专题07 命题与证明
题型1 平行公理及推论 题型2 平行线的性质
题型3 平行线的判定与性质 题型4 命题与定理
题型5 反证法
▉题型1 平行公理及推论
1．如图是一个可折叠衣架，AB是地平线，当PM∥AB，PN∥AB时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角的补角相等
C．平行于同一直线的两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
2．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
3．下列结论正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．不相交的两条直线必平行
4．如图，在同一平面内，过点A作直线m的平行线，能画（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
5．如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．平行于同一条直线的两条直线平行
6．若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
▉题型2 平行线的性质
7．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若∠1＝62°，则∠2的度数为（ ）
A．12° B．16° C．24° D．26°
8．如图，AB∥CD，AE能平分∠BAC交CD于点E，若∠C＝48°，则∠AED的度数是（ ）
A．66° B．104° C．114° D．132°
9．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点A，B，C都在平行线上．若BC＝1，则AB的长是（ ）
A． B． C．1 D．
10．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．请解答下列各题：
（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 ，∠2＝∠4，依据是 ．
②反射光线BC与EF平行，依据是 ．
（2）解决问题：
如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝ ；∠3＝ ．
12．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，环保人士倡导大家使用共享单车．图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中AB∥l，CD∥l，∠BCD＝72°，∠BAC＝50°．若AM∥BC，求∠MAC的度数．
13．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板．
（1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数；
（2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数；
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）．
▉题型3 平行线的判定与性质
14．如图所示，l∥m，长方形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α的度数为（ ）
A．65° B．20° C．25° D．35°
15．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（ ）
A．270° B．250° C．230° D．180°
16．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
17．如图是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角∠A＝100°，第三次的拐角∠C＝150°，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角∠B的度数为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．180°
18．如图1，已知AB是一块平面镜，光线PO在平面镜AB上经点O反射后，形成反射光线OQ，我们称PO为入射光线，OQ为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠1＝∠2．如图2，OM和ON是两块平面镜，入射光线AB经过两次反射后，得到反射光线CD．则下列判断错误的是（ ）
A．若α＝60°，则∠OBC＝60° B．若BC⊥CD，则β＝45°
C．若α＝β，则AB∥CD D．若AB∥CD，则α+β＝90°
19．下列选项正确的是（ ）
A．将近似数64.95精确到0.1，其近似值为65.0
B．﹣x比x小
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．﹣（﹣2）+|﹣2|＝0
20．嘉嘉在证明“平行于同一条直线的两条直线也平行”时，给出了如下的证明过程，淇淇为保证嘉嘉的证明更严谨，想在“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（ ）
已知：如图，b∥a，c∥a． 求证：b∥c． 证明：作直线DF分别交直线a、b、c于点D、E、F． ∵a∥b， ∴∠1＝∠4． 又∵a∥c， ∴∠1＝∠5， ∴b∥c．
A．嘉嘉的证明严谨，不需要补充
B．应补充“∴∠2＝∠5”
C．应补充“∴∠4＝∠5”
D．应补充“∴∠3+∠5＝180°”
21．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠D＝∠B，AD∥CB，求证：AB∥CD．
22．根据解答过程填空：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠ACB＝∠4．
证明：∵∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠ ＝∠ （同角的补角相等），
∴ ∥ （内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（ ），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（ ），
∴DE∥BC（ ），
∴∠ACB＝∠4（ ）．
23．旅发大会期间，衡阳市对湘江两岸的灯光进行了提质改造，让城市夜景焕然一新．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射营造氛围．若灯A转动的速度是每秒3°，灯B转动的速度是每秒1°，假定湘江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2．
（1）填空：∠BAN＝ ．
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，设转动时间为t秒，则在灯B射线首次到达BQ之前，请直接写出所有符合题意的t值．（图2仅起到举例作用，不代表C具体位置）
▉题型4 命题与定理
24．下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．全等三角形的三条对应边相等
C．在角的内部，角平分线上的点到这个的两边的距离
D．对顶角相等
25．命题“若x2＞y2，则x＞y．”下列选项中x，y的值，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．x＝4，y＝3 B．x＝3，y＝0 C．x＝2，y＝﹣1 D．x＝﹣2，y＝﹣1
26．下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一条直线的两条直线平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a D．a＝3.14
28．对于命题“若x2＞y2，则x＞y．”下列关于x，y的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．x＝3，y＝4 B．x＝﹣4，y＝3 C．x＝4，y＝﹣3 D．x＝﹣3，y＝4
29．如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C．
（1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
（2）选择你写的一个真命题写出证明过程．
30．学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作∠ABC的平分线，交AC于点E．（不写作法，保留作图痕迹）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，CD平分∠ACB交AB于点D．
求证：BE＝CD．
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴① ，
又∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴，② ．
∴∠EBC＝∠DCB．
又∵BC＝③ ，
∴△EBC≌△DCB（ASA）．
∴BE＝CD．
小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
等腰三角形两腰上的高线的长度④ ．
31．如图，在∠AOB内，点P是射线OM上一点，点C、D分别在OA、OB上，给出下列三个信息，①OM是∠AOB的平分线；②PC⊥OA，PD⊥OB；③OC＝OD．请选择其中两个作为条件，第三个作为结论构成一个真命题．
（1）条件 ，结论 .（填序号）
（2）请对（1）所写的命题加以证明．
32．如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，且∠1＝∠2．
（1）求证：BC∥DE；
（2）若命题“已知∠CDE＝ ，则∠B＝40°”是真命题，请填空，并说明理由．
33．阅读理解，观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若 ，则；反之也成立．
（2）根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
34．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式： ．
（2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图，a⊥l， ．
求证： ．
▉题型5 反证法
35．用反证法证明：若abc＝0，则a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至多一个为0 D．a，b，c三个都为0
36．用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设（ ）
A．a2＜b2 B．a2＝b2 C．a2≤b2 D．a2≥b2
37．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确顺序的序号为（ ）
A．③②① B．①③② C．②③① D．③①②
38．用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C
39．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（ ）
A．没有一个内角为钝角
B．三个内角都是锐角
C．至少有一个内角为钝
D．至少有两个内角为钝角
40．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠PBC≠∠PCB
41．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，则应先假设（ ）
A．三角形中没有内角大于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中三个内角都大于60°
D．三角形中有两个内角大于60°
42．下列说法中，正确的结论有（ ）
①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
③“对顶角相等”的逆命题是真命题；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
43．下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4b，4c也是一组勾股数；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
44．阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠ABC．
证明：假设∠ACB≤∠ABC，
①若∠ACB＜∠ABC，则在BC上取点D，联结AD，使∠ADB＝∠B．
∵∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
在AC上取点E，使AE＝AD，则AC＝AE+CE＝AD+CE＞AD，
即：AC＞AD，
∴AC＞AB．
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
②若∠ACB＝∠ABC，
…
综上，∠ACB＞∠ABC．
（1）上述证明过程采用的方法是 （填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法；B．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
45．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B，∠C必为锐角．
46．请用反证法证明：已知：|a|＞a，求证：a＜0．
47．用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
如图，已知：在△ABC中，∠C＞∠B．
求证：AB＞AC．
证明：假设AB＝AC，
∴∠C＝ （ ）．
假设 ，
∴ （ ）．
（完成以下说理过程）专题07 命题与证明
题型1 平行公理及推论 题型2 平行线的性质
题型3 平行线的判定与性质 题型4 命题与定理
题型5 反证法
▉题型1 平行公理及推论
1．如图是一个可折叠衣架，AB是地平线，当PM∥AB，PN∥AB时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角的补角相等
C．平行于同一直线的两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【解答】解：根据平行公理可得：依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
故选：D．
2．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【解答】解：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是：垂线段最短．
故选：C．
3．下列结论正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．不相交的两条直线必平行
【答案】B
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；
B、平行于同一条直线的两直线平行，故此选项正确；
C、两条直线被第三条直线所截，只有被截线互相平行时，才同位角相等，故此选项错误；
D、同一平面内，不相交的两条直线必定平行，故此选项错误．
故选：B．
4．如图，在同一平面内，过点A作直线m的平行线，能画（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【解答】解：根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”得：在同一平面内，过点A作直线m的平行线，只能画一条．
故选：B．
5．如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【解答】解：由题意得，
这样做的理由是：两点之间线段最短，
故选：C．
6．若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
【答案】C
【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意；
B、∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意；
C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意；
D、∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意；
故选：C．
▉题型2 平行线的性质
7．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若∠1＝62°，则∠2的度数为（ ）
A．12° B．16° C．24° D．26°
【答案】D
【解答】解：如图：
正五边形的一个外角的度数为：，
正五边形的一个内角的度数为：180°﹣72°＝108°，
即：∠4＝72°，∠6＝108°，
一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1＝62°，
∴∠3＝∠1＝62°，
∴∠5＝∠3+∠4＝62°+72°＝134°，
∴∠2＝∠5﹣∠6＝134°﹣108°＝26°；
故选：D．
8．如图，AB∥CD，AE能平分∠BAC交CD于点E，若∠C＝48°，则∠AED的度数是（ ）
A．66° B．104° C．114° D．132°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝48°，
∴∠CAB＝180°﹣48°＝132°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣66°＝114°，
故选：C．
9．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点A，B，C都在平行线上．若BC＝1，则AB的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解答】解：∵五条平行横线的距离都相等，
∴，
∵BC＝1，
∴若BC＝1，则AB的长是，
故选：A．
10．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选B．
11．请解答下列各题：
（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 ，∠2＝∠4，依据是 ．
②反射光线BC与EF平行，依据是 ．
（2）解决问题：
如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝ ；∠3＝ ．
【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）84°，90°．
【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换；
②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，
∵∠1＝42°，
∴∠4＝∠1＝42°，
∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝84°，
∴∠5＝∠7，
∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°．
故答案为：84°，90°．
12．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，环保人士倡导大家使用共享单车．图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中AB∥l，CD∥l，∠BCD＝72°，∠BAC＝50°．若AM∥BC，求∠MAC的度数．
【答案】58°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°即∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°
∵∠BCD＝72°，∠BAC＝50°
∴∠ACB＝58°，
∵AM∥BC，
∴∠AMC＝∠ACB＝58°．
13．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板．
（1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数；
（2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数；
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）．
【答案】（1）108°；（2）45°；（3）①当点F在直线CD的上方时，∠AGF﹣∠CEF＝90°．②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°．③当点F在直线AB的下方时，∠CEF﹣∠AGF＝90°．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGB＝27°，
∵∠2+∠FGE+∠EGB＝180°，∠FGE＝45°，
∴∠2+45°+27°＝180°，
解得∠2＝108°．
（2）∵AB∥CD，
∴∠CEG+∠AGE＝180°，
又∵∠FEG+FGE＝90°，
∴∠CEF+∠FGH＝90°，
∵HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，
∴∠HEF+∠HGF＝45°，
∴EHG＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
（3）①如图3﹣1中，当点F在直线CD的上方时，过点F作MN∥AB．
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD∥AB，
∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE，
∵∠NFG﹣∠NFE＝∠GFE＝90°，
∴∠AGF﹣∠CEF＝90°．
②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°．
③当点F在直线AB的下方时，过点F作MN∥AB．
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD∥AB，
∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE，
∵∠NFE﹣GFN＝∠GFE＝90°，
∴∠CEF﹣∠AGF＝90°．
综上所述，①当点F在直线CD的上方时，∠AGF﹣∠CEF＝90°．②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°．③当点F在直线AB的下方时，∠CEF﹣∠AGF＝90°．
▉题型3 平行线的判定与性质
14．如图所示，l∥m，长方形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α的度数为（ ）
A．65° B．20° C．25° D．35°
【答案】C
【解答】解：如图，过点C作CE∥m，
∵l∥m，
∴l∥m∥CE（平行于同一直线的两直线相互平行），
∴∠DCE＝65°，∠BCE＝α，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝65°+α＝90°，
∴α＝25°，则∠α的度数为25°，
故选：C．
15．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（ ）
A．270° B．250° C．230° D．180°
【答案】A
【解答】解：过点B作BG∥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，
∵CD∥AE，
∴CD∥BG，
∴∠DCB+∠CBG＝180°，
∴∠BAE+∠ABG+∠DCB+∠CBG＝360°，
即∠DCB+∠CBA+∠BAE＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝270°，
故选：A．
16．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°＝∠AEB+∠DEC，
∴∠1＝∠DEC，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，①正确，故符合要求；
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB不一定等于∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC不一定等于180°，②错误，故不符合要求；
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴，
∵∠EAD+∠EDA＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠EDA＝∠2，
∴DE平分∠ADC；③正确，故符合要求；
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴，，
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠EAM＝180°，∠2+∠EDN＝180°，
∴∠EAM+∠EDN＝270°，
∴，
∴∠F＝360°﹣∠EAF﹣∠EDF﹣∠AED＝135°，为定值；④正确，故符合要求；
故选：D．
17．如图是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角∠A＝100°，第三次的拐角∠C＝150°，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角∠B的度数为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．180°
【答案】A
【解答】解：如解图，过点B作直线EF∥AG，
∴∠A＝∠ABF＝100°，
∵EF∥AG，AG∥CH，
∴EF∥CH，
∴∠CBF+∠C＝180°，
∵∠C＝150°，
∴∠CBF＝30°，
∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝100°+30°＝130°，
故选：A．
18．如图1，已知AB是一块平面镜，光线PO在平面镜AB上经点O反射后，形成反射光线OQ，我们称PO为入射光线，OQ为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠1＝∠2．如图2，OM和ON是两块平面镜，入射光线AB经过两次反射后，得到反射光线CD．则下列判断错误的是（ ）
A．若α＝60°，则∠OBC＝60° B．若BC⊥CD，则β＝45°
C．若α＝β，则AB∥CD D．若AB∥CD，则α+β＝90°
【答案】C
【解答】解：∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴∠OBC＝α＝60°，故选项A正确，不符合题意；
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∴∠OCB+β＝90°，
∵∠OCB＝β，
∴∠OCB＝β＝45°，故B选项正确，不符合题意；
∵∠OBC＝α，
∴∠ABC＝180°﹣2α，
∵∠OCB＝β，
∴∠BCD＝180°﹣2β，
∵α＝β，
∴∠ABC＝∠BCD，不能得出AB∥CD，故C选项错误，符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC+2α+∠BCD+2β＝360°，
∴α+β＝90°，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
19．下列选项正确的是（ ）
A．将近似数64.95精确到0.1，其近似值为65.0
B．﹣x比x小
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．﹣（﹣2）+|﹣2|＝0
【答案】A
【解答】解：A．将近似数64.95精确到0.1，其近似值为65.0，此项正确，符合题意；
B．﹣x不一定比x小，如x＝0时，﹣x＝x＝0，故此项不正确，不符合题意；
C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故此项不正确，不符合题意；
D．﹣（﹣2）+|﹣2|＝2+2＝4，故此项不正确，不符合题意；
故选：A．
20．嘉嘉在证明“平行于同一条直线的两条直线也平行”时，给出了如下的证明过程，淇淇为保证嘉嘉的证明更严谨，想在“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（ ）
已知：如图，b∥a，c∥a． 求证：b∥c． 证明：作直线DF分别交直线a、b、c于点D、E、F． ∵a∥b， ∴∠1＝∠4． 又∵a∥c， ∴∠1＝∠5， ∴b∥c．
A．嘉嘉的证明严谨，不需要补充
B．应补充“∴∠2＝∠5”
C．应补充“∴∠4＝∠5”
D．应补充“∴∠3+∠5＝180°”
【答案】C
【解答】解：作直线DF分别交直线a，b，c于点D，E，F．
∵a∥b，
∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）．
又∵a∥c，
∴∠1＝∠5（两直线平行，内错角相等），
∴∠4＝∠5（等量代换），
∴b∥c．
故应补充∠4＝∠5；
故选：C．
21．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠D＝∠B，AD∥CB，求证：AB∥CD．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵AD∥CB，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠D＝∠B，∠BAC+∠B+∠BCA＝180°，∠ACD+∠D+∠DAC＝180°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD．
22．根据解答过程填空：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠ACB＝∠4．
证明：∵∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠DFE ＝∠ （同角的补角相等），
∴EF ∥AB （内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（ ），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（ ），
∴DE∥BC（ ），
∴∠ACB＝∠4（ ）．
【答案】DFE；2；EF；AB；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线；平行两直线平行，同位角相等．
【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠DFE＝∠2（同角的补角相等），
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ACB＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：DFE；2；EF；AB；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
23．旅发大会期间，衡阳市对湘江两岸的灯光进行了提质改造，让城市夜景焕然一新．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射营造氛围．若灯A转动的速度是每秒3°，灯B转动的速度是每秒1°，假定湘江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2．
（1）填空：∠BAN＝ ．
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，设转动时间为t秒，则在灯B射线首次到达BQ之前，请直接写出所有符合题意的t值．（图2仅起到举例作用，不代表C具体位置）
【答案】（1）72°；
（2）15秒或82.5秒；
（3）30或105．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，
∴，
故答案为：72°；
（2）由条件可知射线BP第一次旋转至BQ的时间为180°÷1＝180（秒），
∵灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，
∴180﹣30＝150（秒），
∵∠BAN＝72°，
∴∠BAM＝180°﹣∠BAN＝108°，
∴灯A射线旋转到AB的时间为108°÷3°＝36（秒），
∴设A灯转动t（0＜t＜150）秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜36时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
由条件可知∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD，
∴3t＝1×（30+t），
解得：t＝15；
②当36＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°，
∴1×（30+t）+（3t﹣180）＝180，
解得：t＝82.5，
综上所述，A灯旋转15秒或82.5秒时．两灯的光束互相平行．
（3）如图3，当点C在AB右边时，过点C作CD∥QP，
∴∠CBP＝∠BCD，
∵PQ∥MN，
∴∠DCA＝∠CAN，
∴∠BCA＝∠BCD+∠DCA＝∠CBP+∠CAN，
设灯A射线转动时间为t秒，则∠CBP＝t，∠CAM＝3t，
∴∠CAN＝180°﹣3t，
∴t+180°﹣3t＝120°，
解得t＝30；
如图4中，当点C在AB左边时，
同理可得，∠QBC+∠CAM＝∠BCA＝120°，
设灯A射线转动时间为t秒，则∠CBP＝t，∠CAM＝360°﹣3t，
∴180°﹣t+360°﹣3t＝120°，
解得t＝105，
综上所述，所有符合题意的t值为30或105．
▉题型4 命题与定理
24．下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．全等三角形的三条对应边相等
C．在角的内部，角平分线上的点到这个的两边的距离
D．对顶角相等
【答案】D
【解答】解：A、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意；
B、逆命题为三条对应边相等的两三角形全等，成立，不符合题意；
C、逆命题为到角的两边距离相等的点在角的平分线上，成立，不符合题意；
D、逆命题为相等的角是对顶角，不成立，符合题意．
故选：D．
25．命题“若x2＞y2，则x＞y．”下列选项中x，y的值，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．x＝4，y＝3 B．x＝3，y＝0 C．x＝2，y＝﹣1 D．x＝﹣2，y＝﹣1
【答案】D
【解答】解：A．当x＝4，y＝3时，不能说明“若x2＞y2，则x＞y．”是假命题；
B．当x＝3，y＝0时，不能说明“若x2＞y2，则x＞y．”是假命题；
C．x＝2，y＝﹣1时，不能说明“若x2＞y2，则x＞y．”是假命题；
D．当x＝﹣2，y＝﹣1时，（﹣2）2＞（﹣1）2，即满足x2＞y2，但﹣2＜﹣1，即不满足x＞y，
故选：D．
26．下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一条直线的两条直线平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：根据命题的真假判断，平行线的性质、垂线的性质以及点到直线的距离逐项分析判断如下：
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立，故①是假命题，不符合题意；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②是假命题，不符合题意；
③平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理的推论，故③是真命题，符合题意；
④点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故④是假命题，不符合题意；
故选：A．
27．能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a D．a＝3.14
【答案】B
【解答】解：当a＝0时，a2＝0，
所以命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题．
故选：B．
28．对于命题“若x2＞y2，则x＞y．”下列关于x，y的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．x＝3，y＝4 B．x＝﹣4，y＝3 C．x＝4，y＝﹣3 D．x＝﹣3，y＝4
【答案】B
【解答】解：当x＝﹣4，y＝3时，（﹣4）2＞32，即满足x2＞y2，
但﹣4＜3，即不满足x＞y，
故选：B．
29．如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C．
（1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
（2）选择你写的一个真命题写出证明过程．
【答案】（1）①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C；
②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2；
③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC；
（2）①∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C；
②∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠1＝∠2；
③∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠BAC，
∴∠B+∠C＝∠1+∠2，
∵∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠1，
∴DE∥BC．
【解答】解：（1）一共能组成三个命题，
①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C；
②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2；
③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC；
（2）如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C，是真命题，
理由如下：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C；
如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2，是真命题，
理由如下：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠1＝∠2；
如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC，是真命题，
理由如下：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠BAC，
∴∠B+∠C＝∠1+∠2，
∵∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠1，
∴DE∥BC．
30．学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作∠ABC的平分线，交AC于点E．（不写作法，保留作图痕迹）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，CD平分∠ACB交AB于点D．
求证：BE＝CD．
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴① ，
又∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴，② ．
∴∠EBC＝∠DCB．
又∵BC＝③CB ，
∴△EBC≌△DCB（ASA）．
∴BE＝CD．
小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
等腰三角形两腰上的高线的长度④ ．
【答案】见图形；∠ABC＝∠ACB，∠BCD，CB，相等．
【解答】如图所示，BE平分∠ABC；
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴，∠BCD，
∴∠EBC＝∠DCB，
又∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（ASA）．
∴BE＝CD．
小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征，依照题意完成命题：等腰三角形两腰上的高线的长度相等．
故答案为：∠ABC＝∠ACB，∠BCD，CB，相等．
31．如图，在∠AOB内，点P是射线OM上一点，点C、D分别在OA、OB上，给出下列三个信息，①OM是∠AOB的平分线；②PC⊥OA，PD⊥OB；③OC＝OD．请选择其中两个作为条件，第三个作为结论构成一个真命题．
（1）条件 ，结论 .（填序号）
（2）请对（1）所写的命题加以证明．
【答案】（1）①②，③（答案不唯一）；
（2）证明见解答过程．
【解答】解：（1）条件：①②，结论：③，
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）证明如下：∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠POC＝∠POD，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
在△POC和△POD中，
，
∴△POC≌△POD（AAS），
∴OC＝OD．
32．如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，且∠1＝∠2．
（1）求证：BC∥DE；
（2）若命题“已知∠CDE＝ ，则∠B＝40°”是真命题，请填空，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）140°．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠BFD＝∠1，
∴∠2＝∠BFD，
∴BC∥DE；
（2）解：命题“已知∠CDE＝140°，则∠B＝40°”是真命题，理由如下：
由（1）知BC∥DE，
∴∠C+∠CDE＝180°，
∵∠CDE＝140°，
∴∠C＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝40°．
故答案为：140°．
33．阅读理解，观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若 ，则；反之也成立．
（2）根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
【答案】（1）a+b＝0；
（2）﹣4．
【解答】解：（1）由题意可得规律：对于任意两个有理数a、b，若a+b＝0，则，
故答案为：a+b＝0．
（2）由题意可知：2﹣3x+2x+6＝0，
解得：x＝8．
∴．
34．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式： ．
（2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图，a⊥l， ．
求证： ．
【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
（2）b⊥l，a∥b．
【解答】（1）答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
（2）证明：∵a⊥l，b⊥l（已知），
∴∠1＝∠2＝90°（垂直的定义），
∴a∥b）（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：b⊥l，a∥b．
▉题型5 反证法
35．用反证法证明：若abc＝0，则a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至多一个为0 D．a，b，c三个都为0
【答案】A
【解答】解：反证法证明：若abc＝0，则a，b，c至少有一个为0，
应该假设a，b，c没有一个为0，
故选：A．
36．用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设（ ）
A．a2＜b2 B．a2＝b2 C．a2≤b2 D．a2≥b2
【答案】C
【解答】解：用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”的第一步是假设a2≤b2，
故选：C．
37．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确顺序的序号为（ ）
A．③②① B．①③② C．②③① D．③①②
【答案】D
【解答】解：反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°；
则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角，
故选：D．
38．用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C
【答案】B
【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C时，首先应假设∠B＝∠C，
故选：B．
39．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（ ）
A．没有一个内角为钝角
B．三个内角都是锐角
C．至少有一个内角为钝
D．至少有两个内角为钝角
【答案】D
【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
∴证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角．
故选：D．
40．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠PBC≠∠PCB
【答案】B
【解答】解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立．
故选：B．
41．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，则应先假设（ ）
A．三角形中没有内角大于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中三个内角都大于60°
D．三角形中有两个内角大于60°
【答案】C
【解答】解：先假设三角形中每一个内角都大于60°，
故选：C．
42．下列说法中，正确的结论有（ ）
①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
③“对顶角相等”的逆命题是真命题；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，结论正确；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，结论正确；
③“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，故本小题结论错误；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°，结论正确；
故选：C．
43．下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4b，4c也是一组勾股数；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题说法错误，不合题意；
②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本小题说法错误，不合题意；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4b，4c也是一组勾股数，本小题说法正确，符合题意；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，本小题说法正确，符合题意；
故选：B．
44．阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠ABC．
证明：假设∠ACB≤∠ABC，
①若∠ACB＜∠ABC，则在BC上取点D，联结AD，使∠ADB＝∠B．
∵∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
在AC上取点E，使AE＝AD，则AC＝AE+CE＝AD+CE＞AD，
即：AC＞AD，
∴AC＞AB．
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
②若∠ACB＝∠ABC，
…
综上，∠ACB＞∠ABC．
（1）上述证明过程采用的方法是 B （填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法；B．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
【答案】（1）B；
（2）见解答．
【解答】解：（1）上述证明过程采用的方法是B；
故答案为：B；
（2）②若∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC，
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
综上，∠ACB＞∠ABC．
45．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B，∠C必为锐角．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
当∠B、∠C都是直角时，∠B+∠C＝180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
当∠B、∠C都是钝角时，∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
综上所述，假设不成立，
∴∠B，∠C必为锐角．
46．请用反证法证明：已知：|a|＞a，求证：a＜0．
【答案】证明见解析．
【解答】解：假设a≥0，
当a≥0时，|a|＝a，
这与已知相矛盾，
∴假设不成立，
∴a＜0．
47．用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
如图，已知：在△ABC中，∠C＞∠B．
求证：AB＞AC．
证明：假设AB＝AC，
∴∠C＝ （ ）．
假设 ，
∴ （ ）．
（完成以下说理过程）
【答案】∠B；等边对等角；AB＜AC；∠C＜∠B；上述无论哪种情况，都与已知∠C＞∠B矛盾，所以假设不成立．
∴AB＞AC．
【解答】证明：假设 AB＝AC，
∴∠C＝∠B（等边对等角）．
假设AB＜AC，
∴∠C＜∠B（大边对大角）．
上述无论哪种情况，都与已知∠C＞∠B矛盾，所以假设不成立．
∴AB＞AC．
故答案为：∠B；等边对等角；AB＜AC；∠C＜∠B．
