山西省2025-2026学年高二12月阶段性检测
数学试题
（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上．
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 直线和的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合
2. 若平面的法向量分别为，且平面，则实数的值为（ ）
A. B. C. 4 D. 5
3. 若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（ ）
A. B. 3 C. 2 D.
4. 已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列中，，则（ ）
A. 3 B. C. D.
6. 如图，在三棱柱中，设的中点为，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 若焦点在轴上的双曲线，其焦距为虚轴长的倍，则下列选项中各点在双曲线的渐近线上的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线过右焦点，且与交于两点，若与的面积之比为，则直线的斜率为（ ）
A. B. ±2 C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若是空间的一个基底，则下列各组向量可以构成空间的基底的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线的上、下焦点分别为，实轴长为4，点为上一点，且，则（ ）
A. 的焦距为 B.
C. 的面积为 D. 的纵坐标为
11. 已知，且直线与直线互相垂直，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线过点且与圆相切，则直线的方程为___________．
13. 如图，在三棱锥中，，则___________．
14. 若点是抛物线上的一动点，点是直线上的一动点，则线段的长度的最小值为___________．
四、解答题：共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆经过三点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度．
16. 已知等差数列的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的的最小值．
17. 在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到直线的距离小3，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，且的中点为，求证：以为直径的圆过点．
18. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
19. 已知椭圆的离心率是，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与交于两点．
（i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长；
（ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
1山西省2025-2026学年高二12月阶段性检测
数学试题参考答案
一、选择题
1.【答案C
【解析】因为直线x-2+1=0的斜率=分直线x+2y-1=0的斜率=分则，一名-1，所以两
条直线不平行，也不垂直，也不重合.故选：C
2.【答案】B
【解析】因为平面a⊥B,所以a·b=-2-2m-8=0,解得m=-5.故选：B.
3.【答案】A
【解析]由题意，得圆的方程为x++(-5=号+3.所以圆心坐标为-号3列半径为r=
4+3.
因为圆心在直线x+y=0上，所以-号+V3=0,解得a=23,所以半径r=V6.故选：A
4.【答案】B
【解析】由题可得，直线AB的斜率不存在，所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=O,且线段AB的中点坐标为
(2,-2),所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-2.故选：B.
5.【答案D
【解析】因为丽=丽+丽=丽+丽-（硒-C到+瓜=a-b)+e=a-b+e,C=屁
AC-AB=b -a,
所以0丽-BC=4-b+e-6-a)=3a-昌6+6放选：D.
11
6.【答案】A
3x2弘，所以c=36,所以c=30,放d+=36所以a2=2况
，故渐近线的斜率为±号，渐近线方程为)=±号，所以渐近线经过点
2
故选：A
7.【答案】C
【解析】以A,为原点，A,B,A,D,A,A所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A,(0,0,0),E(1,2,0),F(1,0,2),A(0,0,2),B(2,0,2)
所以A,E=(1,2,0),AF=(1,0,2),AB=(2,0,0)
设平面A,ECF的法向量为n=(x,y,z,
.n=0即压+2=0.
则
A,F.n=0,x+2z=0,
令x=-2,得y=z=1,所以平面A,ECF的一个法向量为n=(-2,1,1)
B
E
设AB与平面A,ECF所成角为O,
则sin0=cos(n,AB)=
n·AB
-=4=6
n AB
2√6
39
因为0是锐角，所以c0=1-m0=号故选C
高二数学答案A
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8.【答案D
解标一所-子又20外所以所以2这
3
loF
AF,=4t,F,B=3t,则AF,=2a-4t,F,B=2a-3t,在△AF,F,中，由余弦定理的推论，可得
cosLAF;F =(4)+(2e):-(2a-4t)
2×4t×2c
在△BF,F2中，由余弦定理的推论，可得
cos LBFF =(3t)+(2c)-(2a-3)
2×3t×2c
又∠AF2F,+∠BF2F,=T,所以cos∠AF2F,=-cos∠BF2F1,
所以4°+(2c2-=（2a-4Y=-(3P+(2cP-(2a-3
2×4t×2c
2×3t×2c
化简得7a2-7c2=24at,
因为后=所以e=与
aa=万c,所以d=72,+c=7心，即=6心，名=6，
故代入可得t=4a,所以AF,=4=a,AF,=2a-4t=a,故点A是椭圆的上顶点或下顶点，所以直线的斜率
为±=±6，故选：D.
二、选择题
9.【答案】AC
【解析】因为{a,b,c}是空间的一个基底，所以a,b,c不共面.
对于A,因为向量-2a,3b,4c分别与向量a,b,c共线，所以-2a,3b,4c不共面，故A正确；
对于B,因为a+b=a+c+b-c,所以a+b,a+c,b-c共面，故B错误；
对于C,假设a-b,a+c,b-2c共面，则存在唯一的实数对x,y,
使得a-b=x(a+c）+y(b-2c)=xa+yb+(x-2y)c,
x=1,
则{y=-1,该方程组无解，故与假设矛盾，
x-2y=0.
所以a-b,a+c,b-2c不共面，故C正确；
对于D,假设-a+2b+3c,a+b,a-c共面，则存在唯一的实数对u,v,
使得-a+2b+3c=u(a+b)+v(a-c)=(u+v)a+nb-ic,
u+v=-1,
则u=2,解得u=2,v=-3,
-v=3,
所以-a+2b+3c,a+b,a-c共面，故D错误。
故选：AC
10.【答案】BCD
【解析】对于A,依题意，可知双曲线E的焦点在y轴上，2a=4,b=√2，所以a=2,由a2+b2=c2,得c=√6，所
以焦距为2c=2√6，故A错误；
对于B,因为a=2,c=√6，PF,=4
故由双曲线的定义，可得PF,-PF,=2a=4,则PF,=4+PF,=8,故B正确：
对于C,在△PF,F,中，由余弦定理的推论可得，
高二数学答案A
第2页（共6页）】
