7.1 条件概率与全概率公式 课件(共111张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.1 条件概率与全概率公式 课件(共111张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 10:19:55 | ||
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文档简介
(共111张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 条件概率
1 条件概率的定义
一般地，设,为两个随机事件，且，我们称
（【注意】和 的意义不一样，一般情况下，它们也不相等）为在事件
发生的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率.（题目一般涉及“在……前
提下”等字眼）
. .
. .
2 从集合角度看条件概率
从集合的角度看，若事件已发生,则为使也发生，试验结果必须是既在 中又
在中的样本点，即此点必属于（如图7.1-1）.由于已知已经发生，故 成为计算
条件概率（“ ”之后的部分表示条件.）的新的样本空间.
图7.1-1
. .
知识剖析 1.与 的区别:二者的样本空间不一样,前者的样本空间为原样
本空间,后者的样本空间为 ,一般地,.因为 ，所以
2.若随机试验属于古典概型，则可得， ,所以
,其中 表示一次试验中包含的基本事件个数，
,分别表示事件和事件 所包含的基本事件个数.
. .
3 条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设 ,则
（1） ；（必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0）
（2） ;
（3）如果和是两个互斥事件，则,若, 互斥，则
，, ;
（4）设和互为对立事件，则 .
. .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P46例1](2025·北京市第十四中学月考)从1，2，3，4，5中不放回地
抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 （定义法） 设事件“第1次抽到偶数”，事件 “第2次抽到奇数”.
根据题意可知，, .
根据条件概率计算公式可知，第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率为
.
（【另解】第1次抽到偶数后，不放回，则剩下1个偶数和3个奇数，可知第2次抽到
奇数的概率为 ）
（缩小样本空间法） 设事件“第1次抽到偶数”，事件 “第2
次抽到奇数”.根据题意可知，， ，
.
例1-2 (2025·河南省信阳市期中)已知随机事件，的概率分别为， ，且
，则下列说法中正确的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】由条件概率知，，因为（由 知
且），所以 ，故A错误；
，，与不一定相等，所以
不一定成立，故B错误；
，，所以 ，故C正确；
，故D错误．
. .
知识点2 事件的相互独立性
1 事件与事件 相互独立
从必修的内容中我们已经知道，与 相互独立（简称为独立）的充要条件是
，
而且与独立的直观理解是，事件是否发生不会影响事件 发生的概率，事件
是否发生也不会影响事件 发生的概率.
2 条件概率与独立性的关系
当（作为条件的事件 的概率必须大于0（等于0时不定义条件概率），
但在必修的内容中独立性定义中没有这个要求.）时，当且仅当事件与 相互独立时，
有 .
（1）充分性的证明
若事件与相互独立，即，且 ，则
.
（2）必要性的证明
若，且，则 ，即事
件与 相互独立.
. .
学思用·典例详解
例2-3 口袋中有4个黑球和3个白球，这7个球除颜色外完全相同，连摸两次，每次摸
一球.记事件表示第一次摸得黑球，事件 表示第二次摸得黑球.在放回摸球和不放
回摸球两种情况下，事件与事件 是否独立？
【解析】①放回摸球：
依题意有，， .
因此， ，
即放回摸球时事件与事件 独立.
②不放回摸球：
依题意有 ，
,
.
因此， ，
即不放回摸球时事件与事件 不独立.
知识点3 乘法公式
1 乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若 ，则
.我们称上式为概率的乘法公式.（与条件概率公式等价，解题
时注意灵活应用.）
. .
2 乘法公式的推广
假设表示事件，，2，3，且， ,则
一定成立，其中表示已知 与
都发生时发生的概率，而表示，，同时发生的概率.
【证明】由乘法公式可得 ,而
，因此
拓展
学思用·典例详解
例3-4 某厂的产品中有 的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产
品中任取一件是一等品的概率为_____.
0.72
点拨 “在100件合格品中有75件一等品”表明抽取一件产品为合格品的前提下，该
产品为一等品的概率为0.75.
【解析】设为“任取的一件是合格品”， 为“任取的一件是一等品”.
因为 ，
，
且事件发生时事件 一定发生，
所以 .
知识点4 全概率公式和贝叶斯公式
1 全概率公式
一般地，设，， ，是一组两两互斥的事件， ，
且，，2， ，，则对任意的事件 ，有
我们称上面的公式为全概率公式.（“由因导果”的概率公式.）
. .
知识剖析
全概率公式的直观解释
图7.1-2
如图7.1-2，发生的概率与有关，且 发生的概率等于所
有这些概率的和，即
.
在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为在一系列条件下发生
的概率的和.
2 贝叶斯公式
设，， ，是一组两两互斥的事件， ，且
，，2， ，，则对任意的事件 ， ，有
，,2, , .
上述公式称为贝叶斯公式（“执果索因”的概率公式.）.
知识剖析
对贝叶斯公式的理解
是根据历史数据发现的，通常称为先验概率；获取了新信息后算出的概率
，通常称为后验概率.贝叶斯公式体现了与 这两个条件概率之
间的关系，反映了事件 发生的可能在各种可能原因中的比重.
. .
学思用·典例详解
例4-5 (2025·山东省淄博市期中)利率变化是影响某金融产品价格的重要因素，经分
析师分析，最近利率下调的概率为，利率不变的概率是 .根据经验，在利率
下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为 ，在利率不变的情况下价格上涨的
概率为 .则该金融产品价格上涨的概率为______.
【解析】记事件为“利率下调”，则事件 为“利率不变”，
记事件 为“金融产品价格上涨”.
根据题意有
, ,
, .
因为 ,
所以 .
因此该金融产品价格上涨的概率为 .
例4-6 [教材改编P52练习T2（2）]设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，
货车中途停车修理的概率为，客车为 ，今有一辆汽车中途停车修理，则该
汽车是货车的概率为_____.
【解析】设表示一辆汽车中途停车修理，表示该车是货车， 表示该车是客车，
则,,,,则 ，
由贝叶斯公式有 .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 条件概率
例7 [教材改编P48 T2](2025·浙江省杭州市期中)从混有5张假钞的20张百元钞票中任
意抽取2张,将其中的1张放在验钞机上检验时发现是假钞,则2张都是假钞的概率是___.
【解析】设事件为“抽到的2张中至少有1张是假钞”,事件 为“抽到的2张都是假钞”.
,,所以 （注意前提条件是至少有一张是
假钞，而不是2张钞票一真一假） .
故所求概率是 .
,
,
故所求概率为 .
. .
例8 (2025·北京市第八中学月考)高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学
生占全班人数的 ,而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加某一座
谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意可得，男生有40名，男生中三好学生有5名.
设“从该班任选一名学生”的样本空间为 ，“从该班任选一名学生，没有选上女生”
为事件,“从该班任选一名学生，选上的是三好学生”为事件 ,则“没有选上女生且选
上的是三好学生”为事件,“没有选上女生的条件下，选上的是三好学生”为事件 .
（设置事件）
从该班任选一名学生，没有选上女生的事件数为 ,（求量）
没有选上女生且选上的是三好学生的事件数为 .
所以 .（缩小样本空间法）
从该班任选一名学生的事件数为 ，
则, ,
所以 .（利用条件概率的计算公式求值）
求条件概率 的方法
借助定义中的公式计算.
在原样本空间中，先计算，，再利用公式 计算.
缩小样本空间法.（适用于古典概型）
首先明确是求“在谁发生的前提下谁发生的概率”，其次转换样本空间，即把给定事
件定义为新的样本空间，并找出事件和事件 所含的样本点个数，最后利用
计算.
【学会了吗丨变式题】
1.科技发展 新能源汽车(2025·河北省石家庄第二实验中学月考)近年来，新能源汽车
技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池
技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动
力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000
次的概率为，充放电循环次数达到2 500次的概率为 ．若某用户的自用新能
源汽车已经经过了2 000次充电，那么他的车能够充电2 500次的概率为___.
【解析】设表示车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000次， 表示车载动力蓄
电池充放电循环次数达到2 500次,
则, ，
所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电，那么他的车能够充电
2 500次的概率为 .
题型2 乘法公式的应用
例9 [教材改编P48 T3]已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相
同，先后三次从中不放回地各摸出一球.
（1）求前两次摸到的均为黑球的概率;
由题意知， .
于是，根据乘法公式，有 .
所以前两次摸到的均为黑球的概率为 .
【解析】设事件表示第次摸到的是黑球，则事件 表示前两次摸到
的均为黑球.
（2）求第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率；
【解析】第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为 .
（第一次已经摸到白球了，剩下3个黑球和6个白球）
（3）求第二次才摸到黑球的概率；
【解析】第二次才摸到黑球的概率 （此处易得到所求概率
为的错误结果，与第（2）问混淆） .
. .
（4）求第三次才摸到黑球的概率.
【解析】设事件 表示第三次才摸到黑球（前两次摸到的都是白球），则
.
由题意知， ，
.
于是，根据乘法公式，有 .
所以第三次才摸到黑球的概率为 .
. .
乘法公式的作用
乘法公式 的作用就是方便我们在不好直接运用古典概型求得
的情况下，先迂回地求出方便计算的和，再求得 .概率的乘
法公式 反映了知二求一的方程思想.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·河北省卢龙县第二高级中学开学考试)有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红
球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次
取球.若取到的2个球均为红球，则停止取球，否则在两个口袋中各放入1个白球，然
后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记“取了 次球后停
止取球”，则_ _； ___．
【解析】依题意事件表示取了1次球后停止取球，故.
事件 表示前3次取球均不为两个红球，第4次取球为两个红球，
故 .
题型3 条件概率的性质及其应用
例10 在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,若考生至少能答对其中4道题则可
通过;若至少能答对其中5道题则获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他
在这次考试中已经通过,则他获得优秀的概率为___.
给什么 得什么 考生“通过”包含三种情况：6道题全答对；答对5道、错1道；答对4道、错
2道.获得“优秀”只包含前两种情况.
求什么 想什么 求该考生考试已“通过”的前提下，获得“优秀”的概率，属于条件概率问
题，应利用条件概率公式求解.
差什么 找什么 由古典概型的概率公式及概率的加法公式求出该考生在这次考试中“通过”
的概率，进而求在“通过”的条件下获得“优秀”的概率.
【解析】设事件为“该考生6道题全答对”,事件 为“该考生答对了其中5道题,另1道题
答错”,事件为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件 为“该考生在这次考试
中通过”,事件为“该考生在这次考试中获得优秀”,则事件,, 两两互斥,且
, .（“通过”包含三种情况，“优秀”包含两种情况）
由古典概型的概率公式及加法公式可知
,, ,
,所以
.
故所求的概率为 .
求一些复杂的条件概率时，往往可以先把事件分解成若干个互斥的较简单事件之和,
利用公式 使求解更为简捷.如果直接分解比较麻烦，
可以考虑对立事件，利用及 求解.
. .
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·福建省福州市期中)在一个袋子中装有10个球，其中有1个红球，2个黄球，3
个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄
球或黑球的概率是__．
【解析】设“摸出第一个球为红球”为事件，“摸出第二个球为黄球”为事件 ，“摸出
第二个球为黑球”为事件 .
，， .
， .
. 所求概率为 .
， ，
. 所求的条件概率为 .
题型4 条件概率与独立性的关系
例11 (2025·湖南省长沙市一中月考)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，
6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是
8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
B
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
【解析】事件甲发生的概率（甲），事件乙发生的概率（乙） ,事件丙发生
的概率（丙），事件丁发生的概率（丁） .事件甲与事件丙
（事件甲和丙为互斥事件.）同时发生的概率（甲丙） ，事件甲和丁同时发生的
概率（甲丁），事件乙和丙同时发生的概率（乙丙） ，事件丙和丁
（事件丙和丁为互斥事件.）同时发生的概率（丙丁） .
则（丙甲） （丙），甲与丙不相互独立；
（丁甲）（丁）（当时，与 独立的充要条件是
.），甲与丁相互独立；
（丙乙） （丙），乙与丙不相互独立；
（丙丁） （丙），丙与丁不相互独立.
. .
. .
. .
. .
. .
名师点评 该题我们从条件概率的角度解释了两个事件相互独立，实际上，我们也可
以根据（甲丁）（甲）（丁）（与独立的充要条件是 .）
得出甲与丁相互独立.
. .
. .
. .
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·浙江省杭州市期末)随机事件，满足，， ，则
下列说法正确的是( )
C
A.事件与事件独立 B.
C. D.
【解析】对于A，因为，所以.又 ，所以
.因此事件与事件 不独立，故A错误.
对于B，由，且， ，可得
，故B错误.
对于C，因为，且与互斥，所以 .由选项B
可知，又，则 ，故C正确.
对于D，已知，则.由选项B可知 ，所
以 ，故D错误.
题型5 全概率公式的应用
例12 [教材改编P50例5](2025·山东省潍坊第一中学月考)某电子设备制造厂所用的元
件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无标志可区别.在仓库中随机
地取一只元件，则它是次品的概率为_________.
【解析】设事件表示所取到的产品是由第家元件制造厂提供的，事件
表示取到的是一件次品.其中，，（ 的合理划分是运用全概率公式的关键）
两两互斥，发生总是伴随着，，之一发生,即 ，且
，， 两两互斥.运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
.
因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为 .
. .
例13 (2025·天津市第五十七中学月考)甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋
中有4个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲
袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以，， 表示由甲
袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以 表示由乙袋取出的球是红球的事件，则
__， ___．
【解析】事件 表示由甲袋取出的球是红球，当从甲袋中取出一个红球放入乙袋后，
乙袋中有5个红球，1个白球和1个黑球，
所以由古典概型的概率公式可知 .
由题意可知，,,,
（同事件 一样，乙袋中球的总个数从6变成了7）.
所以
.
. .
全概率公式的适用范围及步骤
什么样的问题适合用全概率公式求解？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多
种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可
用全概率公式.
运用全概率公式的一般步骤如下：
（1）求出样本空间 的一个划分，, , ;
（2）求 ;
（3）求 ;
（4）求目标事件的概率 .
【学会了吗丨变式题】
5.[教材改编P53 T7]采购员要购买某种电器元件一包（10个）.他的采购方法是:从一
包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包
数占 ，而其余包中各含1个次品，则采购员随机挑选一包，并拒绝购买的概率为
___.
【解析】设事件表示取到的一包含有4个次品，事件 表示取到的一包含有1个次
品，事件 表示采购员拒绝购买,
则, .
易知, .
从而由全概率公式，可知
.
因此，采购员随机挑选一包，并拒绝购买的概率为 .
题型6 贝叶斯公式的应用
例14 ［多选题］英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理
论，随机事件，存在如下关系： .某高校有甲、乙两家餐厅，
王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，
那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概
率为 ，则( )
AC
A.王同学第二天去甲餐厅的概率为0.54
B.王同学第二天去乙餐厅的概率为0.44
C.若王同学第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D.若王同学第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【解析】设第一天去甲餐厅， 第二天去甲餐厅，
第一天去乙餐厅， 第二天去乙餐厅，
所以，，, .
因为 ,
，
所以, ，
所以 ,
，因此A正确，B不正确.
因为 ，所以C正确.
，所以D不正确.
若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么：
（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果
第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起
的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率.熟记这个特征，在遇到相关的题目
时，可以准确地选择相应的方法进行求解，保证解题正确、高效.
【学会了吗丨变式题】
6.[教材改编P52习题7.1 T1]已知男人中有的人患色盲，女人中有 的人患色
盲，若从100个男人和100个女人中任选一人，则此人患色盲的概率为____，若此人
是色盲，则此人是男人的概率为___．
【解析】设“任选一人是男人”为事件，“任选一人是女人”为事件 ，“任选一人是色
盲”为事件 ，此人患色盲的概率为
．
若此人是色盲，则此人是男人的概率为 ．
新考法·学科融合
例15 物理综合 闭合电路如图7.1-3,1,2,3,4,5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概
率为,且各继电器触点闭合与否相互独立,求至 是通路的概率.
图7.1-3
给什 么得 什么 由每个继电器闭合的概率及各继电器闭合与否相互独立，可以求出指定线路
通电的概率.
求什 么想 什么 要求至 是通路的概率，显然它是由多种原因引起的，只能用全概率公式
进行求解.如何对样本空间 进行划分？
若以每个继电器进行划分，则第 个继电器触
点闭合，,2, ,5），事件 之间并不互斥，无法运用全概率公式.
若以第3个继电器进行划分（此为破题点，将复杂问题简单化），则
，则整个线路如图7.1-4所示，
. .
求什 么想 什么 设事件至为通路 ，
由全概率公式得 .
_____________________________________________________
图7.1-4
续表
差什 么找 什么 由图7.1-4（1）得 ，
（此种情况为1，4同时闭合或2，5同时闭合或1，4，2，5同时闭合，线路才
通）
由图7.1-4（2）得
，（此种情况
为1，2至少有一个闭合，同时4，5至少有一个闭合，线路才通）
由已知得, .
续表
【解析】设事件至为通路,第个继电器触点闭合,,2, ,5.
则, .
如图7.1-4（1）, ,
如图7.1-4（2）, .
由全概率公式得 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考对本节的考查以条件概率、全概率公式为主，它们是概率的基本知识，高考既
可以单独命题，也可以与后续知识综合命题，体现了高考命题的基础性、综合性.各
种题型均有涉及，难度中等或中等偏下.
核心素养：数学运算（利用公式求概率等）,数学建模（由实际问题建立条件概率模
型等）.
考向1 条件概率的求解
例16 (2023·全国甲卷)某地的中学生中有的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑
雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同
学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
【解析】 （利用条件概率求解） 令事件， 分别表示该学生爱好滑冰、
该学生爱好滑雪，事件表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则 ,
, ,所以
.
图7.1-5
（图示法） 如图7.1-5，左圆表示爱好滑
冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占
比例， 表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比
例， 表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，
表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则
,所以, .
所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为
.
名师点评 本题取材于滑冰和滑雪这两项典型的冰雪运动，具有时代气息，贴近生活，
意在引导学生积极参加体育活动，强身健体，全面发展.
例17 (2024·天津),,,,五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到 的概
率为__；已知乙选了活动，他再选择 活动的概率为__.
【解析】由题意知甲选到的概率为.记乙选择活动为事件，乙选择 活动为
事件 ，
则， ，
所以乙选了活动，再选择活动的概率为 .（【另解】因为
乙已经选了活动，所以该问可以转化为求乙在,,, 四种活动中选择两个，选到
活动的概率，为 ）
例18 (2022·新高考全国Ⅰ卷节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居
民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中
随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人
（称为对照组）,得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人,表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”, 表示事件“选到
的人患有该疾病”,与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一
项度量指标,记该指标为 .
（1）证明: ；
【解析】 ，
由题意知,证明 即可，
左边（条件概率公式的应用） ，
右边 .
左边右边，故 .
. .
（2）利用该调查数据,给出,的估计值,并利用（1）的结果给出 的估计值.
【解析】由调查数据可知 ,
,
且 ，
,
所以 .
考向2 全概率公式的应用
例19 (2023·新课标Ⅰ卷改编)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若
命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮
的命中率均为 ,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次
投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则第2次投篮的人是乙的概率为____.
0.6
【解析】记“第2次投篮的人是乙”为事件，“第1次投篮的人是甲”为事件 ,则
,
所以 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·福建省莆田市期末)已知集合， 的4个不同的三元
子集（含有三个元素的子集）组成集合，且满足：； 中任意两
个元素的并集是的真子集，任意三个元素的并集是.任取一个集合，记事件
“”，事件“ ”，则( )
ABD
A.集合中任意两个元素的交集非空 B.
C.取到的集合的所有可能结果有4种 D.
【解析】设,,,，其中，且 ，
由题意，满足题意的集合 的所有可能情况为
,,, ，
,,, ，
,,, ，
,,, ，
,,, ，
,,, ，故C错误；
显然，集合 中任意两个元素的交集非空，故A正确；
， ，
则 ，故B，D正确.
故选 .
2.[多选题](2025·江苏省启东中学月考)已知高二 班三个班的学生人数之比为
.在某次数学考试中，高二（1）班的不及格率为 ，高二（2）班的不及格
率为，高二（3）班的不及格率为 ，从三个班中随机抽取一名学生.记事件
“该学生本次数学考试不及格”，事件“该学生在高二班” ，则
( )
BCD
A. B.
C.与相互独立 D.
【解析】对于A，，， ，
故A错误；
对于B，由题意，，， ，
，故B正确；
对于C， ,
又，,所以 ,即
，即与 相互独立，故C正确；
对于D， ，
，
，故D正确.故选 .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：40分钟
1.(2025·山东省泰安市期中)小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，
根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为 ，在第二个路口遇到红灯的概率为
，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，
则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )
D
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件 ，“小明在第二个路口遇到红灯”为
事件,则，，， ，故选D．
2.(2025·陕西省西安市期中)有一批种子的发芽率为 ，出芽后的幼苗成活率为0.8.在
这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A
A.0.72 B.0.8 C.0.86 D.0.9
【解析】设“种子发芽”为事件，“种子成长为幼苗”为事件 （发芽，并成活而成
长为幼苗），则 .
又种子发芽后的幼苗成活率为 ，
所以 .
3.科技发展 人工智能 (2025·广东省深圳市第二高级中学段考)人工智能领域让贝叶
斯公式：站在了世界中心位置， 换脸是一项深度伪造技术，某
视频网站利用该技术掺入了一些视频，视频占有率为0.001．某团队决定用 对
抗，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是 ，即在
该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为；它的误报率是 ，即在该视
频是真实的情况下，它有的可能鉴定为．已知某个视频被鉴定为 ，则该视频
是用 合成的可能性约为( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意，记事件表示视频是用合成的，事件表示视频被鉴定为 ，
则， ，
， ，
则 ，
故 ．
4.数学文化 孪生素数 (2025·江西省宜春市上高二中月考)若一个大于1的自然数，除
了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为素数．数学上把相差为2的
两个素数叫作孪生素数，如3和5，5和7， .那么，如果我们在不超过40的自然数中，
随机选取两个不同的数，记事件这两个数都是素数,事件 这两个数不是孪生素
数.则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】不超过40的自然数有41个，其中素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，
29，31，37，共12个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，共5组.
所以, ，
所以 .
5.[教材改编P53 T5](2025·山东省济南第一中学月考)在某次流感暴发期间，，，
三个地区均暴发了流感，经调查统计，，，地区分别有,, 的人患过流
感，且，，三个地区的人数的比为 .现从这三个地区中随机选取一人，则
此人患过流感的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】记事件选取的这个人患了流感，事件此人来自地区，事件 此人
来自地区，事件此人来自地区，则,, 彼此互斥，
由题意可得，， ，
，， ，
由全概率公式可得
.
6.[多选题](2025·山东省烟台市期末)袋子中有6个大小、质地完全相同的球，其中3个
红球、3个黄球，从中任取3个球，设事件“取出的3个球至少有一个红球”，
“取出的3个球至多有一个红球”，“取出的3个球既有红球又有黄球”， “取出的
3个球全是红球”，则( )
AC
A.事件与互斥 B.事件与 互为对立事件
C.事件与相互独立 D.事件与 相互独立
【解析】对于A，事件“取出的3个球既有红球又有黄球”， “取出的3个球全是
红球”,不能同时发生，两事件互斥，故A正确；
对于B，事件“取出的3个球至少有一个红球”， “取出的3个球全是红球”，能
同时发生，所以两事件不是对立事件，故B错误；
对于C，事件“取出的3个球至多有一个红球”， “取出的3个球既有红球又有黄
球”，
则， ，即两事件相互
独立，故C正确；
对于D，事件“取出的3个球至少有一个红球”， “取出的3个球全是红球”，
， ，即两事件不相
互独立，故D错误.故选 .
7.已知事件和是互斥事件，，，，则
__．
【解析】根据题意，事件和 是互斥事件，则
，
即，可得 ．
8.(2025·天津市南开中学月考)设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校
正过的枪射击，中靶率为 ，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.该射手任取一支
枪射击，中靶的概率是____；若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概
率为____.
0.7
0.8
【解析】设表示枪已校正， 表示射击中靶，
则，，，，, .
由全概率公式可得 .
由贝叶斯公式可得 .
9.抛掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子,记事件 为“蓝色骰子向上的点数为4或6”,
事件 为“两颗骰子向上的点数之和大于8”,求:
【答案】 抛掷红、蓝两颗骰子,事件总数为,事件 包含的样本点个
数为,所以 .
由于, ,
,，故事件包含的样本点个数为 ,故
.
事件包含的样本点个数为6，故 .
（1）事件发生的条件下事件 发生的概率;
【答案】 .
（2）事件发生的条件下事件 发生的概率.
【答案】 .
.
由, ,
,,知,且 .
（1） .
（2） .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：40分钟
10.(2025·江苏省常州市联盟学校月考)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛
为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相
互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设表示甲获得冠军，表示冠军产生时恰好进行了三局比赛，则 包括“第
一局甲赢、第二局甲赢”“第一局甲赢、第二局乙赢、第三局甲赢”“第一局乙赢、第
二局甲赢、第三局甲赢”，（【破题点】分析并列举出具体的情况，求解概率时才不
易出错）
则 ,
AB包括“第一局甲赢、第二局乙赢、第三局甲赢”“第一局乙赢、第二局甲赢、第三
局甲赢”，
则 ,
从而 .
11.情境题 随机化回答技术 随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调
查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有
任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，
又能获得所需要的真实信息．某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台
新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如
下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约
定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”．
①：若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“ ”.
②：若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“ ”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画“√”与画“”的比例为 ，用频率估计概率，则
该公司员工对考勤管理方案的满意率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下4种情况，分别为（正，正），
（正，反），（反，正），（反，反）.
其中令一次正面朝上一次反面朝上为事件 ，则共有2种情况满足要求，则
， .
设回答①且画“√”为事件，则 ，
则 ，
设回答②且画“√”为事件 ，
则 ，
所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为 .
12.［多选题］(2025·重庆市长寿中学校入学考试)甲罐中有5个红球，2个白球和3个
黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，
分别以，和 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出
一球，以 表示由乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是( )
BD
A. B.
C.事件与事件相互独立 D.，， 是两两互斥的事件
【解析】由题意知，，， 是两两互斥的事件，
,, ，
，， ，故B，D正确.
而 ,
（根据条件概率判断事件独立性）
所以事件与事件 不是相互独立的，故A，C不正确.
13.(2022·新高考全国Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患
者的年龄，得到如图7.1-1所示的样本数据的频率分布直方图:
图7.1-1
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）;
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率;
【答案】设一人患这种疾病的年龄在区间 ，
则 .
【答案】平均年龄
（岁）.
（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间 的人口占
该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人
患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位
于该区间的概率，精确到 ）.
【答案】设任选一人年龄位于区间，任选一人患这种疾病 ，
则由条件概率公式，得
图7.1-2
14.如图7.1-2，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装
有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有
3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，
再从中任意摸出一球.
（1）求取得红球的概率；
【答案】设事件表示球取自号箱，事件 表示取得红球.由全概率公式
可得,
.
所以取得红球的概率为 .
（2）若取出的球是红球，判断该球取自几号箱的可能性最大；并说明理由.
【答案】因为 ,
,
，
所以该球取自3号箱的可能性最大.
C 培优练丨能力提升
图7.1-3
15.双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两
个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，
获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比
赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被
淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被
淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再
次失败后才会被淘汰出整个比赛.，，， 四人参加的双淘汰赛制的流程如图7.1-
3所示，其中第6场比赛为决赛.
（1）假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为 ，求：
【答案】由题意得每人获胜概率均为 ，
① 获得季军的概率；
【答案】由题意，第一轮比赛,一组，, 一组，
要获得季军，则进入胜者组，后续连败两轮，或 进入负者组，后续两轮先胜后败，
所以获得季军的概率为 .
② 在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率.
【答案】设表示在比赛中胜利，表示在比赛 中失败，
事件表示获得亚军，事件表示 在所参加的所有比赛中失败了两场.
事件包括，，，， 五种情况，这五种
情况彼此互斥，得
.
EF包括， 两种情况，得
，
所以 .
（2）若的实力出类拔萃，有参加的比赛其胜率均为 ，其余三人实力旗鼓相
当，求 进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
【答案】由题意，获胜的概率为 ，
B，，之间获胜的概率均为 ，
要使 进入决赛且先前与对手已有过招，可分为三种情况：
①若与在决赛中相遇，分为胜3胜，负4胜5胜，或 负4胜5胜，
胜3胜，
概率为 ；
②若与决赛相遇，胜3胜，胜3负5胜，或胜3负5胜， 胜3胜，
概率为 ；
③若与决赛相遇，同与 在决赛中相遇，
概率为 .
所以进入决赛且先前与对手已有过招的概率为 .
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 条件概率
1 条件概率的定义
一般地，设,为两个随机事件，且，我们称
（【注意】和 的意义不一样，一般情况下，它们也不相等）为在事件
发生的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率.（题目一般涉及“在……前
提下”等字眼）
. .
. .
2 从集合角度看条件概率
从集合的角度看，若事件已发生,则为使也发生，试验结果必须是既在 中又
在中的样本点，即此点必属于（如图7.1-1）.由于已知已经发生，故 成为计算
条件概率（“ ”之后的部分表示条件.）的新的样本空间.
图7.1-1
. .
知识剖析 1.与 的区别:二者的样本空间不一样,前者的样本空间为原样
本空间,后者的样本空间为 ,一般地,.因为 ，所以
2.若随机试验属于古典概型，则可得， ,所以
,其中 表示一次试验中包含的基本事件个数，
,分别表示事件和事件 所包含的基本事件个数.
. .
3 条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设 ,则
（1） ；（必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0）
（2） ;
（3）如果和是两个互斥事件，则,若, 互斥，则
，, ;
（4）设和互为对立事件，则 .
. .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P46例1](2025·北京市第十四中学月考)从1，2，3，4，5中不放回地
抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 （定义法） 设事件“第1次抽到偶数”，事件 “第2次抽到奇数”.
根据题意可知，, .
根据条件概率计算公式可知，第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率为
.
（【另解】第1次抽到偶数后，不放回，则剩下1个偶数和3个奇数，可知第2次抽到
奇数的概率为 ）
（缩小样本空间法） 设事件“第1次抽到偶数”，事件 “第2
次抽到奇数”.根据题意可知，， ，
.
例1-2 (2025·河南省信阳市期中)已知随机事件，的概率分别为， ，且
，则下列说法中正确的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】由条件概率知，，因为（由 知
且），所以 ，故A错误；
，，与不一定相等，所以
不一定成立，故B错误；
，，所以 ，故C正确；
，故D错误．
. .
知识点2 事件的相互独立性
1 事件与事件 相互独立
从必修的内容中我们已经知道，与 相互独立（简称为独立）的充要条件是
，
而且与独立的直观理解是，事件是否发生不会影响事件 发生的概率，事件
是否发生也不会影响事件 发生的概率.
2 条件概率与独立性的关系
当（作为条件的事件 的概率必须大于0（等于0时不定义条件概率），
但在必修的内容中独立性定义中没有这个要求.）时，当且仅当事件与 相互独立时，
有 .
（1）充分性的证明
若事件与相互独立，即，且 ，则
.
（2）必要性的证明
若，且，则 ，即事
件与 相互独立.
. .
学思用·典例详解
例2-3 口袋中有4个黑球和3个白球，这7个球除颜色外完全相同，连摸两次，每次摸
一球.记事件表示第一次摸得黑球，事件 表示第二次摸得黑球.在放回摸球和不放
回摸球两种情况下，事件与事件 是否独立？
【解析】①放回摸球：
依题意有，， .
因此， ，
即放回摸球时事件与事件 独立.
②不放回摸球：
依题意有 ，
,
.
因此， ，
即不放回摸球时事件与事件 不独立.
知识点3 乘法公式
1 乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若 ，则
.我们称上式为概率的乘法公式.（与条件概率公式等价，解题
时注意灵活应用.）
. .
2 乘法公式的推广
假设表示事件，，2，3，且， ,则
一定成立，其中表示已知 与
都发生时发生的概率，而表示，，同时发生的概率.
【证明】由乘法公式可得 ,而
，因此
拓展
学思用·典例详解
例3-4 某厂的产品中有 的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产
品中任取一件是一等品的概率为_____.
0.72
点拨 “在100件合格品中有75件一等品”表明抽取一件产品为合格品的前提下，该
产品为一等品的概率为0.75.
【解析】设为“任取的一件是合格品”， 为“任取的一件是一等品”.
因为 ，
，
且事件发生时事件 一定发生，
所以 .
知识点4 全概率公式和贝叶斯公式
1 全概率公式
一般地，设，， ，是一组两两互斥的事件， ，
且，，2， ，，则对任意的事件 ，有
我们称上面的公式为全概率公式.（“由因导果”的概率公式.）
. .
知识剖析
全概率公式的直观解释
图7.1-2
如图7.1-2，发生的概率与有关，且 发生的概率等于所
有这些概率的和，即
.
在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为在一系列条件下发生
的概率的和.
2 贝叶斯公式
设，， ，是一组两两互斥的事件， ，且
，，2， ，，则对任意的事件 ， ，有
，,2, , .
上述公式称为贝叶斯公式（“执果索因”的概率公式.）.
知识剖析
对贝叶斯公式的理解
是根据历史数据发现的，通常称为先验概率；获取了新信息后算出的概率
，通常称为后验概率.贝叶斯公式体现了与 这两个条件概率之
间的关系，反映了事件 发生的可能在各种可能原因中的比重.
. .
学思用·典例详解
例4-5 (2025·山东省淄博市期中)利率变化是影响某金融产品价格的重要因素，经分
析师分析，最近利率下调的概率为，利率不变的概率是 .根据经验，在利率
下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为 ，在利率不变的情况下价格上涨的
概率为 .则该金融产品价格上涨的概率为______.
【解析】记事件为“利率下调”，则事件 为“利率不变”，
记事件 为“金融产品价格上涨”.
根据题意有
, ,
, .
因为 ,
所以 .
因此该金融产品价格上涨的概率为 .
例4-6 [教材改编P52练习T2（2）]设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，
货车中途停车修理的概率为，客车为 ，今有一辆汽车中途停车修理，则该
汽车是货车的概率为_____.
【解析】设表示一辆汽车中途停车修理，表示该车是货车， 表示该车是客车，
则,,,,则 ，
由贝叶斯公式有 .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 条件概率
例7 [教材改编P48 T2](2025·浙江省杭州市期中)从混有5张假钞的20张百元钞票中任
意抽取2张,将其中的1张放在验钞机上检验时发现是假钞,则2张都是假钞的概率是___.
【解析】设事件为“抽到的2张中至少有1张是假钞”,事件 为“抽到的2张都是假钞”.
,,所以 （注意前提条件是至少有一张是
假钞，而不是2张钞票一真一假） .
故所求概率是 .
,
,
故所求概率为 .
. .
例8 (2025·北京市第八中学月考)高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学
生占全班人数的 ,而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加某一座
谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意可得，男生有40名，男生中三好学生有5名.
设“从该班任选一名学生”的样本空间为 ，“从该班任选一名学生，没有选上女生”
为事件,“从该班任选一名学生，选上的是三好学生”为事件 ,则“没有选上女生且选
上的是三好学生”为事件,“没有选上女生的条件下，选上的是三好学生”为事件 .
（设置事件）
从该班任选一名学生，没有选上女生的事件数为 ,（求量）
没有选上女生且选上的是三好学生的事件数为 .
所以 .（缩小样本空间法）
从该班任选一名学生的事件数为 ，
则, ,
所以 .（利用条件概率的计算公式求值）
求条件概率 的方法
借助定义中的公式计算.
在原样本空间中，先计算，，再利用公式 计算.
缩小样本空间法.（适用于古典概型）
首先明确是求“在谁发生的前提下谁发生的概率”，其次转换样本空间，即把给定事
件定义为新的样本空间，并找出事件和事件 所含的样本点个数，最后利用
计算.
【学会了吗丨变式题】
1.科技发展 新能源汽车(2025·河北省石家庄第二实验中学月考)近年来，新能源汽车
技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池
技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动
力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000
次的概率为，充放电循环次数达到2 500次的概率为 ．若某用户的自用新能
源汽车已经经过了2 000次充电，那么他的车能够充电2 500次的概率为___.
【解析】设表示车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000次， 表示车载动力蓄
电池充放电循环次数达到2 500次,
则, ，
所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电，那么他的车能够充电
2 500次的概率为 .
题型2 乘法公式的应用
例9 [教材改编P48 T3]已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相
同，先后三次从中不放回地各摸出一球.
（1）求前两次摸到的均为黑球的概率;
由题意知， .
于是，根据乘法公式，有 .
所以前两次摸到的均为黑球的概率为 .
【解析】设事件表示第次摸到的是黑球，则事件 表示前两次摸到
的均为黑球.
（2）求第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率；
【解析】第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为 .
（第一次已经摸到白球了，剩下3个黑球和6个白球）
（3）求第二次才摸到黑球的概率；
【解析】第二次才摸到黑球的概率 （此处易得到所求概率
为的错误结果，与第（2）问混淆） .
. .
（4）求第三次才摸到黑球的概率.
【解析】设事件 表示第三次才摸到黑球（前两次摸到的都是白球），则
.
由题意知， ，
.
于是，根据乘法公式，有 .
所以第三次才摸到黑球的概率为 .
. .
乘法公式的作用
乘法公式 的作用就是方便我们在不好直接运用古典概型求得
的情况下，先迂回地求出方便计算的和，再求得 .概率的乘
法公式 反映了知二求一的方程思想.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·河北省卢龙县第二高级中学开学考试)有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红
球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次
取球.若取到的2个球均为红球，则停止取球，否则在两个口袋中各放入1个白球，然
后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记“取了 次球后停
止取球”，则_ _； ___．
【解析】依题意事件表示取了1次球后停止取球，故.
事件 表示前3次取球均不为两个红球，第4次取球为两个红球，
故 .
题型3 条件概率的性质及其应用
例10 在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,若考生至少能答对其中4道题则可
通过;若至少能答对其中5道题则获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他
在这次考试中已经通过,则他获得优秀的概率为___.
给什么 得什么 考生“通过”包含三种情况：6道题全答对；答对5道、错1道；答对4道、错
2道.获得“优秀”只包含前两种情况.
求什么 想什么 求该考生考试已“通过”的前提下，获得“优秀”的概率，属于条件概率问
题，应利用条件概率公式求解.
差什么 找什么 由古典概型的概率公式及概率的加法公式求出该考生在这次考试中“通过”
的概率，进而求在“通过”的条件下获得“优秀”的概率.
【解析】设事件为“该考生6道题全答对”,事件 为“该考生答对了其中5道题,另1道题
答错”,事件为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件 为“该考生在这次考试
中通过”,事件为“该考生在这次考试中获得优秀”,则事件,, 两两互斥,且
, .（“通过”包含三种情况，“优秀”包含两种情况）
由古典概型的概率公式及加法公式可知
,, ,
,所以
.
故所求的概率为 .
求一些复杂的条件概率时，往往可以先把事件分解成若干个互斥的较简单事件之和,
利用公式 使求解更为简捷.如果直接分解比较麻烦，
可以考虑对立事件，利用及 求解.
. .
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·福建省福州市期中)在一个袋子中装有10个球，其中有1个红球，2个黄球，3
个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄
球或黑球的概率是__．
【解析】设“摸出第一个球为红球”为事件，“摸出第二个球为黄球”为事件 ，“摸出
第二个球为黑球”为事件 .
，， .
， .
. 所求概率为 .
， ，
. 所求的条件概率为 .
题型4 条件概率与独立性的关系
例11 (2025·湖南省长沙市一中月考)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，
6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是
8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
B
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
【解析】事件甲发生的概率（甲），事件乙发生的概率（乙） ,事件丙发生
的概率（丙），事件丁发生的概率（丁） .事件甲与事件丙
（事件甲和丙为互斥事件.）同时发生的概率（甲丙） ，事件甲和丁同时发生的
概率（甲丁），事件乙和丙同时发生的概率（乙丙） ，事件丙和丁
（事件丙和丁为互斥事件.）同时发生的概率（丙丁） .
则（丙甲） （丙），甲与丙不相互独立；
（丁甲）（丁）（当时，与 独立的充要条件是
.），甲与丁相互独立；
（丙乙） （丙），乙与丙不相互独立；
（丙丁） （丙），丙与丁不相互独立.
. .
. .
. .
. .
. .
名师点评 该题我们从条件概率的角度解释了两个事件相互独立，实际上，我们也可
以根据（甲丁）（甲）（丁）（与独立的充要条件是 .）
得出甲与丁相互独立.
. .
. .
. .
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·浙江省杭州市期末)随机事件，满足，， ，则
下列说法正确的是( )
C
A.事件与事件独立 B.
C. D.
【解析】对于A，因为，所以.又 ，所以
.因此事件与事件 不独立，故A错误.
对于B，由，且， ，可得
，故B错误.
对于C，因为，且与互斥，所以 .由选项B
可知，又，则 ，故C正确.
对于D，已知，则.由选项B可知 ，所
以 ，故D错误.
题型5 全概率公式的应用
例12 [教材改编P50例5](2025·山东省潍坊第一中学月考)某电子设备制造厂所用的元
件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无标志可区别.在仓库中随机
地取一只元件，则它是次品的概率为_________.
【解析】设事件表示所取到的产品是由第家元件制造厂提供的，事件
表示取到的是一件次品.其中，，（ 的合理划分是运用全概率公式的关键）
两两互斥，发生总是伴随着，，之一发生,即 ，且
，， 两两互斥.运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
.
因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为 .
. .
例13 (2025·天津市第五十七中学月考)甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋
中有4个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲
袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以，， 表示由甲
袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以 表示由乙袋取出的球是红球的事件，则
__， ___．
【解析】事件 表示由甲袋取出的球是红球，当从甲袋中取出一个红球放入乙袋后，
乙袋中有5个红球，1个白球和1个黑球，
所以由古典概型的概率公式可知 .
由题意可知，,,,
（同事件 一样，乙袋中球的总个数从6变成了7）.
所以
.
. .
全概率公式的适用范围及步骤
什么样的问题适合用全概率公式求解？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多
种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可
用全概率公式.
运用全概率公式的一般步骤如下：
（1）求出样本空间 的一个划分，, , ;
（2）求 ;
（3）求 ;
（4）求目标事件的概率 .
【学会了吗丨变式题】
5.[教材改编P53 T7]采购员要购买某种电器元件一包（10个）.他的采购方法是:从一
包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包
数占 ，而其余包中各含1个次品，则采购员随机挑选一包，并拒绝购买的概率为
___.
【解析】设事件表示取到的一包含有4个次品，事件 表示取到的一包含有1个次
品，事件 表示采购员拒绝购买,
则, .
易知, .
从而由全概率公式，可知
.
因此，采购员随机挑选一包，并拒绝购买的概率为 .
题型6 贝叶斯公式的应用
例14 ［多选题］英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理
论，随机事件，存在如下关系： .某高校有甲、乙两家餐厅，
王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，
那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概
率为 ，则( )
AC
A.王同学第二天去甲餐厅的概率为0.54
B.王同学第二天去乙餐厅的概率为0.44
C.若王同学第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D.若王同学第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【解析】设第一天去甲餐厅， 第二天去甲餐厅，
第一天去乙餐厅， 第二天去乙餐厅，
所以，，, .
因为 ,
，
所以, ，
所以 ,
，因此A正确，B不正确.
因为 ，所以C正确.
，所以D不正确.
若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么：
（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果
第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起
的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率.熟记这个特征，在遇到相关的题目
时，可以准确地选择相应的方法进行求解，保证解题正确、高效.
【学会了吗丨变式题】
6.[教材改编P52习题7.1 T1]已知男人中有的人患色盲，女人中有 的人患色
盲，若从100个男人和100个女人中任选一人，则此人患色盲的概率为____，若此人
是色盲，则此人是男人的概率为___．
【解析】设“任选一人是男人”为事件，“任选一人是女人”为事件 ，“任选一人是色
盲”为事件 ，此人患色盲的概率为
．
若此人是色盲，则此人是男人的概率为 ．
新考法·学科融合
例15 物理综合 闭合电路如图7.1-3,1,2,3,4,5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概
率为,且各继电器触点闭合与否相互独立,求至 是通路的概率.
图7.1-3
给什 么得 什么 由每个继电器闭合的概率及各继电器闭合与否相互独立，可以求出指定线路
通电的概率.
求什 么想 什么 要求至 是通路的概率，显然它是由多种原因引起的，只能用全概率公式
进行求解.如何对样本空间 进行划分？
若以每个继电器进行划分，则第 个继电器触
点闭合，,2, ,5），事件 之间并不互斥，无法运用全概率公式.
若以第3个继电器进行划分（此为破题点，将复杂问题简单化），则
，则整个线路如图7.1-4所示，
. .
求什 么想 什么 设事件至为通路 ，
由全概率公式得 .
_____________________________________________________
图7.1-4
续表
差什 么找 什么 由图7.1-4（1）得 ，
（此种情况为1，4同时闭合或2，5同时闭合或1，4，2，5同时闭合，线路才
通）
由图7.1-4（2）得
，（此种情况
为1，2至少有一个闭合，同时4，5至少有一个闭合，线路才通）
由已知得, .
续表
【解析】设事件至为通路,第个继电器触点闭合,,2, ,5.
则, .
如图7.1-4（1）, ,
如图7.1-4（2）, .
由全概率公式得 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考对本节的考查以条件概率、全概率公式为主，它们是概率的基本知识，高考既
可以单独命题，也可以与后续知识综合命题，体现了高考命题的基础性、综合性.各
种题型均有涉及，难度中等或中等偏下.
核心素养：数学运算（利用公式求概率等）,数学建模（由实际问题建立条件概率模
型等）.
考向1 条件概率的求解
例16 (2023·全国甲卷)某地的中学生中有的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑
雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同
学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
【解析】 （利用条件概率求解） 令事件， 分别表示该学生爱好滑冰、
该学生爱好滑雪，事件表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则 ,
, ,所以
.
图7.1-5
（图示法） 如图7.1-5，左圆表示爱好滑
冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占
比例， 表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比
例， 表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，
表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则
,所以, .
所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为
.
名师点评 本题取材于滑冰和滑雪这两项典型的冰雪运动，具有时代气息，贴近生活，
意在引导学生积极参加体育活动，强身健体，全面发展.
例17 (2024·天津),,,,五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到 的概
率为__；已知乙选了活动，他再选择 活动的概率为__.
【解析】由题意知甲选到的概率为.记乙选择活动为事件，乙选择 活动为
事件 ，
则， ，
所以乙选了活动，再选择活动的概率为 .（【另解】因为
乙已经选了活动，所以该问可以转化为求乙在,,, 四种活动中选择两个，选到
活动的概率，为 ）
例18 (2022·新高考全国Ⅰ卷节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居
民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中
随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人
（称为对照组）,得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人,表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”, 表示事件“选到
的人患有该疾病”,与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一
项度量指标,记该指标为 .
（1）证明: ；
【解析】 ，
由题意知,证明 即可，
左边（条件概率公式的应用） ，
右边 .
左边右边，故 .
. .
（2）利用该调查数据,给出,的估计值,并利用（1）的结果给出 的估计值.
【解析】由调查数据可知 ,
,
且 ，
,
所以 .
考向2 全概率公式的应用
例19 (2023·新课标Ⅰ卷改编)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若
命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮
的命中率均为 ,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次
投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则第2次投篮的人是乙的概率为____.
0.6
【解析】记“第2次投篮的人是乙”为事件，“第1次投篮的人是甲”为事件 ,则
,
所以 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·福建省莆田市期末)已知集合， 的4个不同的三元
子集（含有三个元素的子集）组成集合，且满足：； 中任意两
个元素的并集是的真子集，任意三个元素的并集是.任取一个集合，记事件
“”，事件“ ”，则( )
ABD
A.集合中任意两个元素的交集非空 B.
C.取到的集合的所有可能结果有4种 D.
【解析】设,,,，其中，且 ，
由题意，满足题意的集合 的所有可能情况为
,,, ，
,,, ，
,,, ，
,,, ，
,,, ，
,,, ，故C错误；
显然，集合 中任意两个元素的交集非空，故A正确；
， ，
则 ，故B，D正确.
故选 .
2.[多选题](2025·江苏省启东中学月考)已知高二 班三个班的学生人数之比为
.在某次数学考试中，高二（1）班的不及格率为 ，高二（2）班的不及格
率为，高二（3）班的不及格率为 ，从三个班中随机抽取一名学生.记事件
“该学生本次数学考试不及格”，事件“该学生在高二班” ，则
( )
BCD
A. B.
C.与相互独立 D.
【解析】对于A，，， ，
故A错误；
对于B，由题意，，， ，
，故B正确；
对于C， ,
又，,所以 ,即
，即与 相互独立，故C正确；
对于D， ，
，
，故D正确.故选 .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：40分钟
1.(2025·山东省泰安市期中)小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，
根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为 ，在第二个路口遇到红灯的概率为
，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，
则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )
D
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件 ，“小明在第二个路口遇到红灯”为
事件,则，，， ，故选D．
2.(2025·陕西省西安市期中)有一批种子的发芽率为 ，出芽后的幼苗成活率为0.8.在
这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A
A.0.72 B.0.8 C.0.86 D.0.9
【解析】设“种子发芽”为事件，“种子成长为幼苗”为事件 （发芽，并成活而成
长为幼苗），则 .
又种子发芽后的幼苗成活率为 ，
所以 .
3.科技发展 人工智能 (2025·广东省深圳市第二高级中学段考)人工智能领域让贝叶
斯公式：站在了世界中心位置， 换脸是一项深度伪造技术，某
视频网站利用该技术掺入了一些视频，视频占有率为0.001．某团队决定用 对
抗，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是 ，即在
该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为；它的误报率是 ，即在该视
频是真实的情况下，它有的可能鉴定为．已知某个视频被鉴定为 ，则该视频
是用 合成的可能性约为( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意，记事件表示视频是用合成的，事件表示视频被鉴定为 ，
则， ，
， ，
则 ，
故 ．
4.数学文化 孪生素数 (2025·江西省宜春市上高二中月考)若一个大于1的自然数，除
了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为素数．数学上把相差为2的
两个素数叫作孪生素数，如3和5，5和7， .那么，如果我们在不超过40的自然数中，
随机选取两个不同的数，记事件这两个数都是素数,事件 这两个数不是孪生素
数.则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】不超过40的自然数有41个，其中素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，
29，31，37，共12个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，共5组.
所以, ，
所以 .
5.[教材改编P53 T5](2025·山东省济南第一中学月考)在某次流感暴发期间，，，
三个地区均暴发了流感，经调查统计，，，地区分别有,, 的人患过流
感，且，，三个地区的人数的比为 .现从这三个地区中随机选取一人，则
此人患过流感的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】记事件选取的这个人患了流感，事件此人来自地区，事件 此人
来自地区，事件此人来自地区，则,, 彼此互斥，
由题意可得，， ，
，， ，
由全概率公式可得
.
6.[多选题](2025·山东省烟台市期末)袋子中有6个大小、质地完全相同的球，其中3个
红球、3个黄球，从中任取3个球，设事件“取出的3个球至少有一个红球”，
“取出的3个球至多有一个红球”，“取出的3个球既有红球又有黄球”， “取出的
3个球全是红球”，则( )
AC
A.事件与互斥 B.事件与 互为对立事件
C.事件与相互独立 D.事件与 相互独立
【解析】对于A，事件“取出的3个球既有红球又有黄球”， “取出的3个球全是
红球”,不能同时发生，两事件互斥，故A正确；
对于B，事件“取出的3个球至少有一个红球”， “取出的3个球全是红球”，能
同时发生，所以两事件不是对立事件，故B错误；
对于C，事件“取出的3个球至多有一个红球”， “取出的3个球既有红球又有黄
球”，
则， ，即两事件相互
独立，故C正确；
对于D，事件“取出的3个球至少有一个红球”， “取出的3个球全是红球”，
， ，即两事件不相
互独立，故D错误.故选 .
7.已知事件和是互斥事件，，，，则
__．
【解析】根据题意，事件和 是互斥事件，则
，
即，可得 ．
8.(2025·天津市南开中学月考)设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校
正过的枪射击，中靶率为 ，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.该射手任取一支
枪射击，中靶的概率是____；若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概
率为____.
0.7
0.8
【解析】设表示枪已校正， 表示射击中靶，
则，，，，, .
由全概率公式可得 .
由贝叶斯公式可得 .
9.抛掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子,记事件 为“蓝色骰子向上的点数为4或6”,
事件 为“两颗骰子向上的点数之和大于8”,求:
【答案】 抛掷红、蓝两颗骰子,事件总数为,事件 包含的样本点个
数为,所以 .
由于, ,
,，故事件包含的样本点个数为 ,故
.
事件包含的样本点个数为6，故 .
（1）事件发生的条件下事件 发生的概率;
【答案】 .
（2）事件发生的条件下事件 发生的概率.
【答案】 .
.
由, ,
,,知,且 .
（1） .
（2） .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：40分钟
10.(2025·江苏省常州市联盟学校月考)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛
为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相
互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设表示甲获得冠军，表示冠军产生时恰好进行了三局比赛，则 包括“第
一局甲赢、第二局甲赢”“第一局甲赢、第二局乙赢、第三局甲赢”“第一局乙赢、第
二局甲赢、第三局甲赢”，（【破题点】分析并列举出具体的情况，求解概率时才不
易出错）
则 ,
AB包括“第一局甲赢、第二局乙赢、第三局甲赢”“第一局乙赢、第二局甲赢、第三
局甲赢”，
则 ,
从而 .
11.情境题 随机化回答技术 随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调
查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有
任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，
又能获得所需要的真实信息．某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台
新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如
下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约
定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”．
①：若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“ ”.
②：若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“ ”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画“√”与画“”的比例为 ，用频率估计概率，则
该公司员工对考勤管理方案的满意率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下4种情况，分别为（正，正），
（正，反），（反，正），（反，反）.
其中令一次正面朝上一次反面朝上为事件 ，则共有2种情况满足要求，则
， .
设回答①且画“√”为事件，则 ，
则 ，
设回答②且画“√”为事件 ，
则 ，
所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为 .
12.［多选题］(2025·重庆市长寿中学校入学考试)甲罐中有5个红球，2个白球和3个
黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，
分别以，和 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出
一球，以 表示由乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是( )
BD
A. B.
C.事件与事件相互独立 D.，， 是两两互斥的事件
【解析】由题意知，，， 是两两互斥的事件，
,, ，
，， ，故B，D正确.
而 ,
（根据条件概率判断事件独立性）
所以事件与事件 不是相互独立的，故A，C不正确.
13.(2022·新高考全国Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患
者的年龄，得到如图7.1-1所示的样本数据的频率分布直方图:
图7.1-1
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）;
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率;
【答案】设一人患这种疾病的年龄在区间 ，
则 .
【答案】平均年龄
（岁）.
（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间 的人口占
该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人
患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位
于该区间的概率，精确到 ）.
【答案】设任选一人年龄位于区间，任选一人患这种疾病 ，
则由条件概率公式，得
图7.1-2
14.如图7.1-2，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装
有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有
3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，
再从中任意摸出一球.
（1）求取得红球的概率；
【答案】设事件表示球取自号箱，事件 表示取得红球.由全概率公式
可得,
.
所以取得红球的概率为 .
（2）若取出的球是红球，判断该球取自几号箱的可能性最大；并说明理由.
【答案】因为 ,
,
，
所以该球取自3号箱的可能性最大.
C 培优练丨能力提升
图7.1-3
15.双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两
个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，
获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比
赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被
淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被
淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再
次失败后才会被淘汰出整个比赛.，，， 四人参加的双淘汰赛制的流程如图7.1-
3所示，其中第6场比赛为决赛.
（1）假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为 ，求：
【答案】由题意得每人获胜概率均为 ，
① 获得季军的概率；
【答案】由题意，第一轮比赛,一组，, 一组，
要获得季军，则进入胜者组，后续连败两轮，或 进入负者组，后续两轮先胜后败，
所以获得季军的概率为 .
② 在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率.
【答案】设表示在比赛中胜利，表示在比赛 中失败，
事件表示获得亚军，事件表示 在所参加的所有比赛中失败了两场.
事件包括，，，， 五种情况，这五种
情况彼此互斥，得
.
EF包括， 两种情况，得
，
所以 .
（2）若的实力出类拔萃，有参加的比赛其胜率均为 ，其余三人实力旗鼓相
当，求 进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
【答案】由题意，获胜的概率为 ，
B，，之间获胜的概率均为 ，
要使 进入决赛且先前与对手已有过招，可分为三种情况：
①若与在决赛中相遇，分为胜3胜，负4胜5胜，或 负4胜5胜，
胜3胜，
概率为 ；
②若与决赛相遇，胜3胜，胜3负5胜，或胜3负5胜， 胜3胜，
概率为 ；
③若与决赛相遇，同与 在决赛中相遇，
概率为 .
所以进入决赛且先前与对手已有过招的概率为 .