6.3 二项式定理 课件(共122张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 6.3 二项式定理 课件(共122张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 10:17:51 | ||
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文档简介
(共122张PPT)
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 二项式定理
1 二项式定理
， ，这个公式
叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式，其中各项的系数
叫做二项式系数.
知识剖析
二项式定理的特点
1.（1）二项展开式共有项，各项中,的指数和都是 .
（2）按降幂排列，指数由逐项减1直到0； 按升幂排列，指数由0逐项加1直
到 .
2.二项式定理是一个恒等式.
（1）二项式定理从左到右使用可以展开给定的二项式，从右到左使用可以化简、
求和、证明.
（2）对于任意的， ，该等式都成立.
例如：
① ；
② ;
③
.
2 二项式定理的证明
由于是个相乘,每个在相乘时有两种选择，选或 ,而且
每个中的或 都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项，因此，由分步
乘法计数原理可知,在合并同类项之前，的展开式共有 项,其中每一项都是
的形式.
说明
此处所给证明方法是利用计数原理来证明的.
对于每个,对应的项是由个中选,另外
个中选得到的.由于选定后,的选法也随之确定,因此， 出现的次数
相当于从个中取个的组合数.这样,的展开式中，共有
个，将它们合并同类项，可得
， .
3 二项展开式的通项
二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开
式的第项：（此处要求是正整数，是满足 的整数，
以后不再声明）.
知识剖析
二项展开式的通项的深层剖析
1.项数与系数：是展开式的第项，该项的二项式系数是 ,而不
是 .
2.字母次数：二项展开式的通项中的指数和组合数的上标相同,与 的指数之
和为 .#1.1.3
. .
3.基本量：在二项展开式的通项中,共含有,,,, 这5个基本量,可知4求1.
4.使用条件:二项展开式的通项是针对 这个标准形式下而言的,在应用二
项式定理时,其中的和是不能随便交换位置的,如 二项展开式的通项应是
；的二项展开式的通项是（只需把看成 代入
二项展开式的通项中）.
5.意义与应用:二项展开式的通项体现了二项展开式的项数、系数、与 的指数
的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、
常数项、中间项、有理项、系数最大项等）及系数等方面有着广泛的应用.#1.1.6
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P30例1、例2]已知二项式 .
（1）求展开式;
【解析】 .
（2）求展开式中第2项的二项式系数;
【解析】由（1）可知展开式中第2项的二项式系数为 .
（3）求展开式中第2项的系数.
【解析】由（1）可知展开式中第2项的系数为 .
【想一想丨问题质疑】
从上例中你能体会二项式系数与项的系数、项与项数的区别吗？
提示 （1）二项展开式中的二项式系数是指,, ,这些组合数，与， 无关.
（2）展开式中项的系数则是展开式中关于某一个（或两个）字母的系数，与， 有
关，项的系数未必是正数.
（3）项是指项的系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置.
例1-2 已知,则 可化简为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .（二项式定理的逆
用）
例1-3 （1）在的展开式中, 的系数为( )
C
A. B.5 C. D.10
【解析】由二项式定理得 的展开式的通项
,令,得 ,所以
,所以的系数为 ,故选C.
（2）二项式 的展开式的中间项是_______.
【解析】二项式展开式的通项为
，
二项式展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即 ，
.
知识点2 二项式系数的性质
1 两个角度表示二项式系数
对于的展开式的二项式系数， ，
， ， ，有以下两个角度表示.
（1）杨辉三角
图6.3-1
（2）函数角度
可看成以为自变量的函数，其定义域是 ，1，2，
，.对于确定的,我们还可以画出它的图象.例如，当
时，函数 的图象是7个离散点，如
图6.3-1所示.
2 二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式
得到.直线将函数 的图象分成对称的两部分，它是图象的
对称轴.
（2）增减性与最大值
因为,即,所以当
时，随的增加而增大.由对称性知，二项式系数的后半部分，随 的
增加而减小.当是偶数时，中间的一项取得最大值；当 是奇数时，中间的两项
与 相等,且同时取得最大值.
. .
（3）各二项式系数的和
①已知,令 ,
得 .
这就是说，二项展开式的各二项式系数的和为 .
②奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，且都等于 .
在二项式定理中，令， ，则
，
即 .
知识延伸
集合角度解释二项式系数和为
设是含有个元素的集合，求 的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个
数进行分类：没有元素的子集（即空集）有个，含1个元素的子集有 个，含2个
元素的子集有个， ，含个元素的子集有 个，故所有子集的个数为
.
例2-4 的展开式的二项式系数之和为8，则该二项式展开式中的常数项等于
( )
B
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】的展开式的二项式系数之和为8，则，解得 ，
故展开式的第项为 ，
令，解得 ，
故其展开式中的常数项为 .
例2-5 [多选题](2025·辽宁省抚顺市第一中学期初)已知 的展开式中，
第5项的二项式系数最大，则 的值可以为( )
ABC
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】的展开式中第5项的二项式系数 最大，
,, 都可以等于4，
,8,9.
例2-6 (2025·北京市第五中学期末)若 ,且
,则实数 的值为( )
D
A.1或3 B.-3 C.1 D.1或
【解析】令,得 .
令,得 .
（对于类型，各项系数和为,即令 即可）
又 ,
,
或 .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 二项式定理的正用、逆用
例7 [教材改编P34习题6.3 T3]用二项式定理展开：
（1） ；
【解析】 .
（2） .
【解析】 （先对括号内的式子逆用二项式定理,得到
二项式,再展开,比直接展开要简捷）
.
. .
例8 化简：
（1） ；
【解析】原式
（把 看作一个整体,并引入因式“1”，然后逆用二项式定理）
.
（2）, .
【解析】原式
.
. .
二项式定理正用与逆用的注意点
（1）正用：注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如
的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定
理展开.
（2）逆用：逆用二项式定理可化简多项式，对于这类问题的求解，要熟悉被化简多
项式的项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
【学会了吗丨变式题】
1.已知，则___，
_____.
【解析】 （先变形，再展开）
，
故, .
. .
题型2 二项展开式的特定项、项的系数的求解
1 分析通项解决特定项
例9 在二项式 的展开式中，求
（1）第4项；
【解析】令，则 .
（2）常数项；
【解析】令，则 ，
从而常数项为 .
（3）有理项.
【解析】若求展开式中的有理项，则为整数，即 ,3,6,9,12，故有理项分
别为,,, ,
.
【解析】二项展开式的第 项是
.
例10（1）(2025·山东省临沂市段考)设 的展开式中第2项与第4项的
系数之比为，则含 的项为______.
【解析】由题设，得 ，
，
于是有 ，
化简得,解得 ，
故原式为 .
的展开式的第项为，令，得 ，
所以含的项为 .
（2）(2025·广东省东莞市检测)设二项式的展开式中的系数为 ,
常数项为.若，则 的值是___.
2
【解析】的展开式的通项为 .
分别令, ,
解得, ,
则, .
因为,,所以 .
常见的特定项的求解思路
二项展开式的通项 的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：
①求第项；②求含或 的项；③求常数项；④求有理项.其中求有理项时，一
般根据通项，找出未知数的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据整数的整除性
来求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算.
【学会了吗丨变式题】
2.[多选题]已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大.若展开式
中所有项的系数和为1，则正确的结论有( )
ABD
A. B.
C.展开式中常数项为1 200 D.展开式中含的项为
【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以可知展开式中共有9项，
即 ，故A正确；
若展开式中所有项的系数和为1，令，则，所以得 ，
故B正确;
通项，令,解得 ，
所以展开式中的常数项为 ,故C错误;
令，解得，所以展开式中含 的项为
，故D正确．
2 多个多项式相乘问题
例11（1）的展开式中 的系数为( )
A
A.12 B.16 C.20 D.24
【解析】 要得到的展开式中含的项，则 取1，
取；或取，取 .
故所求系数为 .
（用二项式定理展开）
，
的系数为 .
. .
（2） 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
( )
D
A. B. C.20 D.40
【解析】对于，可令得各项系数的和为,故 .
的展开式的通项为 .
要得到的展开式中的常数项，则中的与 的展开式中
含的项相乘，中的与的展开式中含 的项相乘，
故令得，令得 ，从而可得所求常数项为
.
例12 的展开式中 的系数是____.
【解析】 （双通项法） 的展开式的通项为
，的展开式的通项为 ，则
的展开式的通项为,其中,1,2, ,6, ,
1,2,3,4.
令，得，于是的展开式中 的系数等于
.
. .
，
于是的展开式中的系数为 的展开
式的通项为 .
. .
求特定项系数的思路与方法
（1）对于几个多项式积的展开式中的求特定项系数的问题，一般可以根据因式连乘
的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
（2）双通项法是解决幂指数较小（如例12）问题的通法.所谓双通项法就是根据多
项式与多项式的乘法法则得到 的展开式中的一般项为
（注意这里含有
的项不一定只有一项），再根据题目中对字母的指数的特殊要求，确定与 所
满足的条件，进而弄清, 的取值情况,从而使问题顺利解决.
【学会了吗丨变式题】
3.的展开式中，若的系数为，则实数 的值为___.
2
【解析】的展开式中,,的系数分别为, ，所以
的展开式中的系数为，所以 .
4.设，则 ___.
2
【解析】的展开式的通项, 的展开式的通
项，则 的展开式的通项为
,要得到的值,即求的系数,则, 或
,,从而可得的系数 .
3 系数问题
例13（1）若, ,其中
，则 的值为___.
2
【解析】, 的二项展开式的第9项为
,
, .
又, .
（2）若，则
( )
B
A.45 B.27 C.15 D.3
【解析】由题意得 ，
故 .
【学会了吗丨变式题】
5.[教材改编P34习题6.3 T1](2025·广东省中山市第一中学月考)在
的展开式中，含 的项的系数是( )
A
A.83 B.84 C.55 D.88
【解析】的展开式中，含 的项的系数为
（利用公式化简）.故选
. .
题型3 三项式的展开问题
母题 致经典·母题探究
例14 的展开式中的常数项为_ ____（用数字作答）.
【解析】 在时可化为 ,因而展开式的通项
,则时为常数项，即 .
在时可化为 ,所以展开式的通项
,
令，得 ，
则展开式的常数项为 .
综上，的展开式的常数项为 .
原式 .
求原展开式中的常数项，转化为求的展开式中含 的项的系数，即
.
所以原展开式中的常数项为 .
的通项为 ,
的通项为
.
令，则，可得,或,或, .
当,时，展开式中的项为 ；
当,时,展开式中的项为 ；
当,时，展开式中的项为 .
综上，的展开式中的常数项为 .
是5个三项式 相乘.常数项的产生有三种情况：
（1）在5个相乘的三项式中，从其中1个三项式中取 ，从另外4个三项
式中选一个取 ，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得
；
（2）在5个相乘的三项式中，从其中2个三项式中取 ，从另外3个三项
式中选2个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得 ；
（3）从5个相乘的三项式中都取常数项相乘，可得 .
综上，的展开式中的常数项为 .
命题探源 方法1、方法2、方法3的共同特点：利用转化思想，把三项式转化为二项
式来解决.方法4是利用二项式定理的推导方法来解决问题，其本质是分类加法计数
原理和分步乘法计数原理的运用，用这种方法可以直接求展开式中的某特定项.
子题
[教材改编P34习题6.3 T2]的展开式中 的系数为____.
-20
【解析】1个括号中取,1个括号中取,3个括号中取可构成 这一项，得
,所以的系数为 .
三项式求特定项的常规方法
（1）因式分解法：通过分解因式将三项式变成二项式，然后用二项式定理展开.
（2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组
展开.
（3）利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识分析项的构成，
注意最后应把各个同类项合并.
分组的技巧
求三项式 的展开式，可以将其中两项结合，转化为二项式，再利用
二项式定理展开，即得其展开式.转化为二项式时，不同的分组方式展开后式子的运
算过程的繁简也不相同，要注意结合多项式中各项式子的特征合理分组，通过尝试
以确定最优分组.如求的展开式，既可视为或 ，
也可视为时或 .
【学会了吗丨变式题】
6.的展开式中, 的系数为( )
D
A.160 B.210 C.120 D.252
【解析】 ,
二项展开式的通项 .
令，得, .故选D.
题型4 二项展开式中系数的最值问题
1 二项式系数最大问题
例15 已知 的展开式中没有比第6项的二项式系数更大的项，求第3项.
给什么 得什么 没有比第6项的二项式系数更大的项，换句话说，第6项的二项式系数最
大.
求什么 想什么 求二项式系数最大，需要讨论二项式指数的奇偶；
求第3项，需要表示出展开式的第 项.
差什么 找什么 为偶数时，第6项二项式系数最大，求，由展开式的第 项得第3
项；为奇数时，第5，6项或第6,7项二项式系数最大，求 ，由展开式的
第 项得第3项.
【解析】依题意，的展开式的第项为 ,
当为偶数时，只有第6项的二项式系数最大，即,则 ,
此时 .
当 为奇数时，第5，6项的二项式系数最大或第6，7项的二项式系数最大，即
或,解得或 .
当时， ;
当时， .
综上，当时，第3项为;当时，第3项为；当 时，第3项为
.
二项式系数最大问题的切入点
当是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当 是奇数时，展开式的中
间两项的二项式系数, 最大.
【学会了吗丨变式题】
7.二项式 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开
式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则 的值为( )
B
A.4 B.8 C.12 D.16
【解析】 二项式 的展开式中只有第6项的二项式系数最
大， 展开式共有11项， .
展开式的第项为 ,
由展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，可得 ,解得
.
8.(2025·湖南省怀化市期中)若 的展开式中的第3项与第4项的二项式系数
相等且都为最大，则展开式中的常数项为( )
C
A.6 B. C. D.
【解析】由题意可得，所以，故 的展开式的通项为
.
令，解得 ，
故展开式中的常数项为 .
2 展开式系数最大问题
例16 在 的展开式中，
（1）系数绝对值最大的项是第几项？
【解析】设第项系数的绝对值 可省略 最大，
则
（用组合数公式的阶乘表示 化简）
解得,即和 .
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
. .
（2）求二项式系数最大的项；
【解析】, 二项式系数最大的项为中间项，即为第5项,
.
（3）求系数最大的项；
【解析】 由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最大的项必是奇数项.
设展开式中第（与第项相邻的奇数项为第项和第项）为偶数
项的系数最大，
则
. .
. .
,,均为偶数，,,均为正数1
解得 ,
则，故展开式中系数最大的项为 .
由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系
数为负，第7项的系数为正，故系数最大的项为 .
（4）求系数最小的项.
【解析】 由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最小的项必是偶数项.
设展开式中第（与第相邻的偶数项为第项和第项）为奇数 项
的系数最小，
则
,,均为奇数，，，均为
解得 ,
则，故展开式中系数最小的项为 .
. .
. .
由（1）知展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，且第6项的系数
为负，第7项的系数为正，故系数最小的项为 .
【解析】展开式的通项 .
求项的系数的最值问题的思路
求展开式中有关系数最大的问题时，要区分“项的系数最大”
与“二项式系数最大”以及“最大项”等.（1）在系数均为正
则
（或 ）.
的前提下，求项的系数的最大值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据展开式的
通项正确地列出不等式（组）即可，即设第 项的系数最大（或最小），
. .
（2）当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不
等式组 求系数的最小值应在
系数都为负的各项系数间构造不等式组
【学会了吗丨变式题】
9.（1）已知 的展开式中，各项的系数和为各项的二项式系数和
的32倍.求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】令,可得各项系数和为 .
展开式各项的二项式系数之和为 .
由已知得，即， .
展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
, .
（2）已知 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数
最大的项.
【答案】由题意可知,解得 ，
故展开式的通项为 .
设第 项的系数最大，
则即解得 .
, ，
展开式中的系数最大的项为 .
题型5 利用赋值法解系数问题
例17 设 ,求下列各式的值.
（1） ;
【解析】令,则 .
（2） ;
【解析】令可得 ①,
故 .
（3） ;
【解析】令可得 .
①②联立可解得
.
（4） ;
【解析】原式 .（由①②可得）
. .
（5） .
【解析】 的展开式的第 项为
,
则 ,
故且 ,（展开式中各项的系数正负相间）
所以 .
问题等价于求解 的展开式中各项系数的和.
令,则原式 .
. .
例18 若 ,则
_ ___.
思路点拨 所要求的和式中,,, ,的系数分别为1,2,3, ,7,联想到导数公式
，可知对原二项展开式右边求导，即可产生新的系数,,, , .
【解析】对
两边求导，得 .
令，得 .
解决二项展开式中各项系数的和的问题的思维过程与方法
（1）若，则 的展开式中各项系数的
和为 .
当为偶数时，奇数项系数的和为 ，偶数项系数
的和为 ；
当为奇数时，奇数项系数的和为 ,偶数项系数
的和为 .
（2）求形如, 的展开式的各项系数之和，只需
令即可；求形如 的展开式的各项系数之和，只需令
即可.
【学会了吗丨变式题】
10.若 ，则
( )
D
A.4 B.7 C.8 D.9
【解析】 ,
令,可得 ,
令,可得 ①,
令,可得 ②,
由①②联立解得 ，
,则 .
题型6 二项式定理的应用
1 利用二项式定理证明整除问题
例19 [教材改编P35 T9]用二项式定理证明:
（1） 能被100整除;
【解析】
.
显然上式括号内的数是正整数，所以 能被100整除.
（2） 能被64整除.
【解析】
,
显然上式是64的倍数，故原式能被64整除.
名师点评 证明整除问题，可找除数或除数的倍数为因式，利用二项展开式求证.
利用二项式定理解决整除问题的基本思路
利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明
一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能
被另一个式子整除.因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此
时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理.
2 利用二项式定理求余数
例20（1）求 除以9的余数；
【解析】
.
显然上式括号内的数是正整数，故 除以9的余数为7.
（2）求 除以100的余数.
【解析】 ,
（前91项）
前91项均能被100整除，后两项的和为 ，显然8 281除以100的余
数为81，故 除以100的余数为81.
. .
利用二项式定理求余数的注意点
求余数时，要注意余数的范围，即余数大于零且小于除数.利用二项式定理展开变形
后，若剩余部分是负数，要注意进行转化.
3 利用二项式定理近似计算
例21（1）求 精确到0.001的近似值；
【解析】 .
（2）求 精确到0.001的近似值.
【解析】 .
思路点拨 先对底数进行分解，然后利用二项式定理展开，最后利用截项
（只取前 项）的方法进行估计.
近似计算的处理方法
当的绝对值与1相比很小且不大时，常用近似公式 ,因为这时展
开式的后面部分 很小，可以忽略不计.若精确度要求较高，
则可使用更精确的近似公式 等.
4 利用二项式定理证明不等式
例22 求证：对一切,都有 .
【解析】由于
（这些部分小于1） ,所以，即 .
当时， ;
当时， .
所以对一切,都有 .
. .
. .
. .
名师点评 用二项式定理证明不等式时，应注意巧妙地构造二项式，对展开式的项进
行放缩以达到求和的目的.
新考法·思维创新
例23 新定义 牛顿-莱布尼茨公式 知识卡片：一般地，如果是区间 上的连
续函数，并且，那么 ，这个结论叫
做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．
当，时，有如下表达式： ,
两边同时积分得 ，
从而得到如下等式： .
请根据以上材料所蕴含的数学思想及方法，由
计算：
_______________.#1.2
[
【解析】因为 ，
所以
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考中主要考查求二项展开式的特定项或其系数，求解的关键是写出通项，处理方
法较为固定，主要以选择题或填空题的形式呈现，有时候也会作为一个知识点出现
在解答题中，难度中等偏下.
核心素养：数学运算（系数的求解等）.
考向1 求展开式中的特定项或其系数
1 二项展开式问题
例24（1）(2025·天津)在的展开式中， 项的系数为_____.
【解析】展开式的通项为 ,令
，得，所以项的系数为 .
（2）(2024·天津)在 的展开式中，常数项为____.
20
【解析】.令，则 ，所
以常数项为 .
命题 探源 主要考查二项展开式的通项的应用，难度不大，体现了高考评价体系中“基 础性”的要求，高考中这类题目比较常见.
素养 探源 素养 考查途径
数学运算 求二项展开式的通项及项的系数.
变式探源 (2024·北京)在的展开式中， 的系数为( )
A
A.6 B. C.12 D.
【解析】 （公式法） 的展开式的通项
.由3，得 ，所以
的展开式中的系数为 .
（组合数法） 的展开式中含 的项是由
中任意取2个括号内的 与剩余的2个括号内的
相乘得到的，所以的展开式中含的项为 ，所
以的展开式中 的系数为6.
例25 (2024·全国甲卷) 的展开式中,各项系数中的最大值为___.
【解析】的展开式的通项，设第 项的系数最大，
则即
解得，即，故展开式中各项系数中的最大值为 .
名师点评 对于本题，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式
递增，因此分别计算,,,,, ，
比较可得, 最大.
2 多项式乘积展开式问题
例26 (2022·新高考全国Ⅰ卷)的展开式中 的系数为_____
（用数字作答）.
【解析】展开式的通项，,1, ,7,8.
令，得 ，
令,得 ，
所以的展开式中的系数为 ．
考向2 赋值法的应用
例27 (2025·北京)已知，则 ___；
____．
1
15
【解析】 （赋值法） 令，则 ，
又 ，
故 ，
令，则 ，
令，则 ，
故 .
（通项法）的通项为 ，
则 ,
所以,,,, ,
则 .
高考新题型专练
1.[多选题]对于二项式 ，下列判断正确的有( )
AD
A.存在 ，展开式中有常数项
B.对任意 ，展开式中没有常数项
C.对任意，展开式中没有 的一次项
D.存在，展开式中有 的一次项
【解析】二项式的展开式的通项为,,1,2, , ,而
的展开式的通项为,,1,2， ， .
对于，展开式的通项为,未知数
的次数为 ，
当时，即,当，， 时，展开式中有常数
项，故A正确，B错误；
当时，即,当，， ，此时展开式中
有 的一次项，故D正确，C错误.
2.新考法 结构不良(2025·山东省聊城第四中学月考)在下列三个条件中任选一个条件，
补充在下
面问题中的横线上，并完成解答．
条件①，展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②，展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；
条件③，展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式 ,若 _____________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________ ，求
若选①，由，解得 .
若选②,由，解得 .
若选③，二项展开式的通项为 ,因为展开式中常数项为第三项，
所以，，故 .
（1）展开式中二项式系数最大的项；
【答案】由得，展开式的二项式系数最大项为 .
（2）展开式中所有的有理项．
【答案】设第项为有理项，因为,且， ，所
以 ，2，4，6，
则有理项为, ,
, .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.二项式 的展开式为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 .
2.若实数，则 等于( )
A
A.32 B. C.1 024 D.512
【解析】 ，
当时， .
3.小明在一个物理问题计算过程中遇到了对数据 的处理，经过思考，小明决
定采用精确到0.001的近似值，则这个近似值是( )
B
A.1.000 B.1.024 C.1.025 D.1.023
【解析】 ．
4. 的展开式的常数项为( )
B
A.25 B. C.5 D.
【解析】的展开式的通项为 .
令或，分别解得或 .
所以 的展开式的常数项为
.
5.(2025·四川省绵阳中学测试)在的展开式中，的系数为5，则 的值为
( )
B
A. B.1 C. D.2
【解析】 的展开式的通项为
，
令，解得，则的系数为，解得 ．
6.［多选题］(2025·江西省新余市期末)对于二项式 的展开式，下列结论正确
的是( )
AB
A.展开式共有10项 B.第6项的二项式系数是126
C.第6项的系数是126 D. 的系数是84
【解析】二项展开式共有 （项），A正确；
由已知得二项展开式的通项为 ，
， 第6项的二项式系数为 ，第6项的
系数为 ，故B正确，C错误；
设展开式中的第项为含的项，则令，得 ，即展开式中第4项
含，其系数为 ，D错误.
7.(2025·天津大学附属中学月考)已知 的展开式中只有第6项的二项式系数最
大，则展开式中奇数项的二项式系数和为____.
【解析】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以 .展开式中奇数项
的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，均为 .
8.新考法 结构不良 条件①前三项系数成等差数列，条件②二项式系数和为64.在以
上两个条件中任选一个补充在下面问题中，并进行解答.
问题：在的展开式中，_________________________________，求 的值及
展开式中的常数项.
【解析】展开式的通项为 .
选择①：前三项的系数成等差数列，且前三项的系数分别为, ,
，则，解得 或1（舍去），
所以,令，解得 ，所以展开式的常数项为
.
选择②：二项式系数和为64，则 ，
所以，所以 ，
令，解得 ，
所以展开式的常数项为 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
9.[教材改编P38 T6](2025·江苏省锡东高级中学月考)设,且 ,若
能被13整除，则 ( )
B
A.0 B.1 C.11 D.12
【解析】 ,
由于 含有因数52，
故能被52整除，即能被13整除.
要使能被13整除，则 能被13整除.
又,,结合选项可知 符合.
10.若直线与平行，则的展开式中 的系数
为( )
D
A.130 B.140 C.200 D.210
【解析】因为直线与平行，所以 .
的展开式中，要得到含的项，应从5个中选3个取 ，
从剩余2个中取，或从5个中选1个取，从剩余4个中取 ，或从5个
中选2个取，从其余3个中选1个取，再从剩余2个中取，因此 的系数
为 .
当 时，
，展开式的通项为
，
当时，展开式中的系数为 .
当 时，
，
展开式的通项为 ，
当时，展开式中的系数为 .
综上，展开式中 的系数为210.
，要求的系数，求 展开式中
的系数即可，
的展开式的通项为，令，得， 的
系数为 .
11.［多选题］(2025·陕西省安康中学检测)对任意实数 ，有
，则下列结论成立的是
( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】因为 ,令
，则，所以 ，
其中展开式的通项为 .
令，则 ，故A正确；
令，即，所以，所以 ，故B错误；
令，则 ，故C正确；
因为,,, ,, ，所以
，故D正确.
故选 .
12.［多选题］(2025·黑龙江省实验中学月考)已知 的展开式中第5
项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为 ，则下列说法正确
的是( )
BCD
A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含 项的系数为45
【解析】因为 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以
，解得 .
因为展开式的各项系数之和为，所以令，得 ，又
，所以 .
则原式为，其展开式的第 项为
.
展开式中奇数项的二项式系数之和为 ，故A错误；
因为展开式中二项式系数与对应项的系数一样（系数只有组合数 ），且展开式有
11项，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；
令,解得，又 ,所以展开式中存在常数项，故C正确；
令,解得，又 ，故D正确.
13.(2025·广东省东莞市第一中学月考)已知多项式
,则 ___,
___.
8
-2
【解析】由多项式展开式可知， .
令可得，令可得 ，
所以 .
14.已知二项式 展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为
.
（1）求展开式中的二项式系数最大的项；
【答案】令，则展开式中所有项的系数之和为 ，
而二项式的系数之和为 ，
由题意知，，解得 ，是奇数，
所以展开式中的二项式系数最大的项为第3项和第4项，所以
,
.
（2）求展开式中的系数最大的项．
【答案】设展开式中的系数最大的项为 ，
所以解得 ，
因为，所以 或2，
所以展开式中的系数最大的项为第2项和第3项，
,
.
C 培优练丨能力提升
15.新考法 新定义题 (2025·辽宁省名校联盟联考)
的展开式中，把
，，， ，叫做三项式的 次系数列.
（1）求 的值.
【答案】当 时，
，
令，则 ，
令，则 ，
两式相加得 ，
所以 .
（2）根据二项式定理，将等式 的两边分别展开可得左
右两边的系数对应相等，如
【答案】因为
.理解上述思想方法，利用方程 ，化简
.
，
，
所以的展开式中， 的系数为
.
因为的展开式的通项 ，
令，得 ，
所以的展开式中没有含 的项，
因为 ，
所以 .
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 二项式定理
1 二项式定理
， ，这个公式
叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式，其中各项的系数
叫做二项式系数.
知识剖析
二项式定理的特点
1.（1）二项展开式共有项，各项中,的指数和都是 .
（2）按降幂排列，指数由逐项减1直到0； 按升幂排列，指数由0逐项加1直
到 .
2.二项式定理是一个恒等式.
（1）二项式定理从左到右使用可以展开给定的二项式，从右到左使用可以化简、
求和、证明.
（2）对于任意的， ，该等式都成立.
例如：
① ；
② ;
③
.
2 二项式定理的证明
由于是个相乘,每个在相乘时有两种选择，选或 ,而且
每个中的或 都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项，因此，由分步
乘法计数原理可知,在合并同类项之前，的展开式共有 项,其中每一项都是
的形式.
说明
此处所给证明方法是利用计数原理来证明的.
对于每个,对应的项是由个中选,另外
个中选得到的.由于选定后,的选法也随之确定,因此， 出现的次数
相当于从个中取个的组合数.这样,的展开式中，共有
个，将它们合并同类项，可得
， .
3 二项展开式的通项
二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开
式的第项：（此处要求是正整数，是满足 的整数，
以后不再声明）.
知识剖析
二项展开式的通项的深层剖析
1.项数与系数：是展开式的第项，该项的二项式系数是 ,而不
是 .
2.字母次数：二项展开式的通项中的指数和组合数的上标相同,与 的指数之
和为 .#1.1.3
. .
3.基本量：在二项展开式的通项中,共含有,,,, 这5个基本量,可知4求1.
4.使用条件:二项展开式的通项是针对 这个标准形式下而言的,在应用二
项式定理时,其中的和是不能随便交换位置的,如 二项展开式的通项应是
；的二项展开式的通项是（只需把看成 代入
二项展开式的通项中）.
5.意义与应用:二项展开式的通项体现了二项展开式的项数、系数、与 的指数
的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、
常数项、中间项、有理项、系数最大项等）及系数等方面有着广泛的应用.#1.1.6
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P30例1、例2]已知二项式 .
（1）求展开式;
【解析】 .
（2）求展开式中第2项的二项式系数;
【解析】由（1）可知展开式中第2项的二项式系数为 .
（3）求展开式中第2项的系数.
【解析】由（1）可知展开式中第2项的系数为 .
【想一想丨问题质疑】
从上例中你能体会二项式系数与项的系数、项与项数的区别吗？
提示 （1）二项展开式中的二项式系数是指,, ,这些组合数，与， 无关.
（2）展开式中项的系数则是展开式中关于某一个（或两个）字母的系数，与， 有
关，项的系数未必是正数.
（3）项是指项的系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置.
例1-2 已知,则 可化简为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .（二项式定理的逆
用）
例1-3 （1）在的展开式中, 的系数为( )
C
A. B.5 C. D.10
【解析】由二项式定理得 的展开式的通项
,令,得 ,所以
,所以的系数为 ,故选C.
（2）二项式 的展开式的中间项是_______.
【解析】二项式展开式的通项为
，
二项式展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即 ，
.
知识点2 二项式系数的性质
1 两个角度表示二项式系数
对于的展开式的二项式系数， ，
， ， ，有以下两个角度表示.
（1）杨辉三角
图6.3-1
（2）函数角度
可看成以为自变量的函数，其定义域是 ，1，2，
，.对于确定的,我们还可以画出它的图象.例如，当
时，函数 的图象是7个离散点，如
图6.3-1所示.
2 二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式
得到.直线将函数 的图象分成对称的两部分，它是图象的
对称轴.
（2）增减性与最大值
因为,即,所以当
时，随的增加而增大.由对称性知，二项式系数的后半部分，随 的
增加而减小.当是偶数时，中间的一项取得最大值；当 是奇数时，中间的两项
与 相等,且同时取得最大值.
. .
（3）各二项式系数的和
①已知,令 ,
得 .
这就是说，二项展开式的各二项式系数的和为 .
②奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，且都等于 .
在二项式定理中，令， ，则
，
即 .
知识延伸
集合角度解释二项式系数和为
设是含有个元素的集合，求 的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个
数进行分类：没有元素的子集（即空集）有个，含1个元素的子集有 个，含2个
元素的子集有个， ，含个元素的子集有 个，故所有子集的个数为
.
例2-4 的展开式的二项式系数之和为8，则该二项式展开式中的常数项等于
( )
B
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】的展开式的二项式系数之和为8，则，解得 ，
故展开式的第项为 ，
令，解得 ，
故其展开式中的常数项为 .
例2-5 [多选题](2025·辽宁省抚顺市第一中学期初)已知 的展开式中，
第5项的二项式系数最大，则 的值可以为( )
ABC
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】的展开式中第5项的二项式系数 最大，
,, 都可以等于4，
,8,9.
例2-6 (2025·北京市第五中学期末)若 ,且
,则实数 的值为( )
D
A.1或3 B.-3 C.1 D.1或
【解析】令,得 .
令,得 .
（对于类型，各项系数和为,即令 即可）
又 ,
,
或 .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 二项式定理的正用、逆用
例7 [教材改编P34习题6.3 T3]用二项式定理展开：
（1） ；
【解析】 .
（2） .
【解析】 （先对括号内的式子逆用二项式定理,得到
二项式,再展开,比直接展开要简捷）
.
. .
例8 化简：
（1） ；
【解析】原式
（把 看作一个整体,并引入因式“1”，然后逆用二项式定理）
.
（2）, .
【解析】原式
.
. .
二项式定理正用与逆用的注意点
（1）正用：注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如
的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定
理展开.
（2）逆用：逆用二项式定理可化简多项式，对于这类问题的求解，要熟悉被化简多
项式的项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
【学会了吗丨变式题】
1.已知，则___，
_____.
【解析】 （先变形，再展开）
，
故, .
. .
题型2 二项展开式的特定项、项的系数的求解
1 分析通项解决特定项
例9 在二项式 的展开式中，求
（1）第4项；
【解析】令，则 .
（2）常数项；
【解析】令，则 ，
从而常数项为 .
（3）有理项.
【解析】若求展开式中的有理项，则为整数，即 ,3,6,9,12，故有理项分
别为,,, ,
.
【解析】二项展开式的第 项是
.
例10（1）(2025·山东省临沂市段考)设 的展开式中第2项与第4项的
系数之比为，则含 的项为______.
【解析】由题设，得 ，
，
于是有 ，
化简得,解得 ，
故原式为 .
的展开式的第项为，令，得 ，
所以含的项为 .
（2）(2025·广东省东莞市检测)设二项式的展开式中的系数为 ,
常数项为.若，则 的值是___.
2
【解析】的展开式的通项为 .
分别令, ,
解得, ,
则, .
因为,,所以 .
常见的特定项的求解思路
二项展开式的通项 的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：
①求第项；②求含或 的项；③求常数项；④求有理项.其中求有理项时，一
般根据通项，找出未知数的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据整数的整除性
来求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算.
【学会了吗丨变式题】
2.[多选题]已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大.若展开式
中所有项的系数和为1，则正确的结论有( )
ABD
A. B.
C.展开式中常数项为1 200 D.展开式中含的项为
【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以可知展开式中共有9项，
即 ，故A正确；
若展开式中所有项的系数和为1，令，则，所以得 ，
故B正确;
通项，令,解得 ，
所以展开式中的常数项为 ,故C错误;
令，解得，所以展开式中含 的项为
，故D正确．
2 多个多项式相乘问题
例11（1）的展开式中 的系数为( )
A
A.12 B.16 C.20 D.24
【解析】 要得到的展开式中含的项，则 取1，
取；或取，取 .
故所求系数为 .
（用二项式定理展开）
，
的系数为 .
. .
（2） 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
( )
D
A. B. C.20 D.40
【解析】对于，可令得各项系数的和为,故 .
的展开式的通项为 .
要得到的展开式中的常数项，则中的与 的展开式中
含的项相乘，中的与的展开式中含 的项相乘，
故令得，令得 ，从而可得所求常数项为
.
例12 的展开式中 的系数是____.
【解析】 （双通项法） 的展开式的通项为
，的展开式的通项为 ，则
的展开式的通项为,其中,1,2, ,6, ,
1,2,3,4.
令，得，于是的展开式中 的系数等于
.
. .
，
于是的展开式中的系数为 的展开
式的通项为 .
. .
求特定项系数的思路与方法
（1）对于几个多项式积的展开式中的求特定项系数的问题，一般可以根据因式连乘
的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
（2）双通项法是解决幂指数较小（如例12）问题的通法.所谓双通项法就是根据多
项式与多项式的乘法法则得到 的展开式中的一般项为
（注意这里含有
的项不一定只有一项），再根据题目中对字母的指数的特殊要求，确定与 所
满足的条件，进而弄清, 的取值情况,从而使问题顺利解决.
【学会了吗丨变式题】
3.的展开式中，若的系数为，则实数 的值为___.
2
【解析】的展开式中,,的系数分别为, ，所以
的展开式中的系数为，所以 .
4.设，则 ___.
2
【解析】的展开式的通项, 的展开式的通
项，则 的展开式的通项为
,要得到的值,即求的系数,则, 或
,,从而可得的系数 .
3 系数问题
例13（1）若, ,其中
，则 的值为___.
2
【解析】, 的二项展开式的第9项为
,
, .
又, .
（2）若，则
( )
B
A.45 B.27 C.15 D.3
【解析】由题意得 ，
故 .
【学会了吗丨变式题】
5.[教材改编P34习题6.3 T1](2025·广东省中山市第一中学月考)在
的展开式中，含 的项的系数是( )
A
A.83 B.84 C.55 D.88
【解析】的展开式中，含 的项的系数为
（利用公式化简）.故选
. .
题型3 三项式的展开问题
母题 致经典·母题探究
例14 的展开式中的常数项为_ ____（用数字作答）.
【解析】 在时可化为 ,因而展开式的通项
,则时为常数项，即 .
在时可化为 ,所以展开式的通项
,
令，得 ，
则展开式的常数项为 .
综上，的展开式的常数项为 .
原式 .
求原展开式中的常数项，转化为求的展开式中含 的项的系数，即
.
所以原展开式中的常数项为 .
的通项为 ,
的通项为
.
令，则，可得,或,或, .
当,时，展开式中的项为 ；
当,时,展开式中的项为 ；
当,时，展开式中的项为 .
综上，的展开式中的常数项为 .
是5个三项式 相乘.常数项的产生有三种情况：
（1）在5个相乘的三项式中，从其中1个三项式中取 ，从另外4个三项
式中选一个取 ，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得
；
（2）在5个相乘的三项式中，从其中2个三项式中取 ，从另外3个三项
式中选2个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得 ；
（3）从5个相乘的三项式中都取常数项相乘，可得 .
综上，的展开式中的常数项为 .
命题探源 方法1、方法2、方法3的共同特点：利用转化思想，把三项式转化为二项
式来解决.方法4是利用二项式定理的推导方法来解决问题，其本质是分类加法计数
原理和分步乘法计数原理的运用，用这种方法可以直接求展开式中的某特定项.
子题
[教材改编P34习题6.3 T2]的展开式中 的系数为____.
-20
【解析】1个括号中取,1个括号中取,3个括号中取可构成 这一项，得
,所以的系数为 .
三项式求特定项的常规方法
（1）因式分解法：通过分解因式将三项式变成二项式，然后用二项式定理展开.
（2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组
展开.
（3）利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识分析项的构成，
注意最后应把各个同类项合并.
分组的技巧
求三项式 的展开式，可以将其中两项结合，转化为二项式，再利用
二项式定理展开，即得其展开式.转化为二项式时，不同的分组方式展开后式子的运
算过程的繁简也不相同，要注意结合多项式中各项式子的特征合理分组，通过尝试
以确定最优分组.如求的展开式，既可视为或 ，
也可视为时或 .
【学会了吗丨变式题】
6.的展开式中, 的系数为( )
D
A.160 B.210 C.120 D.252
【解析】 ,
二项展开式的通项 .
令，得, .故选D.
题型4 二项展开式中系数的最值问题
1 二项式系数最大问题
例15 已知 的展开式中没有比第6项的二项式系数更大的项，求第3项.
给什么 得什么 没有比第6项的二项式系数更大的项，换句话说，第6项的二项式系数最
大.
求什么 想什么 求二项式系数最大，需要讨论二项式指数的奇偶；
求第3项，需要表示出展开式的第 项.
差什么 找什么 为偶数时，第6项二项式系数最大，求，由展开式的第 项得第3
项；为奇数时，第5，6项或第6,7项二项式系数最大，求 ，由展开式的
第 项得第3项.
【解析】依题意，的展开式的第项为 ,
当为偶数时，只有第6项的二项式系数最大，即,则 ,
此时 .
当 为奇数时，第5，6项的二项式系数最大或第6，7项的二项式系数最大，即
或,解得或 .
当时， ;
当时， .
综上，当时，第3项为;当时，第3项为；当 时，第3项为
.
二项式系数最大问题的切入点
当是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当 是奇数时，展开式的中
间两项的二项式系数, 最大.
【学会了吗丨变式题】
7.二项式 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开
式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则 的值为( )
B
A.4 B.8 C.12 D.16
【解析】 二项式 的展开式中只有第6项的二项式系数最
大， 展开式共有11项， .
展开式的第项为 ,
由展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，可得 ,解得
.
8.(2025·湖南省怀化市期中)若 的展开式中的第3项与第4项的二项式系数
相等且都为最大，则展开式中的常数项为( )
C
A.6 B. C. D.
【解析】由题意可得，所以，故 的展开式的通项为
.
令，解得 ，
故展开式中的常数项为 .
2 展开式系数最大问题
例16 在 的展开式中，
（1）系数绝对值最大的项是第几项？
【解析】设第项系数的绝对值 可省略 最大，
则
（用组合数公式的阶乘表示 化简）
解得,即和 .
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
. .
（2）求二项式系数最大的项；
【解析】, 二项式系数最大的项为中间项，即为第5项,
.
（3）求系数最大的项；
【解析】 由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最大的项必是奇数项.
设展开式中第（与第项相邻的奇数项为第项和第项）为偶数
项的系数最大，
则
. .
. .
,,均为偶数，,,均为正数1
解得 ,
则，故展开式中系数最大的项为 .
由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系
数为负，第7项的系数为正，故系数最大的项为 .
（4）求系数最小的项.
【解析】 由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最小的项必是偶数项.
设展开式中第（与第相邻的偶数项为第项和第项）为奇数 项
的系数最小，
则
,,均为奇数，，，均为
解得 ,
则，故展开式中系数最小的项为 .
. .
. .
由（1）知展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，且第6项的系数
为负，第7项的系数为正，故系数最小的项为 .
【解析】展开式的通项 .
求项的系数的最值问题的思路
求展开式中有关系数最大的问题时，要区分“项的系数最大”
与“二项式系数最大”以及“最大项”等.（1）在系数均为正
则
（或 ）.
的前提下，求项的系数的最大值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据展开式的
通项正确地列出不等式（组）即可，即设第 项的系数最大（或最小），
. .
（2）当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不
等式组 求系数的最小值应在
系数都为负的各项系数间构造不等式组
【学会了吗丨变式题】
9.（1）已知 的展开式中，各项的系数和为各项的二项式系数和
的32倍.求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】令,可得各项系数和为 .
展开式各项的二项式系数之和为 .
由已知得，即， .
展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
, .
（2）已知 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数
最大的项.
【答案】由题意可知,解得 ，
故展开式的通项为 .
设第 项的系数最大，
则即解得 .
, ，
展开式中的系数最大的项为 .
题型5 利用赋值法解系数问题
例17 设 ,求下列各式的值.
（1） ;
【解析】令,则 .
（2） ;
【解析】令可得 ①,
故 .
（3） ;
【解析】令可得 .
①②联立可解得
.
（4） ;
【解析】原式 .（由①②可得）
. .
（5） .
【解析】 的展开式的第 项为
,
则 ,
故且 ,（展开式中各项的系数正负相间）
所以 .
问题等价于求解 的展开式中各项系数的和.
令,则原式 .
. .
例18 若 ,则
_ ___.
思路点拨 所要求的和式中,,, ,的系数分别为1,2,3, ,7,联想到导数公式
，可知对原二项展开式右边求导，即可产生新的系数,,, , .
【解析】对
两边求导，得 .
令，得 .
解决二项展开式中各项系数的和的问题的思维过程与方法
（1）若，则 的展开式中各项系数的
和为 .
当为偶数时，奇数项系数的和为 ，偶数项系数
的和为 ；
当为奇数时，奇数项系数的和为 ,偶数项系数
的和为 .
（2）求形如, 的展开式的各项系数之和，只需
令即可；求形如 的展开式的各项系数之和，只需令
即可.
【学会了吗丨变式题】
10.若 ，则
( )
D
A.4 B.7 C.8 D.9
【解析】 ,
令,可得 ,
令,可得 ①,
令,可得 ②,
由①②联立解得 ，
,则 .
题型6 二项式定理的应用
1 利用二项式定理证明整除问题
例19 [教材改编P35 T9]用二项式定理证明:
（1） 能被100整除;
【解析】
.
显然上式括号内的数是正整数，所以 能被100整除.
（2） 能被64整除.
【解析】
,
显然上式是64的倍数，故原式能被64整除.
名师点评 证明整除问题，可找除数或除数的倍数为因式，利用二项展开式求证.
利用二项式定理解决整除问题的基本思路
利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明
一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能
被另一个式子整除.因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此
时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理.
2 利用二项式定理求余数
例20（1）求 除以9的余数；
【解析】
.
显然上式括号内的数是正整数，故 除以9的余数为7.
（2）求 除以100的余数.
【解析】 ,
（前91项）
前91项均能被100整除，后两项的和为 ，显然8 281除以100的余
数为81，故 除以100的余数为81.
. .
利用二项式定理求余数的注意点
求余数时，要注意余数的范围，即余数大于零且小于除数.利用二项式定理展开变形
后，若剩余部分是负数，要注意进行转化.
3 利用二项式定理近似计算
例21（1）求 精确到0.001的近似值；
【解析】 .
（2）求 精确到0.001的近似值.
【解析】 .
思路点拨 先对底数进行分解，然后利用二项式定理展开，最后利用截项
（只取前 项）的方法进行估计.
近似计算的处理方法
当的绝对值与1相比很小且不大时，常用近似公式 ,因为这时展
开式的后面部分 很小，可以忽略不计.若精确度要求较高，
则可使用更精确的近似公式 等.
4 利用二项式定理证明不等式
例22 求证：对一切,都有 .
【解析】由于
（这些部分小于1） ,所以，即 .
当时， ;
当时， .
所以对一切,都有 .
. .
. .
. .
名师点评 用二项式定理证明不等式时，应注意巧妙地构造二项式，对展开式的项进
行放缩以达到求和的目的.
新考法·思维创新
例23 新定义 牛顿-莱布尼茨公式 知识卡片：一般地，如果是区间 上的连
续函数，并且，那么 ，这个结论叫
做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．
当，时，有如下表达式： ,
两边同时积分得 ，
从而得到如下等式： .
请根据以上材料所蕴含的数学思想及方法，由
计算：
_______________.#1.2
[
【解析】因为 ，
所以
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考中主要考查求二项展开式的特定项或其系数，求解的关键是写出通项，处理方
法较为固定，主要以选择题或填空题的形式呈现，有时候也会作为一个知识点出现
在解答题中，难度中等偏下.
核心素养：数学运算（系数的求解等）.
考向1 求展开式中的特定项或其系数
1 二项展开式问题
例24（1）(2025·天津)在的展开式中， 项的系数为_____.
【解析】展开式的通项为 ,令
，得，所以项的系数为 .
（2）(2024·天津)在 的展开式中，常数项为____.
20
【解析】.令，则 ，所
以常数项为 .
命题 探源 主要考查二项展开式的通项的应用，难度不大，体现了高考评价体系中“基 础性”的要求，高考中这类题目比较常见.
素养 探源 素养 考查途径
数学运算 求二项展开式的通项及项的系数.
变式探源 (2024·北京)在的展开式中， 的系数为( )
A
A.6 B. C.12 D.
【解析】 （公式法） 的展开式的通项
.由3，得 ，所以
的展开式中的系数为 .
（组合数法） 的展开式中含 的项是由
中任意取2个括号内的 与剩余的2个括号内的
相乘得到的，所以的展开式中含的项为 ，所
以的展开式中 的系数为6.
例25 (2024·全国甲卷) 的展开式中,各项系数中的最大值为___.
【解析】的展开式的通项，设第 项的系数最大，
则即
解得，即，故展开式中各项系数中的最大值为 .
名师点评 对于本题，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式
递增，因此分别计算,,,,, ，
比较可得, 最大.
2 多项式乘积展开式问题
例26 (2022·新高考全国Ⅰ卷)的展开式中 的系数为_____
（用数字作答）.
【解析】展开式的通项，,1, ,7,8.
令，得 ，
令,得 ，
所以的展开式中的系数为 ．
考向2 赋值法的应用
例27 (2025·北京)已知，则 ___；
____．
1
15
【解析】 （赋值法） 令，则 ，
又 ，
故 ，
令，则 ，
令，则 ，
故 .
（通项法）的通项为 ，
则 ,
所以,,,, ,
则 .
高考新题型专练
1.[多选题]对于二项式 ，下列判断正确的有( )
AD
A.存在 ，展开式中有常数项
B.对任意 ，展开式中没有常数项
C.对任意，展开式中没有 的一次项
D.存在，展开式中有 的一次项
【解析】二项式的展开式的通项为,,1,2, , ,而
的展开式的通项为,,1,2， ， .
对于，展开式的通项为,未知数
的次数为 ，
当时，即,当，， 时，展开式中有常数
项，故A正确，B错误；
当时，即,当，， ，此时展开式中
有 的一次项，故D正确，C错误.
2.新考法 结构不良(2025·山东省聊城第四中学月考)在下列三个条件中任选一个条件，
补充在下
面问题中的横线上，并完成解答．
条件①，展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②，展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；
条件③，展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式 ,若 _____________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________ ，求
若选①，由，解得 .
若选②,由，解得 .
若选③，二项展开式的通项为 ,因为展开式中常数项为第三项，
所以，，故 .
（1）展开式中二项式系数最大的项；
【答案】由得，展开式的二项式系数最大项为 .
（2）展开式中所有的有理项．
【答案】设第项为有理项，因为,且， ，所
以 ，2，4，6，
则有理项为, ,
, .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.二项式 的展开式为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 .
2.若实数，则 等于( )
A
A.32 B. C.1 024 D.512
【解析】 ，
当时， .
3.小明在一个物理问题计算过程中遇到了对数据 的处理，经过思考，小明决
定采用精确到0.001的近似值，则这个近似值是( )
B
A.1.000 B.1.024 C.1.025 D.1.023
【解析】 ．
4. 的展开式的常数项为( )
B
A.25 B. C.5 D.
【解析】的展开式的通项为 .
令或，分别解得或 .
所以 的展开式的常数项为
.
5.(2025·四川省绵阳中学测试)在的展开式中，的系数为5，则 的值为
( )
B
A. B.1 C. D.2
【解析】 的展开式的通项为
，
令，解得，则的系数为，解得 ．
6.［多选题］(2025·江西省新余市期末)对于二项式 的展开式，下列结论正确
的是( )
AB
A.展开式共有10项 B.第6项的二项式系数是126
C.第6项的系数是126 D. 的系数是84
【解析】二项展开式共有 （项），A正确；
由已知得二项展开式的通项为 ，
， 第6项的二项式系数为 ，第6项的
系数为 ，故B正确，C错误；
设展开式中的第项为含的项，则令，得 ，即展开式中第4项
含，其系数为 ，D错误.
7.(2025·天津大学附属中学月考)已知 的展开式中只有第6项的二项式系数最
大，则展开式中奇数项的二项式系数和为____.
【解析】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以 .展开式中奇数项
的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，均为 .
8.新考法 结构不良 条件①前三项系数成等差数列，条件②二项式系数和为64.在以
上两个条件中任选一个补充在下面问题中，并进行解答.
问题：在的展开式中，_________________________________，求 的值及
展开式中的常数项.
【解析】展开式的通项为 .
选择①：前三项的系数成等差数列，且前三项的系数分别为, ,
，则，解得 或1（舍去），
所以,令，解得 ，所以展开式的常数项为
.
选择②：二项式系数和为64，则 ，
所以，所以 ，
令，解得 ，
所以展开式的常数项为 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
9.[教材改编P38 T6](2025·江苏省锡东高级中学月考)设,且 ,若
能被13整除，则 ( )
B
A.0 B.1 C.11 D.12
【解析】 ,
由于 含有因数52，
故能被52整除，即能被13整除.
要使能被13整除，则 能被13整除.
又,,结合选项可知 符合.
10.若直线与平行，则的展开式中 的系数
为( )
D
A.130 B.140 C.200 D.210
【解析】因为直线与平行，所以 .
的展开式中，要得到含的项，应从5个中选3个取 ，
从剩余2个中取，或从5个中选1个取，从剩余4个中取 ，或从5个
中选2个取，从其余3个中选1个取，再从剩余2个中取，因此 的系数
为 .
当 时，
，展开式的通项为
，
当时，展开式中的系数为 .
当 时，
，
展开式的通项为 ，
当时，展开式中的系数为 .
综上，展开式中 的系数为210.
，要求的系数，求 展开式中
的系数即可，
的展开式的通项为，令，得， 的
系数为 .
11.［多选题］(2025·陕西省安康中学检测)对任意实数 ，有
，则下列结论成立的是
( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】因为 ,令
，则，所以 ，
其中展开式的通项为 .
令，则 ，故A正确；
令，即，所以，所以 ，故B错误；
令，则 ，故C正确；
因为,,, ,, ，所以
，故D正确.
故选 .
12.［多选题］(2025·黑龙江省实验中学月考)已知 的展开式中第5
项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为 ，则下列说法正确
的是( )
BCD
A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含 项的系数为45
【解析】因为 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以
，解得 .
因为展开式的各项系数之和为，所以令，得 ，又
，所以 .
则原式为，其展开式的第 项为
.
展开式中奇数项的二项式系数之和为 ，故A错误；
因为展开式中二项式系数与对应项的系数一样（系数只有组合数 ），且展开式有
11项，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；
令,解得，又 ,所以展开式中存在常数项，故C正确；
令,解得，又 ，故D正确.
13.(2025·广东省东莞市第一中学月考)已知多项式
,则 ___,
___.
8
-2
【解析】由多项式展开式可知， .
令可得，令可得 ，
所以 .
14.已知二项式 展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为
.
（1）求展开式中的二项式系数最大的项；
【答案】令，则展开式中所有项的系数之和为 ，
而二项式的系数之和为 ，
由题意知，，解得 ，是奇数，
所以展开式中的二项式系数最大的项为第3项和第4项，所以
,
.
（2）求展开式中的系数最大的项．
【答案】设展开式中的系数最大的项为 ，
所以解得 ，
因为，所以 或2，
所以展开式中的系数最大的项为第2项和第3项，
,
.
C 培优练丨能力提升
15.新考法 新定义题 (2025·辽宁省名校联盟联考)
的展开式中，把
，，， ，叫做三项式的 次系数列.
（1）求 的值.
【答案】当 时，
，
令，则 ，
令，则 ，
两式相加得 ，
所以 .
（2）根据二项式定理，将等式 的两边分别展开可得左
右两边的系数对应相等，如
【答案】因为
.理解上述思想方法，利用方程 ，化简
.
，
，
所以的展开式中， 的系数为
.
因为的展开式的通项 ，
令，得 ，
所以的展开式中没有含 的项，
因为 ，
所以 .