第六章 计数原理 章末总结 课件(共71张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册

(共71张PPT)
第六章 计数原理
培优帮丨章末总结
巧梳理 知识框图
提能力 专题归纳
专题 排列、组合问题的17种解题策略
排列、组合是本章学习中的一个重要内容，我们通过平时做的练习题，不难发现排
列、组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题型多变，解法独特，数字庞大，难以
验证.同学们只要把基本的解题策略掌握熟练，再根据题目的条件,就可以选取不同的
技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,还可以将几种策略结合起来应用，把复杂
的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础.
这里，我们对排列、组合问题的17种常见的解题策略进行归纳总结.
1 特殊对象和特殊位置优先策略
位置分析法和对象分析法是解决排列、组合问题最常用也是最基本的方法.若以对象
分析为主,需先安排特殊对象,再处理其他对象.若以位置分析为主,需先满足特殊位置
的要求,再处理其他位置.若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼
顾其他条件.
例1 (2025·广东省惠州市第八中学段考)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成
无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的1个时，
它应排在其他数字的前面，这样的不同三位数共有____个（用数字作答）.
60
【解析】1与3是特殊对象，以此为标准进行分类.
分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有 个；
②只有1和3中的1个时，满足条件的三位数有 个；
③同时有1和3时，先把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3和1所形
成的3个空中，此时满足条件的三位数有 个.（【另解】1和3定序，利用倍缩法
求解，满足条件的三位数有 （个））
所以满足条件的三位数共有 （个）.
易错警示 解题时“没有数字1和3”这一类容易被遗漏，另外对于每一类还要注意分步.
2 相邻对象捆绑策略
要求某几个对象必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决，即将需要相邻的对象合
并为一个对象,再与其他对象一起排列,同时要注意合并对象“内部”也必须排列.
例2 (2025·天津市塘沽二中月考)甲、乙、丙、丁、戊五个人身高互不相同的人排成
一排，若要求甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻，则不同的排法有( )
A
A.24种 B.48种 C.96种 D.144种
【解析】由于甲、乙两人相邻，丙、丁两人相邻，则甲乙两人绑在一起，有2种位置
排列，同理，丙丁也有2种．捆绑之后5人可看作3项，排列方法有 种，则最终的结
果有 （种）.
3 不相邻问题插空策略
对于元素不相邻问题，可先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入
队列的中间和两端.
例3 (2025·天津市第四十二中学月考)七名同学站成一排照相，其中甲、乙二人相邻，
且丙、丁二人不相邻的不同排法种数为_____.
960
【解析】由题意，分三步.
第一步,将甲、乙绑定，两者的站法有2种；
第二步，将此二人看作一个整体，与除丙、丁之外的3人看作4个对象进行全排列，
共有 种站法，此时出现了5个空；
第三步，将丙、丁二人插入5个空中，排法种数为 .
则不同的排法种数为 .
4 定序问题倍缩、空位插入策略
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理.
例4 小明参加“江南六地游”旅行，其中，， 三地游览的先后顺序一定
（游，， 三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不
同的出游方法有( )
A
A.120种 B.180种 C.240种 D.480种
【解析】，， 三地游览的先后顺序一定，则小明“江南六地游”旅行共有
种不同的出游方法．
例5 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求每排从左至右身高逐渐增加，则
不同的排法共有_____种（填数字）.
252
【解析】从10人当中任选5人站第一排,有 种排法,按从左至右由低到高排，只有1
种排法,即排法有 （种）；剩下的5人站第二排,按从左至右由低到高排，
只有1种排法.所以不同的排法共有 （种）.
例6 6个高矮不等的同学站成两行三列,如果每一列前面的同学比其身后的同学矮,则
不同的站法共有____种.
90
【解析】每一列前面的同学比其身后的同学矮,
第一步，挑2个同学站在第一列，顺序确定，有 种站法；
第二步，剩下的4个同学中挑2个同学站在第二列，顺序确定，有 种站法；
第三步，剩下的2个同学站在第三列，顺序确定，有 种站法.
故不同的站法共有 （种）.
名师点评 对于顺序确定的排列问题，只要选出有序对象所占的位置即可.
5 重排问题求幂策略
允许重复的排列问题的特点是各个对象不受位置的约束，可以逐一安排各个对象的
位置.一般地，个不同的对象可以重复地被选择安排在 个位置上的排列方法数为
种.
例7 (2025·湖南省常德市汉寿县第一中学月考)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，
若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同站法有_____种
（用数字作答）.
336
【解析】先不考虑“每级台阶最多站2人”的情况.因为甲、乙、丙3人站这7级台阶，每
人都有7种不同的站法，所以共有 种不同的站法，（注意此处是台阶可以重复选）
而3人同站在一级台阶上的站法有7种，是不符合题意的，所以满足条件的不同站法
有 （种）.
例8 仅使用2,3两个数字，可以组成不同的五位数共有____个.
32
【解析】 五位数的每个数位上的数不是2就是3，因此将组成五位数这件事
分五个步骤，每一步都有两个选择，根据分步乘法计数原理得，不同的五位数共有
（个）.
以所含2的个数分六类：
第一类，不含2，即五位数由5个3组成，只有1个五位数；
第二类，含1个2，其余数字都是3，可组成 个五位数；
第三类，含2个2，其余数字都是3，可组成 个五位数；
第四类，含3个2，其余数字都是3，可组成 个五位数；
第五类，含4个2,1个3，可组成 个五位数；
第六类，全是2，只有1个五位数.
根据分类加法计数原理得，共可组成不同的五位数的个数为
.
6 分排问题直排策略
一般地,对于对象分成多排的排列问题,可先转化为一排考虑,再分段研究.
例9 8人排成前后两排,每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少种排法
【解析】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.甲乙在前排，这
两个特殊对象有种排法,再排后4个位置上的特殊对象丙有 种排法,其余的5人在5
个位置上任意排列有种排法,则共有 种不同的排法.
例10 (2025·湖北省武汉市育才高级中学月考)有两排座位，前排11个座位，后排12个
座位.现安排两人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人左右不相邻，
那么不同排法的种数是_____.
346
【解析】 因为前排中间3个座位不能坐，
所以实际可坐的位置是前排8个，后排12个.
考虑以下三种情况：
①两人一个前排，一个后排，有 种排法.
②两人均在后排，共种排法，还需排除两人相邻的情况，即 种，故有
种排法.
③两人均在前排，又分两类：
第一类，两人在中间座位的两侧，有 种排法.
第二类，两人在中间座位的同侧，有 （假设在右侧，先不考虑相邻，
有种排法，两人相邻的情况由捆绑法可得有 种.两人都在左侧时情况相同，故
在求两人在中间座位的同侧时乘以2即可）种排法.
综上，不同排法的种数为 .
一共有20个可坐的座位，两人坐的方法数为 ,还需排除两人左右相邻的
情况.
把可坐的20个座位排成连续一行（前后排两端相接），任意相邻两个座位看成一个
整体，则两人相邻的坐法有 种，但这其中包括前后排两端相邻，与前排3个空
位左右两侧相邻，而这两种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上 .
故不同排法的种数为 .
. .
. .
. .
. .
7 环排问题线排策略
为了解决环排问题，先引入一个圆排列问题.一般地, 个不同对象作圆形排列,共有
!种排法.如果从个不同对象中取出个对象作圆形排列，共有 种排法.
例11 5个小朋友站成一圈，不同的站法一共有( )
D
A.120种 B.60种 C.30种 D.24种
【解析】为了更方便地说明这个问题，我们先将5个小朋友编为 号，然后让他
们按 的顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.
分别以1，2，3，4，5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：12345，
23451，34512，45123，51234.这就是说，这个圆排列对应了5个排列.
因此，要求圆排列数，只需要求出全排列数再除以5就可以了，即这些小朋友不同的
站法一共有 （种）.
名师点评 上述问题就是圆排列问题,将人数扩展到，我们就有： 个人站成一圈，
不同的站法一共有 !（种）.
例12 5个女孩与6个男孩围成一圈，任意两个女孩中间至少站一个男孩，则不同排法
有________种（填数字）.
86 400
【解析】 因为任意两个女孩中间至少站一个男孩，故有且仅有两个男孩站
在一起.
先把5个女孩排成一个圈，这是一个圆形排列，因此排法共有 !
（种）；
然后把6个男孩排成一排，共有 种排法；
最后在排好的男孩中选择两个相邻的男孩组合在一起，共有5种排法，这样男孩被分
成5组，分别站在两个女孩中间.
（5个女孩圆排列，形成5个空位，让5组男孩站）
综上，不同的排法共有 （种）.
“环状排列，化环为直”，经旋转可重合的排队应认为是同一种排法，故
可考虑让某个女孩固定不动，将圆圈按顺时针的方向拉成一直排，以, 分别表示
剩下的女孩与男孩.
先从6个男孩中选5个与5个女孩组成1组“”和4组“”，共有 种排法;
再把剩下的1个男孩与除“”外的4组“”视为5组进行排列，有 种排法.
因此，不同的排法有 （种）.
8 对象相同问题隔板策略
问题的提出：
将个相同对象分别装到 个不同的盒子中，有多少种不同的装法？
模型的构建：
（1）要求每盒非空
例13 将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（每盒至少装1个小
球），则不同的装法有____种.
36
【解析】将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空中任取2个画上竖线，这样就
将10个小球分成了3组.图6-1所示的是其中一种分法.
图6-1
将每组小球按顺序装入3个盒子中，则画竖线的方法数就等于题中所求的装法数，故
满足题意的装法共有 （种）.
（2）要求每盒分别有,, , 个
例14 (2025·江苏省南京外国语学校期中)
将20个相同的小球全部放入编号为3，4，5的三个盒子中，要求每个盒内的球数不少
于它的编号数，则不同的放法种数为____.
45
【解析】首先在三个盒子中依次放入2，3，4个球，再将剩余的11个球按例13中画竖
线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要
求.于是不同的放法共有 （种）.
（3）要求每盒可空
例15 将8个相同的小球分别放入4个不同的盒子中，每盒可空，则不同的放法有
_____种（填数字）.
165
【解析】首先设想在每个盒子中放入个小球，共用去 个小球，剩余的小球个数
为 ；
再将这12个小球按例13中画竖线的方法分到4个盒子中，即能满足题目要求.
所以放法种数为 .
名师点评 实际上，本题等价于“将12个相同的小球分别装到4个不同的盒子中，每盒
至少装1个”的问题.
9 小集团问题先局部后整体策略
小集团排列问题中，先局部后整体，再结合其他策略进行处理.
例16 7个人排成一排，甲、乙之间有且只有2人，共有_____种排法.
960
【解析】从甲、乙之外的5人中选2人排甲、乙之间，有 种排法，甲、乙可以交换
位置，故有 种排法，把该4人当成一个整体，再加上另外3人，相当于4人的全排列，
即种排法，则共有 种排法.
10 正难则反总体淘汰策略
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简单易求,可以先求
出它的反面,再从整体中淘汰.
例17 (2025·河北省保定市月考)把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到
的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为____.
16
【解析】把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有 种
分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有 种，故不同的分配方案种数为
.
11 先选后排策略
先选后排是排列、组合问题最基本的解题思想.此法与相邻对象捆绑策略相似.
例18 8人站成一排,要调换其中3人的位置使其均不在原来的位置上,其余5人的位置不
动,则不同的调换方法共有_____种.
112
【解析】理解3人换位的意义,运用先选后排的思想,注意3个不同的对象不在原来位置
的问题是特殊的有限制条件的排列,用列举法完成.
先选3人，有 种方法；
图6-2
然后3人交换位置，只有2种方法，如图6-2.
故不同的调换方法共有 （种）.
12 平均分组问题除法策略
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以
为均分的组数 ，避免重复计数.
例19 某城市有3个演习点同时进行消防演习,现将5个消防队分配到这3个演习点,若每
个演习点至少安排1个消防队,则不同的分配方案种数为( )
A
A.150 B.240 C.360 D.540
【解析】由题意得，把5个消防队分成三组,可分为1,1,3和1,2,2两类方法.
（1）分组为1,1,3,共有 种不同的分组方法;
（2）分组为1,2,2（有两组是平均分组的），共有 种不同的分组方法.
所以分配到3个演习点，共有 种不同的分配方案.
. .
. .
13 合理分类与分步策略
解含有约束条件的排列组合问题，可按对象的性质进行分类，按事件发生的连续过
程进行分步，做到标准明确，分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，就要
贯穿于解题过程的始终.
例20 (2025·陕西省西安交大附中月考)有10名演员,其中8人会唱歌,5人会跳舞,现要表
演一个2人唱歌2人伴舞的节目,则不同的选派方法共有_____种.
199
【解析】由题意，易知10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员
（多面手问题）.
以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究:
①只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员，有 种选派方法；
②只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员，有 种选派方法；
③只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员，有 种选派方法.
由分类加法计数原理知，选派方法共有 （种）.
. .
名师点评 本题还有如下分类标准：
（1）以3名全能演员是否选上唱歌人员为标准；
（2）以3名全能演员是否选上跳舞人员为标准；
（3）以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准.
同学们可试着解答一下.
14 构造模型策略
（1）最短路线模型
例21 在某城市中,,两地之间的道路如图6-3所示,则从到 的最短路线有多少条？
图6-3
【解析】弄清事件,从结果入手,理解最短路线就是只能向东或向北两个方向沿图中路
线前进,不同的设计将会产生不同的解法.
图6-4
由题意进行分类讨论.如图6-4,设路口为,,,,.由 经
这五个路口中的一个路口到的方案有5种；由 经这五个路口中的
两个路口到的方案有4种；由经这五个路口中的三个路口到 的
方案有3种；由经这五个路口中的四个路口到 的方案有2种；由
经这五个路口到 的方案有1种.
根据加法原理，共有 条最短路线.
若从结果看,构建一一对应的关系使问题简单化.最短路线就是只能向东或向
北两个方向走6个路口,即向东走4个路口且向北走2个路口,这实质对应着从6个元素中取
出4个元素或2个元素的一个组合,其组合数为 ，即共有15条最短路线.
（2）爬楼梯模型
例22 某人上一个有10级台阶的楼梯，每步可上1级或2级，共有多少种不同的上台阶
的方法？
思路点拨 设出未知数和，根据题意建立一个关于, 的方程，然后用赋值法讨
论每种情况，结合组合知识及分类加法计数原理解决问题.也可以构造递推关系式，
列出前若干项求解.
【解析】 设表示上1级台阶的步数, 表示上2级台阶的步数，则
.
当,时，6步走完10级台阶的方法有 种;
当,4,6,8,10时,对应的的取值分别为5,3,2,1,0,对应的上台阶的方法数为,, ,
， .
故总的上台阶的方法有 种.
设某人上到第级台阶的方法数为,则到达第 级台阶的方法有两类：①
最后一步上1级台阶到达，有种方法；②最后一步上2级台阶到达,有 种方法.
则由分类加法计数原理可知，.易知数列 的前两项为1,2,由数列
的递推关系式得该数列的前10项为1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.
故上台阶的方法共有89种.
15 实际操作穷举策略
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，利用穷举法或画出树状
图往往会达到意想不到的效果.
例23 (2025·天津市红桥区期末)将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格
里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字都不相同的填法有( )
B
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
【解析】 （树状图法） 画出树状图如图6-5所示：
图6-5
故满足题意的填法有9种.
（分步法） 第一步，先把1填入方格，符合条件的填法有3种；
第二步，把被填入方格的对应数字填入其他方格，有3种填法；
第三步，填余下的两个数，只有1种填法．
故满足题意的填法共有 （种）．
16 分解与合成策略
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几
个小问题逐一解决,然后依据分解后问题的结构,用分类加法计数原理和分步乘法计数
原理将问题合成,从而得到问题的答案.
例24 30 030能被多少个不同的偶数整除？
【解析】先把30 030分解成质因数的乘积形式：
.
依题意可知，在6个质因数中先取2,再从其余5个因数中任取若干个与2组成乘积，该
乘积必为30 030的偶因数，故满足题意的数共有
（个）.
17 化归策略
处理复杂的排列组合问题时可以把该问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简
单的问题找到解题方法，从而解决原来的问题.
例25 (2025·广东省三校期中)25人排成 方队,现从中选3人,要求3人既不在同一行
也不在同一列,则不同的选法有_____种.
600
图6-6
【解析】将这个问题退化成“9人排成 方队,现从中选3人,要求3
人既不在同一行也不在同一列,有多少种不同的选法”的问题.
这样每行必选1人，从其中的一行中选取1人后,把这个人所在的行
列都划掉，图6-6所示为其中一种情况.
如此继续下去，从方队中选3人的方法共有 种.
再从方队中选出 方队便可解决问题.
从方队中选取3行3列有种选法，所以从 方队中选取既不在同一行也不
在同一列的3人，不同的选法有 （种）.
一题一课·学一题会一类
求三项展开式的项数的解法及解法的应用
例26 用分步乘法计数原理求 展开式的项数.
【解析】根据多项式的乘法法则知 展开式中的每一项都是
,即的形式，其中,,，且 .
因此展开式的项数即满足，,,的有序数组 的
个数.
又由于,,,令,,,则,,, ，问
题等价于将8个完全相同的小球，放入3个盒子中，求每盒至少1个小球的不同放法数，
这是典型的隔板法的应用，利用隔板法即得共有 种不同的放法.
故 展开式的项数为21.
隔板法是解决计数问题的一种方法，其适用条件是：（1）元素完全相同；（2）将
元素有序分组，每组至少一个元素.
应用隔板法可以解决诸多类型的计数问题.
1 不定方程的解的组数
例27 已知不定方程 ,求:
（1）不定方程正整数解的组数;
【解析】问题相当于求将12个完全相同的小球放入 4个不同的盒子中,且每个盒子中至少
放入1个小球的方法种数，使用隔板法计数得 ,即不定方程有165组正整数解.
（2）不定方程自然数解的组数;
【解析】令,,, ,则
,且 ,问题相当于求将16个完全相同的小球
放入4个不同的盒子中，且每个盒子中至少放入1个小球的方法种数，使用隔板法计
数得 ，即不定方程有455组自然数解.
（3）不定方程满足,,,的解的组数 .
【解析】令,,,,则 ,
且 ,问
题相当于求将15个完全相同的小球放入4个不同的盒子中，且每个盒子中至少放入1
个小球的方法种数，使用隔板法计数得 ，即不定方程有364组满足条件的解.
思路点拨 将问题等价转化为相同小球入盒问题，利用隔板法解决.
2 一类取数中的计数问题
例28 从1，2，3, ,20这20个数中任取两个不同的数，使其和大于20，则有多少种
不同的取法？
【解析】设所取两数分别为,，则，且,,2, , ，
于是 .
由于,，则存在，使得 .
又与 不同且无序，则利用隔板法（相当于将22个球放入3个盒子里，且
盒子不为空）即得与的不同取值数，即,的不同取值数为
（与 有10种相同的情况,所以减10,且两者是无序的，所以除以2）,即从1，
2， ，20中任取两个不同的数，其和大于20的不同取法数为100.
. .
. .
名师点评 通过化归，把一个与隔板法毫无关联的计数问题转化为可以利用隔板法计
数的问题，解题时务必要注意,（即与 两数既不相同，也没有顺序，
而使用隔板法所得两数可以相同，且有序，故需作代数处理.
3 名额分配中的计数问题
例29 (2025·湖北省武汉市期中)将24个大学生名额分到三个单位，每个单位至少一个
名额，且名额数互不相同，则不同的分配方案有多少种？
【解析】24个大学生名额可视为24个完全相同的元素，问题即等价于将24个完全相
同的元素放入三个“盒子”（即分到三个单位）中，每“盒”至少1个，利用隔板法,共有
种不同的情况，
由条件知出现名额数相同的情况包含：
①三个单位的名额数都相同，有1种情况；
②三个单位中恰有两个单位的名额数相同，有 （相同的名额数可以是1，2，3，
4，5，6，7，9，10，11） 种情况.
故不同的名额分配方案有 （种）.
. .
一章一练·学思维知创新
例30 数学文化 杨辉三角[多选题](2025·山东省实验中学期中)杨辉是我国古代数学史
上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算
法》．他在所著的《详解九章算法》中给出了杨辉三角，如图6-7是杨辉三角的数字
表示．根据材料，下列说法正确的是( )
图6-7
A.第10行所有数字的和为1 024
B.第10行所有数字的平方和为
C.若第行的第个数记为 ，且
，则
D.记每一行的第 个数组成的数列称
为第斜列，则该三角形数阵前2 024行中第
斜列各项之和为
√
√
√
【解析】对于A，由图分析知，杨辉三角的第行是 的展开式中二项式系数
,, , ，
所以，第10行所有数字的和为 ，A正确.
对于B，由 ，则
,
所以对于含项，左侧系数为 ，右侧系数为
，
所以第10行所有数字的平方和
，B正确.
对于C，第行的第个数为，则 ，故
，C正确.
（二项式定理的逆用）
对于D，当时，三角形数阵前2 024行中第斜列各项之和为（从 行开
始才有第 个数）
；（组合数性
质： ）
当时，三角形数阵前2 024行中第1斜列各项之和为，而 .
综上，时三角形数阵前2 024行中第斜列各项之和为 ，D错误.
. .
例31 新定义 孪生素数(2025·江西省吉安市第一中学模拟) “素数”是指大于1的自然
数中，除了1和它本身以外，不能被其他正整数整除的数，例如2，3， 都是素
数.“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如,, 都是“孪生素
数”.现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有2个是“孪生素
数”的概率是__.
【解析】小于20的素数有2，3,5,7,11,13,17,19，共8个，
其中“孪生素数”有,,, ，共4对.
若取，则不能取7，从 中取2个，11,13和17,19不能同时出现，故
有 （种）；
若取，则不能取3，从 中取2个，11,13和17,19不能同时出现，故
有 （种）；
若取，再从 中取2个，3,5；5,7和17,19不能同时出现，故有
（种）；
若取，再从 中取2个，3,5；5,7和11,13不能同时出现，故有
（种）.
总共有 （种）.
而从8个数中取出4个共有 （种），所以取出的4个素数中恰有2个是“孪生素
数”的概率为 .
尖子生 强基自招
命题点1 计数问题
例32 (2025·上海交通大学强基计划测试)4个，3个，2个 以一定顺序排列，且相同
字母不能相邻，共有几种排列方法
【解析】先排好4个 .
情形一：在4个中间产生的3个空中，放入3个，再在， 共同产生的8个空
（包括两端）中选取2个空放入2个，此时排列方法数为 .
情形二：在4个中间产生的3个空中，选取2个空放入，再在4个 两端选1个放剩下
的，再在剩余的2个相邻之间放入1个，最后在， 共同产生的7个空（包括两端）
中选取1个空放入剩下的，此时排列方法数为 .
情形三：在4个中间产生的3个空中，选取1个空放入1个，再在4个两端放2个 ，
再在剩余的3个相邻之间放入2个，此时排列方法数为 .
情形四：在4个中间产生的3个空中，选取1个空放入2个，再在2个相邻的 之间放
入1个，再在剩余的3个相邻之间放入1个和1个，此时排列方法数为 .
综上所述，总数为 .
例33 (2024·全国高中数学联赛重庆赛区初赛)由1，2， ，9这九个正整数构成的所
有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为________.
【解析】一个圆排列满足要求当且仅当该排列中8，9与7，9这两对数均不能相邻.设
满足8，9相邻的圆排列有个，满足7，9相邻的圆排列有 个，满足8，9相邻且7，
9相邻的圆排列有个，则!， !，由容斥原理可知，满足
要求的排列的个数为 .
例34 (2022·北京大学强基计划)将不大于12的正整数分为6个两两交集为空集的二元
集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有_____种.
【解析】易知，4，6，8，10， 中的元素两两不互质，因此恰好在6个不同的集
合中，设依次为,,,,, .
此时剩余的正整数中1，7，11可以任意放在上述6个集合中，5不能放在 中，3，9
不能放在或 中，分两种情况：
（1）若5放入了或中，有两种情况，此时3与9可在4个集合中选择，有 种情
况，而1，7，11放入集合有 种情况.
（2）若5没有放入或 中，则5有3个集合可以选择，进而3与9可在3个集合中选
择，有种情况，而1，7，11放入集合有 种情况.
综上所述，不同的集合拆分方法共有 （种）.
命题点2 排列组合中的求概率问题
例35 (2025·全国高中数学联赛山东赛区初赛)在 的方格棋盘中，一枚棋子占据
一个方格，且两枚棋子不能占据同一方格.小明随机放入5枚棋子，其中任意两枚棋
子所在方格不能恰好共用一个方格顶点的概率为___.
【解析】如图6-8所示将9个方格分类，一个类和一个 类方格不会恰好共用一个顶
点.（可以没有公共顶点也可以有2个公共顶点）
图6-8
. .
. .
不难看出若不限制棋子数，棋子至多占据4个类方格和2个 类方格.由于有5枚棋子，
所以共有2种情况：
（1）若棋子占据3个类方格和2个类方格，则有 种摆放方式；
（3个类方格：,,,,共4种摆放方式；2个 类方格:
, ,共2种摆放方式）
（2）若棋子占据4个类方格和1个类方格，则有1（只能摆放在 ）
种摆放方式.
因此小明随机放入的5枚棋子中，任两枚棋子所在方格不能恰好共用一个方格顶点的
概率为 .
. .
例36 (2025·全国高中数学联赛重庆赛区初赛)从面积为1的正六边形的6个顶点中随机
选3个不同的点,它们构成的三角形的面积大于 的概率为___.
【解析】设正六边形的6个顶点顺时针依次为,,,,, ,易知从中选3个不同
的点构成的三角形只有三种不同的形状，分别为,, ，其
面积依次为，，，而形如 的三角形共有6个，故构成的三角形的面积大
于的概率为 .
例37 (2023·南京大学强基计划)在1,2,3,4,5当中，有放回地取数字三次，求最小为2的概率.
【解析】从5个数中有放回地取三次，情况总数为 .
其中，最小为2的情况分为三类：
有1个2时，情况数为 ,
有2个2时，情况数为 ；
有3个2时，情况数为1.
故最小为2的概率为 .
命题点3 组合数性质的应用
例38 (2024·全国高中数学联赛浙江赛区初赛)设 为正整数，且
，则 ___.
【解析】
}
，解得 .
上面用到了，
命题点4 二项式定理及二项式系数的性质的应用
例39 (2025·全国高中数学联赛广西赛区初赛)在的展开式中 的系数是
_____.（用具体数字作答）
【解析】因为，所以展开式中的系数是 .
例40 (2023· 中国科学技术大学强基计划)求正整数的值，使得 展开式
中 的系数最大.
【解析】设的系数为 ，
相邻两项作商得，解得 ,
故 ，
故时 的系数最大.