6.2 排列与组合-6.2.3组合 6.2.4组合数 课件(共124张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 6.2 排列与组合-6.2.3组合 6.2.4组合数 课件(共124张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 10:17:38 | ||
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文档简介
(共124张PPT)
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.3组合 6.2.4组合数
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 组合
1 组合的定义
一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从 个不同元素
中取出 个元素的一个组合.
知识剖析 （1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，取出的 个元素也是不同
的，即从个不同的元素中进行 次不放回地取出.
（2）组合的特性：元素的无序性,取出的 个元素不讲究顺序，即元素没有位置
的要求.
（3）相同的组合和不同的组合：只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺
序如何，都是相同的组合;如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不
同的组合.
2 排列与组合的异同及区分方法
（1）排列与组合的异同点（【教材链接】此处回答了教材第21页【思考】）
排列 组合
相同点 不同点 与元素的顺序有关. 与元素的顺序无关.
（2）排列问题和组合问题的区分方法
排列问 题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选
取的顺序有关.
组合问 题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题
与选取的顺序无关.
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题：
（1）从10个人里选3人去开会，有多少种选法？
【解析】从10个人里选3个人即可，不需要考虑顺序，所以是组合问题.
（2）从10个人里选出3人担任3个不同学科的课代表，有多少种选法？
【解析】从10个人里选3个人，这3个人担任3个不同学科的课代表，需要考虑顺序，
所以是排列问题.
例1-2 (2025·广东省清远市第三中学期中)从5个不同的元素，，，， 中取出2个，
写出所有不同的组合.
【解析】 （顺序后移法） 按顺序用如图6.2.3-1所示的方法将各个组合逐个
标出来.
图6.2.3-1
由此可得所有不同的组合为，，，，，，，，， ，共10个.
图6.2.3-2
画出树形图，如图6.2.3-2所示.
由此可得所有不同的组合为,,,,,,,,, .
点评 由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出一
个组合后，不可再写出交换位置后的组合，如写出后，不可再写出 ,因为它们是
同一组合.
知识点2 组合数与组合数公式
1 组合数的概念
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同
元素中取出个元素的组合数，（组合数是数，组合不是数）用符号 表示
（组合数还可以用符号 表示）.
. .
. .
2 组合数公式
与排列数公式一样，组合数公式也有两个.
（1）连乘表示： ①，其中, ，并且
.
（2）阶乘表示：因为，所以 ②，其中 ,
，并且 .
另外，我们规定 .
知识剖析 组合数公式的选用
组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时
会用到.
组合数公式②的主要作用有：（1）计算， 较大时的组合数；（2）对含有字
母的组合数的式子进行变形和证明.
组合数与排列数的关系
求“从个不同元素中取出个元素的排列数 ”,可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从个不同元素中取出个元素作为一组，共有 种不同的取法；
第2步，将取出的个元素作全排列，共有 种不同的排法.根据分步乘法计数
原理，有 .
学思用·典例详解
例2-3 (2025·陕西省西安市期末)6个朋友聚会，每两人握手1次，则一共握手的次数
是( )
B
A. B. C. D.
【解析】每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取出2人的一个组合就
是一次握手，故一共握手的次数是 .
例2-4 （1）已知，那么 ( )
B
A.20 B.30 C.42 D.72
【解析】 （连乘表示） 由，得，解得
或（舍去）,故 .
（巧用） 由知， ,故
.
（2） ( )
B
A.9 B.18 C.28 D.36
【解析】 ．
释疑惑 重难拓展
知识点3 组合数的两个性质
教材深挖：本知识点是对教材第28页【探究与发现】的深挖.
性质1 .
由于，因此该性质在 时也成立.
（1）公式的特征：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.
（2）应用：①简化计算，当时，通常将计算转化为计算 ,如
;
②列等式，由，可得或 .
知识剖析 性质1的直观解释（推导）
该性质反映了组合数的对称性.一般地，从个不同元素中取出 个元素后，必
然剩下个元素，因此从个不同元素中取出 个元素的组合，与剩下的
个元素的组合一一对应.
这样，从个不同元素中取出个元素的组合数，等于从这 个不同元素中取
出个元素的组合数，也就是 .
性质2 .
（1）公式特征:等号左边的下标等于等号右边下标加1，等号左边的上标等于等
号右边较大的上标.
（2）此性质的作用:顺用（将一个组合数拆成两个）、逆用（合二为一）、恒
等变形（如 ）、简化运算.
知识剖析 性质2的直观解释（推导）
在确定从个不同元素中取个元素的方法时（即 ），对于某一元素，
只存在着取与不取两种可能.
如果取这一元素，则需从剩下的个元素中再取出 个元素，所以共有
种取法;
如果不取这一元素，则需从剩下的个元素中再取出个元素，所以共有 种
取法.
由分类加法计数原理，得 .
学思用·典例详解
例3-5 已知,则 的值为( )
D
A.6 B.8 C.12 D.8或12
【解析】, 或 （利用组合数的性质1）,解
得或 .
. .
例3-6 证明组合数的两个性质.
【解析】性质1的证明：
因为， ，
所以 .
性质2的证明：
，
所以 .
例3-7 (2025·吉林省长春市一三七中学月考)若，则 等于
( )
B
A.11 B.12 C.13 D.14
【解析】将变形可得， ，由组合数性质2可得，
，即，由组合数性质1，则可得到 ，故
.
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 组合数的相关计算与证明
例8 解方程：
（1） ;
【解析】由原方程得或
（组合数的性质1），解得或 .
由
. .
. .
得且 .
故原方程的解为或 .
（2） .
【解析】原方程可化为（组合数的性质2） ,
,
（利用组合数公式和排列数公式的阶乘表示进行变形）
,
,解得或 （舍去）.
经检验， 是原方程的解.
. .
名师点评 应用组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条
件“且, ”，即上标不大于下标且均为正整数的应用.
例9 计算: .
【解析】原式
.
例10 [教材改编P26 T8（2）]证明： .
【解析】左边
（利用,把1转化为 ,为下一步
使用组合数的性质“ ”做准备）
=…
（连续使用组合数的性质“ ”,从而把多个组合数的和
化简为一个组合数）
右边，
故等式成立.
进行组合数的相关计算时的注意点
（1）公式一般用于计算，而公式及
一般用于证明、解方程（不等式）等.
（求出结果后应注意验证能不能使组合数有意义）
（2）要注意公式 的逆向运用.
（3）组合数的性质1可以用来进行转化，减少计算量；组合数的性质2主要用于计算
或化简多个组合数连加，此时往往需要先用性质1进行适当的转化，使得有两个组合
数为下标相同，上标差1的形式，再反复运用性质2即可化成最简形式.
【学会了吗丨变式题】
1.已知,则 ____.
84
【解析】由题意得, ,
即 ，
,
即，解得或 .
又得且, （代入原式验证, 符合）.
.
. .
题型2 无限制条件的组合问题
例11（1）某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，
则此人有_____种不同的投资方式.
100
【解析】需分两步.
第一步：在6种股票中选3种，共有 种选法.
第二步：在5种债券中选4种，共有 种选法.
根据分步乘法计数原理，此人有 种不同的投资方式.
（2）现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，另5本是互不相同的数学杂
志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为____．
26
【解析】从这8本杂志里选取3本，可分四类完成.（明确组合的定义，在这8本杂志
中，从3本完全相同的文学杂志中选书并不是组合问题，只有从5本不同的数学杂志
中选书才是组合问题）
第一类：文学杂志选取0本，数学杂志选取3本，有 种不同的选法.
第二类：文学杂志选取1本，数学杂志选取2本，有 种不同的选法.
第三类：文学杂志选取2本，数学杂志选取1本，有 种不同的选法.
第四类：文学杂志选取3本，数学杂志选取0本，有1种不同的选法.
根据分类加法计数原理，不同选法的种数为 ．
求无限制条件的组合问题的思路
解题时，首先要分清完成一件事情是需要分类还是分步，在每一类（或每一步）中
注意分清元素的总数及取出元素的个数，按照组合的定义，正确地表示出相应的组
合数，再利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计数.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·福建省莆田第十五中学期末)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，
从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
B
A.4种 B.10种 C.18种 D.20种
【解析】依题意，就剩余的1本进行分类.
第一类:剩余的是1本画册，则赠送朋友的是1本画册，3本集邮册，挑1个朋友赠送画
册即可，此时不同的赠送方法共有 （种）.
第二类:剩余的是1本集邮册，则赠送朋友的是2本画册，2本集邮册，挑2个朋友赠送
画册即可，此时不同的赠送方法共有 （种）.
根据分类加法计数原理，不同的赠送方法共有 （种）.
3.将5名志愿者中的4人安排在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排2人,则
不同的安排方案共有____种.（用数字作答）
30
【解析】完成这件事需分两步.
第一步:从5名志愿者中选出2人在周六参加社区公益活动,有 种选法.
第二步:从余下的3人中选出2人在周日参加社区公益活动,有 种选法.
根据分步乘法计数原理,共有 种不同的安排方案.
题型3 有限制条件的组合问题
例12 [教材改编P27 T13]某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，
选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
【解析】需分两步完成：
第一步 选3名男运动员，有 种选法；
第二步 选2名女运动员，有 种选法.
故选法共有 （种）.
（2）恰有1名女运动员；
【解析】需分两步完成：
第一步 选1名女运动员，有 种选法；
第二步 选4名男运动员，有 种选法.
故选法共有 （种）.
（3）至少有1名女运动员；
【解析】 （直接法） 至少有1名女运动员包括以下四种情况:1女4男，2女3
男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理知选法共有 （种）.
（间接法） 不考虑条件，从10人中任选5人，有 种选法，其中全是男
运动员的选法有种.故至少有1名女运动员的选法有 （种）.
（4）队长中至少有1人参加；
【解析】 （直接法） 需分三类完成 ：
第一类 “只有男队长”的选法为 种；
第二类 “只有女队长”的选法为 种；
第三类 “男、女队长都入选”的选法为 种；
故队长中至少有1人参加的选法共有 （种）.
（间接法） 从10人中任选5人，有种选法，若队长全都不选，有 种
选法，故队长中至少有1人参加的选法种数为 .
（5）既要有队长，又要有女运动员.
【解析】当有女队长时，其他人的选法任意，共有 种选法；（女队长同时是女运动员）
当不选女队长时，必选男队长，共有 种选法，其中不含女运
动员的选法有种，故不选女队长时共有 种选法.
（间接法）
所以既有队长又有女运动员的选法共有
（种）.
. .
. .
求解有限制条件的组合问题的方法
（1）“含”或“不含”某些对象的组合问题：“含”，则先将这些对象取出，再取其他对
象；“不含”，则先将这些对象剔除，再从剩下的对象中去选取.
（2）“至少”或“至多”含有几个对象的组合问题：解这类题必须十分重视“至少”与“至
多”这两个关键词的含义，防止重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解此类问题，
当用直接法处理较复杂时，可考虑用间接法处理.
【学会了吗丨变式题】
4.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有____个.
（用数字作答）
14
【解析】数字2，3至少都出现一次，包括以下三种情况：
“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成 个四位数；
“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成 个四位数；
“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成 个四位数.
综上，可组成满足题意的四位数的个数为 .
题型4 分组分配问题
1 不同元素分组分配问题
将个不同元素按照某些条件分配给 个不同的对象的问题，称为分配问题，包括直
接分配和先分组再分配两种情况.
将个不同元素按照某些条件分成 组的问题，称为分组问题.分组问题有不平均分组、
平均分组和部分平均分组三种情况.
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同就是无区别的，
而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区别的，分配问题必须先
分组后排列.
（1）直接分配问题
例13 9本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）每人3本；
【解析】第一步：从9本书中选3本给甲，有 种选法.
第二步:再从其余的6本书中选3本给乙，有 种选法.
第三步：余下的3本书给丙，有 种选法.
根据分步乘法计数原理得，不同的分配方法共有 （种）．
（2）甲2本,乙3本,丙4本;
【解析】由于甲的书本数已知，先给甲选书，有种选法，再给乙选书，有 种选
法，剩下的4本给丙，有种选法，故不同的分配方法共有 （种）.
（3）甲得5本，另外两人每人得2本.
【解析】由于甲的书本数已知，先给甲选书，有 种选法.
再把剩下的4本书平均分给乙、丙，有 种方法，
故不同的分配方法共有 （种）.
（2）分组问题
例14 9本不同的书分为三组，在下列条件下各有多少种不同的分组方法？
（1）每组3本；
【解析】（平均分组问题）
先将9本书平均放入1号箱，2号箱，3号箱.
先放1号箱，有 种放法；
再放2号箱，有 种放法；
最后把剩下的3本放入3号箱，有 种放法.
因此共有 种放法.
由于这3个箱子现在是有序的，而装的书本数是一样的，因此会出现重复的分法，应
用倍缩法，重复的是3个箱子的排列顺序（假设9本书分别为 ,按照
上述将书放在1,2,3号箱中,比如分别为 ,但是当放在1,2,3号箱
中的书分别为 时,两者分成的三组书是一样的,而相同的所有
情况为三组书的全排列,即），应除以箱子的全排列数，即
（种）.
故共有280种不同的分组方法.
假设分给甲、乙、丙三人，每人3本，则有 种方法，这个过程可以
分两步完成.
. .
第一步：分为三组，每组3本，设有 种方法.
第二步：再将这三组分给甲、乙、丙三名同学，有 种方法.
根据分步乘法计数原理可得 ,
所以 ,
因此分为三组，每组3本的分组方法一共有280种.
（2）一组2本，一组3本，一组4本；
【解析】（不平均分组问题）
同（1）中方法1思路，第一步共 种放法.
由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书本数都不同，因此不会出现重复的分法，
因此共有1 260种不同的分组方法.
同（1）中方法2思路.
第一步：分为三组，一组2本，一组3本，一组4本,设有 种方法.
第二步：将这三组分别给甲、乙、丙三名同学，使甲有2本，乙有3本，丙有4本，有
1种方法.
根据分步乘法计数原理可得 ,即共有1 260种不同的分组方法.
（3）一组5本，另外两组每组2本.
【解析】（部分平均分组问题）
同（1）中方法1思路，第一步共 种放法.
这次同样不是平均分组，但恰有2个箱子装的书本数一样，因此是“局部平均”，也会
出现重复的分法，重复的是同样装着2本书的2个箱子的排列顺序，因此应除以这2个
箱子的全排列数，即 .
故共有378种不同的分组方法.
（3）先分组再分配问题
例15 9本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）一人2本，一人3本，一人4本;
【解析】将9本书分成本数分别为2,3,4的三组，有种分法，（与例 相同）
再将三组书分给甲、乙、丙三人，有 种分法，
所以不同的分配方法共有 （种）．
（2）一人得5本，另外两人每人得2本；
【解析】将9本书分成本数分别为5,2,2的三组，有种分法，（与例 相同）
再将三组书分给甲、乙、丙三人，有 种分法，
故不同的分配方法共有 （种）.
（3）甲4本，另外两人中有一人2本,一人3本.
【解析】 （直接分配） 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有 种选法.
再把剩下的5本书分成本数分别为2，3的两份，有 种分法，把分好后的两份书分
给乙、丙两个人，有 种分法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的分配方法共有 （种）．
（先分组再分配） 由（1）可知9本书分成本数分别为2，3，4的三组，
有 种分法，再分配给甲，乙，丙三人，其中甲固定获得4本，另外两组分给乙、
丙两个人，有种分法，则不同的分配方法共有 （种）.
分组问题的常见形式及处理方法
将个不同元素分成组，且每组的元素个数分别为,,, ， ,记
.
（1）不平均分组：个不同元素分成 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组
间的顺序，其分法种数为 .
（2）平均分组：将个不同元素分成组，每组元素数目相等，其分法种数为 .
（3）部分平均分组：将个不同元素分成不编号的组，其中有 组元素个数相等，
其分法种数为.如果其中还有组均匀分组，应再除以，即 .
先分组再分配问题的常见形式及处理方法
（1）不平均分组：个不同元素分成组，各组元素数目均不相等，分配给 个不
同的对象，其分法种数为 .
（2）平均分组：将个不同元素均匀分成组，分配给 个不同的对象,其分法种数
为 .
（3）部分平均分组：个不同元素分成组，其中有组元素个数相等，分配给 个
不同的对象,其分法种数为 .
【学会了吗丨变式题】
5.[多选题](2025·河北省邯郸市武安一中月考)某工程队有6辆不同的工程车，按下列
方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有( )
BD
A.分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B.分给甲、乙两地每地各2辆，分给丙、丁两地每地各1辆，有180种分配方式
C.分给甲、乙、丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D.分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1 080种分配方式
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，在6辆不同的工程车中选出2辆，分给甲地，有 种分法，
在剩下的4辆工程车中选出2辆，分给乙地，有 种分法，
将最后的2辆工程车分给丙地，有 种分法，
则有 种分配方式，A错误；
对于B，在6辆不同的工程车中选出2辆，分给甲地，有 种分法，
在剩下的4辆工程车中选出2辆，分给乙地，有 种分法，
在剩下的2辆工程车中选出1辆，分给丙地，有 种分法，
将最后的1辆工程车分给丁地，有1种分法，
则有 种分配方式，B正确；
对于C，将6辆工程车分为4，1，1的三组，有 种分法，
将分好的三组安排到三个工地，有 种情况，
则有 种分配方式，C错误；
对于D，将6辆工程车分为2,2,1,1的四组，有 种分法，
将分好的四组安排到四个工地，有 种情况，
则有 种分配方式，D正确.
故选 ．
2 相同元素分配问题（“隔板法”的应用）
例16 有10个运动员名额，分给班号分别为1,2，3的3个班.
（1）每班至少1个名额，有多少种分配方案？
【解析】因为10个名额没有差别，把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空，在9个
空中选2个位置插入“隔板”,可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板
的方法对应一种分法，共有 种分法．
图6.2.3-3是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个．
图6.2.3-3
（2）每班至少2个名额，有多少种分配方案？
【解析】要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额,
还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，
应用“隔板法”，可得有 种分法.
图6.2.3-4是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是 （个），
（个）， （个）.
图6.2.3-4
（3）可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
【解析】 因为允许某些班级没有名额，所以“隔板”可以相邻，
可以把10个名额和2个“隔板”共12个元素进行排序，只要在12个位置中选好2个位置
安排“隔板”，就可把名额分成3份，然后对应地分给3个班级，（比如“隔板”相邻了，
说明某班名额为0个）
这样每一种安置“隔板”的方法对应一种分法，分配方案共有 （种）.
因为允许某些班级没有名额，所以可以额外增加3个运动员名额，使每班
至少有1个名额.在13个元素中的12个空插入“隔板”，共有 种分配方案.
运用“隔板法”求解组合问题的解题策略
“隔板法”能快速解决相同元素的分配问题，由于元素和“隔板”都是相同的，需按组
合问题求解.使用“隔板法”的关键是要根据题意转化为“每组至少1个”或“每组至少0个”
的问题，才能合理使用“隔板法”解决问题.
“将个相同元素分成 组（每组的任务不同）”的具体情况如下：
（1）当每组至少含有一个元素时，其不同的分组方法有种，即在 个元素中间
形成的个空中插入 个“隔板”.
（2）任意分组，可出现某些组所含元素个数为0的情况，不符合隔板法的适用条件，
但可人为增加个元素，使每组至少含有一个元素，此时问题就转化为将 个
相同元素分成组，且每组至少含有一个元素，则不同的分组方法有 种.
（3）若某一小组至少含有个元素，可先取 个元素给这一小
组，此时问题就转化为将个相同元素分成 组，每组至少含有一个元素，
则不同的分组方法有 种.
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·山东省青岛第五十八中学检测)体育老师把10个相同的足球放入编号为1，2，
3的三个箱子中，要求每个箱子中放入足球的个数不少于其编号，则不同的放法种数
为( )
D
A.10 B.12 C.13 D.15
【解析】先在编号为2，3的箱子中分别放入1个、2个足球（转化为每个箱子里至少1
个足球），
将剩下的7个足球排成一行，在它们之间插入两个“隔板”把它们分成三部分，得不同
的放法种数为 ，
故所求不同的放法有15种.
. .
7.[多选题]某中学为提升高三学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进入社区义务
劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，
劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是
( )
BD
A.若1班不再分配名额，则共有 种分配方法
B.若1班有除劳动模范之外的学生参加，共有 种分配方法
C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，若1班不再分配名额，即将20个名额分配到其他5个班，每个班都必须有人
参加，
可以将20个名额看成20个小球，排成一排，中间有19个空位可用，在其中任选4个，
安排4个挡板，有种情况，即有 种分配方法，A错误；
对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，即将20个名额分配到6个班级，每个班
都必须有人参加，
可以将20个名额看成20个小球，排成一排，中间有19个空位可用，在其中任选5个，
安排5个挡板，有种情况，即有 种分配方法，B正确；
对于C，若每个班至少3人参加，1班有2个劳动模范，其他5个班先满足每个班级2个
名额，还剩10个名额，分配到6个班级，每个班都至少再有1人参加，可以将10个名
额看成10个小球，排成一排，中间有9个空位可用，在其中任选5个，安排5个挡板，
有 种情况，即有126种分配方法，C错误，D正确.
故选 ．
题型5 排列、组合的综合问题
1 选派问题
例17 有4名男医生，3名女医生，从中选2名男医生，1名女医生分别到3个不同地区巡
回医疗，但规定男医生甲不能到地区 ，则不同的分派方案共有____种.（用数字作答）
90
思路点拨 男医生甲是特殊对象，地区 是特殊位置，因此可分类解决.
【解析】 （元素分析法） 分两类完成.
第一类:甲被选中，有（【助理解】是指甲在除地区 之外的两个地
区进行选择，也可理解为另两人选出一个去地区 ）种分派方案.
第二类:甲不被选中，有 种分派方案.
根据分类加法计数原理，分派方案共有 （种）.
（位置分析法） 分两类完成.
第一类:地区分派女医生，有 种分派方案.
第二类:地区分派除医生甲之外的男医生，有 种分派方案.
根据分类加法计数原理，分派方案共有 （种）.
. .
选派问题的解题策略
（1）求解选派问题时，要分清是排列还是组合问题,并注意结合分类与分步两个原
理,要按元素的性质确定分类的标准,按事情的发生过程确定分步的顺序.
（2）解选派问题的一般思路是“先选后排”,应遵循三个原则：①先组合后排列；②先
分类后分步；③先特殊后一般.
. .
【学会了吗丨变式题】
8.(2025·广东省湛江市第二十中学月考)将5名冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速
滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分
配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
C
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
【解析】根据题意，可分两步进行安排:
第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人,共有 种分法;
第二步，将分好的4组安排到4个项目中,有 种安排方法.
故分配方案共有 （种）.
2 “多面手”问题
例18 (2025·湖北省沙市中学月考)有8名划船运动员，其中3人只会划左舷，3人只会
划右舷，其他2人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、
右舷参加划船比赛，则不同的选法共有____种.
【解析】设集合只会划左舷的3人，只会划右舷的3人， 既会划左
舷又会划右舷的2人}.从8人中选出6人，有以下三种情况：
①从中选出3人划左舷，则划右舷的3人从和的5人中选，选法有
（种）；
②从中选出2人划左舷，从中选出1人划左舷，则划右舷的3人从和 中剩下的4人
中选，选法有 （种）；
③从中选出1人划左舷，从中选出2人划左舷，则划右舷的3人从 中的3人中选，
选法有 （种）.
故不同的选法共有 （种）.
名师点评 “多面手”问题的分类依据是：按只会一种本领被选的人数来分类，将多面
手和只会另一种本领的人放在一起.
3 握手（交换）问题
握手公式：个人互相握手一次，共握了 （次）.
例19 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一
次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则
收到4份纪念品的同学人数为( )
D
A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4
【解析】设6位同学分别为,,,,, .
若任意两位同学之间都进行一次交换，则进行交换的次数为 ，每人应收到5
份纪念品，现共进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有两种情况：
①由3人构成的2次交换没有发生，如，之间和， 之间没有发生交换，则收到4
份纪念（少交换1次，少1份纪念品）品的有, 人
②由4人构成的2次交换没有发生，如，之间和， 之间没有发生交换，则收到4
份纪念品的有,,, 人.
. .
. .
. .
. .
名师点评 握手（交换）问题的实质是组合问题.涉及的对象一般不多，解题时可以
把符合条件的情况一一列举出来．
4 有序排列问题
母题 致经典·母题探究
例20 身高不等的7人排成一排，要求排在正中间的人最高，从中间往两侧看，都是
由高到低，则不同的排法有____种.
20
【解析】首先将最高的人排在正中间，
然后从剩余的6人中选出3人站在中间的人的左侧，因为从中间往两侧是由高到低的，
所以选出3人的排列方法只有一种，
剩余的3人站在中间的人的右侧，排法也只有一种.
故所有的排法的种数为 .
子题
身高不等的7人排成一排，要求排在正中间的人最高，第2,3高的人分别在其两侧，
第4,5高的人分别排在第2,3高的外侧，最后的两个人分别排在队列的两端，则不同的
排法有___种.
8
【解析】首先将最高的人排在正中间，
然后从身高位于第2,3高的两个人中选一个排在“最高个”左侧，另一个排在“最高个”
右侧，有 种排法，
再从身高位于第4，5高的两个人中选取一个排在左侧，另一个排在右侧，使其分别
排在第2，3高的外侧，又有 种排法，最后从剩下的两个人中选一个排在最左侧，
另一个排在最右侧，有种排法，共有排法 （种）.
命题探源 母题采用位置分析法，即给有序对象选位置，位置选定后，由于对象定序，
因此只有一种排法.子题采用元素分析法，即一个一个地安排对象.两者区别在于题设
条件“从中间往两侧看，都是由高到低”，此时身高位于第2,3高的人不一定排在最高
人的两侧，完全可以排在同一侧，其他几人同理.
题型6 组合与其他知识的综合
1 立体几何
例21 (教材改编P26 T6)
（1）四面体的一个顶点为，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点 在
同一平面上，不同的取法有( )
B
A.30种 B.33种 C.36种 D.39种
图6.2.3-5
【解析】如图6.2.3-5，含顶点的四面体的3个面上，除点 外都
有5个点，从中取出3点必与点共面，共有 种取法；
含顶点 的三条棱上都各有3个点，它们与对棱的中点共面，此时
共有3种取法.
故与顶点共面的3个点的取法共有 （种）.
（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有
( )
D
A.150种 B.147种 C.144种 D.141种
【解析】（间接法）从10个点中取出4个点的取法有 种，除去四点共面的取法种
数可以得到结果.
①从四面体同一个面上的6个点取4个点必定共面，有 （种）；
②四面体的每一条棱上的3个点与对棱的中点共面，共有6种共面情况；
③从6条棱的中点中取4个点时，有3种共面情况.
故4点不共面的取法有 （种）.
2 统计
例22 (2025·广东省清远市期中)某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽
样的方法调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、
音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意， （名），
美术兴趣小组要抽取的学生数为 ，
音乐兴趣小组要抽取的学生数为 ，
舞蹈兴趣小组要抽取的学生数为 ，
（【回顾】根据分层随机抽样的定义，分别求出每个兴趣小组要抽取的学生人数）
因为美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，
所以不同的抽样结果数为 .
例23 数学文化 哥德巴赫猜想(2025·广东省广州市第一中学期中)我国数学家陈景润
在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数
可以表示为两个素数的和”，如 .在不超过30的素数中，随机选取两个不
同的数，其和等于30的概率是( )
C
A. B. C. D.
【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，
从中随机选取两个不同的数有 种不同的取法，这10个数中
两个不同的数的和等于30的有3对，
所以所求概率
. .
新考法·数学建模
例24（1）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的
放法有( )
A
A.种 B.种 C.种 D. 种
【解析】由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以取出5个盒子放不
同的球，共有 种不同的放法.
（2）5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法
有( )
B
A.种 B.种 C.种 D. 种
【解析】由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同
的盒子即可.故共有 种不同的放法.
（3）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法
有( )
D
A.种 B.种 C.种 D. 种
【解析】由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，
……
第5个球也有8种放法.
故不同的放法共有 （种）.
名师点评 本题是排列、组合和可重复选取元素的三个基本模型：
个不同的球，放入个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，共有 种不
同的放法.
个相同的球，放入个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，共有 种不
同的放法.
个不同的球，放入个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，一共有 种不同的
放法.
在上述模型中我们一般把“做选择”的对象看成球，“被选择”的对象看成盒子，比如
若干人选择去某几个景区，人可选择景区，人看成球，景区看成盒子.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
排列组合主要和分类加法计数原理、分步乘法计数原理一起考查,若单独考查，则以
选择题、填空题的形式呈现，后面还会与分布列综合出现在解答题中，突出分类讨
论思想、转化与化归思想的应用，试题难度中等或中等偏上.将实际问题合理转化成
排列组合问题来解决,体现了高考“四翼”中应用性的要求.
核心素养：逻辑推理（排列、组合问题的判断等）、数学运算（组合数、概率的计
算等）.
考向1 组合中的计数问题
例25 (2024·上海)设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两
者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为_____.
【解析】由题意可知集合中最多有一个奇数，（提示：奇数×奇数 奇数，奇数×
偶数偶数，偶数×偶数 偶数）
其余均为偶数.个位为0的无重复数字的三位正整数有 （个）；个位为2,4,6,8
的无重复数字的三位正整数有 （个）.
所以集合中最多有 （个）偶数，再加上一个奇数，则集合中元素个
数的最大值为 .
例26 (2023· 新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需
从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有
____种（用数字作答）.
64
确定分类 标准 已知有两类选修课共8门，从中选2门或3门，每类至少选1门，确定分类
标准：①两类选修课选的门数；②选2门和3门.
求解分类 方案数 方法1，根据两类选修课选的门数用组合数表示；
方法2，根据至少选1门，用间接法求解选2门和3门的方案数.
求方案总 数 根据分类加法计数原理求解总的选课方案种数.
【解析】 由题意,可分三类：
第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有 种方案；
第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有 种方案；
第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有 种方案.
综上，不同的选课方案共有 （种）.
若学生从这8门课中选修2门课，则有 种选课方案;
若学生从这8门课中选修3门课,则有 种选课方案.
综上，不同的选课方案共有 （种）.
例27 (新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场
馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
( )
C
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
【解析】第1步，抽1名志愿者安排到甲场馆，有 种安排方法；
第2步，从剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙场馆，有 种安排方法；
第3步，将剩下的3名志愿者安排到丙场馆.
由分步乘法计数原理得，不同的安排方法共有 （种）.
考向2 组合在统计中的应用
例28 (2023· 新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层
随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初
中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
D
A.种 B.种 C.种 D. 种
【解析】由题意，初中部和高中部学生人数之比为 ，所以抽取的60名学生中
初中部应有（人），高中部应有 （人），所以不同的抽样结
果共有 种，故选D.
考向3 组合在概率中的应用
1 选派背景
例29 (2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名
学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】从4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的情况数为 ,其中这2名学生来
自不同年级的情况数为,所以这2名学生来自不同年级的概率 ，故
选D.
例30 (2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙
都入选的概率为___.
【解析】从甲、乙等5名同学中随机选3名，有种情况,其中甲、乙都入选有 种情
况，
所以甲、乙都入选的概率 .
2 数字背景
例31 (2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质
的概率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】从7个整数中随机取2个不同的数，共有 种取法，取得的2个数互质
的情况有，，，，，，，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，，，， ，共14种，根据古典概型的概率
公式，得这2个数互质的概率为 ．
3 空间背景
例32 (2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率
为___.
【解析】从正方体的8个顶点中任选4个，取法有 （种）.
其中4个点共面有以下两种情况：
（1）所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图6.2.3-6（1）,有6种取法;
图6.2.3-6
（2）所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，
如图6.2.3-6（2）,也有6种取法.
所以所取的4个点在同一个平面的概率 .
高考新题型专练
1.[教材改编P27 T15]［多选题］(2025·安徽省合肥八中检测)在100件产品中，有98
件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有
( )
ABC
A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
C.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D.抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有 种
【解析】对于A，抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，则有 种结果，故A
正确.
对于B，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，可以分为两类;
当抽出1件是不合格品时，抽法有 种;
当抽出2件是不合格品时，抽法有 种;
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种，故B正确.
对于C，从100件产品中选取3件的抽法有 种，然后3件产品都是合格品的抽法有
种，则抽出的3件产品中至少有1件是不合格品（间接法）的抽法有
种，故C正确.
对于D， 是从所有的抽法中减去抽出的3件产品中恰好有1件是不合格
品的抽法数，
剩下的是抽出的3件产品中有2件是不合格品和全部是合格品的抽法数，故D错误．
故选 ．
. .
. .
2.［多选题］(2025·广东省广州市天河中学期中)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学
参加运动会志愿
者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是
( )
ABD
A.若每人都安排一项工作，则不同安排方案的种数为
B.若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C.若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊
都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D.若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同
方案种数为
【解析】对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方
法，则有 种安排方案，故A错误．
对于B，根据题意，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有
种安排方案，故B错误．
对于C，根据题意，分2种情况讨论：
①从丙、丁、戊中选出2人开车，则有 种安排方案;
②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有 种安排方案.
则共有 种安排方案，故C正确.
对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有 种分组方法，将分好的三
组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则共有 种安排方案，
故D错误.故选 ．
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1. 等于( )
B
A. B. C. D.
【解析】由组合数性质知，
.
2.异面直线, 上分别有4个点、5个点，由这9个点可以确定平面的个数为( )
B
A.20 B.9 C.84 D.63
【解析】为了使确定的平面不重复，按如下方法分类：
第1类，在直线上任取一点与直线可确定 个平面；
第2类，在直线上任取一点与直线可确定 个平面.
故可以确定不同平面的个数为 .
3.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条,以取出的三条线段为边可组成钝角
三角形的概率为( )
B
A. B. C. D.
【解析】任取三条的不同取法有 （种），取出的3条线段能组成三角形的有
“2，3，4”“3，4，5”“2，4，5”三种情况，钝角三角形只有“2,3,4”和“2,4,5”两种情况
（由余弦定理可求解），故所求概率为 .
. .
4.新情境 洛书(2025·湖北省武汉市期中)如图6.2.3-1，洛书（古称龟书），是阴阳五
行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，
左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若
从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为
( )
B
图6.2.3-1
A.30 B.40 C.44 D.70
【解析】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.
若选取的3个数的和为奇数，
则当3个数都为奇数时，有 （种）方法；
当3个数为2偶1奇时，有 （种）方法.
故共有 （种）方法.
5.(2025·江苏省南京市调研)将4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，且1号
书不能给甲同学，则不同的分法种数为( )
D
A.6 B.12 C.18 D.24
【解析】第1类：当甲得一本书时，先从除1号书外的3本书中选1本给甲，然后将剩
下的3本书分成两组分给其余的两人，所以有 （种）；
第2类：当甲得两本书时，先从除1号书外的3本书中选2本给甲，然后剩下两本书给
其余两人每人一本，所以有 （种）.
由分类加法计数原理可得分法种数共有 ．
6.［多选题］(2025·广东省华南师范大学附属中学期中)盒子内有20个大小相同的球，
其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则( )
ACD
A.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有 种
B.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有 种
C.取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有 种
D.取出的3个球中至少有1个红球的取法有 种
【解析】取出的3个球中恰好有一个蓝球，则还有2个红球，不同取法种数为 ，
所以A正确，B错误.
取出的3个球中至少有2个蓝球，则分为两种情况：第一种为2个蓝球加1个红球，第
二种为3个蓝球，则不同取法种数为 ，所以C正确.
取出的3个球中至少有1个红球，则在所有取法中减去没有红球的取法即可，不同取
法种数为，所以D正确.故选 .
7.不等式 的解集为________．
【解析】由，得 ，
所以，解得 .
由题设条件知，且，所以 ,3,4.
故原不等式的解集为 ．
8.(2025·吉林省长春外国语学校期中)有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不
同学科（包含语文、数学）的课代表，分别求符合下列条件的选法种数.
（1）有女生担任课代表但人数少于男生；
【答案】（先选后排） 符合条件的课代表人员的选法有 种
（两种情况：3男2女和4男1女），排列方法有 种，所以满足题意的选法有
（种）.
（2）某女生一定要担任语文课代表；
【答案】除去该女生后，相当于从剩余的7名学生中挑选4名担任除语文外其余四科
的课代表，不同的选法种数为 .
. .
（3）某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表；
【答案】（先选后排） 除去该男生，从剩余的7名学生中选出4名有 种选法；该男
生的安排方法有种，其余4人全排列，有种.所以选法共有
（种）.
（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
【答案】先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有 种选法；该男生的安排方
法有种，其余3人全排列，有种.因此满足题意的选法共有 （种）.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
9.(2025·浙江省杭州市期中)甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、
从高到低的固定顺序，共有排法( )
C
A.144种 B.108种 C.120种 D.360种
【解析】从6个位置中取3个让甲、乙、丙按固定顺序站位，有 种方法；再排余下3
人，有种方法，所以不同排法种数为 .
10.(2025·山东省淄博六中检测)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.
若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
B
A. B. C. D.
【解析】取出的兔子中恰有2只测量过该指标，即从3只测过指标的里面选2只，从未
测的里面选1只，所以恰有2只测量过该指标的所有情况数为 ，又从这5只兔子中
随机取出3只的所有情况数为，故所求概率为 .
11.某中学有10个高中数学联赛的名额，要分配给高三年级的8个班，每个班至少一
个名额，则不同的分配方法的种数为( )
A
A.36 B.56 C.72 D.224
【解析】 名额没有区别，为了保证“每个班至少一个名额”，先给每班各分1
个名额，于是问题简化为剩下2个名额的分配问题.分两类：
第1类，把2个名额都分给同一个班，有 种分配方法；
第2类，从8个班中选2个班再各分给1个名额，有 种分配方法.
所以满足条件的不同的分配方法有 （种）.
（隔板法） 将10个名额看作10个相同的元素，分为8组，每组至少一个元
素，因此在这10个元素之间形成的9个空中，选7个插入隔板即可，故不同的分配方
法种数为 .
12.(2025·江苏省镇江中学期中)某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开
设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院
每位同学每学年至多选三门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位
同学的不同选修方式有( )
B
A.150种 B.210种 C.300种 D.540种
【解析】第1步，将五门选修课程分为3组，若分为3，1，1三组，有 种分组
方法，
若分为3，2，0三组，有 种分组方法，
若分为2，2，1三组，有 种分组方法，
则一共有 种分组方法．
第2步，将分好的三组安排在三年内选修，有种情况，则有 种选
修方式.
13.［多选题］浙江实行“7选3”选考制度，杭州某中学高一某学生想在物理、化学、
生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正
确的有( )
AC
A.若任意选择三门课程，共有不同选法 种
B.若物理和化学至少选一门，共有不同选法 种
C.若物理和历史不能同时选，共有不同选法 种
D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，共有不同选法 种
【解析】对于A，若任意选择三门课程，共有不同选法 种，故A正确；
对于B,若从物理和化学中选一门，有 种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，
有 种选法，
若物理和化学都选，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选一门，有 种选法，
由两个计数原理知，共有 种选法，故 B错误；
对于C，若物理和历史不能同时选，选法共有 种，故C正确；
对于D，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，有3种情况，
①选物理，不选化学，有 种选法，
②选化学，不选物理，有 种选法，
③物理与化学都选，有 种选法，
故选法共有（种），故D错误．故选 ．
14.(2025·上海市华东师范大学第二附属中学模拟)袋中装有7个互不相同的小球，白
球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流取1球，甲先取，乙后取，
然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则取3次即终止
的取法种数为____，乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数为____．
24
28
【解析】由题意知取3次即终止的情况为（非白，非白，白），共有 种取法.
乙取到白球且红球已经被取出包含的基本事件有：（红，白）， （红，黑，
黑，白），（黑，黑，红，白），（黑，红，黑，白）．事件有
种情况；事件有种情况；事件有 种情况；
事件有 种情况．
所以共有 种取法．
15.(2025·山东省济宁市第八中学月考)教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，
又为乡村建设提供了人才支撑.为了解决部分乡村地区优秀教师资源匮乏的问题，该
地区教育部门抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教.
（1）若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？
【答案】6名教师选1名到甲学校任教有 种方法，从剩余的5名教师中选2名到乙学
校任教有种方法，剩余3名教师都分配到丙学校去任教有 种方法，
则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有 种分配方法.
（2）若三所学校中甲学校4人、乙学校1人、丙学校1人，有多少种分配方法？
【答案】首先分成三组，为部分平均分组问题，共有 种分法，
然后分给三个学校共有 （只需考虑乙、丙）种分配方法．
. .
（3）若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？
【答案】先按1，1，4分为三个组，为部分平均分组问题，共有 种分法，然后
分给三个学校，共有 种分配方法．
（4）若三所学校每所学校至少1人，有多少种分配方法？
【答案】由题可得教师的分配方案可以是：，2，3；，1，4； ，2，2.
①6名教师按1，2，3分为三个组有 种方法，
则6人分配到三所学校共有 种分配方法；
②6名教师按1，1，4分为三个组有 种分法，
则6人分配到三所学校共有 种分配方法；
③6名教师平均分配到3所学校有 种分配方法.
则6人分配到三所学校每所学校至少1人一共有 种分配方法.
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.3组合 6.2.4组合数
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 组合
1 组合的定义
一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从 个不同元素
中取出 个元素的一个组合.
知识剖析 （1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，取出的 个元素也是不同
的，即从个不同的元素中进行 次不放回地取出.
（2）组合的特性：元素的无序性,取出的 个元素不讲究顺序，即元素没有位置
的要求.
（3）相同的组合和不同的组合：只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺
序如何，都是相同的组合;如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不
同的组合.
2 排列与组合的异同及区分方法
（1）排列与组合的异同点（【教材链接】此处回答了教材第21页【思考】）
排列 组合
相同点 不同点 与元素的顺序有关. 与元素的顺序无关.
（2）排列问题和组合问题的区分方法
排列问 题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选
取的顺序有关.
组合问 题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题
与选取的顺序无关.
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题：
（1）从10个人里选3人去开会，有多少种选法？
【解析】从10个人里选3个人即可，不需要考虑顺序，所以是组合问题.
（2）从10个人里选出3人担任3个不同学科的课代表，有多少种选法？
【解析】从10个人里选3个人，这3个人担任3个不同学科的课代表，需要考虑顺序，
所以是排列问题.
例1-2 (2025·广东省清远市第三中学期中)从5个不同的元素，，，， 中取出2个，
写出所有不同的组合.
【解析】 （顺序后移法） 按顺序用如图6.2.3-1所示的方法将各个组合逐个
标出来.
图6.2.3-1
由此可得所有不同的组合为，，，，，，，，， ，共10个.
图6.2.3-2
画出树形图，如图6.2.3-2所示.
由此可得所有不同的组合为,,,,,,,,, .
点评 由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出一
个组合后，不可再写出交换位置后的组合，如写出后，不可再写出 ,因为它们是
同一组合.
知识点2 组合数与组合数公式
1 组合数的概念
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同
元素中取出个元素的组合数，（组合数是数，组合不是数）用符号 表示
（组合数还可以用符号 表示）.
. .
. .
2 组合数公式
与排列数公式一样，组合数公式也有两个.
（1）连乘表示： ①，其中, ，并且
.
（2）阶乘表示：因为，所以 ②，其中 ,
，并且 .
另外，我们规定 .
知识剖析 组合数公式的选用
组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时
会用到.
组合数公式②的主要作用有：（1）计算， 较大时的组合数；（2）对含有字
母的组合数的式子进行变形和证明.
组合数与排列数的关系
求“从个不同元素中取出个元素的排列数 ”,可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从个不同元素中取出个元素作为一组，共有 种不同的取法；
第2步，将取出的个元素作全排列，共有 种不同的排法.根据分步乘法计数
原理，有 .
学思用·典例详解
例2-3 (2025·陕西省西安市期末)6个朋友聚会，每两人握手1次，则一共握手的次数
是( )
B
A. B. C. D.
【解析】每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取出2人的一个组合就
是一次握手，故一共握手的次数是 .
例2-4 （1）已知，那么 ( )
B
A.20 B.30 C.42 D.72
【解析】 （连乘表示） 由，得，解得
或（舍去）,故 .
（巧用） 由知， ,故
.
（2） ( )
B
A.9 B.18 C.28 D.36
【解析】 ．
释疑惑 重难拓展
知识点3 组合数的两个性质
教材深挖：本知识点是对教材第28页【探究与发现】的深挖.
性质1 .
由于，因此该性质在 时也成立.
（1）公式的特征：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.
（2）应用：①简化计算，当时，通常将计算转化为计算 ,如
;
②列等式，由，可得或 .
知识剖析 性质1的直观解释（推导）
该性质反映了组合数的对称性.一般地，从个不同元素中取出 个元素后，必
然剩下个元素，因此从个不同元素中取出 个元素的组合，与剩下的
个元素的组合一一对应.
这样，从个不同元素中取出个元素的组合数，等于从这 个不同元素中取
出个元素的组合数，也就是 .
性质2 .
（1）公式特征:等号左边的下标等于等号右边下标加1，等号左边的上标等于等
号右边较大的上标.
（2）此性质的作用:顺用（将一个组合数拆成两个）、逆用（合二为一）、恒
等变形（如 ）、简化运算.
知识剖析 性质2的直观解释（推导）
在确定从个不同元素中取个元素的方法时（即 ），对于某一元素，
只存在着取与不取两种可能.
如果取这一元素，则需从剩下的个元素中再取出 个元素，所以共有
种取法;
如果不取这一元素，则需从剩下的个元素中再取出个元素，所以共有 种
取法.
由分类加法计数原理，得 .
学思用·典例详解
例3-5 已知,则 的值为( )
D
A.6 B.8 C.12 D.8或12
【解析】, 或 （利用组合数的性质1）,解
得或 .
. .
例3-6 证明组合数的两个性质.
【解析】性质1的证明：
因为， ，
所以 .
性质2的证明：
，
所以 .
例3-7 (2025·吉林省长春市一三七中学月考)若，则 等于
( )
B
A.11 B.12 C.13 D.14
【解析】将变形可得， ，由组合数性质2可得，
，即，由组合数性质1，则可得到 ，故
.
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 组合数的相关计算与证明
例8 解方程：
（1） ;
【解析】由原方程得或
（组合数的性质1），解得或 .
由
. .
. .
得且 .
故原方程的解为或 .
（2） .
【解析】原方程可化为（组合数的性质2） ,
,
（利用组合数公式和排列数公式的阶乘表示进行变形）
,
,解得或 （舍去）.
经检验， 是原方程的解.
. .
名师点评 应用组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条
件“且, ”，即上标不大于下标且均为正整数的应用.
例9 计算: .
【解析】原式
.
例10 [教材改编P26 T8（2）]证明： .
【解析】左边
（利用,把1转化为 ,为下一步
使用组合数的性质“ ”做准备）
=…
（连续使用组合数的性质“ ”,从而把多个组合数的和
化简为一个组合数）
右边，
故等式成立.
进行组合数的相关计算时的注意点
（1）公式一般用于计算，而公式及
一般用于证明、解方程（不等式）等.
（求出结果后应注意验证能不能使组合数有意义）
（2）要注意公式 的逆向运用.
（3）组合数的性质1可以用来进行转化，减少计算量；组合数的性质2主要用于计算
或化简多个组合数连加，此时往往需要先用性质1进行适当的转化，使得有两个组合
数为下标相同，上标差1的形式，再反复运用性质2即可化成最简形式.
【学会了吗丨变式题】
1.已知,则 ____.
84
【解析】由题意得, ,
即 ，
,
即，解得或 .
又得且, （代入原式验证, 符合）.
.
. .
题型2 无限制条件的组合问题
例11（1）某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，
则此人有_____种不同的投资方式.
100
【解析】需分两步.
第一步：在6种股票中选3种，共有 种选法.
第二步：在5种债券中选4种，共有 种选法.
根据分步乘法计数原理，此人有 种不同的投资方式.
（2）现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，另5本是互不相同的数学杂
志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为____．
26
【解析】从这8本杂志里选取3本，可分四类完成.（明确组合的定义，在这8本杂志
中，从3本完全相同的文学杂志中选书并不是组合问题，只有从5本不同的数学杂志
中选书才是组合问题）
第一类：文学杂志选取0本，数学杂志选取3本，有 种不同的选法.
第二类：文学杂志选取1本，数学杂志选取2本，有 种不同的选法.
第三类：文学杂志选取2本，数学杂志选取1本，有 种不同的选法.
第四类：文学杂志选取3本，数学杂志选取0本，有1种不同的选法.
根据分类加法计数原理，不同选法的种数为 ．
求无限制条件的组合问题的思路
解题时，首先要分清完成一件事情是需要分类还是分步，在每一类（或每一步）中
注意分清元素的总数及取出元素的个数，按照组合的定义，正确地表示出相应的组
合数，再利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计数.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·福建省莆田第十五中学期末)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，
从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
B
A.4种 B.10种 C.18种 D.20种
【解析】依题意，就剩余的1本进行分类.
第一类:剩余的是1本画册，则赠送朋友的是1本画册，3本集邮册，挑1个朋友赠送画
册即可，此时不同的赠送方法共有 （种）.
第二类:剩余的是1本集邮册，则赠送朋友的是2本画册，2本集邮册，挑2个朋友赠送
画册即可，此时不同的赠送方法共有 （种）.
根据分类加法计数原理，不同的赠送方法共有 （种）.
3.将5名志愿者中的4人安排在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排2人,则
不同的安排方案共有____种.（用数字作答）
30
【解析】完成这件事需分两步.
第一步:从5名志愿者中选出2人在周六参加社区公益活动,有 种选法.
第二步:从余下的3人中选出2人在周日参加社区公益活动,有 种选法.
根据分步乘法计数原理,共有 种不同的安排方案.
题型3 有限制条件的组合问题
例12 [教材改编P27 T13]某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，
选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
【解析】需分两步完成：
第一步 选3名男运动员，有 种选法；
第二步 选2名女运动员，有 种选法.
故选法共有 （种）.
（2）恰有1名女运动员；
【解析】需分两步完成：
第一步 选1名女运动员，有 种选法；
第二步 选4名男运动员，有 种选法.
故选法共有 （种）.
（3）至少有1名女运动员；
【解析】 （直接法） 至少有1名女运动员包括以下四种情况:1女4男，2女3
男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理知选法共有 （种）.
（间接法） 不考虑条件，从10人中任选5人，有 种选法，其中全是男
运动员的选法有种.故至少有1名女运动员的选法有 （种）.
（4）队长中至少有1人参加；
【解析】 （直接法） 需分三类完成 ：
第一类 “只有男队长”的选法为 种；
第二类 “只有女队长”的选法为 种；
第三类 “男、女队长都入选”的选法为 种；
故队长中至少有1人参加的选法共有 （种）.
（间接法） 从10人中任选5人，有种选法，若队长全都不选，有 种
选法，故队长中至少有1人参加的选法种数为 .
（5）既要有队长，又要有女运动员.
【解析】当有女队长时，其他人的选法任意，共有 种选法；（女队长同时是女运动员）
当不选女队长时，必选男队长，共有 种选法，其中不含女运
动员的选法有种，故不选女队长时共有 种选法.
（间接法）
所以既有队长又有女运动员的选法共有
（种）.
. .
. .
求解有限制条件的组合问题的方法
（1）“含”或“不含”某些对象的组合问题：“含”，则先将这些对象取出，再取其他对
象；“不含”，则先将这些对象剔除，再从剩下的对象中去选取.
（2）“至少”或“至多”含有几个对象的组合问题：解这类题必须十分重视“至少”与“至
多”这两个关键词的含义，防止重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解此类问题，
当用直接法处理较复杂时，可考虑用间接法处理.
【学会了吗丨变式题】
4.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有____个.
（用数字作答）
14
【解析】数字2，3至少都出现一次，包括以下三种情况：
“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成 个四位数；
“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成 个四位数；
“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成 个四位数.
综上，可组成满足题意的四位数的个数为 .
题型4 分组分配问题
1 不同元素分组分配问题
将个不同元素按照某些条件分配给 个不同的对象的问题，称为分配问题，包括直
接分配和先分组再分配两种情况.
将个不同元素按照某些条件分成 组的问题，称为分组问题.分组问题有不平均分组、
平均分组和部分平均分组三种情况.
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同就是无区别的，
而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区别的，分配问题必须先
分组后排列.
（1）直接分配问题
例13 9本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）每人3本；
【解析】第一步：从9本书中选3本给甲，有 种选法.
第二步:再从其余的6本书中选3本给乙，有 种选法.
第三步：余下的3本书给丙，有 种选法.
根据分步乘法计数原理得，不同的分配方法共有 （种）．
（2）甲2本,乙3本,丙4本;
【解析】由于甲的书本数已知，先给甲选书，有种选法，再给乙选书，有 种选
法，剩下的4本给丙，有种选法，故不同的分配方法共有 （种）.
（3）甲得5本，另外两人每人得2本.
【解析】由于甲的书本数已知，先给甲选书，有 种选法.
再把剩下的4本书平均分给乙、丙，有 种方法，
故不同的分配方法共有 （种）.
（2）分组问题
例14 9本不同的书分为三组，在下列条件下各有多少种不同的分组方法？
（1）每组3本；
【解析】（平均分组问题）
先将9本书平均放入1号箱，2号箱，3号箱.
先放1号箱，有 种放法；
再放2号箱，有 种放法；
最后把剩下的3本放入3号箱，有 种放法.
因此共有 种放法.
由于这3个箱子现在是有序的，而装的书本数是一样的，因此会出现重复的分法，应
用倍缩法，重复的是3个箱子的排列顺序（假设9本书分别为 ,按照
上述将书放在1,2,3号箱中,比如分别为 ,但是当放在1,2,3号箱
中的书分别为 时,两者分成的三组书是一样的,而相同的所有
情况为三组书的全排列,即），应除以箱子的全排列数，即
（种）.
故共有280种不同的分组方法.
假设分给甲、乙、丙三人，每人3本，则有 种方法，这个过程可以
分两步完成.
. .
第一步：分为三组，每组3本，设有 种方法.
第二步：再将这三组分给甲、乙、丙三名同学，有 种方法.
根据分步乘法计数原理可得 ,
所以 ,
因此分为三组，每组3本的分组方法一共有280种.
（2）一组2本，一组3本，一组4本；
【解析】（不平均分组问题）
同（1）中方法1思路，第一步共 种放法.
由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书本数都不同，因此不会出现重复的分法，
因此共有1 260种不同的分组方法.
同（1）中方法2思路.
第一步：分为三组，一组2本，一组3本，一组4本,设有 种方法.
第二步：将这三组分别给甲、乙、丙三名同学，使甲有2本，乙有3本，丙有4本，有
1种方法.
根据分步乘法计数原理可得 ,即共有1 260种不同的分组方法.
（3）一组5本，另外两组每组2本.
【解析】（部分平均分组问题）
同（1）中方法1思路，第一步共 种放法.
这次同样不是平均分组，但恰有2个箱子装的书本数一样，因此是“局部平均”，也会
出现重复的分法，重复的是同样装着2本书的2个箱子的排列顺序，因此应除以这2个
箱子的全排列数，即 .
故共有378种不同的分组方法.
（3）先分组再分配问题
例15 9本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）一人2本，一人3本，一人4本;
【解析】将9本书分成本数分别为2,3,4的三组，有种分法，（与例 相同）
再将三组书分给甲、乙、丙三人，有 种分法，
所以不同的分配方法共有 （种）．
（2）一人得5本，另外两人每人得2本；
【解析】将9本书分成本数分别为5,2,2的三组，有种分法，（与例 相同）
再将三组书分给甲、乙、丙三人，有 种分法，
故不同的分配方法共有 （种）.
（3）甲4本，另外两人中有一人2本,一人3本.
【解析】 （直接分配） 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有 种选法.
再把剩下的5本书分成本数分别为2，3的两份，有 种分法，把分好后的两份书分
给乙、丙两个人，有 种分法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的分配方法共有 （种）．
（先分组再分配） 由（1）可知9本书分成本数分别为2，3，4的三组，
有 种分法，再分配给甲，乙，丙三人，其中甲固定获得4本，另外两组分给乙、
丙两个人，有种分法，则不同的分配方法共有 （种）.
分组问题的常见形式及处理方法
将个不同元素分成组，且每组的元素个数分别为,,, ， ,记
.
（1）不平均分组：个不同元素分成 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组
间的顺序，其分法种数为 .
（2）平均分组：将个不同元素分成组，每组元素数目相等，其分法种数为 .
（3）部分平均分组：将个不同元素分成不编号的组，其中有 组元素个数相等，
其分法种数为.如果其中还有组均匀分组，应再除以，即 .
先分组再分配问题的常见形式及处理方法
（1）不平均分组：个不同元素分成组，各组元素数目均不相等，分配给 个不
同的对象，其分法种数为 .
（2）平均分组：将个不同元素均匀分成组，分配给 个不同的对象,其分法种数
为 .
（3）部分平均分组：个不同元素分成组，其中有组元素个数相等，分配给 个
不同的对象,其分法种数为 .
【学会了吗丨变式题】
5.[多选题](2025·河北省邯郸市武安一中月考)某工程队有6辆不同的工程车，按下列
方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有( )
BD
A.分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B.分给甲、乙两地每地各2辆，分给丙、丁两地每地各1辆，有180种分配方式
C.分给甲、乙、丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D.分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1 080种分配方式
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，在6辆不同的工程车中选出2辆，分给甲地，有 种分法，
在剩下的4辆工程车中选出2辆，分给乙地，有 种分法，
将最后的2辆工程车分给丙地，有 种分法，
则有 种分配方式，A错误；
对于B，在6辆不同的工程车中选出2辆，分给甲地，有 种分法，
在剩下的4辆工程车中选出2辆，分给乙地，有 种分法，
在剩下的2辆工程车中选出1辆，分给丙地，有 种分法，
将最后的1辆工程车分给丁地，有1种分法，
则有 种分配方式，B正确；
对于C，将6辆工程车分为4，1，1的三组，有 种分法，
将分好的三组安排到三个工地，有 种情况，
则有 种分配方式，C错误；
对于D，将6辆工程车分为2,2,1,1的四组，有 种分法，
将分好的四组安排到四个工地，有 种情况，
则有 种分配方式，D正确.
故选 ．
2 相同元素分配问题（“隔板法”的应用）
例16 有10个运动员名额，分给班号分别为1,2，3的3个班.
（1）每班至少1个名额，有多少种分配方案？
【解析】因为10个名额没有差别，把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空，在9个
空中选2个位置插入“隔板”,可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板
的方法对应一种分法，共有 种分法．
图6.2.3-3是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个．
图6.2.3-3
（2）每班至少2个名额，有多少种分配方案？
【解析】要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额,
还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，
应用“隔板法”，可得有 种分法.
图6.2.3-4是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是 （个），
（个）， （个）.
图6.2.3-4
（3）可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
【解析】 因为允许某些班级没有名额，所以“隔板”可以相邻，
可以把10个名额和2个“隔板”共12个元素进行排序，只要在12个位置中选好2个位置
安排“隔板”，就可把名额分成3份，然后对应地分给3个班级，（比如“隔板”相邻了，
说明某班名额为0个）
这样每一种安置“隔板”的方法对应一种分法，分配方案共有 （种）.
因为允许某些班级没有名额，所以可以额外增加3个运动员名额，使每班
至少有1个名额.在13个元素中的12个空插入“隔板”，共有 种分配方案.
运用“隔板法”求解组合问题的解题策略
“隔板法”能快速解决相同元素的分配问题，由于元素和“隔板”都是相同的，需按组
合问题求解.使用“隔板法”的关键是要根据题意转化为“每组至少1个”或“每组至少0个”
的问题，才能合理使用“隔板法”解决问题.
“将个相同元素分成 组（每组的任务不同）”的具体情况如下：
（1）当每组至少含有一个元素时，其不同的分组方法有种，即在 个元素中间
形成的个空中插入 个“隔板”.
（2）任意分组，可出现某些组所含元素个数为0的情况，不符合隔板法的适用条件，
但可人为增加个元素，使每组至少含有一个元素，此时问题就转化为将 个
相同元素分成组，且每组至少含有一个元素，则不同的分组方法有 种.
（3）若某一小组至少含有个元素，可先取 个元素给这一小
组，此时问题就转化为将个相同元素分成 组，每组至少含有一个元素，
则不同的分组方法有 种.
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·山东省青岛第五十八中学检测)体育老师把10个相同的足球放入编号为1，2，
3的三个箱子中，要求每个箱子中放入足球的个数不少于其编号，则不同的放法种数
为( )
D
A.10 B.12 C.13 D.15
【解析】先在编号为2，3的箱子中分别放入1个、2个足球（转化为每个箱子里至少1
个足球），
将剩下的7个足球排成一行，在它们之间插入两个“隔板”把它们分成三部分，得不同
的放法种数为 ，
故所求不同的放法有15种.
. .
7.[多选题]某中学为提升高三学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进入社区义务
劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，
劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是
( )
BD
A.若1班不再分配名额，则共有 种分配方法
B.若1班有除劳动模范之外的学生参加，共有 种分配方法
C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，若1班不再分配名额，即将20个名额分配到其他5个班，每个班都必须有人
参加，
可以将20个名额看成20个小球，排成一排，中间有19个空位可用，在其中任选4个，
安排4个挡板，有种情况，即有 种分配方法，A错误；
对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，即将20个名额分配到6个班级，每个班
都必须有人参加，
可以将20个名额看成20个小球，排成一排，中间有19个空位可用，在其中任选5个，
安排5个挡板，有种情况，即有 种分配方法，B正确；
对于C，若每个班至少3人参加，1班有2个劳动模范，其他5个班先满足每个班级2个
名额，还剩10个名额，分配到6个班级，每个班都至少再有1人参加，可以将10个名
额看成10个小球，排成一排，中间有9个空位可用，在其中任选5个，安排5个挡板，
有 种情况，即有126种分配方法，C错误，D正确.
故选 ．
题型5 排列、组合的综合问题
1 选派问题
例17 有4名男医生，3名女医生，从中选2名男医生，1名女医生分别到3个不同地区巡
回医疗，但规定男医生甲不能到地区 ，则不同的分派方案共有____种.（用数字作答）
90
思路点拨 男医生甲是特殊对象，地区 是特殊位置，因此可分类解决.
【解析】 （元素分析法） 分两类完成.
第一类:甲被选中，有（【助理解】是指甲在除地区 之外的两个地
区进行选择，也可理解为另两人选出一个去地区 ）种分派方案.
第二类:甲不被选中，有 种分派方案.
根据分类加法计数原理，分派方案共有 （种）.
（位置分析法） 分两类完成.
第一类:地区分派女医生，有 种分派方案.
第二类:地区分派除医生甲之外的男医生，有 种分派方案.
根据分类加法计数原理，分派方案共有 （种）.
. .
选派问题的解题策略
（1）求解选派问题时，要分清是排列还是组合问题,并注意结合分类与分步两个原
理,要按元素的性质确定分类的标准,按事情的发生过程确定分步的顺序.
（2）解选派问题的一般思路是“先选后排”,应遵循三个原则：①先组合后排列；②先
分类后分步；③先特殊后一般.
. .
【学会了吗丨变式题】
8.(2025·广东省湛江市第二十中学月考)将5名冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速
滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分
配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
C
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
【解析】根据题意，可分两步进行安排:
第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人,共有 种分法;
第二步，将分好的4组安排到4个项目中,有 种安排方法.
故分配方案共有 （种）.
2 “多面手”问题
例18 (2025·湖北省沙市中学月考)有8名划船运动员，其中3人只会划左舷，3人只会
划右舷，其他2人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、
右舷参加划船比赛，则不同的选法共有____种.
【解析】设集合只会划左舷的3人，只会划右舷的3人， 既会划左
舷又会划右舷的2人}.从8人中选出6人，有以下三种情况：
①从中选出3人划左舷，则划右舷的3人从和的5人中选，选法有
（种）；
②从中选出2人划左舷，从中选出1人划左舷，则划右舷的3人从和 中剩下的4人
中选，选法有 （种）；
③从中选出1人划左舷，从中选出2人划左舷，则划右舷的3人从 中的3人中选，
选法有 （种）.
故不同的选法共有 （种）.
名师点评 “多面手”问题的分类依据是：按只会一种本领被选的人数来分类，将多面
手和只会另一种本领的人放在一起.
3 握手（交换）问题
握手公式：个人互相握手一次，共握了 （次）.
例19 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一
次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则
收到4份纪念品的同学人数为( )
D
A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4
【解析】设6位同学分别为,,,,, .
若任意两位同学之间都进行一次交换，则进行交换的次数为 ，每人应收到5
份纪念品，现共进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有两种情况：
①由3人构成的2次交换没有发生，如，之间和， 之间没有发生交换，则收到4
份纪念（少交换1次，少1份纪念品）品的有, 人
②由4人构成的2次交换没有发生，如，之间和， 之间没有发生交换，则收到4
份纪念品的有,,, 人.
. .
. .
. .
. .
名师点评 握手（交换）问题的实质是组合问题.涉及的对象一般不多，解题时可以
把符合条件的情况一一列举出来．
4 有序排列问题
母题 致经典·母题探究
例20 身高不等的7人排成一排，要求排在正中间的人最高，从中间往两侧看，都是
由高到低，则不同的排法有____种.
20
【解析】首先将最高的人排在正中间，
然后从剩余的6人中选出3人站在中间的人的左侧，因为从中间往两侧是由高到低的，
所以选出3人的排列方法只有一种，
剩余的3人站在中间的人的右侧，排法也只有一种.
故所有的排法的种数为 .
子题
身高不等的7人排成一排，要求排在正中间的人最高，第2,3高的人分别在其两侧，
第4,5高的人分别排在第2,3高的外侧，最后的两个人分别排在队列的两端，则不同的
排法有___种.
8
【解析】首先将最高的人排在正中间，
然后从身高位于第2,3高的两个人中选一个排在“最高个”左侧，另一个排在“最高个”
右侧，有 种排法，
再从身高位于第4，5高的两个人中选取一个排在左侧，另一个排在右侧，使其分别
排在第2，3高的外侧，又有 种排法，最后从剩下的两个人中选一个排在最左侧，
另一个排在最右侧，有种排法，共有排法 （种）.
命题探源 母题采用位置分析法，即给有序对象选位置，位置选定后，由于对象定序，
因此只有一种排法.子题采用元素分析法，即一个一个地安排对象.两者区别在于题设
条件“从中间往两侧看，都是由高到低”，此时身高位于第2,3高的人不一定排在最高
人的两侧，完全可以排在同一侧，其他几人同理.
题型6 组合与其他知识的综合
1 立体几何
例21 (教材改编P26 T6)
（1）四面体的一个顶点为，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点 在
同一平面上，不同的取法有( )
B
A.30种 B.33种 C.36种 D.39种
图6.2.3-5
【解析】如图6.2.3-5，含顶点的四面体的3个面上，除点 外都
有5个点，从中取出3点必与点共面，共有 种取法；
含顶点 的三条棱上都各有3个点，它们与对棱的中点共面，此时
共有3种取法.
故与顶点共面的3个点的取法共有 （种）.
（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有
( )
D
A.150种 B.147种 C.144种 D.141种
【解析】（间接法）从10个点中取出4个点的取法有 种，除去四点共面的取法种
数可以得到结果.
①从四面体同一个面上的6个点取4个点必定共面，有 （种）；
②四面体的每一条棱上的3个点与对棱的中点共面，共有6种共面情况；
③从6条棱的中点中取4个点时，有3种共面情况.
故4点不共面的取法有 （种）.
2 统计
例22 (2025·广东省清远市期中)某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽
样的方法调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、
音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意， （名），
美术兴趣小组要抽取的学生数为 ，
音乐兴趣小组要抽取的学生数为 ，
舞蹈兴趣小组要抽取的学生数为 ，
（【回顾】根据分层随机抽样的定义，分别求出每个兴趣小组要抽取的学生人数）
因为美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，
所以不同的抽样结果数为 .
例23 数学文化 哥德巴赫猜想(2025·广东省广州市第一中学期中)我国数学家陈景润
在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数
可以表示为两个素数的和”，如 .在不超过30的素数中，随机选取两个不
同的数，其和等于30的概率是( )
C
A. B. C. D.
【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，
从中随机选取两个不同的数有 种不同的取法，这10个数中
两个不同的数的和等于30的有3对，
所以所求概率
. .
新考法·数学建模
例24（1）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的
放法有( )
A
A.种 B.种 C.种 D. 种
【解析】由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以取出5个盒子放不
同的球，共有 种不同的放法.
（2）5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法
有( )
B
A.种 B.种 C.种 D. 种
【解析】由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同
的盒子即可.故共有 种不同的放法.
（3）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法
有( )
D
A.种 B.种 C.种 D. 种
【解析】由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，
……
第5个球也有8种放法.
故不同的放法共有 （种）.
名师点评 本题是排列、组合和可重复选取元素的三个基本模型：
个不同的球，放入个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，共有 种不
同的放法.
个相同的球，放入个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，共有 种不
同的放法.
个不同的球，放入个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，一共有 种不同的
放法.
在上述模型中我们一般把“做选择”的对象看成球，“被选择”的对象看成盒子，比如
若干人选择去某几个景区，人可选择景区，人看成球，景区看成盒子.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
排列组合主要和分类加法计数原理、分步乘法计数原理一起考查,若单独考查，则以
选择题、填空题的形式呈现，后面还会与分布列综合出现在解答题中，突出分类讨
论思想、转化与化归思想的应用，试题难度中等或中等偏上.将实际问题合理转化成
排列组合问题来解决,体现了高考“四翼”中应用性的要求.
核心素养：逻辑推理（排列、组合问题的判断等）、数学运算（组合数、概率的计
算等）.
考向1 组合中的计数问题
例25 (2024·上海)设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两
者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为_____.
【解析】由题意可知集合中最多有一个奇数，（提示：奇数×奇数 奇数，奇数×
偶数偶数，偶数×偶数 偶数）
其余均为偶数.个位为0的无重复数字的三位正整数有 （个）；个位为2,4,6,8
的无重复数字的三位正整数有 （个）.
所以集合中最多有 （个）偶数，再加上一个奇数，则集合中元素个
数的最大值为 .
例26 (2023· 新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需
从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有
____种（用数字作答）.
64
确定分类 标准 已知有两类选修课共8门，从中选2门或3门，每类至少选1门，确定分类
标准：①两类选修课选的门数；②选2门和3门.
求解分类 方案数 方法1，根据两类选修课选的门数用组合数表示；
方法2，根据至少选1门，用间接法求解选2门和3门的方案数.
求方案总 数 根据分类加法计数原理求解总的选课方案种数.
【解析】 由题意,可分三类：
第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有 种方案；
第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有 种方案；
第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有 种方案.
综上，不同的选课方案共有 （种）.
若学生从这8门课中选修2门课，则有 种选课方案;
若学生从这8门课中选修3门课,则有 种选课方案.
综上，不同的选课方案共有 （种）.
例27 (新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场
馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
( )
C
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
【解析】第1步，抽1名志愿者安排到甲场馆，有 种安排方法；
第2步，从剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙场馆，有 种安排方法；
第3步，将剩下的3名志愿者安排到丙场馆.
由分步乘法计数原理得，不同的安排方法共有 （种）.
考向2 组合在统计中的应用
例28 (2023· 新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层
随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初
中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
D
A.种 B.种 C.种 D. 种
【解析】由题意，初中部和高中部学生人数之比为 ，所以抽取的60名学生中
初中部应有（人），高中部应有 （人），所以不同的抽样结
果共有 种，故选D.
考向3 组合在概率中的应用
1 选派背景
例29 (2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名
学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】从4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的情况数为 ,其中这2名学生来
自不同年级的情况数为,所以这2名学生来自不同年级的概率 ，故
选D.
例30 (2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙
都入选的概率为___.
【解析】从甲、乙等5名同学中随机选3名，有种情况,其中甲、乙都入选有 种情
况，
所以甲、乙都入选的概率 .
2 数字背景
例31 (2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质
的概率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】从7个整数中随机取2个不同的数，共有 种取法，取得的2个数互质
的情况有，，，，，，，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，，，， ，共14种，根据古典概型的概率
公式，得这2个数互质的概率为 ．
3 空间背景
例32 (2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率
为___.
【解析】从正方体的8个顶点中任选4个，取法有 （种）.
其中4个点共面有以下两种情况：
（1）所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图6.2.3-6（1）,有6种取法;
图6.2.3-6
（2）所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，
如图6.2.3-6（2）,也有6种取法.
所以所取的4个点在同一个平面的概率 .
高考新题型专练
1.[教材改编P27 T15]［多选题］(2025·安徽省合肥八中检测)在100件产品中，有98
件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有
( )
ABC
A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
C.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D.抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有 种
【解析】对于A，抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，则有 种结果，故A
正确.
对于B，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，可以分为两类;
当抽出1件是不合格品时，抽法有 种;
当抽出2件是不合格品时，抽法有 种;
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种，故B正确.
对于C，从100件产品中选取3件的抽法有 种，然后3件产品都是合格品的抽法有
种，则抽出的3件产品中至少有1件是不合格品（间接法）的抽法有
种，故C正确.
对于D， 是从所有的抽法中减去抽出的3件产品中恰好有1件是不合格
品的抽法数，
剩下的是抽出的3件产品中有2件是不合格品和全部是合格品的抽法数，故D错误．
故选 ．
. .
. .
2.［多选题］(2025·广东省广州市天河中学期中)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学
参加运动会志愿
者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是
( )
ABD
A.若每人都安排一项工作，则不同安排方案的种数为
B.若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C.若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊
都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D.若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同
方案种数为
【解析】对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方
法，则有 种安排方案，故A错误．
对于B，根据题意，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有
种安排方案，故B错误．
对于C，根据题意，分2种情况讨论：
①从丙、丁、戊中选出2人开车，则有 种安排方案;
②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有 种安排方案.
则共有 种安排方案，故C正确.
对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有 种分组方法，将分好的三
组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则共有 种安排方案，
故D错误.故选 ．
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1. 等于( )
B
A. B. C. D.
【解析】由组合数性质知，
.
2.异面直线, 上分别有4个点、5个点，由这9个点可以确定平面的个数为( )
B
A.20 B.9 C.84 D.63
【解析】为了使确定的平面不重复，按如下方法分类：
第1类，在直线上任取一点与直线可确定 个平面；
第2类，在直线上任取一点与直线可确定 个平面.
故可以确定不同平面的个数为 .
3.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条,以取出的三条线段为边可组成钝角
三角形的概率为( )
B
A. B. C. D.
【解析】任取三条的不同取法有 （种），取出的3条线段能组成三角形的有
“2，3，4”“3，4，5”“2，4，5”三种情况，钝角三角形只有“2,3,4”和“2,4,5”两种情况
（由余弦定理可求解），故所求概率为 .
. .
4.新情境 洛书(2025·湖北省武汉市期中)如图6.2.3-1，洛书（古称龟书），是阴阳五
行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，
左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若
从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为
( )
B
图6.2.3-1
A.30 B.40 C.44 D.70
【解析】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.
若选取的3个数的和为奇数，
则当3个数都为奇数时，有 （种）方法；
当3个数为2偶1奇时，有 （种）方法.
故共有 （种）方法.
5.(2025·江苏省南京市调研)将4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，且1号
书不能给甲同学，则不同的分法种数为( )
D
A.6 B.12 C.18 D.24
【解析】第1类：当甲得一本书时，先从除1号书外的3本书中选1本给甲，然后将剩
下的3本书分成两组分给其余的两人，所以有 （种）；
第2类：当甲得两本书时，先从除1号书外的3本书中选2本给甲，然后剩下两本书给
其余两人每人一本，所以有 （种）.
由分类加法计数原理可得分法种数共有 ．
6.［多选题］(2025·广东省华南师范大学附属中学期中)盒子内有20个大小相同的球，
其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则( )
ACD
A.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有 种
B.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有 种
C.取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有 种
D.取出的3个球中至少有1个红球的取法有 种
【解析】取出的3个球中恰好有一个蓝球，则还有2个红球，不同取法种数为 ，
所以A正确，B错误.
取出的3个球中至少有2个蓝球，则分为两种情况：第一种为2个蓝球加1个红球，第
二种为3个蓝球，则不同取法种数为 ，所以C正确.
取出的3个球中至少有1个红球，则在所有取法中减去没有红球的取法即可，不同取
法种数为，所以D正确.故选 .
7.不等式 的解集为________．
【解析】由，得 ，
所以，解得 .
由题设条件知，且，所以 ,3,4.
故原不等式的解集为 ．
8.(2025·吉林省长春外国语学校期中)有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不
同学科（包含语文、数学）的课代表，分别求符合下列条件的选法种数.
（1）有女生担任课代表但人数少于男生；
【答案】（先选后排） 符合条件的课代表人员的选法有 种
（两种情况：3男2女和4男1女），排列方法有 种，所以满足题意的选法有
（种）.
（2）某女生一定要担任语文课代表；
【答案】除去该女生后，相当于从剩余的7名学生中挑选4名担任除语文外其余四科
的课代表，不同的选法种数为 .
. .
（3）某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表；
【答案】（先选后排） 除去该男生，从剩余的7名学生中选出4名有 种选法；该男
生的安排方法有种，其余4人全排列，有种.所以选法共有
（种）.
（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
【答案】先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有 种选法；该男生的安排方
法有种，其余3人全排列，有种.因此满足题意的选法共有 （种）.
B 综合练丨高考模拟
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9.(2025·浙江省杭州市期中)甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、
从高到低的固定顺序，共有排法( )
C
A.144种 B.108种 C.120种 D.360种
【解析】从6个位置中取3个让甲、乙、丙按固定顺序站位，有 种方法；再排余下3
人，有种方法，所以不同排法种数为 .
10.(2025·山东省淄博六中检测)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.
若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
B
A. B. C. D.
【解析】取出的兔子中恰有2只测量过该指标，即从3只测过指标的里面选2只，从未
测的里面选1只，所以恰有2只测量过该指标的所有情况数为 ，又从这5只兔子中
随机取出3只的所有情况数为，故所求概率为 .
11.某中学有10个高中数学联赛的名额，要分配给高三年级的8个班，每个班至少一
个名额，则不同的分配方法的种数为( )
A
A.36 B.56 C.72 D.224
【解析】 名额没有区别，为了保证“每个班至少一个名额”，先给每班各分1
个名额，于是问题简化为剩下2个名额的分配问题.分两类：
第1类，把2个名额都分给同一个班，有 种分配方法；
第2类，从8个班中选2个班再各分给1个名额，有 种分配方法.
所以满足条件的不同的分配方法有 （种）.
（隔板法） 将10个名额看作10个相同的元素，分为8组，每组至少一个元
素，因此在这10个元素之间形成的9个空中，选7个插入隔板即可，故不同的分配方
法种数为 .
12.(2025·江苏省镇江中学期中)某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开
设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院
每位同学每学年至多选三门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位
同学的不同选修方式有( )
B
A.150种 B.210种 C.300种 D.540种
【解析】第1步，将五门选修课程分为3组，若分为3，1，1三组，有 种分组
方法，
若分为3，2，0三组，有 种分组方法，
若分为2，2，1三组，有 种分组方法，
则一共有 种分组方法．
第2步，将分好的三组安排在三年内选修，有种情况，则有 种选
修方式.
13.［多选题］浙江实行“7选3”选考制度，杭州某中学高一某学生想在物理、化学、
生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正
确的有( )
AC
A.若任意选择三门课程，共有不同选法 种
B.若物理和化学至少选一门，共有不同选法 种
C.若物理和历史不能同时选，共有不同选法 种
D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，共有不同选法 种
【解析】对于A，若任意选择三门课程，共有不同选法 种，故A正确；
对于B,若从物理和化学中选一门，有 种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，
有 种选法，
若物理和化学都选，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选一门，有 种选法，
由两个计数原理知，共有 种选法，故 B错误；
对于C，若物理和历史不能同时选，选法共有 种，故C正确；
对于D，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，有3种情况，
①选物理，不选化学，有 种选法，
②选化学，不选物理，有 种选法，
③物理与化学都选，有 种选法，
故选法共有（种），故D错误．故选 ．
14.(2025·上海市华东师范大学第二附属中学模拟)袋中装有7个互不相同的小球，白
球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流取1球，甲先取，乙后取，
然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则取3次即终止
的取法种数为____，乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数为____．
24
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【解析】由题意知取3次即终止的情况为（非白，非白，白），共有 种取法.
乙取到白球且红球已经被取出包含的基本事件有：（红，白）， （红，黑，
黑，白），（黑，黑，红，白），（黑，红，黑，白）．事件有
种情况；事件有种情况；事件有 种情况；
事件有 种情况．
所以共有 种取法．
15.(2025·山东省济宁市第八中学月考)教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，
又为乡村建设提供了人才支撑.为了解决部分乡村地区优秀教师资源匮乏的问题，该
地区教育部门抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教.
（1）若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？
【答案】6名教师选1名到甲学校任教有 种方法，从剩余的5名教师中选2名到乙学
校任教有种方法，剩余3名教师都分配到丙学校去任教有 种方法，
则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有 种分配方法.
（2）若三所学校中甲学校4人、乙学校1人、丙学校1人，有多少种分配方法？
【答案】首先分成三组，为部分平均分组问题，共有 种分法，
然后分给三个学校共有 （只需考虑乙、丙）种分配方法．
. .
（3）若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？
【答案】先按1，1，4分为三个组，为部分平均分组问题，共有 种分法，然后
分给三个学校，共有 种分配方法．
（4）若三所学校每所学校至少1人，有多少种分配方法？
【答案】由题可得教师的分配方案可以是：，2，3；，1，4； ，2，2.
①6名教师按1，2，3分为三个组有 种方法，
则6人分配到三所学校共有 种分配方法；
②6名教师按1，1，4分为三个组有 种分法，
则6人分配到三所学校共有 种分配方法；
③6名教师平均分配到3所学校有 种分配方法.
则6人分配到三所学校每所学校至少1人一共有 种分配方法.