7.2 离散型随机变量及其分布列 课件(共98张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册

(共98张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 随机变量
1 随机变量的概念及表示
随机变量 的概念
离散型随 机变量的 概念 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.
表示
知识剖析
离散型随机变量的特征
（1）可用数值表示.所谓的离散型随机变量不过是建立起样本空间与实数的一
个对应关系.如设随机变量表示掷骰子掷出的点数，则 ，2，3，4，5，6，或
者说的取值范围是，2，3，4，5， .
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值.
（3）试验之前不能确定取何值.（由定义可知，随机变量的取值由随机试验的
结果决定）
（4）试验结果能一一列出.
说明：本章研究的离散型随机变量只取有限个值.#1.1.1.5
随机变量与函数的异同点
随机变量 函数
相同 点 不同 点 把实数对应为实数，即函数的自变量是实数.
2 随机变量的性质
一般地，如果是一个随机变量，,都是任意实数，那么, ,
等都表示事件，而且：
（1）当时，事件与 互斥；
（2）事件与相互对立，因此 .
（在用随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间）
3 离散型随机变量之间的关系
一般地，如果是一个离散型随机变量，,都是实数且,，则
也是一个离散型随机变量.由于的充要条件是 ,因此
.
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P60 T2]［多选题］下列随机变量是离散型随机变量的是( )
AB
A.连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数
B.南京长江大桥一天经过的车辆数
C.某型号彩电的寿命
D.一个在数轴上随机运动的质点所处的位置
【解析】A中的取值依次为1，2，3， ，虽然无限，但可一一列举出来，故为离
散型随机变量.（依据离散型随机变量的特征一一判断即可）
B中的取值有限，且可以一一列举出来，故B中的 为离散型随机变量.
C，D中 的取值不能一一列举出来，
故C，D中的 不是离散型随机变量．
例1-2 袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2
个球号码之和为，则 所有可能取值的个数是( )
C
A.25 B.10 C.7 D.6
【解析】 表示取出的2个球的号码之和，
又,,,，,, ,
，, ，
故 的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．
例1-3 （1）若,则 ____.
0.7
【解析】 .
（2）已知,,则 _____.
0.73
【解析】由可得，，即 .
所以 ,
所以 .
知识点2 离散型随机变量的分布列
1 离散型随机变量的分布列的定义
一般地，设离散型随机变量的可能取值为，， ，，我们称 取每一
个值的概率，,2， ，为 的概率分布列，简称分布列.
2 分布列的另外两种表示方法
与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列还有如下两种表示方法.
表格表示
图形表示
3 离散型随机变量的分布列的性质
（1）,,2, ,;表示的是概率，因此为非负数
（2） .（因为随机变量取不同的值时的事件是互斥的，所
以概率之和为1.因此在解题时，可用于检验概率值是否计算正确）
知识点3 两点分布
若随机变量 的分布列如下表所示，
0 1
则称随机变量服从两点分布或 分布.
特别提醒 （1）两点分布中，随机变量 的取值只有两个可能性:0或1，且其概率之
和为1.
（2）由于一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验
（将在7.4节学习），所以两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的 也常被称
为成功概率.
例2-4 [教材改编P60例3]一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，
从中摸出2个球．用表示摸出的2个球中的白球个数，求 的分布列．
【解析】由题意可知， 的所有可能取值为0,1,2，
则 ，
，
.（可利用概率和为1检验所求概率是否正确）
故 的分布列为
0 1 2
例2-5 (2025·海南省屯昌中学期中)设随机变量 的概率分布列为
1 2 3 4
则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ，
则 .
例2-6 [多选题]下列变量 服从两点分布的是( )
BCD
A.抛掷一枚均匀的骰子，所得点数为
B.某运动员罚球命中的概率为，命中得1分，不中得0分， 为罚球一次的得分
C.从装有大小完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，
D.从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件， 为抽到的次品件数
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 对离散型随机变量的理解
例7（1）［多选题］(2025·广东省惠州市期中)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局
得1分，输了得0分，共下三局.用 表示甲的得分，则 表示( )
BC
A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局
【解析】根据题意， 即甲在三局比赛中得了3分，有甲赢一局输两局或甲、乙
平局三次两种情况．
（2）(2025·浙江省杭州市期中)袋中装有5个红球、10个黑球.每次随机抽取1个球后，
若取得黑球后则另外换1个红球放回袋中，直到取得红球为止.若抽取的次数为 ，则
表示事件“放回3个红球”的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为“放回3个红球”表示前3次摸到的都是黑球，第4次摸到红球，所以
．
理解离散型随机变量时的切入点
1.判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值
是否可以一一列出，具体方法如下.
（1）明确随机试验的所有可能结果.
（2）将随机试验的结果数量化.
（3）确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量
是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量.
2.明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同
时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中
不要漏掉某些试验结果．
题型2 离散型随机变量的分布列
母题 致经典·母题探究
例8 同时掷两枚质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最
大点数 的分布列.
【解析】 同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能
的情况，的可能取值为1，2，3，4，5，6，记 为两枚骰子朝上一面出现的点
数，其中为第一枚骰子掷出的点数， 为第二枚骰子掷出的点数，则可得出下表.
出现的点数 情况数
1 1
2 3
3 5
4 7
5 9
6 11
由古典概型可知 的分布列为
1 2 3 4 5 6
由题意知， 的可能取值为1,2,3,4,5,6.
则 ，
，
，
，
，
，
所以 的分布列为
1 2 3 4 5 6
命题探源
经典的掷骰子模型
经典的掷骰子（两枚）模型，在各类考试中经常出现，比较常见的设题角度还有：
求点数和 的分布列.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
由此可见，掷出的点数和为7的概率最高，而掷出的点数和为2和12的概率最低.
子题
某旅游景点为了增加人气，吸引游客，特推出一系列活动．其中有一项活动是凡购
买该景点门票的游客，可参加一次抽奖.抽奖规则如下：掷两枚6个面分别标有数字1，
2，3，4，5，6的正方体骰子，点数之和为12获一等奖，奖品价值120元；点数之和
为11或10获二等奖，奖品价值60元；点数之和为9或8获三等奖，奖品价值20元；点
数之和小于8的不得奖．
（1）求同行的两位游客中一人获一等奖、一人获二等奖的概率；
【解析】设掷出的点数和为，则 的分布列为
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
一位游客获一等奖的概率为,获二等奖的概率为 ,故两位游客中一人获一
等奖、一人获二等奖的概率为 .
（2）设一位游客在该景点处获奖的奖品价值为，求 的分布列.
【解析】由已知可得， 可取0,20,60,120，且
.
.
.
.
所以 的分布列为
0 20 60 120
例9 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这
块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下两个表所示.
400 500
概率 0.6 0.4
5 6
概率 0.5 0.5
（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润（单位：元），求 的分布列
（利润 产量×市场价格-成本）；
【解析】设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为5元/ ”，
由题设知，， .
利润 产量×市场价格-成本，
的所有可能取值为， ，
，,即的取值范围是, ,
, ．
，
，
，
．
的分布列为
1 000 1 400 1 500 2 000
0.3 0.3 0.2 0.2
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季的利润都在区间 内的
概率．
【解析】由（1）得，每一季利润在区间内的概率为 ，
故这3季的利润都在区间内的概率为 .
求离散型随机变量的分布列的步骤
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·江西省南昌市期末)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的卡片各2张，从袋中
任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用 表示取出的3张卡片上的最大数
字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
【答案】记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件 ，
则 .
（2）随机变量 的分布列；
【答案】随机变量的取值范围是 .
, ,
, .
所以随机变量 的分布列为
2 3 4 5
（3）按3张卡片上最大数字的5倍记分，求记分介于18分到28分之间的概率.
【答案】记事件“一次取卡片所得记分介于18分到28分之间”为事件 ,则
或 .
2.国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制.单败制即每场比赛的
失败者直接淘汰，常见的有,等等. 表示双方进行一局比赛，获胜者晋级.
表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一
局，则需要进行第三局决胜负.现在,,, 四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单
败制，与一组，与一组，第一轮两组分别进行 ，胜者晋级，败者淘汰；第
二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军.已知与,,比赛，的胜率分别为,, ；
与,比赛，的胜率分别，；与比赛，的胜率为 .任意两局比赛之间均相互
独立.
（1）在进入第二轮的前提下，求 最终获得冠军的概率；
【答案】进入第二轮的概率为 ，
与进行，获胜，与进行，获胜，且与进行， 获胜的概率
为 ，
故在进入第二轮的前提下，最终获得冠军的概率 .
（2）记参加比赛获胜的局数为，求 的分布列.
【答案】参加比赛获胜的局数的取值有0，1,2，3.（注意 参加比赛获胜的局数与
参加比赛的局数是不同的）
，
，
，
（或 ）.
故 的分布列为
0 1 2 3
. .
. .
. .
（1）
给什么 得什么
求什么 想什么
差什么 找什么
（2）
给什么 得什么
求什么 想什么
差什么 找什么
题型3 离散型随机变量分布列性质的应用
例10 ［多选题］已知随机变量的分布列如表所示，其中，， 成等差数列，则
( )
0 1
BD
A. B. C. D.
【解析】，，成等差数列， .
由分布列的性质得， .
.
例11 ［多选题］(2025·河北省衡水市联考)设随机变量 的分布列为
，则( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】 的分布列为
0.2 0.4 0.6 0.8 1
则，（分布列中概率和为1）所以，故 ，故
A正确；
，故B正确；
（随机变量在某一范围内取值的概率等
于它取这个范围内各个值的概率之和） ，故C正确；
，故D不正确．
. .
. .
离散型随机变量的分布列的性质的应用
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值，此时需注意 .
（2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率
之和”求某些特定事件的概率.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·江苏省徐州市期中)若离散型随机变量 的分布列为
，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 ，
，
所以，解得 ，
所以
.
题型4 两点分布的应用
例12 (2025·黑龙江省牡丹江市第二高级中学月考)已知离散型随机变量 的分布列服
从两点分布，且，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 的分布列服从两点分布，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以，所以 ．
题型5 两个相关离散型随机变量的分布列
例13 已知离散型随机变量 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3
求：
（1） 的分布列；
【解析】易得 的分布列为
1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2） 的分布列.
【解析】易得 的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.3（【注意】取值相同时所对应的概率要相加） 0.3 0.3
. .
【解析】由分布列的性质知，解得 .
由题意列表如下.
0 1 2 3 4
1 3 5 7 9
1 0 1 2 3
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
例14 (2025·湖北省荆州中学月考)已知随机变量 的分布列为
0 1 2 3
若,则实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】由随机变量的分布列知， 的可能取值为0，1，4，9，
且， ，
, ．
，
所以实数的取值范围是 ．
求离散型随机变量 的分布列
一般地,若是随机变量,且,则也是随机变量,在已知离散型随机变量 的分
布列,求离散型随机变量的分布列时,应先弄清随机变量取每一个值时相对应的 所
取的值,再把取相同的值时所对应的事件的概率相加,列出离散型随机变量 的分布
列即可.
【学会了吗丨变式题】
4.已知随机变量与的关系式为 .
（1）若,求 的值；
【答案】或等价于，即 ,
所以 ,
所以 .
（2）若,求 的值.
【答案】由得，,即,又 ,所以
.
题型6 基于函数的分布列问题
例15 一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域均为 的函数：
,,,,, .
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得新函
数是奇函数的概率；
【解析】六个函数中是奇函数的有,, .由这三个奇函
数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数.
设事件 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的新函数是奇函数”.
由题意知 .
（2）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写着偶函数的
卡片则停止抽取，否则继续抽取，求抽取次数 的分布列.
【解析】 的所有可能取值为1，2，3，4.
, ,
, .
故 的分布列为
1 2 3 4
知识回顾 奇函数加奇函数可得奇函数，偶函数加偶函数可得偶函数，奇函数加偶函
数所得函数的奇偶性不确定.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
离散型随机变量及其分布列是概率统计的基础性知识,是高考考查的重点，主要考查
求离散型随机变量的分布列、随机变量在某范围内的取值概率等问题.需要用到计数
原理和概率等知识，多与后面所学知识（随机变量的数字特征）紧密相连，以解答
题的形式出现.试题难度中等.
核心素养：逻辑推理（判断随机变量的取值等）,数学运算（随机变量概率的求解等）.
考向 离散型随机变量及其分布列
例16 (2022·北京高考题改编)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，
比赛成绩达到以上含 的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数
及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：
甲：，，，，，，，，， ；
乙：，，，，， ；
丙：，，， .
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
【解析】设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件 .
因为比赛成绩达到以上含 的同学将获得优秀奖，且甲在以往的比赛成
绩中达到以上含的有,,, ，共4个，
所以估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率 .
（2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求 的分布列.
【解析】 的所有可能取值为0，1，2，3.
由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率 .
设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件， ,
则, .
,
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
0.15 0.4 0.35 0.1
（1）
（2）
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·山东省邹城市第一中学期中)已知离散型随机变量 的分布列如下，
1 2 3 4
离散型随机变量满足 ，则( )
BD
A. B. C. D.
【解析】由题意可知， ，
解得或 ．
当时，，故 ，A不正确，B正确；
,C不正确；
，D正确.
故选 ．
2.新定义 信息熵［多选题］(2025·湖南省新高考教学教研联盟月考)信息熵是信息论
中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为1,2， ，
，且,,定义 的信息熵
.则( )
AC
A.若,则
B.若,则随着 的增大而增大
C.若,则随着 的增大而增大
D.若,随机变量所有可能的取值为1，2， ， ,且
,则
【解析】对于选项A，若,则, ,
,A正确.
对于选项B，,又,显然，当时， ；
当时， ，信息熵相等，B不正确.
对于选项C，若,则
（【详解】 ），随着 的增大而增大，C正确.
对于选项D，; ;
;…;
, ,
.易知,, ，
，,, ， ,
,故D错误.
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.(2025·北京市第八十中学期中)一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红
球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
B
A.取到球的个数 B.取到红球的个数
C.至少取到1个红球 D.至少取到1个红球或1个黑球
【解析】因为袋中有2个黑球和6个红球，所以从中任取2个，取到球的个数是一个固
定的数字2，不是随机变量，故A不正确；
取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；
至少取到1个红球表示取到1个红球，或取到2个红球，表示一个事件，故C不正确；
至少取到1个红球或1个黑球表示一个事件，故D不正确．故选B．
2.(2025·福建省连城县第一中学月考)设离散型随机变量 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量，则 ( )
A
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
【解析】由，得 ，所以
.
3.(2025·宁夏银川市第二中学期中)设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用离散型
随机变量描述一次试验成功的次数，则 的值为( )
C
A.0 B. C. D.
【解析】设该项试验的成功率为 ,由题知此试验服从两点分布，因此可列下表：
（取值只有0和1）
X 0 1
P
因为试验的成功率是失败率的2倍，所以,解得, .因此
.
. .
4.[教材改编P60 T2（1）][多选题]抛掷2枚骰子，所得点数之和记为 ，那么
包含的随机试验的结果有( )
BC
A.2枚都是4点 B.1枚是1点，另1枚是3点
C.2枚都是2点 D.2枚中必有1枚是4点
【解析】由题意得，抛掷2枚骰子， 表示掷出的1枚是1点，另1枚是3点或者2
枚都是2点，故选 .
5.[教材改编P61 T2][多选题]下列表格中，是某个随机变量的分布列的是( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知，A,B，D正确中， 不
符合的特点，也不符合 的特点，
所以C中表格不是随机变量的分布列.
6.(2025·广东省汕头市潮阳一中月考)离散型随机变量 的分布列中部分数据丢失，丢
失数据以， 代替，分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.10 0.20
则 等于____.
0.5
【解析】根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率和为1，可得 ，
故 .
7.设随机变量等可能取1,2,3, ,这个值,如果,则 ____，
____.
10
0.6
【解析】由题意可得，，则 .
.
8.(2025·河北省承德市高新区第一中学月考)大型水果超市每天以10元/千克的价格从
水果基地购进若干 水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水
果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了 水果最近50
天的日需求量（单位：千克），整理如表所示．
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
频数 5 10 8 8 7 7 5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．
（1）求该超市水果日需求量 （单位：千克）的分布列;
【答案】 的分布列为
140 150 160 170 180 190 200
P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1
（2）若该超市一天购进水果150千克，记超市当天水果获得的利润为
（单位：元），求 的分布列．
【答案】若 水果日需求量为140千克，则
（元），所以
若 水果日需求量不小于150千克，则
（元），所以 .
则的所有可能取值为680，750，故 的分布列为
X 680 750
P 0.1 0.9
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
9.(2025·湖北省仙桃市期末)已知随机变量,均服从两点分布，若 ,
,，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为随机变量,均服从两点分布，所以 ,
.
因为 ，
所以 ，
由条件概率公式 .
10.(2025·山东省济南市期末)已知等差数列的公差为，随机变量 满足
，,2,3,4，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为随机变量满足, ,2,3,4，所以
，
也即，即 .（【依据】根据等差数列的性质，若
,则 ）
又是公差为 的等差数列，
所以，则 ，
所以，， ，
因为，所以解得 .
11.［多选题］(2025·辽宁省大连八中期中)设随机变量 的分布列如表：
1 2 3 … 1 000 1 001
P …
则下列说法正确的是( )
BD
A.当为等差数列时，
B.数列的通项公式可能为
C.当数列满足时，
D.当数列满足 时，
【解析】对于A，由为等差数列，得前1 001项和 ，则
有 ，A错误；
对于B，若数列的通项公式为 ，（裂项相消）则
前1 001项和 ，
B正确；
对于C，依题意，数列前1 001项和
，则有 ，C错误；
对于D，令，则 ，化
简得 ，
因此当时，令可得 ，D正确.
故选 .
. .
12.新定义 散度 (2025·山东省东营市牟平一中开学考试)
在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量, 的取值集合均
为,1,2,3, ,，则,的散度.若， 的概
率分布如下表所示，其中，则 的取值范围是________.
X 0 1
P
Y 0 1
P
【解析】根据已知公式 ，
得 ，
令，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 ，
又，所以 ，
则，故 .
13.(2025·四川省成都市期中)在某次足球联赛中，甲、乙两队将分别在城市，城市
进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市 比赛时，甲队胜乙队的概率
为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为 ，
两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）求两场比赛甲队恰好负一场的概率；
【答案】设事件表示在城市比赛时甲队负，事件表示在城市 比赛时甲队负，
则， ，
两场比赛甲队恰好负一场的概率为
．
（2）求两场比赛甲队得分 的分布列．
【答案】两场比赛甲队得分 的可能取值为0,1,2,3,4,6，
，
，
，
，
，
，
两场比赛甲队得分 的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
P
图7.2-1
14.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在
高考期间至少进行一次“爱心送考”.该城市某出租车公
司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图
7.2-1所示．
（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次
数；
【答案】由统计图得200名司机中送考1次的有20人，
送考2次的有100人，送考3次的有80人，
所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为 .
（2）从这200名司机中任选2人，设这2人送考次数之差的绝对值为随机变量，求
的概率分布．
【答案】从该公司任选两名司机，记
“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件 ，
“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件 ，
“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件 ，
“这两人送考次数相同”为事件 ，
由题意知 的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以 的分布列为
X 0 1 2
P
C 培优练丨能力提升
15.新定义 二维离散型随机变量 (2025·河北定州中学开学考试)如果离散型随机变量
的取值为,,, ,，离散型随机变量的取值为,，, ,，则称
为二维离散型随机变量，称取 的概率
为 的联合分布律.记
, ，
分别称,为关于和关于 的边缘分布律.用表格形式表示如下：#1
… X边缘分布律
…
…
… … … … … …
…
Y边缘分布律 …
（1）现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，先后随机摸球两次，定义
分别求有放回和不放回取球的情况
下 的联合分布律和边缘分布律（用表格形式表示）.
【答案】有放回取球的情况下的可能取值为,,, ，
,
，
,
，
0 1 X边缘分布律
0
1
Y边缘分布律
不放回取球的情况下的可能取值为,,, ，
,
，
,
，
0 1 X边缘分布律
0
1
Y边缘分布律
（2）若二维离散型随机变量 的联合分布律与边缘分布律满足
，则称随机变量与 相互独立，反之
亦成立.
（i）中有放回和不放回取球的情况下的 是否相互独立？请说明理由.
【答案】由（1）知有放回取球的情况下,,,， ，
，， ，
经检验，满足 ,
所以与 相互独立.
在不放回取球的情况下,, ,
，不满足 ，
则与 不相互独立.
（ii）证明：若与 相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）数据对应成比例.
【答案】结合题中表格，取分布律中的第行为,,, , ,
，
取分布律中的第行为,,, ,,，其中 ,
因为二维离散型随机变量与相互独立，所以 的联合分布律与边缘分布律满
足 ，
所以,,, , ,
,,, ,
因为 ，
所以,, , ，
所以 ，则分布律中任意两行数据对应成比例.同理可证分布
律中任意两列数据也对应成比例.