微专题1 三角恒等变换、三角函数图象与性质
1.同角三角函数的基本关系式的变形
sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α
2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos (α±β)＝cos αcos β sin αsin β；
(3)tan (α±β)＝.
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan2α＝.
4.半角公式
sin＝±，cos ＝±，
tan ＝±＝＝.
5．辅助角公式
a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，
其中tan φ＝.
6．恒等变换常用结论
(1)sin2α＝，cos2α＝.
(2)1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
(3)tanα±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β).
7.三角函数的性质
性质 定义域 值域 对称性 最小正 周期 单调性
y＝sin x R [－1，1] 对称轴：直线x＝kπ＋，k∈Z； 对称中心：(kπ，0)，k∈Z 2π 递增区间：，k∈Z； 递减区间：，k∈Z
y＝cos x R [－1，1] 对称轴：直线x＝kπ，k∈Z； 对称中心：，k∈Z 2π 递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z； 递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
y＝tan x {x|x≠kπ＋ ，k∈Z} R 无对称轴； 对称中心：，k∈Z π 递增区间：，k∈Z； 无递减区间
8.关于三角函数奇偶性的常用结论
(1)y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
(2)y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
(3)y＝A tan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
微点一 三角恒等变换
例1 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝ ( )
A．－3m B．－ C． D．3m
(2)(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin ＝ ( )
A． B． C． D．
[听课记录]____________________________________________________________
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(1)三角化简问题总的方向是变角与变式，达到“角、名和次”以及结构的统一．
(2)常见技巧涉及换元法、切化弦、整体代换等方法．
(3)求角问题要考虑对应三角函数值与特殊角之间的关系，是单一值还是多个值．
训练1 (1)(2025·宁夏银川模拟)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，下表是部分5°的奇数倍锐角的正切值(用字母代替)，则cos 2 210°＝ ( )
α 5° 15° 25° 35°
tan α m n p q
A． B．
C． D．
(2)(2025·保定模拟)α，β均为锐角，且＝，则α＋β＝________．
微点二 三角函数的图象
考向1 三角函数图象的变换
例2 (1)将函数y＝2cos 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 ( )
A．y＝2cos B．y＝2cos
C．y＝2cos D.y＝－2cos
(2)将函数f(x)＝2sin 的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是 ( )
A． B．π C． D．
[听课记录]____________________________________________________________
_____________________________________________________________________
考向2 三角函数的图象与解析式
例3 (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________.
[听课记录]____________________________________________________________
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训练2 (1)(2025·长沙模拟)如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是 ( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
(2)(2025·温州模拟)已知f(x)＝2tan (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，f(0)＝，最小正周期T∈，f(x)图象的一个对称中心为点，则f＝________．
微点三 三角函数的性质
例4 (1)(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为 ( )
A． B． C． D．
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)(多选题)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有 ( )
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
[听课记录]____________________________________________________________
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研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质．
思路①：根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；
思路②：另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项．
训练3 (1)(2025·聊城一模)(多选题)已知函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x，x∈R，则 ( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在上单调递增
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的一条对称轴
D．将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝－2cos 2x的图象
(2)(2025·锦州模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围是________．
1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝ ( )
A． B．
C． D．
2．(2025·天津高考)f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)在上单调递增，且x＝为f(x)图象的一条对称轴，是f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为 ( )
A．－ B．－ C．－1 D．0
3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
微专题1 三角恒等变换、三角函数图象与性质
例1 (1)A 解析 由cos (α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m ①.由tan αtan β＝2，得＝2 ②，由①②得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
(2)D 解析 cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0<α<π，所以sinα＝，所以sin ＝(sin α－cos α)＝×＝.
训练1 (1)B 解析 cos 2 210°＝cos (6×360°＋50°)＝cos 50°＝cos225°－sin225°＝＝＝.
(2) 解析 因为＝，所以＝，所以＝－，则＝－，整理得－tan α－tan β＝1－tan αtan β，所以tan (α＋β)＝＝－1，又α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
例2 (1)D 解析 函数周期T＝＝π，所以函数y＝2cos 的图象向右平移个周期可得y＝2cos [2(x－)－]＝2cos ＝－2cos ＝－2cos ＝－2cos .
(2)D 解析 将函数f(x)＝2sin 的图象向左平移m个单位长度，得到y＝2sin ＝2sin (2x＋2m－)的图象．因为y＝2sin 的图象关于原点对称，所以2m－＝kπ，k∈Z，即m＝＋，k∈Z，当k＝3时，得m＝，而使m＝＋＝，m＝＋＝π，m＝＋＝的整数k均不存在．
例3 － 解析 对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点法”画图中的第五点，所以ω＋φ＝2π ①.由题知|AB|＝xB－xA＝，两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4.代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－.
训练2 (1)C 解析 由题图可得，A＝2，T＝－＝π，即T＝π＝，即ω＝±2，观察各选项可知，本题考虑ω＝2即可，则y＝2sin (2x＋φ)，把点代入y＝2sin (2x＋φ)中，可得sin ＝1，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，所以当k＝0时，y＝2sin ＝2sin (2x＋).
(2)－ 解析 由f(0)＝，可得2tan φ＝，tan φ＝，又|φ|<，所以φ＝.因为f(x)图象的一个对称中心为点，故ω＋＝，k∈Z，得ω＝3k－1，k∈Z.因为T∈，所以<<，解得<ω<4，所以ω＝2.f(x)＝2tan ，所以f＝2tan ＝－.
例4 (1)B 解析 令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan 的图象的对称中心为，k∈Z，由题意知a＝＋，k∈Z，又a>0，则a的最小值为.故选B.
(2)BC 解析 对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．
训练3 (1)BD 解析 因为f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin (2x＋)，对于A选项，函数f(x)的最小正周期为＝π，A错；对于B选项，当0≤x≤时，≤2x＋≤，所以f(x)在上单调递增，B对；对于C选项，因为f＝2sin ＝1，故直线x＝不是曲线y＝f(x)的一条对称轴，C错；对于D选项，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin ＝－2cos 2x的图象，D对.
(2) 解析 依题意，函数f(x)＝2sin －1，由f(x)＝0，得sin ＝，则ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z，由x∈[0，2π]，得ωx＋∈，由f(x)在[0，2π]上恰有5个零点，得≤2πω＋<，解得≤ω<，由－≤ωx＋≤，得－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增，因此 ，即－≤－，且≥，解得0<ω≤，所以正实数ω的取值范围为[，].
真题巧用·明技法
1．D 解析 解法一：由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝，又α为锐角，所以sin＞0，所以sin ＝.
解法二：由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝，将选项逐个代入验证可知D选项满足．
2．A 解析 因为f(x)在上单调递增且x＝为f(x)图象的一条对称轴，所以×≥－，f＝sin＝1，得0<ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z) ①.因为是f(x)图象的一个对称中心，所以f＝sin (ω＋φ)＝0，得ω＋φ＝k2π(k2∈Z) ②，由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0<ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝sin (2x＋).当x∈时，2x＋∈，所以f(x)的最小值为f＝sin ＝－.故选A.
3．－ 解析 由题知tan (α＋β)＝＝＝－2，即sin (α＋β)＝－2cos (α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan (α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin (α＋β)＝－.(共46张PPT)
专题一
三角函数、平面向量与解三角形
专题一 三角函数、平面向量与解三角形
微专题1
三角恒等变换、
三角函数图象与性质
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
解析
解析
方法提炼
α 5° 15° 25° 35°
tan α m n p q
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
方法提炼
解析
解析
解析
解析
解析
解析
8当
0
01
:
以题梳点
和考君
2
A
B
0
2π
3
y个
2
I
2T
0
T
X
3
12
-2
真题巧用
明技君微练(一) 三角恒等变换、三角函数图象与性质
班级： 姓名：
基础过关练
一、单项选择题
1．(2025·葫芦岛一模)将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后，所得图象的解析式为 ( )
A.y＝sin B. y＝sin
C.y＝sin D. y＝sin
2．(2025·武汉模拟)若tan ＝5，则cos 2α的值为 ( )
A. B． C． D．
3．(2025·正定模拟)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则tan ＝ ( )
A.2＋ B．2－
C.1－ D．－2
4．(2025·浙江模拟)已知cos (α－β)＝，sin αsin β＝－，则cos 2α－sin 2β＝ ( )
A. B． C. D．
5．(2025·太原模拟)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点，则θ＝ ( )
A.－ B． C．－ D．
6．(2025·安庆二模)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是 ( )
A. B． C． D．
7．(2025·兰州一模)一个铅锤做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足y＝A sin (ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，ω>0，0<φ<)，当y＝1时，x不可能是 ( )
A. B．π C． D．2π
8．(2025·湛江一模)已知函数f(x)＝sin 在区间(0，m)上存在唯一极大值点，则m的最大值为 ( )
A. B．π C． D．
二、多项选择题
9．(2025·泉州一模)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin x，则 ( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.曲线y＝f(x)关于直线x＝对称
C.f(x)在区间[－2π，2π]上有4个零点
D.f(x)在区间内单调递减
10．将函数f(x)＝3sin 的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则 ( )
A.x＝为函数g(x)图象的一条对称轴
B.g(x)＝3cos 2x
C.函数g(x)在上单调递增
D.函数g(x)的图象与函数h(x)＝log2x的图象交点个数为5
11．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，其中相邻的两条对称轴间的距离为，且经过点(0，－)，则 ( )
A.φ＝－
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(－x)＝f
D.f(x)＝sin x在上有4个解
三、填空题
12．(2025·湛江一模)已知tan ＝，则sin ＝________．
13．(2025·济南一模) 函数f(x)＝|sin x|＋cos x的最小值为________．
14．(2025·北京高考)已知α，β∈[0，2π]，且sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，写出满足条件的一组α＝________，β＝________．
能力提升练
15.已知函数f(x)＝3sin 2ωx＋2(cos2ωx－1)(ω>0)，则f(x)的最大值是________；若f(x)在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是________．
16．(2025·泰安一模)已知函数f(x)＝2sincos ωx－(ω>0)的最小正周期为π，f(x)在上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线y＝a交于点C，D，且|AB|＝2|CD|，则a＝________．
微练(一) 三角恒等变换、三角函数图象与性质
1．A 解析 函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式为y＝sin 2＝sin .
2．A 解析 解法一：(常规法＋齐次式)由tan ＝5得＝5，解得tan α＝.因为cos 2α＝，cos α≠0，所以分子分母同时除以cos2α，得cos2α＝＝＝.
解法二：(变角法＋齐次式)tan α＝tan ＝＝＝.因为cos 2α＝，cos α≠0，所以分子分母同时除以cos2α，得cos2α＝＝＝.
解法三：(整体法)设θ＝α＋，则α＝θ－，所以cos 2α＝cos ＝sin 2θ＝＝＝＝.
3．D 解析 由题意可知f＝sin ＝±1，得＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，因为－<φ<，则φ＝－，因为tan ＝＝，解得tan ＝2－或－2－(舍)，故tan ＝tan ＝－tan ＝－2.
4．C 解析 由cos (α－β)＝得cos αcos β＋sin αsin β＝，又sin αsin β＝－，所以cos αcos β＝，所以cos2α－sin2β＝－＝＝＝cos (α＋β)·cos (α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝×＝×＝.
5．C 解析 函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的新函数为g(x)＝sin ＋1＝sin ＋1.当x＝时，g＝sin ＋1＝2，化简得sin ＝1，即sin ＝1，则＋θ＝＋2kπ，其中k∈Z，解得θ＝－＋2kπ，k∈Z，又因为－<θ<，所以k＝0，所以θ＝－.
6．A 解析 f(x)＝sin ，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度得f(x)＝sin ，由该函数为奇函数可知2φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以φ的最小正值为.
7．A 解析 由题图可知A＝2，最小正周期T＝2×＝π，则ω＝＝2，由＝，则函数图象过，即2sin ＝－2，解得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，可得φ＝，故y＝2sin ，由y＝1，则sin ＝，解得2x＋＝＋2k1π(k1∈Z)或2x＋＝＋2k2π(k2∈Z)，可得x＝k1π(k1∈Z)或＋k2π(k2∈Z)，当k1＝1时，x＝π，当k2＝1时，x＝，当k1＝2时，x＝2π.
8．A 解析 当x∈(0，m)时，2x＋∈，由f(x)在区间(0，m)上存在唯一极大值点，得<2m＋≤，解得9．AD 解析 A选项，y＝sin 2x的最小正周期为π，y＝sin x的最小正周期为2π，两者的最小公倍数为2π，故f(x)的最小正周期为2π，A正确；B选项，f(π－x)＝sin (2π－2x)－2sin (π－x)＝－sin 2x－2sin x≠f(x)，故曲线y＝f(x)不关于直线x＝对称，B错误；C选项，f(x)＝sin 2x－2sin x＝2sin x cos x－2sin x＝2sin x(cos x－1)，令f(x)＝0得2sin x(cos x－1)＝0，故sin x＝0或cos x＝1，因为x∈[－2π，2π]，所以sin x＝0的解为x1＝－2π，x2＝－π，x3＝0，x4＝π，x5＝2π，cos x＝1的解为x1＝－2π，x3＝0，x5＝2π，综上，f(x)在区间[－2π，2π]上有5个零点，C错误；D选项，f′(x)＝2cos 2x－2cos x＝4cos2x－2－2cosx＝4－，当x∈时，cos x∈，4－∈，即f′(x)＝4－<0，所以f(x)在区间内单调递减，D正确．
10．ACD 解析 对于A，将函数f(x)＝3sin 的图象向左平移个单位长度，可得到函数g(x)＝3sin [2＋]＝3sin 的图象，则g＝3sin ＝3sin ＝－3，所以x＝为函数g(x)图象的一条对称轴，故A正确；对于B，g(x)＝3sin ≠3cos 2x，故B错误；对于C，当－因为h(x)＝log2x的定义域为(0，＋∞)，且log2<3，log2>3，作出g(x)与h(x)在(0，3π)上的大致图象，如图，结合图象可知，函数g(x)的图象与函数h(x)的图象交点个数为5，故D正确．
11．BCD 解析 由题意，＝，则T＝π＝，即ω＝2，此时f(x)＝2sin (2x＋φ)，又f(0)＝2sin φ＝－，则sin φ＝－，因为|φ|<，所以φ＝－，故A错误；则f(x)＝2sin (2x－)，当x∈时，2x－∈，因为函数y＝sin x在上单调递增，所以函数f(x)在区间上单调递增，故B正确；由f(x)＝2sin ，得f(－x)＝2sin (－2x－)＝－2sin ，而f＝2sin ＝2sin ＝－2sin (2x＋)，所以f(－x)＝f，故C正确；
画出函数f(x)和y＝sin x在[0，2π]上的图象，由图可知，函数f(x)和y＝sin x在[0，2π]上有4个交点，所以f(x)＝sin x在[0，2π]上有4个解，故D正确．
12． 解析 tan ＝＝，即cos ＝3sin .又cos2＋sin2＝1，所以cos2(α＋)＝，所以sin＝sin ＝cos (2α＋)＝cos ＝2cos2－1＝.
13．－1 解析 当sinx≥0时，即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z时，f(x)＝|sin x|＋cos x＝sin x＋cos x＝sin ，当sin x<0时，即2kπ＋π14．(答案不唯一) (答案不唯一) 解析 由sin (α＋β)＝sin (α－β)，得sin αcos β＋cos αsin β＝sin αcos β－cos αsin β cos αsin β＝0 ①.由cos (α＋β)≠cos (α－β)，得cos αcos β－sin αsin β≠cos α·cos β＋sin αsin β sin αsin β≠0 ②.由①②得sin β≠0，cos α＝0，且sin α≠0，又α，β∈[0，2π]，所以α可取或，β可取(0，2π)内除π外的任意角．
15． 解析 f(x)＝3sin 2ωx＋2(cos2ωx－1)＝3sin2ωx＋(2cos2ωx－1)－，即f(x)＝3sin2ωx＋cos 2ωx－＝2－＝2sin －，又因为sin ∈，所以f(x)的最大值为；因为x∈[0，π]，所以2ωx＋∈，因为f(x)＝2sin －在[0，π]上恰有3个零点，所以π≤2ωπ＋＜π，即1≤ω＜.
16． 解析 因为f(x)＝2sin cos ωx－＝2cos ωx－＝sin ωx cos ωx＋cos2ωx－＝sin2ωx＋cos 2ωx＝sin .又函数最小正周期为π，且ω>0，所以＝π ω＝1.所以f(x) ＝sin .当x∈时，2x＋∈(0，π)，所以sin ∈(0，1].
作函数f(x)＝sin ，x∈(－，)的草图如图所示．函数f(x)的图象关于直线x＝对称．设|CD|＝2t，则B，D.0微练(一) 三角恒等变换、
三角函数图象与性质
基础过关练
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