6.2 排列与组合-6.2.1 排列 6.2.2 排列数 课件(共102张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 6.2 排列与组合-6.2.1 排列 6.2.2 排列数 课件(共102张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 10:17:05 | ||
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文档简介
(共102张PPT)
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列 6.2.2 排列数
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 排列
一般地，从个不同元素中取出 个元素，并按照一定的顺序排成一列，
叫做从个不同元素中取出 个元素的一个排列.
两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也
相同.（例如：排列与排列 是不同的排列）
. .
. .
知识剖析 对排列定义的理解
（1）排列的定义包括三个方面:
①所有元素都不相同；
②取出元素；
③按照一定的顺序排成一列.
（2）在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，不考虑顺序就不是排列.
（3）一个排列就是完成一件事的一种方法；不同的排列就是完成一件事的不同
方法.
学思用·典例详解
例1-1 判断下列问题是不是排列问题，并说明理由.
（1）从1,2,3, ,10这10个正整数中任取两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，可
以得到多少个不同的点的坐标？
（2）从1,2,3, ,10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同
的集合？
【解析】对于（1），结果与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，
所以这是排列问题.
对于（2），由于集合中的元素具有无序性，即集合不受所选两个数的排列顺序的影
响，所以这不是排列问题.
知识点2 排列数
1 排列数的定义
我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从
个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示.
2 排列数公式
（ 个数）
这里，，，并且 （解题时注意该隐含条件）.这个公式叫做排列
数公式.
图6.2.1-1
知识剖析 排列数公式的推导
求排列数 可以这样考虑：假设有排
好顺序的个空位（如图6.2.1-1），从 个
不同元素中任取 个元素去填空，一个空
根据分步乘法计数原理，我们可以得到公式：
.
位填1个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数
.
. .
3 全排列与阶乘
全排 列 我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 个元素的一个全排
列．这时，排列数公式中，即有
.
也就是说，将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到 的连乘积.
阶乘 正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用 表示．
个元素的全排列数公式可以写成 !.
我们规定， .
排列数公式还可以写成 .
知识剖析 1.实际上，较大数的阶乘一定是较小数的阶乘的倍数，如
.
2.排列数公式变形的推导过程：
.#1.2.4
学思用·典例详解
例2-2 (2025·广东省广州市第一一三中学月考)从5本不同的书中选出3本分别送给3位
同学，每人一本，则不同的方法数是( )
B
A.10 B.60 C.243 D.15
【解析】从5本不同的书中选出3本分别送给3位同学，每人一本，是排列问题.
因此不同的方法数是 .
例2-3 计算：
（1） ；
【解析】 ．
（2） ；
【解析】 ．
（3） .
【解析】原式 ．
例2-4 （1） 可表示为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ．
（2）设,且,则 可化简为( )
B
A. B. C. D.
【解析】最大的数为,最小的数为 ，因式的个数为
,故原式 .
（逆用排列数公式时，先确定连乘式中的最大数和最小数，再确定因式的个数）
（3）已知，则 ( )
B
A.11 B.12 C.13 D.14
【解析】，，整理得，，解得
或 （不合题意，舍去）.
释疑惑 重难拓展
知识点3 排列数的性质
排列数具有以下性质：
性质①： ;
性质②： .
知识剖析 两个性质的直观解释（推导）
1.性质①是指从个不同元素中取出 个元素进行排列，分两步完成：
第一步，从个元素中选出1个元素排在一个位置上；第二步，从余下的 个元
素中选出个元素排在其他个位置上.由此可得 .
同理，,, .
2.性质②是指从个不同元素中取出 个元素进行排列，用分类的方法解决
此类问题，分两类情况：
第1类，取出的个元素中含有,首先将排在某一位置上，有 种方法；其次从
其余个元素中取出个元素排在剩余的位置上，有 种方法，则此
类情况有 种方法.
第2类，取出的个元素中不含有,从除外的个元素中取出 个元素进
行排列，则此类情况有 种方法.
故共有种方法，即 .
学思用·典例详解
例3-5 利用排列数公式证明性质②.
【解析】
.
故性质②得证.
点评 要熟练掌握排列数的基本公式，尤其是 ,这是证明排列数恒等式
的重要工具.
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 排列数公式的应用
例6（1）计算： ；
【解析】
.
（巧用 ）
（巧用） .
（2）化简: !;
【解析】 !,
原式 .
（3）解方程： ；
【解析】由，得 （排列数的上标为未知数时，用阶乘的
形式解题比较好）,
即 ，
化简得，解得或 .
， ,
原方程的解为.（【另解】将代入得 ,显然不成立，这样可以减
少计算量）
. .
（4）解不等式： .
【解析】不等式化为 ，
【化简技巧】
整理得，解得 ，
又中，,， .
不等式的解集是 .
（1）在化简与阶乘有关的代数式时，抓住阶乘 的运算规律是找到有效解题途径
的前提.
常用的拆项技巧有：
!；
.
计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，
然后计算，这样做可以减少运算量．
中隐含了如下条件：,,, 的运算结果为正整数.
③在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围.
【学会了吗丨变式题】
1.求证：
（1） ;
【答案】 .
（2） .
【答案】 ．
2.(2025·山东省聊城市月考)
（1）计算 ；
【答案】 .
（2）已知，求 .
【答案】由，则 ，整理得
，所以或 .
又，且，所以 .
题型2 无限制条件的排列问题
例7（1）6个人走进有10把不同椅子的屋子，若每把椅子只能坐一人，共有不同坐法
的种数为( )
B
A.6 B. C. D.
【解析】6个人需要坐6把椅子，所以需要从10把椅子中选6把椅子进行排列，从而不
同的坐法种数为 .
（2）把15人分成前、中、后三排,每排5人,则共有不同的排法种数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 15个人分成前、中、后三排，每排5人,分3步完成，不同的排法种
数为 .
此问题可看作将排成的三排“拉直”，实际上就是将15人排成一排的问题，
故共有 种不同排法.
例8（1）某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可
以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示____种
不同的信号.
15
【解析】分三类完成：
第1类，挂1面旗，可以表示 种不同的信号；
第2类，挂2面旗，可以表示 种不同的信号；
第3类，挂3面旗，可以表示 种不同的信号.
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有
（种）.
（2）将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车均有1位司
机和1位售票员，则共有_____种不同的分配方案.
576
【解析】解决这个问题可以分为两步：
第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元
素排成一列，有 种方法；
第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有 种方法.
由分步乘法计数原理知，分配方案共有 （种）.
无限制条件的排列问题的常见类型及解题思路
个不同的元素占据 个不同的位置，
若,且每个位置只排一个元素，则有 种不同的排法；
若,且每个元素只占一个位置，则有 种不同的占法.
简而言之，就是注意把握“固定元素”与“固定位置”的相对性、灵活性.
【学会了吗丨变式题】
3.3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，
可以得到不同的三位数的个数为( )
B
A.30 B.48 C.60 D.96
【解析】“组成三位数”这件事，分2步完成：
第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列 ；
第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法.
根据分步乘法计数原理，共可以得到不同的三位数 （个）.
题型3 特殊元素或特殊位置问题
例9 甲、乙等6个人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站最右端，也不站最左端；
【解析】 （位置分析法） 因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5个人
中任选2个人站在左、右两端，有 种站法，再让剩下的4个人站在中间的4个位置上，
有种站法.由分步乘法计数原理知，不同的站法共有 （种）.
（元素分析法） 因为甲不能站左、右两端，故先让甲站在除左、右两端
之外的任一位置上，有种站法，再让余下的5个人站在其他5个位置上，有 种站
法，故不同的站法共有 （种）．
（间接法） 在排列时，不考虑甲站位的要求，有 种站法，但其中包含
甲站在最左端或最右端的情况，甲在最左端或最右端共有 种站法，于是不同的站
法共有 （种）．
（2）甲、乙站在两端；
【解析】 （元素分析法） 首先考虑特殊元素，先让甲、乙站在两端，有
种站法，再让其他4个人在中间4个位置进行全排列，有 种站法.根据分步乘法计
数原理知，不同的站法共有 （种）．
（位置分析法） 首先考虑两端的两个位置，由甲、乙去站，有 种站法,
再考虑中间的4个位置，由剩下的4个人去站，有 种站法.根据分步乘法计数原理知，
不同的站法共有 （种）．
（3）甲不站最左端，乙不站最右端.
【解析】 （间接法） 在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有 种站
法，甲在最左端的站法有种，乙在最右端的站法有 种，而甲在最左端且乙在最
右端的站法有种，故不同的站法共有（【释疑惑】加上 是因为甲
站在最左端且乙站在最右端的情况被排除了两次） （种）.
（元素分析法） 以甲的位置为依据，可分两类：
第一类，甲在最右端，有 种站法；
第二类，甲站在中间4个位置中的任一位置，且乙不站最右端，则可先排甲后排乙，
再排其余4个，有 种站法.
故不同的站法共有 （种）.
. .
（位置分析法） 根据题意，可分为4种情况：
①甲、乙既不站在最左端，也不站在最右端，有 种站法；
②甲站在最右端，乙不站在最左端，有 种站法；
③乙站在最左端，甲不站在最右端，有 种站法；
④甲站在最右端，乙站在最左端，有 种站法.
根据分类加法计数原理知，不同的站法共有 （种）.
名师点评 本题第（3）问方法2中，甲乙都是特殊元素，先考虑甲，当甲在最右端时，
乙不可能在最右端，此时可认为乙不是特殊元素，正常排列即可；当甲不在最右端
时，因为其不能在最左端，所以只能在中间选位置，甲排好后考虑乙，此时乙为特
殊元素，按照要求排列即可.
例10 (教材改编P27 T12)用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的数,则
（1）可以组成多少个六位奇数？
【解析】 （位置分析法） 分三步完成：
第一步，填末位，有 种填法；
第二步，填首位，有 种填法；
第三步，填其他位，有 种填法.故可以组成的无重复数字的六位奇数共有
（个）．
（元素分析法）0不在首位也不在末位,有 种排法；从1，3，5中任选一
个排在末位，有种排法；其他各位上用剩下的数字进行排列，有 种排法.故可以
组成的无重复数字的六位奇数共有 （个）．
（间接法）六个数字共有种排法，数字0，2，4在末位上有 种排法，
数字1，3，5在末位上且0在首位上共有 种排法，故可以组成的无重复数字的六位
奇数共有 （个）．
（2）可以组成多少个不大于4 310的四位偶数？
【解析】要组成偶数，则个位上一定是偶数，即0或2或4，根据题意，千位上不能是
0或5，可分为以下几种情况：
①当千位上排1，3时，从0，2，4中任选一个排在个位，其他各位上从剩下的四个数
字中选择两个进行排列，有 种排法；
②当千位上排2时，从0，4中任选一个排在个位，然后从剩下的四个数字中选择两个
进行排列，有 种排法；
③当千位上排4时，形如 （个位上一定是2）， （个位上一定是0）
的偶数各有个，形如 （个位上有可能是0，有可能是2）的偶数有 个，
形如 （个位上有可能是0，有可能是2）的符
合要求的偶数只有4 310和4 302这两个．
故可以组成的不大于4 310的四位偶数共有
（个）.
. .
. .
. .
. .
（3）可以组成多少个5的倍数的五位数？
【解析】 （直接法） 若个位上的数字是0，则从1，2，3，4，5中任意取
出4个数字排在前四个位置就可以组成无重复数字的五位数且是5的倍数，即有 个
满足条件的数；
若个位上的数字是5，则从1，2，3，4中任意取出一个数字排在首位上，有 种排法，
然后从余下的4个数字中任意取出3个数字排在中间的3个位置上，有 种排法，故有
个满足条件的数．
由分类加法计数原理可知满足条件的五位数共有 （个）．
（间接法） 个位上的数字是0或5，有种排法，故可知总的排法有
种,但其中包含了5在个位，0在首位的情况，有 种．故满足条件的五位数共有
（个）．
易错警示 在求解此类与数字有关的排列问题时，易犯的错误是忽略0的特殊性，
认为有几个数字就一定构成几位数.如在求解本题第（3）小题时，容易忽略0的特殊
性，即0不能排在首位上，否则组成的就不是五位数．
“特殊”优先原则
常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，
解题原则是谁“特殊”谁优先.
图6.2.1-2
一般从如图6.2.1-2所示三种思路考虑.
一般地，当限制条件有两个或两个以上时，若
互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，
则先分类，然后在每一类中再分步解决.
【学会了吗丨变式题】
4.[教材改编P19例4](2025·山东省济南第一中学检测)若从0，1，2，3，4，5这六个数
字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有( )
C
A.20个 B.48个 C.52个 D.120个
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①若0在个位，则只需在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，
此时没有重复数字的三位偶数有 （个）；
②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个作为个位数字，有2种取法，0不能作为
百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字
也有4种取法，此时没有重复数字的三位偶数共有（个） （【另解】
当个位为2或4时：若十位为0，则百位有 种取法；若十位不为0，则十位和百位两
个位置有种取法.故个位为2或4时没有重复数字的三位偶数有 种取
法）
综上可得，没有重复数字的三位偶数共有 （个）.
5.把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中参加某项志愿者活动，要求每
人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方
法共有( )
C
A.20种 B.30种 C.40种 D.60种
【解析】甲是特殊元素，应优先安排.分类完成：
甲排周一，乙、丙只能从周二至周六这5天中选2天，有 种安排方法；
甲排周二，乙、丙有 种安排方法；
甲排周三，乙、丙有 种安排方法；
甲排周四，乙、丙只能排周五和周六，有 种安排方法.
由分类加法计数原理可知，不同的安排方法共有 （种）.
题型4 “捆绑法”解决相邻问题
例11 (2025·山西省晋中市月考)有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生
也必须相邻，则不同排法的种数是( )
D
A.72 B.96 C.144 D.288
【解析】第一步，把3名女生看成一个整体，4名男生看成一个整体，两个整体排成
一排有 种排法；
第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有 种，男生“内部”
的排法有 种.
故符合题意的排法共有 （种）.
名师点评 上述解题方法称为“捆绑法”,解题思路是先整体再局部,主要用于解决对象
相邻问题.事实上,相邻问题是有限制条件的排列问题.
例12 ,,,, 名同学，按下列要求排成一排，求满足下列条件的排列方法数.
（1）5名同学排成一排且, 相邻;
【解析】将,相邻的排列分两步：第一步，把,“捆绑”在一起，由于, 有序，因
此有 种“捆绑”方法（【明易错】“捆绑”时不能忘记对“捆绑”元素的排列）;第二步，
将,“捆绑”后视为一个元素，再与,,进行排列，有 种方法.根据分步乘法计数
原理知,相邻的排法种数为 .
. .
（2）5名同学排成一排，,相邻，且, 也相邻;
【解析】依据题意分三步：
第一步，把,“捆绑”，有 种方法；
第二步，把,“捆绑”，有 种方法；
第三步，将“捆绑”后的“两个元素”与再进行排列，有 种方法.
根据分步乘法计数原理知不同的排法种数为 .
（3）5名同学排成一排，, 相邻但不排在两端;
【解析】完成这件事可分为三步：
第一步，,不排在两端，则从剩下3名同学中选出两名排在两端，有 种方法；
第二步，,相邻，则将,“捆绑”在一起，,内部全排列，有 种方法；
第三步，,“捆绑”后与剩下一名同学进行全排列，有 种方法.
根据分步乘法计数原理知不同的排法种数为 .
（4）5名同学排成一排，,中至少有一人与 相邻.
【解析】以,相邻或, 相邻分两类.
第一类，,相邻，有 种不同的排法;
第二类，,相邻，有 种不同的排法；
由于与,同时相邻的情况计算了两次，应减去一次，其方法数为 .
故,中至少一人与相邻的排法种数为.（与, 同时相邻
的情况重复计数且难以发现）
. .
求解相邻问题的方法——“捆绑法”
“捆绑法”是较为简单的求解相邻问题的方法，其模型为：将 个不同元素排成一排，
其中某 个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数.其解题方法如下.
先将这个元素“捆绑”在一起，将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有 种排
法；再将其看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有 种排法.
根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 种.
【学会了吗丨变式题】
6.6个停车位，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法种数为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】把3个连在一起的空车位“捆绑”，用1表示，3辆汽车的停车位分别用2，3，
4来表示，所以可看成是从1，2，3，4这4个元素中取出4个元素的一个全排列，故所
有停放方法的种数是 ．
题型5 “插空法”解决不相邻问题
例13 5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种.
86 400
【解析】第1步,先排5位母亲的位置，有 种排法；
第2步,把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：
___母亲___母亲___母亲___母亲___母亲___，共有 种排法.
由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有 （种）.
名师点评 上述解题方法称为“插空法”，主要用于解决元素不相邻问题.事实上，“儿
童不相邻”即元素的排列是有限制条件的，因此也是有限制条件的排列问题.
例14 已知，，，， 名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列
方法数.
（1）把5名同学排成一排且， 不相邻;
【解析】 （插空法） 第一步，先排不受限制的同学，， ，其排列方
法有 种．
第二步，由于已经排好的，， 间（包括两端）形成了4个空，把有限制条件
（不相邻）的同学，插到这4个空中，其排列方法有 种．
由分步乘法计数原理知，满足条件的排列方法有 （种）．
（间接法） 先不考虑， 不相邻这个限制条件，把5名同学进行全排列，
有种排列方法，其中，相邻的排列方法有 种，故满足条件的排列方法有
（种）.
（2）把5名同学排成一排且，都不与 相邻；
【解析】 （插空法） 第一步，先排不受限制的同学， ，其排列方法有
种．
第二步，由于已经排好的， 之间（包括两端）形成了3个空，把有限制条件
（不相邻）的同学，插到这3个空中，其排列方法有 种．
第三步，由于已经排好的，，，之间（包括两端）形成了5个空，且不能与
相邻，所以把插入已经排好的，，,中时只有3个空可以选，其排列方法有 种．
由分步乘法计数原理知，符合条件的排列方法有 （种）．
由于,均不与相邻，则与相邻的只能是或者 ，可分为两类：
第1类，排在,中间，再将3人看成一个整体与，全排列，有（ ,排列）
种排法.
第2类，排最左边或最右边有（【释疑惑】其中一个是指, 中选择一个与
相邻，另一个是排在最左边或最右边） 种排法.
由分类加法计数原理知，共有 种不同的排法.
. .
. .
（3）把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且， 不相邻.
【解析】 （直接法） 先排，，，， .
①当， 不相邻时，由第（1）问可知，其排列方法有72种，然后把剩余的空位插
入到已经排好的排列中，有6种插入的方法，根据分步乘法计数原理可知，其排列方
法有 （种）;
②当，相邻时，其排列方法有 （种），然后把剩余的空位插入到已经
排好的排列中，欲使，不相邻，则其插入方法只有1种（即, 之间），故其排列
方法有 （种）.
根据分类加法计数原理可得，满足条件的排列方法共有 （种）.
. .
（间接法） 先不考虑， 不相邻这个限制条件，把5名同学安排到6个空
位中的5个空位上，其排列方法有 种；把5名同学安排到6个空位中的5个空位上且
，相邻（将，“捆绑”后视为一个元素，但排列后仍会占两个空位，因此是 ）
的排列方法有种，所以满足条件的排列方法有 （种）．
（插空法） 可假设有第6位同学排在空位上，与,,进行全排列，有
种排法，4个元素产生5个空隙，再把,插入到空隙中，有 种排法，满足条件的排
列方法共有 （种）.
. .
求解不相邻问题的方法——“插空法”
解决不相邻问题常用“插空法”，其模型为将个不同的元素排成一排，其中 个元素
互不相邻 ，求不同的排法种数.其解题方法如下.
（1）将没有要求的个元素排成一排，其排列方法有 种；
（2）将要求互不相邻的个元素插入个空中，其排列方法有 种.
根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 种.
【学会了吗丨变式题】
7.新情境 传统文化 (2025·四川省南充高级中学月考)中国古代儒家要求学生掌握六
种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，
每天连排六节，每“艺”一节，排课有如下要求：“礼”和“数”不能相邻，“射”和“乐”必
须相邻.则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
D
A.24种 B.72种 C.96种 D.144种
【解析】根据题意，分两步进行分析：
①“射”和“乐”要相邻（相邻用捆绑法），将两者看成一个整体，与“御”“书”全排列，
不同的排法有 （种），
②排好后形成4个空位，在其中任选2个，安排“礼”和“数”（不相邻用插空法），不
同的排法有 （种），
则符合题意的排法有 （种），故选D．
. .
. .
题型6 排列中的定序问题
例15 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求
从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
【解析】 （倍缩法）7名学生的排列方法共有 种，其中女生的排列方法
有 种，从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故不同的排法共有
（种）.
（空位插空法） 设想有7把椅子让4名男生去坐，共有 种方法，3名女
生坐剩余的空位，3名女生从左到右，从矮到高的排列只有一种，故不同的坐法共有
（种）.
（逐步插空法） 先将3名女生按顺序排好，形成4个空位，第一名男生选
一个空位站好，有4种站法，排好的这4名学生形成5个空位，再排第二名男生，以此
类推逐步完成，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有 （种）.
解决定序问题的方法
在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻），即要把
个（元素总数）元素排成一列，其中 个元素之间的先后顺序确定不变，解决这类
问题的基本方法有以下三种.
（1）倍缩法.将个元素排成一列，有种不同的排法，这 个元素
（定序元素）有 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此满足条件的不同
排法共有 种.#1.1.2
. .
. .
. .
（2）空位插空法.因为有 个元素之间的顺序固定不变，只有一种排法，所以可先排
剩余的个元素，余下的个空留给那个元素，共有 种不同的排法.
（3）逐步插空法.因为有 个元素之间的顺序固定不变，所以先将它们依次排好，形
成个空位，将剩余的个元素依次记为，, ,，再排，有 种
排法，并相应增加一个空位，以此类推排,, , ，逐步插空完成.#1.1.4
【学会了吗丨变式题】
图6.2.1-3
8.某年元宵节灯展后，如图6.2.1-3所示悬挂着的六盏
不同的花灯需要取下，每次取一盏，甲比乙先取下，
丙比丁先取下，戊比己先取下，则共有____种不同
的取法.（用数字作答）
90
【解析】因为每串两个灯取下的顺序确定，所以问题可转化为求六个元素的排列中
甲在乙前，丙在丁前，戊在己前的排列数，先将六个元素全排列，有 种排法，
因为甲、乙顺序确定，丙、丁顺序确定，戊、己顺序确定（多部分定序，则除以每
部分的全排列数），
所以满足条件的排法数有 （种），即取下六盏不同的花灯，每
次取一盏，共有90种不同的取法.
. .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
排列问题是本章的一个重要内容，高考中涉及的排列问题普遍为带有限制条件
（如元素相邻、元素不相邻等）的排列问题以及排列与古典概型的综合应用问题等,
求解的关键在于将实际问题合理、正确地转化成排列问题，利用排列知识求解，注
意与分步问题的区分.一般以选择题或填空题的形式呈现，难度中等.
核心素养：逻辑推理（判断是否与顺序有关）、数学运算（排列数、概率的计算等）.
考向1 排列问题
例16 (2025·上海)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的
头和尾均是家长，则不同的排列种数为_____.
288
【解析】先排队列的头和尾（特殊位置优先），有 种排法，
再排中间的4人，有种排法，则不同的排法有 （种）.
. .
例17 (2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星
期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同
安排方式共有( )
B
A.120种 B.60种 C.30种 D.20种
【解析】先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有5种方式；再从余下的4人中选2
人分别安排到星期六、星期日，有 种安排方式.
所以不同的安排方式共有 （种）.
例18 (2022·新高考全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若
甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
B
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
【解析】先将丙和丁捆在一起，有 种排列方式，
然后将其与乙、戊排列，有 种排列方式，
最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，
所以不同的排列方式共有 （种）．
考向2 排列与概率的综合
例19 (2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排
尾的概率是( )
B
A. B. C. D.
【解析】四个人排成一列，有 种排法，甲或乙在排尾，则选一人到排尾，有2种排
法，丙不在排头，则在中间的两个位置中任选一个，有2种排法，剩下两人有两个位
置，有种排法，故所求概率为 .
例20 (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽
取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 （直接法） 甲、乙两人选择主题的情况共有 （种），
其中甲、乙两位同学抽到不同主题可以看作从6个不同对象中取出2个进行排列，即
有种情况，故抽到不同主题的概率为 .
（间接法） 甲、乙两人选择主题的情况共有 （种），甲、乙
两位同学抽到相同主题的情况有6种，故抽到不同主题的概率为 .
例21 (全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率
是( )
D
A. B. C. D.
【解析】将四位同学进行排列，有 种排列方法.
把两位女同学作为一个整体，看成一个元素，把两个男同学看成两个元素，将这三
个元素进行排列，有种排列方法，对女生“内部”进行排列，有 种排列方法，则
所求概率为 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·福建省德化县第二中学期中)满足不等式的 的值可以
为( )
AB
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】，，且 ，
整理得，且，解得 ．
， 的值可以为3，4．
2.[多选题](2025·广东省阳江市第三中学期中)下列关于甲、乙、丙、丁、戊五个身高
互不相同的人
的排列方法，正确的有( )
AD
A.甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻的站法有24种
B.甲、乙、丙互不相邻的站法共有72种方法
C.甲、乙、丙顺序固定，丁、戊相邻的站法有6种
D.甲不在排头的站法有96种
【解析】对于A，由于甲、乙两人相邻，丙、丁两人相邻，则甲、乙两人捆绑在一
起，有2种位置排列，同理，丙、丁也有2种．捆绑之后有3项，分别为甲乙、丙丁、
戊，排列方法有种，则最终的结果有 （种），故A选项正确.
对于B，由于甲、乙、丙互不相邻，则先排丁、戊两人，有 种排法，排完以后形
成3个空，将甲、乙、丙插入，有种排法，最终结果有 （种），故B选
项错误.
对于C，甲、乙、丙顺序固定，则有1种站法，这时形成4个空，将丁、戊捆绑，插入
这4个空中，有4种插法，而丁、戊内部有种站法，则最终结果有
（种），故C选项错误.
对于D，因为甲不在排头，则假设甲在排头，故有 种排法，故甲不在排头的站法
有 （种），故D选项正确.
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：30分钟
1.要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名组长和1名副组长，但甲不能当副组长，
则不同的选法种数是( )
B
A.20 B.16 C.10 D.6
【解析】不考虑限制条件有种选法，若甲当副组长，则组长有 种选法，故甲不
当副组长的选法有 （种）.
2.在由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位上的数字
之和为奇数的数共有( )
B
A.36个 B.24个 C.18个 D.6个
【解析】5个数字中有3个奇数，2个偶数.
数字之和为奇数有两种可能：①“三奇”,可组成的数有 （个）；
②“两偶一奇”,可组成的数有3 （个）（3个奇数选1个,有3种可能）.由分类加
法计数原理得，各数位上的数字之和为奇数的数共有 （个）.
. .
3.(2025·安徽省怀宁县检测)4名运动员参加 接力赛，根据平时队员训练的成绩，
甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( )
B
A.12种 B.14种 C.16种 D.24种
【解析】若不考虑限制条件，4名队员全排列共有 种排法，减去甲跑第一棒
的种排法，乙跑第4棒的 种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒的
种排法，共有 种不同的出场顺序．
4.(2025·广东省深圳市新安中学期中)某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，
后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有( )
D
A.12种 B.30种 C.36种 D.42种
【解析】 由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，则再增加2名
同学时，可分为两步进行：第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7
个空位；第二步把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法.故共有 种不
同的比赛顺序．
先将所有同学重排，共有种方法，而原来5名同学共有 种不同顺序，因
此共有 种比赛顺序．
5.有6道不同的选择题，答案分别为A，B，C，D，D，D，在安排题目顺序时，要求
3道选D的题目任意两道不能相邻，则不同的排序方法的种数为( )
D
A.216 B.168 C.156 D.144
【解析】这是不相邻问题，可先安排不受限制的答案为A，B，C的3道题目，有 种
排法，
在已排好的3道题目形成的4个空中选出3个排答案为D的3道题目，有 种排法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的排法共有 （种）．
6.[多选题]17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为( )
BD
A. B. C. D.
【解析】根据题意，①对于前排的7人，先在17人中选出7人，排成一排，有 种排
法，将剩下的10人排成一排，有种排法，则共有 种排法，B正确.
②直接将17人排成一排，从最左侧开始数的前7人安排在第一排，剩下的10人安排在
第二排即可，有种排法，D正确.故选 ．
7.（1）若，且，则 用排列数符号可表示
为_______.
【解析】 ，
所以 .
（2）不等式 的解集是_______________.
【解析】由题意知，,且 .
由，得 !,
即 !,
即，解得或 （舍去），
故原不等式的解集为 .
8.(2025·江苏省昆山中学月考)一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一
个节目单，则
（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
【答案】个节目全排列有 （种）方法，
前4个节目全是唱歌的有 种，
前4个节目中要有舞蹈的排法有 （种）.
（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
【答案】 个舞蹈节目要排在一起，
可以把3个舞蹈节目看成1个元素和另外5个元素进行全排列，其中3个舞蹈节目本
身有一个内部全排列，
故3个舞蹈节目要排在一起有 种排法.
（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？
【答案】先把5个唱歌节目全排列，形成6个空，选3个空把舞蹈节目排列，共有
（种）．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：35分钟
9.(2025·河南省信阳高级中学月考)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概
率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】将4个1和2个0视为完全不同的元素，4个1分别设为,,, ,2个0分别
设为,,将4个1和2个0随机排成一行,有种排法,将,,,排成一行有 种
排法,再将,插空,有种排法，所以2个0不相邻的概率为 .
10.新定义 波浪数形如45 132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数
字比它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可以构成没有重复数字的5位“波浪
数”的个数为( )
C
A.20 B.18 C.16 D.11
【解析】当十位与千位上的数是4或5时，共有“波浪数” （个）.当千位上
的数是5，十位上的数是3时，万位上的数只能是4，此时有2个“波浪数”
和 ．同理，当千位上的数是3，十位上的数是5时，个位上的数只能是4，此时也有2个“波浪数”.
因此共有没有重复数字的5位“波浪数” （个）.
图6.2.1-1
11.[教材改编P27 T17](2025·江西省南昌市第十中学期末)某植
物园要在如图6.2.1-1所示的5个区域种植果树，现有5种不同的
果树可供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则不同的
方法数为( )
C
A.120 B.360 C.420 D.480
【解析】分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树.
第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
第四步种5区域，有3种方法.
由分步乘法计数原理可知，共有 种方法.
第二类：2与4种不同果树.
第一步种1，2，3，4四个区域（因为2,4种不同的树,所以1,2,3,4四个区域果树都不
同），从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有 种方法；
第二步种5号区域，有2种方法.
由分步乘法计数原理可知，共有 种方法.
综上，由分类加法计数原理可知，不同的方法数为 .
. .
12.［多选题］用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正
确的是( )
BC
A.可组成360个没有重复数字的四位数
B.可组成156个没有重复数字的四位偶数
C.可组成96个能被3整除的没有重复数字的四位数
D.若将组成的没有重复数字的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的
第85项为2 310
【解析】对于A，从6个数中，任取4个数组成没有重复数字的4位数，有 种情况，
其中0在首位的有种情况，则共可组成 个没有重复数字的四位数，
故A错误.
对于B，分0在末位与不在末位两种情况讨论.
0在末位时，有种情况，0不在末位时，有 种情况，
由分类加法计数原理知，共有 种情况，即可组成156个没有重复
数字的四位偶数，故B正确.
对于C，根据题意，四位数能被3整除，则选出的四个数字有5种情况，分别为 ，
2，4，5；，3，4，5；，2，3，4；，1，3，5； ，1，2，3.
（各数位上数字之和能被3整除）
对于①，共可以组成 个四位数；
对于②，0不能在首位，此时可以组成 个四位数，
同理，对于③，④，⑤，都可以组成18个四位数，
则这样的四位数共有 （个），故C正确.
对于D，千位是1的四位数有 （个），
千位是2，百位是0或1的四位数有 （个），
所以数列的第85项是，故D错误.故选 ．
13.若9个人任意排成一排,则甲排最中间,且乙与丙相邻的概率为_ __.
【解析】由甲排最中间，且乙与丙相邻，可知乙与丙只能同时排在甲的左侧或右侧，
此时乙与丙的排法有6 种，（乙、丙捆绑看作一个元素，排在相邻两个位置，有6
种方法）其余6人的排法有种，故所求概率为 .
. .
14.(2025·山东省滕州市实验中学调研)4名男同学和3名女同学站成一排．
（1）3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法
【答案】3名女同学是特殊对象，先把她们排好，共有 种排法.由于3名女同学必须
排在一起，我们可视排好的女同学为一个整体，再与4名男同学进行全排列，有 种
排法.
由分步乘法计数原理可知，不同的排法有 （种）．
（2）任何2名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法
【答案】先将男生排好，共有 种排法，
再在这4名男生的中间及两头的5个空位中插入3名女生，有 种排法，
故不同的排法共有 （种）．
（3）甲不在最左端,乙不在最右端,有多少种不同的排法
【答案】 甲不在最左端,按甲的排法分类:
若甲在最右端,则有 种排法；
若甲不在最右端,则甲有种排法,乙有种排法,其余同学有 种排法.
综上，不同的排法共有 （种）.
在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有 种站法，甲在最左端的站法
有种，乙在最右端的站法有种，而甲在最左端且乙在最右端的站法有 种，故
不同的排法有 （种）.
（4）7名同学中，甲、乙两名同学之间必须恰有3名同学，有多少种不同的排法
【答案】先排甲、乙两名同学，有 种排法，再从余下5名同学中选3名同学排在甲、
乙两名同学中间，有 种排法，这时把已排好的5名同学视为一个整体，与最后剩下
的2名同学进行全排列，有种排法，故不同的排法共有 （种）．
（5）7名同学中，甲、乙两名同学相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法
【答案】先排除甲、乙、丙3名同学以外的其他4名同学，有 种排法，由于甲、乙
要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法，最后把排好的甲、乙看作一个整体与丙
分别插入原先排好的4名同学形成的5个空位中，有 种排法，故不同的排法共有
（种）．
C 培优练丨能力提升
15.将数字1,2，3,4，5，6排成一列，记第个数为，若, ,
, ,则不同的排列方法有____种.
30
【解析】由于，且在,,中最小，所以 只能取2，3，4三个数，故可
以按 的取值进行分类．
第一类,时，可以取数字4或5，不管取何值， 只能取数字6，其他位置不
受限制，有种排列方法，故当时，排列方法有 （种）．
第二类,时，可以取数字4或5，不管取何值， 只能取数字6，其他位置不
受限制，有种排列方法，故当时，排列方法有 （种）．
第三类,时，只能取数字5，只能取数字6，其他位置不受限制，有 种排
列方法，故当时，排列方法有 （种）．
根据分类加法计数原理可得，满足题意的排列方法共有 （种）．
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列 6.2.2 排列数
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 排列
一般地，从个不同元素中取出 个元素，并按照一定的顺序排成一列，
叫做从个不同元素中取出 个元素的一个排列.
两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也
相同.（例如：排列与排列 是不同的排列）
. .
. .
知识剖析 对排列定义的理解
（1）排列的定义包括三个方面:
①所有元素都不相同；
②取出元素；
③按照一定的顺序排成一列.
（2）在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，不考虑顺序就不是排列.
（3）一个排列就是完成一件事的一种方法；不同的排列就是完成一件事的不同
方法.
学思用·典例详解
例1-1 判断下列问题是不是排列问题，并说明理由.
（1）从1,2,3, ,10这10个正整数中任取两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，可
以得到多少个不同的点的坐标？
（2）从1,2,3, ,10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同
的集合？
【解析】对于（1），结果与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，
所以这是排列问题.
对于（2），由于集合中的元素具有无序性，即集合不受所选两个数的排列顺序的影
响，所以这不是排列问题.
知识点2 排列数
1 排列数的定义
我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从
个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示.
2 排列数公式
（ 个数）
这里，，，并且 （解题时注意该隐含条件）.这个公式叫做排列
数公式.
图6.2.1-1
知识剖析 排列数公式的推导
求排列数 可以这样考虑：假设有排
好顺序的个空位（如图6.2.1-1），从 个
不同元素中任取 个元素去填空，一个空
根据分步乘法计数原理，我们可以得到公式：
.
位填1个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数
.
. .
3 全排列与阶乘
全排 列 我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 个元素的一个全排
列．这时，排列数公式中，即有
.
也就是说，将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到 的连乘积.
阶乘 正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用 表示．
个元素的全排列数公式可以写成 !.
我们规定， .
排列数公式还可以写成 .
知识剖析 1.实际上，较大数的阶乘一定是较小数的阶乘的倍数，如
.
2.排列数公式变形的推导过程：
.#1.2.4
学思用·典例详解
例2-2 (2025·广东省广州市第一一三中学月考)从5本不同的书中选出3本分别送给3位
同学，每人一本，则不同的方法数是( )
B
A.10 B.60 C.243 D.15
【解析】从5本不同的书中选出3本分别送给3位同学，每人一本，是排列问题.
因此不同的方法数是 .
例2-3 计算：
（1） ；
【解析】 ．
（2） ；
【解析】 ．
（3） .
【解析】原式 ．
例2-4 （1） 可表示为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ．
（2）设,且,则 可化简为( )
B
A. B. C. D.
【解析】最大的数为,最小的数为 ，因式的个数为
,故原式 .
（逆用排列数公式时，先确定连乘式中的最大数和最小数，再确定因式的个数）
（3）已知，则 ( )
B
A.11 B.12 C.13 D.14
【解析】，，整理得，，解得
或 （不合题意，舍去）.
释疑惑 重难拓展
知识点3 排列数的性质
排列数具有以下性质：
性质①： ;
性质②： .
知识剖析 两个性质的直观解释（推导）
1.性质①是指从个不同元素中取出 个元素进行排列，分两步完成：
第一步，从个元素中选出1个元素排在一个位置上；第二步，从余下的 个元
素中选出个元素排在其他个位置上.由此可得 .
同理，,, .
2.性质②是指从个不同元素中取出 个元素进行排列，用分类的方法解决
此类问题，分两类情况：
第1类，取出的个元素中含有,首先将排在某一位置上，有 种方法；其次从
其余个元素中取出个元素排在剩余的位置上，有 种方法，则此
类情况有 种方法.
第2类，取出的个元素中不含有,从除外的个元素中取出 个元素进
行排列，则此类情况有 种方法.
故共有种方法，即 .
学思用·典例详解
例3-5 利用排列数公式证明性质②.
【解析】
.
故性质②得证.
点评 要熟练掌握排列数的基本公式，尤其是 ,这是证明排列数恒等式
的重要工具.
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 排列数公式的应用
例6（1）计算： ；
【解析】
.
（巧用 ）
（巧用） .
（2）化简: !;
【解析】 !,
原式 .
（3）解方程： ；
【解析】由，得 （排列数的上标为未知数时，用阶乘的
形式解题比较好）,
即 ，
化简得，解得或 .
， ,
原方程的解为.（【另解】将代入得 ,显然不成立，这样可以减
少计算量）
. .
（4）解不等式： .
【解析】不等式化为 ，
【化简技巧】
整理得，解得 ，
又中，,， .
不等式的解集是 .
（1）在化简与阶乘有关的代数式时，抓住阶乘 的运算规律是找到有效解题途径
的前提.
常用的拆项技巧有：
!；
.
计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，
然后计算，这样做可以减少运算量．
中隐含了如下条件：,,, 的运算结果为正整数.
③在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围.
【学会了吗丨变式题】
1.求证：
（1） ;
【答案】 .
（2） .
【答案】 ．
2.(2025·山东省聊城市月考)
（1）计算 ；
【答案】 .
（2）已知，求 .
【答案】由，则 ，整理得
，所以或 .
又，且，所以 .
题型2 无限制条件的排列问题
例7（1）6个人走进有10把不同椅子的屋子，若每把椅子只能坐一人，共有不同坐法
的种数为( )
B
A.6 B. C. D.
【解析】6个人需要坐6把椅子，所以需要从10把椅子中选6把椅子进行排列，从而不
同的坐法种数为 .
（2）把15人分成前、中、后三排,每排5人,则共有不同的排法种数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 15个人分成前、中、后三排，每排5人,分3步完成，不同的排法种
数为 .
此问题可看作将排成的三排“拉直”，实际上就是将15人排成一排的问题，
故共有 种不同排法.
例8（1）某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可
以任挂1面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示____种
不同的信号.
15
【解析】分三类完成：
第1类，挂1面旗，可以表示 种不同的信号；
第2类，挂2面旗，可以表示 种不同的信号；
第3类，挂3面旗，可以表示 种不同的信号.
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有
（种）.
（2）将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车均有1位司
机和1位售票员，则共有_____种不同的分配方案.
576
【解析】解决这个问题可以分为两步：
第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元
素排成一列，有 种方法；
第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有 种方法.
由分步乘法计数原理知，分配方案共有 （种）.
无限制条件的排列问题的常见类型及解题思路
个不同的元素占据 个不同的位置，
若,且每个位置只排一个元素，则有 种不同的排法；
若,且每个元素只占一个位置，则有 种不同的占法.
简而言之，就是注意把握“固定元素”与“固定位置”的相对性、灵活性.
【学会了吗丨变式题】
3.3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，
可以得到不同的三位数的个数为( )
B
A.30 B.48 C.60 D.96
【解析】“组成三位数”这件事，分2步完成：
第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列 ；
第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法.
根据分步乘法计数原理，共可以得到不同的三位数 （个）.
题型3 特殊元素或特殊位置问题
例9 甲、乙等6个人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站最右端，也不站最左端；
【解析】 （位置分析法） 因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5个人
中任选2个人站在左、右两端，有 种站法，再让剩下的4个人站在中间的4个位置上，
有种站法.由分步乘法计数原理知，不同的站法共有 （种）.
（元素分析法） 因为甲不能站左、右两端，故先让甲站在除左、右两端
之外的任一位置上，有种站法，再让余下的5个人站在其他5个位置上，有 种站
法，故不同的站法共有 （种）．
（间接法） 在排列时，不考虑甲站位的要求，有 种站法，但其中包含
甲站在最左端或最右端的情况，甲在最左端或最右端共有 种站法，于是不同的站
法共有 （种）．
（2）甲、乙站在两端；
【解析】 （元素分析法） 首先考虑特殊元素，先让甲、乙站在两端，有
种站法，再让其他4个人在中间4个位置进行全排列，有 种站法.根据分步乘法计
数原理知，不同的站法共有 （种）．
（位置分析法） 首先考虑两端的两个位置，由甲、乙去站，有 种站法,
再考虑中间的4个位置，由剩下的4个人去站，有 种站法.根据分步乘法计数原理知，
不同的站法共有 （种）．
（3）甲不站最左端，乙不站最右端.
【解析】 （间接法） 在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有 种站
法，甲在最左端的站法有种，乙在最右端的站法有 种，而甲在最左端且乙在最
右端的站法有种，故不同的站法共有（【释疑惑】加上 是因为甲
站在最左端且乙站在最右端的情况被排除了两次） （种）.
（元素分析法） 以甲的位置为依据，可分两类：
第一类，甲在最右端，有 种站法；
第二类，甲站在中间4个位置中的任一位置，且乙不站最右端，则可先排甲后排乙，
再排其余4个，有 种站法.
故不同的站法共有 （种）.
. .
（位置分析法） 根据题意，可分为4种情况：
①甲、乙既不站在最左端，也不站在最右端，有 种站法；
②甲站在最右端，乙不站在最左端，有 种站法；
③乙站在最左端，甲不站在最右端，有 种站法；
④甲站在最右端，乙站在最左端，有 种站法.
根据分类加法计数原理知，不同的站法共有 （种）.
名师点评 本题第（3）问方法2中，甲乙都是特殊元素，先考虑甲，当甲在最右端时，
乙不可能在最右端，此时可认为乙不是特殊元素，正常排列即可；当甲不在最右端
时，因为其不能在最左端，所以只能在中间选位置，甲排好后考虑乙，此时乙为特
殊元素，按照要求排列即可.
例10 (教材改编P27 T12)用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的数,则
（1）可以组成多少个六位奇数？
【解析】 （位置分析法） 分三步完成：
第一步，填末位，有 种填法；
第二步，填首位，有 种填法；
第三步，填其他位，有 种填法.故可以组成的无重复数字的六位奇数共有
（个）．
（元素分析法）0不在首位也不在末位,有 种排法；从1，3，5中任选一
个排在末位，有种排法；其他各位上用剩下的数字进行排列，有 种排法.故可以
组成的无重复数字的六位奇数共有 （个）．
（间接法）六个数字共有种排法，数字0，2，4在末位上有 种排法，
数字1，3，5在末位上且0在首位上共有 种排法，故可以组成的无重复数字的六位
奇数共有 （个）．
（2）可以组成多少个不大于4 310的四位偶数？
【解析】要组成偶数，则个位上一定是偶数，即0或2或4，根据题意，千位上不能是
0或5，可分为以下几种情况：
①当千位上排1，3时，从0，2，4中任选一个排在个位，其他各位上从剩下的四个数
字中选择两个进行排列，有 种排法；
②当千位上排2时，从0，4中任选一个排在个位，然后从剩下的四个数字中选择两个
进行排列，有 种排法；
③当千位上排4时，形如 （个位上一定是2）， （个位上一定是0）
的偶数各有个，形如 （个位上有可能是0，有可能是2）的偶数有 个，
形如 （个位上有可能是0，有可能是2）的符
合要求的偶数只有4 310和4 302这两个．
故可以组成的不大于4 310的四位偶数共有
（个）.
. .
. .
. .
. .
（3）可以组成多少个5的倍数的五位数？
【解析】 （直接法） 若个位上的数字是0，则从1，2，3，4，5中任意取
出4个数字排在前四个位置就可以组成无重复数字的五位数且是5的倍数，即有 个
满足条件的数；
若个位上的数字是5，则从1，2，3，4中任意取出一个数字排在首位上，有 种排法，
然后从余下的4个数字中任意取出3个数字排在中间的3个位置上，有 种排法，故有
个满足条件的数．
由分类加法计数原理可知满足条件的五位数共有 （个）．
（间接法） 个位上的数字是0或5，有种排法，故可知总的排法有
种,但其中包含了5在个位，0在首位的情况，有 种．故满足条件的五位数共有
（个）．
易错警示 在求解此类与数字有关的排列问题时，易犯的错误是忽略0的特殊性，
认为有几个数字就一定构成几位数.如在求解本题第（3）小题时，容易忽略0的特殊
性，即0不能排在首位上，否则组成的就不是五位数．
“特殊”优先原则
常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，
解题原则是谁“特殊”谁优先.
图6.2.1-2
一般从如图6.2.1-2所示三种思路考虑.
一般地，当限制条件有两个或两个以上时，若
互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，
则先分类，然后在每一类中再分步解决.
【学会了吗丨变式题】
4.[教材改编P19例4](2025·山东省济南第一中学检测)若从0，1，2，3，4，5这六个数
字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有( )
C
A.20个 B.48个 C.52个 D.120个
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①若0在个位，则只需在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，
此时没有重复数字的三位偶数有 （个）；
②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个作为个位数字，有2种取法，0不能作为
百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字
也有4种取法，此时没有重复数字的三位偶数共有（个） （【另解】
当个位为2或4时：若十位为0，则百位有 种取法；若十位不为0，则十位和百位两
个位置有种取法.故个位为2或4时没有重复数字的三位偶数有 种取
法）
综上可得，没有重复数字的三位偶数共有 （个）.
5.把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中参加某项志愿者活动，要求每
人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方
法共有( )
C
A.20种 B.30种 C.40种 D.60种
【解析】甲是特殊元素，应优先安排.分类完成：
甲排周一，乙、丙只能从周二至周六这5天中选2天，有 种安排方法；
甲排周二，乙、丙有 种安排方法；
甲排周三，乙、丙有 种安排方法；
甲排周四，乙、丙只能排周五和周六，有 种安排方法.
由分类加法计数原理可知，不同的安排方法共有 （种）.
题型4 “捆绑法”解决相邻问题
例11 (2025·山西省晋中市月考)有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生
也必须相邻，则不同排法的种数是( )
D
A.72 B.96 C.144 D.288
【解析】第一步，把3名女生看成一个整体，4名男生看成一个整体，两个整体排成
一排有 种排法；
第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有 种，男生“内部”
的排法有 种.
故符合题意的排法共有 （种）.
名师点评 上述解题方法称为“捆绑法”,解题思路是先整体再局部,主要用于解决对象
相邻问题.事实上,相邻问题是有限制条件的排列问题.
例12 ,,,, 名同学，按下列要求排成一排，求满足下列条件的排列方法数.
（1）5名同学排成一排且, 相邻;
【解析】将,相邻的排列分两步：第一步，把,“捆绑”在一起，由于, 有序，因
此有 种“捆绑”方法（【明易错】“捆绑”时不能忘记对“捆绑”元素的排列）;第二步，
将,“捆绑”后视为一个元素，再与,,进行排列，有 种方法.根据分步乘法计数
原理知,相邻的排法种数为 .
. .
（2）5名同学排成一排，,相邻，且, 也相邻;
【解析】依据题意分三步：
第一步，把,“捆绑”，有 种方法；
第二步，把,“捆绑”，有 种方法；
第三步，将“捆绑”后的“两个元素”与再进行排列，有 种方法.
根据分步乘法计数原理知不同的排法种数为 .
（3）5名同学排成一排，, 相邻但不排在两端;
【解析】完成这件事可分为三步：
第一步，,不排在两端，则从剩下3名同学中选出两名排在两端，有 种方法；
第二步，,相邻，则将,“捆绑”在一起，,内部全排列，有 种方法；
第三步，,“捆绑”后与剩下一名同学进行全排列，有 种方法.
根据分步乘法计数原理知不同的排法种数为 .
（4）5名同学排成一排，,中至少有一人与 相邻.
【解析】以,相邻或, 相邻分两类.
第一类，,相邻，有 种不同的排法;
第二类，,相邻，有 种不同的排法；
由于与,同时相邻的情况计算了两次，应减去一次，其方法数为 .
故,中至少一人与相邻的排法种数为.（与, 同时相邻
的情况重复计数且难以发现）
. .
求解相邻问题的方法——“捆绑法”
“捆绑法”是较为简单的求解相邻问题的方法，其模型为：将 个不同元素排成一排，
其中某 个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数.其解题方法如下.
先将这个元素“捆绑”在一起，将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有 种排
法；再将其看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有 种排法.
根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 种.
【学会了吗丨变式题】
6.6个停车位，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法种数为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】把3个连在一起的空车位“捆绑”，用1表示，3辆汽车的停车位分别用2，3，
4来表示，所以可看成是从1，2，3，4这4个元素中取出4个元素的一个全排列，故所
有停放方法的种数是 ．
题型5 “插空法”解决不相邻问题
例13 5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种.
86 400
【解析】第1步,先排5位母亲的位置，有 种排法；
第2步,把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：
___母亲___母亲___母亲___母亲___母亲___，共有 种排法.
由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有 （种）.
名师点评 上述解题方法称为“插空法”，主要用于解决元素不相邻问题.事实上，“儿
童不相邻”即元素的排列是有限制条件的，因此也是有限制条件的排列问题.
例14 已知，，，， 名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列
方法数.
（1）把5名同学排成一排且， 不相邻;
【解析】 （插空法） 第一步，先排不受限制的同学，， ，其排列方
法有 种．
第二步，由于已经排好的，， 间（包括两端）形成了4个空，把有限制条件
（不相邻）的同学，插到这4个空中，其排列方法有 种．
由分步乘法计数原理知，满足条件的排列方法有 （种）．
（间接法） 先不考虑， 不相邻这个限制条件，把5名同学进行全排列，
有种排列方法，其中，相邻的排列方法有 种，故满足条件的排列方法有
（种）.
（2）把5名同学排成一排且，都不与 相邻；
【解析】 （插空法） 第一步，先排不受限制的同学， ，其排列方法有
种．
第二步，由于已经排好的， 之间（包括两端）形成了3个空，把有限制条件
（不相邻）的同学，插到这3个空中，其排列方法有 种．
第三步，由于已经排好的，，，之间（包括两端）形成了5个空，且不能与
相邻，所以把插入已经排好的，，,中时只有3个空可以选，其排列方法有 种．
由分步乘法计数原理知，符合条件的排列方法有 （种）．
由于,均不与相邻，则与相邻的只能是或者 ，可分为两类：
第1类，排在,中间，再将3人看成一个整体与，全排列，有（ ,排列）
种排法.
第2类，排最左边或最右边有（【释疑惑】其中一个是指, 中选择一个与
相邻，另一个是排在最左边或最右边） 种排法.
由分类加法计数原理知，共有 种不同的排法.
. .
. .
（3）把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且， 不相邻.
【解析】 （直接法） 先排，，，， .
①当， 不相邻时，由第（1）问可知，其排列方法有72种，然后把剩余的空位插
入到已经排好的排列中，有6种插入的方法，根据分步乘法计数原理可知，其排列方
法有 （种）;
②当，相邻时，其排列方法有 （种），然后把剩余的空位插入到已经
排好的排列中，欲使，不相邻，则其插入方法只有1种（即, 之间），故其排列
方法有 （种）.
根据分类加法计数原理可得，满足条件的排列方法共有 （种）.
. .
（间接法） 先不考虑， 不相邻这个限制条件，把5名同学安排到6个空
位中的5个空位上，其排列方法有 种；把5名同学安排到6个空位中的5个空位上且
，相邻（将，“捆绑”后视为一个元素，但排列后仍会占两个空位，因此是 ）
的排列方法有种，所以满足条件的排列方法有 （种）．
（插空法） 可假设有第6位同学排在空位上，与,,进行全排列，有
种排法，4个元素产生5个空隙，再把,插入到空隙中，有 种排法，满足条件的排
列方法共有 （种）.
. .
求解不相邻问题的方法——“插空法”
解决不相邻问题常用“插空法”，其模型为将个不同的元素排成一排，其中 个元素
互不相邻 ，求不同的排法种数.其解题方法如下.
（1）将没有要求的个元素排成一排，其排列方法有 种；
（2）将要求互不相邻的个元素插入个空中，其排列方法有 种.
根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 种.
【学会了吗丨变式题】
7.新情境 传统文化 (2025·四川省南充高级中学月考)中国古代儒家要求学生掌握六
种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，
每天连排六节，每“艺”一节，排课有如下要求：“礼”和“数”不能相邻，“射”和“乐”必
须相邻.则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
D
A.24种 B.72种 C.96种 D.144种
【解析】根据题意，分两步进行分析：
①“射”和“乐”要相邻（相邻用捆绑法），将两者看成一个整体，与“御”“书”全排列，
不同的排法有 （种），
②排好后形成4个空位，在其中任选2个，安排“礼”和“数”（不相邻用插空法），不
同的排法有 （种），
则符合题意的排法有 （种），故选D．
. .
. .
题型6 排列中的定序问题
例15 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求
从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
【解析】 （倍缩法）7名学生的排列方法共有 种，其中女生的排列方法
有 种，从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故不同的排法共有
（种）.
（空位插空法） 设想有7把椅子让4名男生去坐，共有 种方法，3名女
生坐剩余的空位，3名女生从左到右，从矮到高的排列只有一种，故不同的坐法共有
（种）.
（逐步插空法） 先将3名女生按顺序排好，形成4个空位，第一名男生选
一个空位站好，有4种站法，排好的这4名学生形成5个空位，再排第二名男生，以此
类推逐步完成，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有 （种）.
解决定序问题的方法
在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻），即要把
个（元素总数）元素排成一列，其中 个元素之间的先后顺序确定不变，解决这类
问题的基本方法有以下三种.
（1）倍缩法.将个元素排成一列，有种不同的排法，这 个元素
（定序元素）有 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此满足条件的不同
排法共有 种.#1.1.2
. .
. .
. .
（2）空位插空法.因为有 个元素之间的顺序固定不变，只有一种排法，所以可先排
剩余的个元素，余下的个空留给那个元素，共有 种不同的排法.
（3）逐步插空法.因为有 个元素之间的顺序固定不变，所以先将它们依次排好，形
成个空位，将剩余的个元素依次记为，, ,，再排，有 种
排法，并相应增加一个空位，以此类推排,, , ，逐步插空完成.#1.1.4
【学会了吗丨变式题】
图6.2.1-3
8.某年元宵节灯展后，如图6.2.1-3所示悬挂着的六盏
不同的花灯需要取下，每次取一盏，甲比乙先取下，
丙比丁先取下，戊比己先取下，则共有____种不同
的取法.（用数字作答）
90
【解析】因为每串两个灯取下的顺序确定，所以问题可转化为求六个元素的排列中
甲在乙前，丙在丁前，戊在己前的排列数，先将六个元素全排列，有 种排法，
因为甲、乙顺序确定，丙、丁顺序确定，戊、己顺序确定（多部分定序，则除以每
部分的全排列数），
所以满足条件的排法数有 （种），即取下六盏不同的花灯，每
次取一盏，共有90种不同的取法.
. .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
排列问题是本章的一个重要内容，高考中涉及的排列问题普遍为带有限制条件
（如元素相邻、元素不相邻等）的排列问题以及排列与古典概型的综合应用问题等,
求解的关键在于将实际问题合理、正确地转化成排列问题，利用排列知识求解，注
意与分步问题的区分.一般以选择题或填空题的形式呈现，难度中等.
核心素养：逻辑推理（判断是否与顺序有关）、数学运算（排列数、概率的计算等）.
考向1 排列问题
例16 (2025·上海)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的
头和尾均是家长，则不同的排列种数为_____.
288
【解析】先排队列的头和尾（特殊位置优先），有 种排法，
再排中间的4人，有种排法，则不同的排法有 （种）.
. .
例17 (2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星
期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同
安排方式共有( )
B
A.120种 B.60种 C.30种 D.20种
【解析】先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有5种方式；再从余下的4人中选2
人分别安排到星期六、星期日，有 种安排方式.
所以不同的安排方式共有 （种）.
例18 (2022·新高考全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若
甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
B
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
【解析】先将丙和丁捆在一起，有 种排列方式，
然后将其与乙、戊排列，有 种排列方式，
最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，
所以不同的排列方式共有 （种）．
考向2 排列与概率的综合
例19 (2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排
尾的概率是( )
B
A. B. C. D.
【解析】四个人排成一列，有 种排法，甲或乙在排尾，则选一人到排尾，有2种排
法，丙不在排头，则在中间的两个位置中任选一个，有2种排法，剩下两人有两个位
置，有种排法，故所求概率为 .
例20 (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽
取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 （直接法） 甲、乙两人选择主题的情况共有 （种），
其中甲、乙两位同学抽到不同主题可以看作从6个不同对象中取出2个进行排列，即
有种情况，故抽到不同主题的概率为 .
（间接法） 甲、乙两人选择主题的情况共有 （种），甲、乙
两位同学抽到相同主题的情况有6种，故抽到不同主题的概率为 .
例21 (全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率
是( )
D
A. B. C. D.
【解析】将四位同学进行排列，有 种排列方法.
把两位女同学作为一个整体，看成一个元素，把两个男同学看成两个元素，将这三
个元素进行排列，有种排列方法，对女生“内部”进行排列，有 种排列方法，则
所求概率为 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·福建省德化县第二中学期中)满足不等式的 的值可以
为( )
AB
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】，，且 ，
整理得，且，解得 ．
， 的值可以为3，4．
2.[多选题](2025·广东省阳江市第三中学期中)下列关于甲、乙、丙、丁、戊五个身高
互不相同的人
的排列方法，正确的有( )
AD
A.甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻的站法有24种
B.甲、乙、丙互不相邻的站法共有72种方法
C.甲、乙、丙顺序固定，丁、戊相邻的站法有6种
D.甲不在排头的站法有96种
【解析】对于A，由于甲、乙两人相邻，丙、丁两人相邻，则甲、乙两人捆绑在一
起，有2种位置排列，同理，丙、丁也有2种．捆绑之后有3项，分别为甲乙、丙丁、
戊，排列方法有种，则最终的结果有 （种），故A选项正确.
对于B，由于甲、乙、丙互不相邻，则先排丁、戊两人，有 种排法，排完以后形
成3个空，将甲、乙、丙插入，有种排法，最终结果有 （种），故B选
项错误.
对于C，甲、乙、丙顺序固定，则有1种站法，这时形成4个空，将丁、戊捆绑，插入
这4个空中，有4种插法，而丁、戊内部有种站法，则最终结果有
（种），故C选项错误.
对于D，因为甲不在排头，则假设甲在排头，故有 种排法，故甲不在排头的站法
有 （种），故D选项正确.
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：30分钟
1.要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名组长和1名副组长，但甲不能当副组长，
则不同的选法种数是( )
B
A.20 B.16 C.10 D.6
【解析】不考虑限制条件有种选法，若甲当副组长，则组长有 种选法，故甲不
当副组长的选法有 （种）.
2.在由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位上的数字
之和为奇数的数共有( )
B
A.36个 B.24个 C.18个 D.6个
【解析】5个数字中有3个奇数，2个偶数.
数字之和为奇数有两种可能：①“三奇”,可组成的数有 （个）；
②“两偶一奇”,可组成的数有3 （个）（3个奇数选1个,有3种可能）.由分类加
法计数原理得，各数位上的数字之和为奇数的数共有 （个）.
. .
3.(2025·安徽省怀宁县检测)4名运动员参加 接力赛，根据平时队员训练的成绩，
甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( )
B
A.12种 B.14种 C.16种 D.24种
【解析】若不考虑限制条件，4名队员全排列共有 种排法，减去甲跑第一棒
的种排法，乙跑第4棒的 种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒的
种排法，共有 种不同的出场顺序．
4.(2025·广东省深圳市新安中学期中)某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，
后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有( )
D
A.12种 B.30种 C.36种 D.42种
【解析】 由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，则再增加2名
同学时，可分为两步进行：第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7
个空位；第二步把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法.故共有 种不
同的比赛顺序．
先将所有同学重排，共有种方法，而原来5名同学共有 种不同顺序，因
此共有 种比赛顺序．
5.有6道不同的选择题，答案分别为A，B，C，D，D，D，在安排题目顺序时，要求
3道选D的题目任意两道不能相邻，则不同的排序方法的种数为( )
D
A.216 B.168 C.156 D.144
【解析】这是不相邻问题，可先安排不受限制的答案为A，B，C的3道题目，有 种
排法，
在已排好的3道题目形成的4个空中选出3个排答案为D的3道题目，有 种排法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的排法共有 （种）．
6.[多选题]17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为( )
BD
A. B. C. D.
【解析】根据题意，①对于前排的7人，先在17人中选出7人，排成一排，有 种排
法，将剩下的10人排成一排，有种排法，则共有 种排法，B正确.
②直接将17人排成一排，从最左侧开始数的前7人安排在第一排，剩下的10人安排在
第二排即可，有种排法，D正确.故选 ．
7.（1）若，且，则 用排列数符号可表示
为_______.
【解析】 ，
所以 .
（2）不等式 的解集是_______________.
【解析】由题意知，,且 .
由，得 !,
即 !,
即，解得或 （舍去），
故原不等式的解集为 .
8.(2025·江苏省昆山中学月考)一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一
个节目单，则
（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
【答案】个节目全排列有 （种）方法，
前4个节目全是唱歌的有 种，
前4个节目中要有舞蹈的排法有 （种）.
（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
【答案】 个舞蹈节目要排在一起，
可以把3个舞蹈节目看成1个元素和另外5个元素进行全排列，其中3个舞蹈节目本
身有一个内部全排列，
故3个舞蹈节目要排在一起有 种排法.
（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？
【答案】先把5个唱歌节目全排列，形成6个空，选3个空把舞蹈节目排列，共有
（种）．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：35分钟
9.(2025·河南省信阳高级中学月考)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概
率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】将4个1和2个0视为完全不同的元素，4个1分别设为,,, ,2个0分别
设为,,将4个1和2个0随机排成一行,有种排法,将,,,排成一行有 种
排法,再将,插空,有种排法，所以2个0不相邻的概率为 .
10.新定义 波浪数形如45 132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数
字比它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可以构成没有重复数字的5位“波浪
数”的个数为( )
C
A.20 B.18 C.16 D.11
【解析】当十位与千位上的数是4或5时，共有“波浪数” （个）.当千位上
的数是5，十位上的数是3时，万位上的数只能是4，此时有2个“波浪数”
和 ．同理，当千位上的数是3，十位上的数是5时，个位上的数只能是4，此时也有2个“波浪数”.
因此共有没有重复数字的5位“波浪数” （个）.
图6.2.1-1
11.[教材改编P27 T17](2025·江西省南昌市第十中学期末)某植
物园要在如图6.2.1-1所示的5个区域种植果树，现有5种不同的
果树可供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则不同的
方法数为( )
C
A.120 B.360 C.420 D.480
【解析】分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树.
第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
第四步种5区域，有3种方法.
由分步乘法计数原理可知，共有 种方法.
第二类：2与4种不同果树.
第一步种1，2，3，4四个区域（因为2,4种不同的树,所以1,2,3,4四个区域果树都不
同），从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有 种方法；
第二步种5号区域，有2种方法.
由分步乘法计数原理可知，共有 种方法.
综上，由分类加法计数原理可知，不同的方法数为 .
. .
12.［多选题］用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正
确的是( )
BC
A.可组成360个没有重复数字的四位数
B.可组成156个没有重复数字的四位偶数
C.可组成96个能被3整除的没有重复数字的四位数
D.若将组成的没有重复数字的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的
第85项为2 310
【解析】对于A，从6个数中，任取4个数组成没有重复数字的4位数，有 种情况，
其中0在首位的有种情况，则共可组成 个没有重复数字的四位数，
故A错误.
对于B，分0在末位与不在末位两种情况讨论.
0在末位时，有种情况，0不在末位时，有 种情况，
由分类加法计数原理知，共有 种情况，即可组成156个没有重复
数字的四位偶数，故B正确.
对于C，根据题意，四位数能被3整除，则选出的四个数字有5种情况，分别为 ，
2，4，5；，3，4，5；，2，3，4；，1，3，5； ，1，2，3.
（各数位上数字之和能被3整除）
对于①，共可以组成 个四位数；
对于②，0不能在首位，此时可以组成 个四位数，
同理，对于③，④，⑤，都可以组成18个四位数，
则这样的四位数共有 （个），故C正确.
对于D，千位是1的四位数有 （个），
千位是2，百位是0或1的四位数有 （个），
所以数列的第85项是，故D错误.故选 ．
13.若9个人任意排成一排,则甲排最中间,且乙与丙相邻的概率为_ __.
【解析】由甲排最中间，且乙与丙相邻，可知乙与丙只能同时排在甲的左侧或右侧，
此时乙与丙的排法有6 种，（乙、丙捆绑看作一个元素，排在相邻两个位置，有6
种方法）其余6人的排法有种，故所求概率为 .
. .
14.(2025·山东省滕州市实验中学调研)4名男同学和3名女同学站成一排．
（1）3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法
【答案】3名女同学是特殊对象，先把她们排好，共有 种排法.由于3名女同学必须
排在一起，我们可视排好的女同学为一个整体，再与4名男同学进行全排列，有 种
排法.
由分步乘法计数原理可知，不同的排法有 （种）．
（2）任何2名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法
【答案】先将男生排好，共有 种排法，
再在这4名男生的中间及两头的5个空位中插入3名女生，有 种排法，
故不同的排法共有 （种）．
（3）甲不在最左端,乙不在最右端,有多少种不同的排法
【答案】 甲不在最左端,按甲的排法分类:
若甲在最右端,则有 种排法；
若甲不在最右端,则甲有种排法,乙有种排法,其余同学有 种排法.
综上，不同的排法共有 （种）.
在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有 种站法，甲在最左端的站法
有种，乙在最右端的站法有种，而甲在最左端且乙在最右端的站法有 种，故
不同的排法有 （种）.
（4）7名同学中，甲、乙两名同学之间必须恰有3名同学，有多少种不同的排法
【答案】先排甲、乙两名同学，有 种排法，再从余下5名同学中选3名同学排在甲、
乙两名同学中间，有 种排法，这时把已排好的5名同学视为一个整体，与最后剩下
的2名同学进行全排列，有种排法，故不同的排法共有 （种）．
（5）7名同学中，甲、乙两名同学相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法
【答案】先排除甲、乙、丙3名同学以外的其他4名同学，有 种排法，由于甲、乙
要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法，最后把排好的甲、乙看作一个整体与丙
分别插入原先排好的4名同学形成的5个空位中，有 种排法，故不同的排法共有
（种）．
C 培优练丨能力提升
15.将数字1,2，3,4，5，6排成一列，记第个数为，若, ,
, ,则不同的排列方法有____种.
30
【解析】由于，且在,,中最小，所以 只能取2，3，4三个数，故可
以按 的取值进行分类．
第一类,时，可以取数字4或5，不管取何值， 只能取数字6，其他位置不
受限制，有种排列方法，故当时，排列方法有 （种）．
第二类,时，可以取数字4或5，不管取何值， 只能取数字6，其他位置不
受限制，有种排列方法，故当时，排列方法有 （种）．
第三类,时，只能取数字5，只能取数字6，其他位置不受限制，有 种排
列方法，故当时，排列方法有 （种）．
根据分类加法计数原理可得，满足题意的排列方法共有 （种）．