O为秋千的绳索固定点，AC为部分地面平台，绳索OA＝OB，BD⊥OA，BD＝100米，AD＝80米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为（ ）
A．102.5米 B．103米 C．105.2米 D．110米
【答案】A
【解答】解：设OA＝OB＝x米，则OD＝（x﹣80）米，
∵BD⊥OA，
∴∠BDO＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（x﹣80）2+1002＝x2，
解得：x＝102.5，
故选：A．
48．如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度AB为16cm，支架脚BC的长度为12cm，当∠ABC＝90°时，可测得AC＝20cm，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是（ ）
A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm
【答案】D
【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，CF⊥AC于点F，如图所示：
∵CB平分∠ACD，
∴BE＝BF，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20cm，AB＝16cm，
由三角形的面积公式得：S△ABCAC BFAB BC，
∴BF9.6（cm），
∴BE＝BF＝9.6cm，
∴点B到CD的距离是9.6cm．
故选：D．
49．如图是两个型号的圆柱形笔筒，粗细相同，高度分别是8cm和12cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，则铅笔的长为（ ）
A．19cm B．21cm C．23cm D．25cm
【答案】C
【解答】解：粗细相同的笔筒高度分别是8cm和12cm，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，设铅笔长度为xcm，
依题意得：（x﹣4）2﹣82＝（x﹣2）2﹣122，
解得：x＝23，
故铅笔的长为23cm；
故选：C．
50．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为，
故选：C．
51．表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为（ ）
诗文： 波平如镜一湖面 半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中里 突遭狂风吹一边 离开原处二尺远 花贴湖面象睡莲
A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺，设AC的长度为x尺，则AB＝AB′＝（x+0.5）尺，
在直角三角形AB′C中，由勾股定理得：AC2+B′C2＝AB′2，
∴x2+22＝（x+0.5）2，
解得：x＝3.75，
∴AC的长度为3.75尺．
故选：B．
52．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．1≤a≤3 D．1≤a≤2
【答案】B
【解答】解：如图，
当直吸管底部在底面圆心O处时，罐内部分的长度最短为圆柱形的高，即OB＝12，
此时直吸管露在罐外部分a的长度为16﹣12＝4，
当直吸管底部在底壁A处时，罐内部分的长度最长为AB的长，
∴，
∴a的长度为16﹣13＝3，
即直吸管露在罐外部分a的长度范围是3≤a≤4，
故选：B．
53．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（米）．
故选：D．
54．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC＝3m）时，踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索AD的长度是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】C
【解答】解：DE＝0.5m，BF＝CE＝1.5m，设秋千绳索AD＝AB＝xm，
∴CD＝1m，
∴AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，BC＝3m，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣1）2+32＝x2，
解得：x＝5，
∴秋千绳索AD的长度是5m．
故选：C．
55．如图，已知钓鱼竿AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6米，某钓鱼者想看看鱼钩的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度为8米，则BB'的长为（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝10m，BC＝6m，
∴，
在Rt△AB'C'中，AC'＝10m，B'C'＝8m，
∴6（m），
∴BB'＝AB﹣AB'＝8﹣6＝2（m）；
故选：C．
56．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）．
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设芦苇的长度x尺，
则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，
由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2．
∴52+（x﹣1）2＝x2，
解得 x＝13，
∴OD＝13﹣1＝12
答：芦苇的长度为13尺，水池的深度为12尺；
（2）图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a，
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，
由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2．
∴a2+b2＝（b+n）2，
解得b．
57．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝8m，BC＝17m，CD＝9m，AD＝12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
【答案】（1）114m2；
（2）m．
【解答】解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC15（m），
∵CD＝9m，AD＝12m，
∴AD2+CD2＝122+92＝225＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，
∴需要绿化的空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACDAB×ACAD×CD8×1512×9＝114（m2）；
（2）∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴S△ABCBC×AEAB AC，
∴17×AE＝8×15，
解得：AE（m），
即小路AE的长为m．
58．如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7cm，且与摆锤在最低点时的水平距离为BC＝10cm，求钟摆AD的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设AB＝xcm，依题意得：BC＝10cm，CD＝CE﹣DE＝7﹣5＝2（cm），AC＝AD﹣CD＝（x﹣2）（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即（x﹣2）2+102＝x2，
解得：x＝26，
答：钟摆AD的长26cm．
59．我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m．
（1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△OCP≌△QDO，理由如下：
∵QD⊥BD，PC⊥BD，
∴∠QDO＝∠OCP＝90°，
∵∠POQ＝90°，
∴∠DOQ+∠Q＝90°＝∠DOQ+∠COP，
∴∠Q＝∠COP，
又∵OQ＝PO，
∴△OCP≌△QDO（AAS）；
（2）∵△OCP≌△QDO，
∴QD＝OC，
∵小丽到点Q，且小丽距离地面20m，
∴BD＝20m，
又∵AB＝10m，OA＝50m，
∴OD＝40m，
∴，
∴OC＝QD＝30m，
∴CD＝OD﹣OC＝10m，
∴两人所在座舱距离地面的高度差为10m．
60．如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC＝4.5m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD＝6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
【答案】树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下：
由题意可知，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
在Rt△ABC中，AC＝4.5m，AB＝12﹣4.5＝7.5（m），
由勾股定理得：BC6（m），
∵CD＝6.5m，CD＞BC，
∴树枝落地时不会砸着小轿车．
【解答】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下：
由题意可知，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
在Rt△ABC中，AC＝4.5m，AB＝12﹣4.5＝7.5（m），
由勾股定理得：BC6（m），
∵CD＝6.5m，CD＞BC，
∴树枝落地时不会砸着小轿车．专题01 勾股定理
题型1 勾股定理 题型2 勾股定理的证明
题型3 勾股定理的逆定理 题型4 勾股数
题型5 勾股定理的应用
▉题型1 勾股定理
1．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．7 D．25
2．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（ ）
A．184 B．86 C．119 D．81
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2.2 D．3
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列等式正确的是（ ）
A．a2＝b2+c2 B．a2＝2c2 C．c2＝2b2 D．b2＝2a2
7．如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB、BC两段构成，若BC段长度为8cm，点A，C之间的距离比AB段长2cm，则AB段的长度为（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
8．如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ）
A．8 B． C． D．1
9．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（ ）
A． B． C．或 D．15
10．如图，在△ABC中，AB＝AC且AD⊥BC于D，EF垂直平分AC，与BC交于E，与AC交于F，若AB＝5，BC＝8，则ED的长为（ ）
A． B． C．1 D．
▉题型2 勾股定理的证明
11．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
12．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
13．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
14．意大利著名画家达 芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
16．意大利文艺复兴时期的著名画家达 芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为14，S正方形ABGF：S正方形CDEG＝4：1．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠B'A'F'＝90°，则四边形B'C'E'F'的面积为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．4
17．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（ ）
A．121 B．110 C．100 D．90
18．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设CE＝a，HG＝b，则正方形BDFA的面积是（ ）
A． B． C．a2﹣b2 D．a2+b2
19．我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性．这种验证方法体现了我们数学的（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．方程思想 D．类比思想
20．如图，四个全等的直角三角形围成了正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点P，Q．已知，正方形ABCD的面积为30，则图中阴影部分面积和为（ ）
A．6 B．12 C． D．
▉题型3 勾股定理的逆定理
21．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13
22．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．，，
23．依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
24．下列哪个选项不能判断△ABC是直角三角形（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C
B．三个内角的度数之比是3：4：5
C．
D．三角形的三条边之比是5：12：13
25．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30m，40m和50m，已知40m长的边线为南北向，则30m长的边线方向为（ ）
A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向
26．在如图的网格中，以AB为一边画Rt△ABC，则满足条件的格点C共有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
27．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
28．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
29．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A＝2∠B＝3∠C；④a：b：c＝3：4：5；⑤∠A＝∠C﹣∠B．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、C两处相距3米，B、C两处相距4米，A、B两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段AC、BC铺设2段水管；
八（2）班方案：过点C作CD⊥AB于点D，沿线段CD，AD，BD铺设3段水管；
（1）求证：AC⊥BC；
（2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
31．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
▉题型4 勾股数
32．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25
33．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
34．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（ ）
A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
35．勾股定理a2+b2＝c2可以看作一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1）…，通过分析上面规律，可得第9个勾股数组为（ ）
A．（9，19，20） B．（9，40，41）
C．（19，60，61） D．（19，180，181）
36．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a＝42时，b+c的值为（ ）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．722 B．800 C．882 D．968
37．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
38．如果正整数a，b，c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数．某同学将探究勾股数的过程列成表格，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
a 3 8 15 24 … x
b 4 6 8 10 … 16
c 5 10 17 26 … y
A．67 B．98 C．128 D．73
39．已知m、x、y均为正整数，且x≠y，当m＝x2+y2时，我们称正整数m为“可媲美勾股数”，把x与y的积称为m的“勾股值”，用A（m）表示，即A（m）＝xy．例如：13＝32+22，A（13）＝3×2＝6，13就是一个“可媲美勾股数”，6是13的勾股值．
（1）下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有 ．
①5
②25
③49
（2）求A（65）﹣A（20）的值．
（3）已知正整数m为“可媲美勾股数”，且满足18＜m＜60，m的勾股值为，求m的值．
40．观察下列等式．
第1个等式：（22﹣1）2+42＝52；
第2个等式：（32﹣1）2+62＝102；
第3个等式：（42﹣1）2+82＝172；
第4个等式：（52﹣1）2+102＝262．
（1）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上面的规律，并证明其正确性．
（2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由．
▉题型5 勾股定理的应用
41．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B．20 C．15 D．
42．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（ ）
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
43．如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（ ）
A． B．1m
C．2m D．
44．如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（ ）米
A．15 B．12 C．10 D．6
45．如图，矩形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝8米，CD＝6米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B，D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（ ）米，踏之何忍”．
A．4 B．6 C．10 D．14
46．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．13m B．17m C．18m D．26m
47．如图1，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．如图2，是秋千摆动过程示意图，其中O为秋千的绳索固定点，AC为部分地面平台，绳索OA＝OB，BD⊥OA，BD＝100米，AD＝80米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为（ ）
A．102.5米 B．103米 C．105.2米 D．110米
48．如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度AB为16cm，支架脚BC的长度为12cm，当∠ABC＝90°时，可测得AC＝20cm，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是（ ）
A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm
49．如图是两个型号的圆柱形笔筒，粗细相同，高度分别是8cm和12cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，则铅笔的长为（ ）
A．19cm B．21cm C．23cm D．25cm
50．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
51．表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为（ ）
诗文： 波平如镜一湖面 半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中里 突遭狂风吹一边 离开原处二尺远 花贴湖面象睡莲
A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺
52．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．1≤a≤3 D．1≤a≤2
53．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
54．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC＝3m）时，踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索AD的长度是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
55．如图，已知钓鱼竿AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6米，某钓鱼者想看看鱼钩的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度为8米，则BB'的长为（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
56．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）．
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
57．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝8m，BC＝17m，CD＝9m，AD＝12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
58．如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7cm，且与摆锤在最低点时的水平距离为BC＝10cm，求钟摆AD的长度．
59．我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m．
（1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
60．如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC＝4.5m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD＝6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
