7.3 离散型随机变量的数字特征 课件(共130张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.3 离散型随机变量的数字特征 课件(共130张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 10:20:44 | ||
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文档简介
(共130张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 离散型随机变量的均值
1 定义
一般地，若离散型随机变量 的分布列为
…
…
则称 为随机变量 的均值或数学期望.
. .
2 意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取
值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
知识剖析
对离散型随机变量的均值的理解
1.均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数.
2.离散型随机变量的均值是一个数值，是随机变量 本身固有的一个数字特
征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
3.由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位.
4.两个随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;有相同均值的两个随机变量，
其分布未必相同； 两个随机变量的分布不同也可以有相同的均值.
随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别
随机变量的均值即总体均值，是一个常数，它不依赖于样本的抽取，在大量的
试验下，它总是稳定的，不具有随机性.而样本的平均值是一个随机变量，它随样本
的不同而变化．对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于
总体的均值.因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值.
3 性质
若与都是随机变量，且，则由与 之间分布列的关系可知
.
即 .
. .
知识延伸
特 例 均值 意义
常数的均值就是这个常数本身.
随机变量与常数之和的均值等于随机变量的均值与这个常
数的和.
常数与随机变量的乘积的均值等于这个常数与随机变量的
均值的乘积.
另外，对于随机变量,，我们还有如下结论：;如果 ,
相互独立，则 .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P66 T1（1）]离散型随机变量 的分布列为
1 2 3
则的数学期望 _ _.
【解析】 .
例1-2 [教材改编P65例3](2025·四川省广元市期中)一台机器生产一件甲等品可获利50
元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元.已知这台机器生产甲等品、
乙等品和次品的概率分别为,和 ，则这台机器每生产一件产品，平均预期可
获利____元.
37
【解析】设这台机器生产一件产品获利 元.易知随机变量 的分布列为
50 30
0.6 0.3 0.1
.
例1-3 [教材改编P67 T1（2）](2025·广东省广州市期中)已知离散型随机变量 的分
布列为
0 1
设，则的数学期望 ___.
0
【解析】由分布列的性质得,解得 .
，则
.
因为,所以 的分布列为
1 7
所以 .（一般都是利用性质求解）
知识点2 离散型随机变量的方差
1 定义
如果离散型随机变量 的分布列如下表所示.
…
…
则称
为随机变量 的方差.
有时也记为,并称为随机变量的标准差，记为 .
. .
知识剖析
方差公式的另一种表示
在方差的计算中，通过对其进一步的化简可得到另一种形式，在计算时也会用到.
.
. .
2 意义
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映
了随机变量取值的离散程度（或波动大小）．（方差或标准差越小，取值越集中；
方差或标准差越大，取值越分散）
知识剖析 离散型随机变量的方差与样本方差的区别与联系
离散型随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本的不同而
变化，是客观存在的;样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的.对于简单
随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差.
3 性质
若与都是离散型随机变量，且,则由与 之间分布列和均
值之间的关系可知
，即
.
知识延伸
. .
特例 方差 意义
常数的方差等于0.
随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同.
例2-4 [教材改编P70 T1](2025·福建省长乐第一中学月考)已知随机变量 的分布列为
1 2 3 4
则 _ ___.
【解析】 （利用方差的定义） 由分布列得
,
所以 .
利用 由分布列得
.
,
所以 .
（在实际做题时，我们一般采用方法1计算）
例2-5 (2025·广东省广州市期末)已知离散型随机变量的方差为1，则
( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】因为离散型随机变量的方差为1，所以 .
例2-6 (2025·陕西省咸阳市永寿县中学期末)若随机变量满足 ，则
( )
C
A.12 B. C.6 D.36
【解析】因为，所以 ，
故 .
知识点3 两点分布的均值与方差公式
若随机变量 服从两点分布,其分布列如下表所示,
0 1
则 ，
.
, .
. .
例3-7 若随机变量服从两点分布，且成功的概率，则____，
_____.
0.5
0.25
【解析】 服从两点分布，
，
.
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 离散型随机变量的均值、方差
例8 (2025·湖北省腾云联盟联考)若随机变量 的分布列为
0 1 2
若，且，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】依题意，,即 ，
因为，所以,1,4,所以,, ，
则 ，
由解得
所以 .
例9 (2025·江苏省七校联考)若离散型随机变量 的分布列为
0 1 2
且，当取最小值时，随机变量的方差 等于___.
【解析】根据所给分布列，可得, ,
则 （转化为一元二次函数求最值）,
易知当时，取得最小值,为 ，
（函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值）
此时, .
.
. .
例10 (2025·吉林省四平市期中)某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：
滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的
部分按1小时计算）.甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时
离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为， ；两人滑雪
时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
【解析】两人所付费用相同，相同的费用可能为0元（不超过1小时是免费的），40
元，80元.
两人都付0元的概率 ，
两人都付40元的概率 ，
两人都付80元的概率 .
则两人所付费用相同的概率为 .
. .
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求 的分布列
与期望，方差 .
【解析】 的所有可能取值为0，40，80，120，160.
则 ，
，
，（三种情况：甲付费0元，乙付费80元；甲、
乙各付费40元；甲付费80元，乙付费0元）
，
. .
.
随机变量 的分布列为
0 40 80 120 160
，
.
求离散型随机变量 的均值与方差的步骤
【学会了吗丨变式题】
1.新考法 开放探究 (2025·北京市顺义区期末)已知随机变量 的分布列为
0 1 2 3
若，，成等差数列，则_ _；写出符合条件的 的一个值为__________
_______________.
2
（答案不唯一）
【解析】由题意得且，解得 ，
则 ，
因为,，，所以 ，
所以，可取 .
2.随机变量 的分布列为
1 2
已知,,则 ___.
3
【解析】根据分布列的性质，可知 .
由，得 ①.
由 ，得
②.
化简得 ,
把①代入得，故 .
3.(2026·湖北省荆州中学月考)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从
中不放回地随机取球，若标有数字和 的球均已被取出，则停止
取球．记为取出的球的个数，则 _ __．
【解析】当时，,；当时，,；当
时，, .
由题意知，当标有数字1,2或者3,4或者5,6的球均已被取出时，则停止取球（三对球
，，中的任意一对被取出时，就停止取球），所以 的可能取值是
2,3,4，
， ，
，
所以 的分布列为
2 3 4
.
题型2 均值与方差性质的应用
例11 (2025·辽宁省抚顺市六校协作体联考)已知离散型随机变量 的分布列如下表所
示，则( )
2 4 7
A
A.， B.，
C.， D.，
【解析】由分布列的性质可得，解得 ，
则 ，
，
所以， ．
例12 (2025·山东省临沂市期末)已知离散型随机变量的分布列如下，若 ，
则 ( )
0 2
A
A. B. C. D.
【解析】由分布列的性质可得,解得 .
由得，即 ，
则，解得 .
因为 ，
所以 .
例13 已知,两个投资项目的利润率分别为随机变量和.根据市场分析,和
的分布列如下.
0.8 0.2
0.2 0.5 0.3
（1）在,两个项目上各投资100万元,和分别表示投资项目和 所获得的利润,
求和 .
【解析】由题易知和 的分布列如下,
（找出与，与的关系，即， ）
5 10
0.8 0.2
2 8 12
0.2 0.5 0.3
则 ,
.
,
.
（2）用万元投资项目,万元投资项目,表示投资 项目
所得利润的方差与投资项目所得利润的方差之和,求的最小值,并求出此时 的值.
【解析】 .
当时, 取得最小值,最小值为3.
求线性关系的随机变量 的均值和方差的方法
（1）定义法：先列出 的分布列，再求均值和方差．
（2）性质法：直接套用公式， ，
，求解即可．
注意：在随机变量 的均值比较好计算的情况下，运用关系式
不失为一种比较实用的方法．
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·浙江省台州市期中)已知随机变量 的概率分布为， ，2，
3，则 ( )
D
A. B. C.2 D.
【解析】由随机变量 的概率分布可得 ,
,
则 .
5.(2025·山东省安丘市第一中学月考), 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队
员，队队员是，，，队队员是，， ，按以往多次比赛的统计，对
阵队员之间胜负概率如下.
对阵队员
按表中的对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设三场后队、 队最后所得总
分分别为随机变量， .
（1）求， 的分布列；
【答案】由题意知， 的可能取值均为3,2,1,0.
,
,
,
.
的分布列为
0 1 2 3
根据题意得 ,
, ,
, ,
的分布列为
0 1 2 3
（2）求和 .
【答案】由（1）可得 .
，， .
题型3 均值、方差在决策问题中的应用
母题 致经典·母题探究
图7.3-1
例14 (2025·上海市行知中学调研)某公司计划购买
2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一
易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零
件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备
件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器
时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了
100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，
得下面柱状图（如图7.3-1）：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，
记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数, 表示购买2台机器的同时购买的易损
零件数.
（1）求 的分布列；
【解析】由题图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数可能
为8，9，10，11，相应的概率分别为,,,， 的所有可能取值为
16,17,18,19,20,21,22.
;
2 ;
. .
，因此应乘2
;
;
;
;
.
所以 的分布列为
16 17 18 19 20 21 22
0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
（2）若要求，确定 的最小值；
【解析】由（1）知,,故 的最小值为19.
（根据分布列的数据确定 的最小值）
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与 之中选其一，
应选用哪个？
【解析】记 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当 时，
500
（备件不足再购买时，每个是500元）
.
当 时，
.
可知当时所需费用的期望值小于当 时所需费用的期望值，故应选
.
. .
. .
. .
命题探源 数学期望在决策型问题中的应用
数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平.随着
社会的进步和经济的发展，数学期望在日常生活中和经济活动中的运用越来越广，
如个人的采购，投资风险分析，企业的生产和经营方案等，经常需要对事物的进展
情况进行决策，以便用最有利的方式来采取行动.人们常把数学期望作为决策参考的
重要依据，应用数学期望讨论某些经济问题，从而得到一些有意义的结论.
离散型随机变量的分布列及期望的应用是历年高考考查的重点，特别是与统计内容
结合的试题，背景新颖，与实际生活联系紧密.
子题
子题1 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方
图如图 7.3-2（1）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条
形图如图 7.3-2（2）所示．
图7.3-2
（1）试估计该河流在8月份水位的中位数.
【解析】频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是,,,,, ，
设8月份水位的中位数为，则 ，
，
解得 ．（常用此方式求中位数）
月份水位的中位数为37.5．
（2）以频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率.
【解析】设该河流8月份水位小于40米为事件，水位在40米至50米为事件 ，水位
大于50米为事件 ，
，
，
．
设发生1级灾害为事件 ，
由条形图可知，，， ，（注意该图与频率
分布直方图的区别）
，
，
．
（3）该河流域某企业在8月份若没受1,2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害
影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响，则亏损1 000万元．现此企业有如下三种
应对方案：
方案 防控等级 费用/万元
方案一 无措施 0
方案二 防控1级灾害 40
方案三 防控2级灾害 100
试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．
【解析】由（2）可知8月份该河流发生1级灾害的概率为 ，发生2级灾害的概率
为 ，不发生灾害的概率为
.
设第种方案的企业利润为 ，
若选择方案一，则的取值可能为500，，， ，
，
．
的分布列为
500
0.81 0.155 0.035
（万元）.
若选择方案二，则的取值可能为460， ，
且 ，
．
的分布列为
460
0.965 0.035
（万元）
若选择方案三，则不会受任何灾害影响，
该企业8月份的平均利润 （万元）．
最大，
从利润考虑，该企业应选择第二种方案．
子题2 五一劳动节前夕，某公司为全体员工发放奖励，奖励拟采用抽签方式发放，
每位员工分别从标有面值的4张卡片中随机取出2张，2张卡片上的面值之和即为该员
工的奖励金额．
（1）若4张卡片上的面值分别为100元、100元、300元、500元．
①求每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率；
【解析】若每位员工所获得的奖励金额不低于500元，则抽取的2张卡片上的面值分
别为500元、300元或500元、100元，
所以每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率为 ．（注意有2张卡片面
值为100元）
②记每位员工所获得的奖励金额为元，求 的分布列与期望.
【解析】由题意，得 的所有可能取值为200,400,600,800，
则， ，
， ，
所以 的分布列为
200 400 600 800
．
（2）现面值有100元、200元、300元、400元、500元，选取其中的3个作为4张卡片
上的面值.相较于（1）中的面值，如何选择可以使得每位员工所获得的奖励金额的
期望值不变，且奖励金额更加均衡（只需给出一种方案并说明理由即可）？
【解析】可以选择4张卡片上的面值分别为100元、200元、200元、500元.设按照此
方案，每位员工所获得的奖励金额为元，则 的所有可能取值为300,400,600,700，
则， ，
， ，
所以 的分布列为
300 400 600 700
，
所以 ．
因为 ，
， ，
所以4张卡片上的面值分别为100元、200元、200元、500元时，此方案可以使每位员
工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额更加均衡．
期望和方差在决策问题中的应用思路
离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散
型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在利用期望和方差的意
义去分析、解决实际问题时，两者都要分析．
注意：至于实际应用中是方差大了好还是方差小了好，要看这组数据反映的实际问
题，如在机器生产的零件质量与标准件的误差问题上，应该是方差越小越好；在挑
选人员参加比赛的问题上，通常既要考虑人员平时的水平，也要考虑人员发挥的潜
能与后劲.
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·山东省邹城市第一中学月考)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有， 两类
问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，
若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题
回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. 类问题中的每个问题回答正确得20分，
否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为 ，且能
正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求 的分布列；
【答案】由题意得， 的所有可能取值为0,20,100,
,
,
,
所以 的分布列为
0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】当小明先回答 类问题时，由（1）可得
当小明先回答类问题时，记为小明的累计得分，则 的所有可能取值为0，80，
100，
,
,
,
所以 的分布列为
0 80 100
0.4 0.12 0.48
.
因为，即 ,
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 类问题.
新考法·学科融合
例15 生物综合 微生物繁殖(新高考全国Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断
生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖
后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 表示1
个微生物个体繁殖下一代的个数， .
（1）已知，，，，求 ；
【解析】由题意，,,, ,
的分布列为
0 1 2 3
0.4 0.3 0.2 0.1
.
（2）设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于 的方程
的一个最小正实根，求证：当时， ，当
时， ；
给什 么得 什么
求什 么想 什么
差什 么找 什么
【解析】记 ，
由题知，为的正实根，由 ，
得 .
记 ，
则 ,
.
当时, ,
所以当时, 无实根.
所以在上有且仅有一个实根，即 ，
所以当时， .
当时，,又, 的图象开口向上，
所以在上有唯一实根 ,
所以的最小正实根 ,
所以当时， .
（3）根据你的理解说明第（2）问结论的实际含义.
【解析】 ，表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数
量无法维持稳定或正向增长，多代繁殖后将面临灭绝，所以 .
,表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可以
正向增长，所以不一定面临灭绝，所以 .
素养提升
本题旨在培养学生的抽象能力及分析能力，符合国家对高中生数学核心素养的总体
要求.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节内容为高考常考内容,往往以分布列为载体,先求离散型随机变量的分布列,再求
离散型随机变量的均值、方差,有时也会考查对均值、方差的理解以及利用计算出的
均值作出决策或判断.多以解答题的形式出现,偶尔以选择题、填空题的形式出现，难
度中等或中等偏上.
核心素养：数学运算（求期望、方差等）,逻辑推理（概率模型的选择、作出决策或
判断等），数据分析（通过分析题目中给出的数据解题）.
考向1 均值与方差的相关计算
例16 (2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3
张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则___, ___.
【解析】由题意知 .
的可能取值为1,2,3,4，
， ，
，
所以 的分布列为
1 2 3 4
.
例17 (2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目
胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠
军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，， ，各项目的比赛结果相
互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
【解析】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,, ，所以甲学校获得冠军的概率
为 .
（2）用表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望.
【解析】依题可知， 的可能取值为0,10,20,30，所以
，
，
，
．
即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 ．
素养探源 素养 考查途径
数学运算 概率的求解，数学期望的计算.
逻辑推理 判断离散型随机变量的取值.
数据分析 由题干信息提取数据，制作分布列.
变式探源 (2024·北京)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保
险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据
如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四
次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率.
【解析】 （直接法） 记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件 ，
由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4，
所以 .
（间接法） 记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件 ，
则 .
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望 ;
【解析】由题知的所有可能取值为，，，， ，
则 ，
，
，
，
,
故 .
（ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加 ,试比较这种情
况下一份保单毛利润的数学期望估计值与中 估计值的大小.（结论不要求证明）
【解析】如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加 ，这种情
况下一份保单毛利润的数学期望估计值比中 估计值大.
证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润（单位：万元）为 ,则
对于索赔次数为0的保单， ,
对于索赔次数为1的保单， ,
对于索赔次数为2的保单， ，
对于索赔次数为3的保单， ，
对于索赔次数为4的保单， ，
故 .
所以 .
考向2 均值与方差的应用
例18 (2024· 新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比
赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被
淘汰，比赛成绩为0分;若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一
名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的
得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为 ，
各次投中与否相互独立.
（1）若， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少
于5分的概率.
【解析】第1步：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率
设“甲、乙所在队进入第二阶段”，则 .
第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的概率
设“乙在第二阶段至少得5分”，则
第3步：计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率
设“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则 .
（2）假设 .
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛
【解析】第1步:计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率
设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为 ，
则 .
第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为 ，
则 .
第3步：比较与 的大小
则 ,
由，得， ，
所以，即 .
第4步：做决策
故应该由甲参加第一阶段比赛.
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛
【解析】第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望
若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩 的所有可能取值为0,5,10,15.
，
，
,
,
所以 .
第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩 的所有可能取值为0，5，
10,15.
同理，可得 .
第3步：比较与 的大小
，
由，得， ，
所以,即 .
第4步：做决策
故应该由甲参加第一阶段比赛.
高考新题型专练
1.[多选题](2025·山东省名校考试联盟期中)
随机变量 的分布列为
1 2 3
则下列说法正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】由题意可知，，解得 ，
可得随机变量 的分布列为
1 2 3
对于选项A， ，故A正确；
对于选项B， ，故B正确；
对于选项C，因为 ，所以
，故C错误；
对于选项D，因为 ，
即，解得，故D正确.故选 .
2.［多选题］(2025·江苏省扬州中学月考)已知随机变量 的分布列为
则下列说法不正确的是( )
ABD
A.存在，，使得
B.对任意，，都有
C.对任意，，都有
D.存在，，使得
【解析】由题意可得,,，且,，即 .则
.
设，，函数图象开口向下，又 ,
，故，即，不存在，，使得 ，A
错误；
当,时，，即存在，，使得 ，B错误；
，
则 ，
故对任意，，都有 ，C正确；
令，则，设， ，函数图象开口向下，
且,，故，即，不存在 ，
，使得，D错误.故选 .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.设随机变量的分布列为，则 ( )
A
A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2
【解析】 .
2.(2025·重庆市外国语学校期中)已知随机变量满足， ，
则( )
C
A., B.,
C., D.,
【解析】,, ,
．
3.(2025·广东省清远市期中)袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记
为号的有个．现从袋中任取一球，表示所取到球的标号，则
( )
D
A.2 B. C. D.
【解析】由题意，可知 的所有可能取值为0,1,2,3.
，，， .
.
4.(2025·山东省东明县第一中学月考)已知随机变量 的分布列如下表所示，若
，则 ( )
X 0 1
P
B
A. B. C. D.
【解析】易知，解得 ①，
若，此时 ②，
联立①②，解得， ，
则 ．
5.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给 组的某个
同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲
猜对成语的概率是，同学乙猜对成语的概率是 ，且规定猜对得1分，猜不对得0
分，则这两个同学各猜1次，两人得分之和 （单位：分）的均值为( )
A
A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1
【解析】由题意知 的可能取值为0，1，2，
，
，
．
．
6.［多选题］(2025·山东省临沂一中段考)两所高校举行强基自招考试，某同学参加
每所高校的考试获得通过的概率均为 ，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参
加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量 ，则( )
ABD
A.的可能取值为0,1 B. 服从两点分布
C. D.
【解析】由已知得 的可能取值为0,1，且服从两点分布．
，
，
， .
7.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕
业生得到甲公司面试通知的概率为，得到乙、丙两公司面试通知的概率均为 ，且
三个公司是否让其面试是相互独立的.记 为该毕业生得到面试通知的个数.若
，则 __.
【解析】,，易知随机变量 的可能的值为0，1，
2，3， ，
，
，
，
.
8.(2025·福建省福州市期中)甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、
乙各投篮一次.比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得 分；若甲未投中，
乙投中，甲得 分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分.当甲、
乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜；四轮比赛后，
若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局.
甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和，且互不影响.一轮比赛中甲的得分记为 .
（1）求 的分布列；
【答案】依题意，的所有可能取值为 ，0，1.
则 ，
，
，
所以 的分布列为
X 0 1
P 0.3 0.5 0.2
（2）记甲、乙一共进行了轮比赛，求 的分布列及期望.
【答案】 的所有可能取值为2，3，4.
，
，
，
所以 的分布列为
Y 2 3 4
P 0.13 0.13 0.74
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：40分钟
9.(2025·山东省枣庄市期末)若随机事件在一次试验中发生的概率为 ，
用随机变量表示在一次试验中发生的次数，则 的最小值为( )
A
A. B.0 C.1 D.3
【解析】由题意可得随机变量 的所有可能取值为0，1，且服从两点分布，
， ，
则， ，
则 ，当且仅当
，即 时取等号.
所以的最小值为 .
10.(2025·湖北省武汉市新洲区第一中学期末)袋中装有大小相同的3个红球和3个白球，
每次从中不放回地摸出一个球，直到3个红球全部摸出后就停止.设随机变量 表示停
止摸球时摸到白球的个数，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则 的可能取值为0，1，2，3.
则， ,
， .
则 .
11.(2025·山东省济南市开学考试)设，随机变量取值, ,
,,的概率均为，随机变量取值,,,, 的概率也均
为 ，则( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，
=，故 ，A,B错误；
设 ，
则
，（【另解】也可利用 求
解）
，
由，得，即 ，
其他同理，则有
. .
，
即 ，故C正确，D错误.
12.(2025·辽宁省大连市期中)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每
份10元的价格销售到某生鲜超市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当
天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能
够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜
超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销售量（单位：份），制成如下表格.
（注：,，且 ）
每天前8小时的销售量 15 16 17 18 19 20 21
频数 10 15 16 16 13
若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销
售有机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时， 的
取值集合为( )
A.，21， B.，25，28，
C.，26，27， D.，27，28，
【解析】设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为 ，购进18份有机蔬菜时利润为
，
则 的分布列如下
65 75 85
P
所以 .
的分布列如下
√
60 70 80 90
P
所以 ,
由题意知，，即,解得 ，
又且,，则且，即的取值集合为 ，27，
28， ．
13.［多选题］甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时
从甲、乙两盒中随机取出 个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球
个数的数学期望为， ，则下列结论正确的是( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知，用表示交换后甲盒子中的黑球个数， 表示交换后乙盒子中
的黑球个数，
当时， ,
,
,
因此 ，
，
所以， ，故A正确，C正确.
当时， ，
，
，
因此 ，
，
所以， ，故B错误，D正确．
故选 ．
14.新定义 条件期望(2025·四川省大数据精准教学联盟一模)条件概率与条件期望是
现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛地应用到日常
生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件 条件下的期望
为，其中,, ,为
的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“ ”都发生的概
率.某商场进行促销活动，在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概
率均为，某人在该商场消费了1 000元，共获得4次抽奖机会.设 表示
第一次抽中奖品时的抽取次数， 表示第二次抽中奖品时的抽取次数，则
___.
2
【解析】由题意可知 可取1,2,3，
所以 ，
，
.
又 ，（【另解】
）
所以
.
. .
15.某村积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销
售．现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式
的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了100
件作为样本检测其质量指标值（质量指标值越大，质量越好），检测结果如表1所示.
表1
指标区间
甲种生产方式 8 20 36 24 12
乙种生产方式 6 26 38 22 8
已知每件中药半成品的等级与纯利润（单位：元）间的关系如表2所示：
表2
指标区间
等级 二级 一级 特级
纯利润 30 50 100
将频率视为概率，解答下列问题．
（1）分别记利用甲种、乙种加工方式所加工的一件中药材半成品的利润为， ，
求, 的分布列；
【答案】由题意可得， 的所有可能取值为30，50，100，
, ,
，
故 的分布列为
X 30 50 100
P 0.28 0.36 0.36
同理可得， 的分布列为
Y 30 50 100
P 0.32 0.38 0.3
（2）从数学期望的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．
【答案】 （元），
（元），
，
村民选择甲种中药材加工方式获利更多．
C 培优练丨能力提升
16.(2025·广东省深圳市一模)新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项
中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0
分．正确答案为两项或三项，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三
项，每对一项得2分.
（1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判
断的概率如下表：
选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断
A 0.8 0.1 0.1
B 0.7 0.1 0.2
C 0.6 0.3 0.1
D 0.5 0.3 0.2
若此题的正确选项为 ，求学生甲答此题得6分的概率. ________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
设事件 表示“学生答此
题得6分”，即对于选项A，C作出正确判断，且对于选项B，D作出正确判断或判断
不了，
所以
（2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 ，正确答案是三
个选项的概率为 ．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两
种答题方案：Ⅰ随机选一个选项；Ⅱ随机选两个选项．
①若 ，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率；
【答案】记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则 ,
.
②以本题得分的数学期望为决策依据， 的取值在什么范围内选择方案Ⅰ更好？
【答案】对于方案Ⅰ，记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则 的所有可能取值为0，2，3，
则 ，
，
，
所以 .
对于方案Ⅱ，记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则 的所有可能取值
为0，4，6，
则 ，
，
，
所以 .
要使选择方案Ⅰ更好，则
解得，故的取值范围为 ．
第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 离散型随机变量的均值
1 定义
一般地，若离散型随机变量 的分布列为
…
…
则称 为随机变量 的均值或数学期望.
. .
2 意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取
值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
知识剖析
对离散型随机变量的均值的理解
1.均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数.
2.离散型随机变量的均值是一个数值，是随机变量 本身固有的一个数字特
征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
3.由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位.
4.两个随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;有相同均值的两个随机变量，
其分布未必相同； 两个随机变量的分布不同也可以有相同的均值.
随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别
随机变量的均值即总体均值，是一个常数，它不依赖于样本的抽取，在大量的
试验下，它总是稳定的，不具有随机性.而样本的平均值是一个随机变量，它随样本
的不同而变化．对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于
总体的均值.因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值.
3 性质
若与都是随机变量，且，则由与 之间分布列的关系可知
.
即 .
. .
知识延伸
特 例 均值 意义
常数的均值就是这个常数本身.
随机变量与常数之和的均值等于随机变量的均值与这个常
数的和.
常数与随机变量的乘积的均值等于这个常数与随机变量的
均值的乘积.
另外，对于随机变量,，我们还有如下结论：;如果 ,
相互独立，则 .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P66 T1（1）]离散型随机变量 的分布列为
1 2 3
则的数学期望 _ _.
【解析】 .
例1-2 [教材改编P65例3](2025·四川省广元市期中)一台机器生产一件甲等品可获利50
元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元.已知这台机器生产甲等品、
乙等品和次品的概率分别为,和 ，则这台机器每生产一件产品，平均预期可
获利____元.
37
【解析】设这台机器生产一件产品获利 元.易知随机变量 的分布列为
50 30
0.6 0.3 0.1
.
例1-3 [教材改编P67 T1（2）](2025·广东省广州市期中)已知离散型随机变量 的分
布列为
0 1
设，则的数学期望 ___.
0
【解析】由分布列的性质得,解得 .
，则
.
因为,所以 的分布列为
1 7
所以 .（一般都是利用性质求解）
知识点2 离散型随机变量的方差
1 定义
如果离散型随机变量 的分布列如下表所示.
…
…
则称
为随机变量 的方差.
有时也记为,并称为随机变量的标准差，记为 .
. .
知识剖析
方差公式的另一种表示
在方差的计算中，通过对其进一步的化简可得到另一种形式，在计算时也会用到.
.
. .
2 意义
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映
了随机变量取值的离散程度（或波动大小）．（方差或标准差越小，取值越集中；
方差或标准差越大，取值越分散）
知识剖析 离散型随机变量的方差与样本方差的区别与联系
离散型随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本的不同而
变化，是客观存在的;样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的.对于简单
随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差.
3 性质
若与都是离散型随机变量，且,则由与 之间分布列和均
值之间的关系可知
，即
.
知识延伸
. .
特例 方差 意义
常数的方差等于0.
随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同.
例2-4 [教材改编P70 T1](2025·福建省长乐第一中学月考)已知随机变量 的分布列为
1 2 3 4
则 _ ___.
【解析】 （利用方差的定义） 由分布列得
,
所以 .
利用 由分布列得
.
,
所以 .
（在实际做题时，我们一般采用方法1计算）
例2-5 (2025·广东省广州市期末)已知离散型随机变量的方差为1，则
( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】因为离散型随机变量的方差为1，所以 .
例2-6 (2025·陕西省咸阳市永寿县中学期末)若随机变量满足 ，则
( )
C
A.12 B. C.6 D.36
【解析】因为，所以 ，
故 .
知识点3 两点分布的均值与方差公式
若随机变量 服从两点分布,其分布列如下表所示,
0 1
则 ，
.
, .
. .
例3-7 若随机变量服从两点分布，且成功的概率，则____，
_____.
0.5
0.25
【解析】 服从两点分布，
，
.
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 离散型随机变量的均值、方差
例8 (2025·湖北省腾云联盟联考)若随机变量 的分布列为
0 1 2
若，且，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】依题意，,即 ，
因为，所以,1,4,所以,, ，
则 ，
由解得
所以 .
例9 (2025·江苏省七校联考)若离散型随机变量 的分布列为
0 1 2
且，当取最小值时，随机变量的方差 等于___.
【解析】根据所给分布列，可得, ,
则 （转化为一元二次函数求最值）,
易知当时，取得最小值,为 ，
（函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值）
此时, .
.
. .
例10 (2025·吉林省四平市期中)某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：
滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的
部分按1小时计算）.甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时
离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为， ；两人滑雪
时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
【解析】两人所付费用相同，相同的费用可能为0元（不超过1小时是免费的），40
元，80元.
两人都付0元的概率 ，
两人都付40元的概率 ，
两人都付80元的概率 .
则两人所付费用相同的概率为 .
. .
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求 的分布列
与期望，方差 .
【解析】 的所有可能取值为0，40，80，120，160.
则 ，
，
，（三种情况：甲付费0元，乙付费80元；甲、
乙各付费40元；甲付费80元，乙付费0元）
，
. .
.
随机变量 的分布列为
0 40 80 120 160
，
.
求离散型随机变量 的均值与方差的步骤
【学会了吗丨变式题】
1.新考法 开放探究 (2025·北京市顺义区期末)已知随机变量 的分布列为
0 1 2 3
若，，成等差数列，则_ _；写出符合条件的 的一个值为__________
_______________.
2
（答案不唯一）
【解析】由题意得且，解得 ，
则 ，
因为,，，所以 ，
所以，可取 .
2.随机变量 的分布列为
1 2
已知,,则 ___.
3
【解析】根据分布列的性质，可知 .
由，得 ①.
由 ，得
②.
化简得 ,
把①代入得，故 .
3.(2026·湖北省荆州中学月考)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从
中不放回地随机取球，若标有数字和 的球均已被取出，则停止
取球．记为取出的球的个数，则 _ __．
【解析】当时，,；当时，,；当
时，, .
由题意知，当标有数字1,2或者3,4或者5,6的球均已被取出时，则停止取球（三对球
，，中的任意一对被取出时，就停止取球），所以 的可能取值是
2,3,4，
， ，
，
所以 的分布列为
2 3 4
.
题型2 均值与方差性质的应用
例11 (2025·辽宁省抚顺市六校协作体联考)已知离散型随机变量 的分布列如下表所
示，则( )
2 4 7
A
A.， B.，
C.， D.，
【解析】由分布列的性质可得，解得 ，
则 ，
，
所以， ．
例12 (2025·山东省临沂市期末)已知离散型随机变量的分布列如下，若 ，
则 ( )
0 2
A
A. B. C. D.
【解析】由分布列的性质可得,解得 .
由得，即 ，
则，解得 .
因为 ，
所以 .
例13 已知,两个投资项目的利润率分别为随机变量和.根据市场分析,和
的分布列如下.
0.8 0.2
0.2 0.5 0.3
（1）在,两个项目上各投资100万元,和分别表示投资项目和 所获得的利润,
求和 .
【解析】由题易知和 的分布列如下,
（找出与，与的关系，即， ）
5 10
0.8 0.2
2 8 12
0.2 0.5 0.3
则 ,
.
,
.
（2）用万元投资项目,万元投资项目,表示投资 项目
所得利润的方差与投资项目所得利润的方差之和,求的最小值,并求出此时 的值.
【解析】 .
当时, 取得最小值,最小值为3.
求线性关系的随机变量 的均值和方差的方法
（1）定义法：先列出 的分布列，再求均值和方差．
（2）性质法：直接套用公式， ，
，求解即可．
注意：在随机变量 的均值比较好计算的情况下，运用关系式
不失为一种比较实用的方法．
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·浙江省台州市期中)已知随机变量 的概率分布为， ，2，
3，则 ( )
D
A. B. C.2 D.
【解析】由随机变量 的概率分布可得 ,
,
则 .
5.(2025·山东省安丘市第一中学月考), 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队
员，队队员是，，，队队员是，， ，按以往多次比赛的统计，对
阵队员之间胜负概率如下.
对阵队员
按表中的对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设三场后队、 队最后所得总
分分别为随机变量， .
（1）求， 的分布列；
【答案】由题意知， 的可能取值均为3,2,1,0.
,
,
,
.
的分布列为
0 1 2 3
根据题意得 ,
, ,
, ,
的分布列为
0 1 2 3
（2）求和 .
【答案】由（1）可得 .
，， .
题型3 均值、方差在决策问题中的应用
母题 致经典·母题探究
图7.3-1
例14 (2025·上海市行知中学调研)某公司计划购买
2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一
易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零
件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备
件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器
时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了
100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，
得下面柱状图（如图7.3-1）：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，
记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数, 表示购买2台机器的同时购买的易损
零件数.
（1）求 的分布列；
【解析】由题图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数可能
为8，9，10，11，相应的概率分别为,,,， 的所有可能取值为
16,17,18,19,20,21,22.
;
2 ;
. .
，因此应乘2
;
;
;
;
.
所以 的分布列为
16 17 18 19 20 21 22
0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
（2）若要求，确定 的最小值；
【解析】由（1）知,,故 的最小值为19.
（根据分布列的数据确定 的最小值）
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与 之中选其一，
应选用哪个？
【解析】记 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当 时，
500
（备件不足再购买时，每个是500元）
.
当 时，
.
可知当时所需费用的期望值小于当 时所需费用的期望值，故应选
.
. .
. .
. .
命题探源 数学期望在决策型问题中的应用
数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平.随着
社会的进步和经济的发展，数学期望在日常生活中和经济活动中的运用越来越广，
如个人的采购，投资风险分析，企业的生产和经营方案等，经常需要对事物的进展
情况进行决策，以便用最有利的方式来采取行动.人们常把数学期望作为决策参考的
重要依据，应用数学期望讨论某些经济问题，从而得到一些有意义的结论.
离散型随机变量的分布列及期望的应用是历年高考考查的重点，特别是与统计内容
结合的试题，背景新颖，与实际生活联系紧密.
子题
子题1 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方
图如图 7.3-2（1）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条
形图如图 7.3-2（2）所示．
图7.3-2
（1）试估计该河流在8月份水位的中位数.
【解析】频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是,,,,, ，
设8月份水位的中位数为，则 ，
，
解得 ．（常用此方式求中位数）
月份水位的中位数为37.5．
（2）以频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率.
【解析】设该河流8月份水位小于40米为事件，水位在40米至50米为事件 ，水位
大于50米为事件 ，
，
，
．
设发生1级灾害为事件 ，
由条形图可知，，， ，（注意该图与频率
分布直方图的区别）
，
，
．
（3）该河流域某企业在8月份若没受1,2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害
影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响，则亏损1 000万元．现此企业有如下三种
应对方案：
方案 防控等级 费用/万元
方案一 无措施 0
方案二 防控1级灾害 40
方案三 防控2级灾害 100
试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．
【解析】由（2）可知8月份该河流发生1级灾害的概率为 ，发生2级灾害的概率
为 ，不发生灾害的概率为
.
设第种方案的企业利润为 ，
若选择方案一，则的取值可能为500，，， ，
，
．
的分布列为
500
0.81 0.155 0.035
（万元）.
若选择方案二，则的取值可能为460， ，
且 ，
．
的分布列为
460
0.965 0.035
（万元）
若选择方案三，则不会受任何灾害影响，
该企业8月份的平均利润 （万元）．
最大，
从利润考虑，该企业应选择第二种方案．
子题2 五一劳动节前夕，某公司为全体员工发放奖励，奖励拟采用抽签方式发放，
每位员工分别从标有面值的4张卡片中随机取出2张，2张卡片上的面值之和即为该员
工的奖励金额．
（1）若4张卡片上的面值分别为100元、100元、300元、500元．
①求每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率；
【解析】若每位员工所获得的奖励金额不低于500元，则抽取的2张卡片上的面值分
别为500元、300元或500元、100元，
所以每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率为 ．（注意有2张卡片面
值为100元）
②记每位员工所获得的奖励金额为元，求 的分布列与期望.
【解析】由题意，得 的所有可能取值为200,400,600,800，
则， ，
， ，
所以 的分布列为
200 400 600 800
．
（2）现面值有100元、200元、300元、400元、500元，选取其中的3个作为4张卡片
上的面值.相较于（1）中的面值，如何选择可以使得每位员工所获得的奖励金额的
期望值不变，且奖励金额更加均衡（只需给出一种方案并说明理由即可）？
【解析】可以选择4张卡片上的面值分别为100元、200元、200元、500元.设按照此
方案，每位员工所获得的奖励金额为元，则 的所有可能取值为300,400,600,700，
则， ，
， ，
所以 的分布列为
300 400 600 700
，
所以 ．
因为 ，
， ，
所以4张卡片上的面值分别为100元、200元、200元、500元时，此方案可以使每位员
工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额更加均衡．
期望和方差在决策问题中的应用思路
离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散
型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在利用期望和方差的意
义去分析、解决实际问题时，两者都要分析．
注意：至于实际应用中是方差大了好还是方差小了好，要看这组数据反映的实际问
题，如在机器生产的零件质量与标准件的误差问题上，应该是方差越小越好；在挑
选人员参加比赛的问题上，通常既要考虑人员平时的水平，也要考虑人员发挥的潜
能与后劲.
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·山东省邹城市第一中学月考)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有， 两类
问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，
若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题
回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. 类问题中的每个问题回答正确得20分，
否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为 ，且能
正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求 的分布列；
【答案】由题意得， 的所有可能取值为0,20,100,
,
,
,
所以 的分布列为
0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】当小明先回答 类问题时，由（1）可得
当小明先回答类问题时，记为小明的累计得分，则 的所有可能取值为0，80，
100，
,
,
,
所以 的分布列为
0 80 100
0.4 0.12 0.48
.
因为，即 ,
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 类问题.
新考法·学科融合
例15 生物综合 微生物繁殖(新高考全国Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断
生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖
后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 表示1
个微生物个体繁殖下一代的个数， .
（1）已知，，，，求 ；
【解析】由题意，,,, ,
的分布列为
0 1 2 3
0.4 0.3 0.2 0.1
.
（2）设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于 的方程
的一个最小正实根，求证：当时， ，当
时， ；
给什 么得 什么
求什 么想 什么
差什 么找 什么
【解析】记 ，
由题知，为的正实根，由 ，
得 .
记 ，
则 ,
.
当时, ,
所以当时, 无实根.
所以在上有且仅有一个实根，即 ，
所以当时， .
当时，,又, 的图象开口向上，
所以在上有唯一实根 ,
所以的最小正实根 ,
所以当时， .
（3）根据你的理解说明第（2）问结论的实际含义.
【解析】 ，表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数
量无法维持稳定或正向增长，多代繁殖后将面临灭绝，所以 .
,表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可以
正向增长，所以不一定面临灭绝，所以 .
素养提升
本题旨在培养学生的抽象能力及分析能力，符合国家对高中生数学核心素养的总体
要求.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节内容为高考常考内容,往往以分布列为载体,先求离散型随机变量的分布列,再求
离散型随机变量的均值、方差,有时也会考查对均值、方差的理解以及利用计算出的
均值作出决策或判断.多以解答题的形式出现,偶尔以选择题、填空题的形式出现，难
度中等或中等偏上.
核心素养：数学运算（求期望、方差等）,逻辑推理（概率模型的选择、作出决策或
判断等），数据分析（通过分析题目中给出的数据解题）.
考向1 均值与方差的相关计算
例16 (2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3
张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则___, ___.
【解析】由题意知 .
的可能取值为1,2,3,4，
， ，
，
所以 的分布列为
1 2 3 4
.
例17 (2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目
胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠
军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，， ，各项目的比赛结果相
互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
【解析】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,, ，所以甲学校获得冠军的概率
为 .
（2）用表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望.
【解析】依题可知， 的可能取值为0,10,20,30，所以
，
，
，
．
即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 ．
素养探源 素养 考查途径
数学运算 概率的求解，数学期望的计算.
逻辑推理 判断离散型随机变量的取值.
数据分析 由题干信息提取数据，制作分布列.
变式探源 (2024·北京)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保
险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据
如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四
次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率.
【解析】 （直接法） 记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件 ，
由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4，
所以 .
（间接法） 记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件 ，
则 .
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望 ;
【解析】由题知的所有可能取值为，，，， ，
则 ，
，
，
，
,
故 .
（ii）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加 ,试比较这种情
况下一份保单毛利润的数学期望估计值与中 估计值的大小.（结论不要求证明）
【解析】如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加 ，这种情
况下一份保单毛利润的数学期望估计值比中 估计值大.
证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润（单位：万元）为 ,则
对于索赔次数为0的保单， ,
对于索赔次数为1的保单， ,
对于索赔次数为2的保单， ，
对于索赔次数为3的保单， ，
对于索赔次数为4的保单， ，
故 .
所以 .
考向2 均值与方差的应用
例18 (2024· 新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比
赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被
淘汰，比赛成绩为0分;若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一
名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的
得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为 ，
各次投中与否相互独立.
（1）若， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少
于5分的概率.
【解析】第1步：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率
设“甲、乙所在队进入第二阶段”，则 .
第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的概率
设“乙在第二阶段至少得5分”，则
第3步：计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率
设“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则 .
（2）假设 .
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛
【解析】第1步:计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率
设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为 ，
则 .
第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为 ，
则 .
第3步：比较与 的大小
则 ,
由，得， ，
所以，即 .
第4步：做决策
故应该由甲参加第一阶段比赛.
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛
【解析】第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望
若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩 的所有可能取值为0,5,10,15.
，
，
,
,
所以 .
第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩 的所有可能取值为0，5，
10,15.
同理，可得 .
第3步：比较与 的大小
，
由，得， ，
所以,即 .
第4步：做决策
故应该由甲参加第一阶段比赛.
高考新题型专练
1.[多选题](2025·山东省名校考试联盟期中)
随机变量 的分布列为
1 2 3
则下列说法正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】由题意可知，，解得 ，
可得随机变量 的分布列为
1 2 3
对于选项A， ，故A正确；
对于选项B， ，故B正确；
对于选项C，因为 ，所以
，故C错误；
对于选项D，因为 ，
即，解得，故D正确.故选 .
2.［多选题］(2025·江苏省扬州中学月考)已知随机变量 的分布列为
则下列说法不正确的是( )
ABD
A.存在，，使得
B.对任意，，都有
C.对任意，，都有
D.存在，，使得
【解析】由题意可得,,，且,，即 .则
.
设，，函数图象开口向下，又 ,
，故，即，不存在，，使得 ，A
错误；
当,时，，即存在，，使得 ，B错误；
，
则 ，
故对任意，，都有 ，C正确；
令，则，设， ，函数图象开口向下，
且,，故，即，不存在 ，
，使得，D错误.故选 .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.设随机变量的分布列为，则 ( )
A
A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2
【解析】 .
2.(2025·重庆市外国语学校期中)已知随机变量满足， ，
则( )
C
A., B.,
C., D.,
【解析】,, ,
．
3.(2025·广东省清远市期中)袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记
为号的有个．现从袋中任取一球，表示所取到球的标号，则
( )
D
A.2 B. C. D.
【解析】由题意，可知 的所有可能取值为0,1,2,3.
，，， .
.
4.(2025·山东省东明县第一中学月考)已知随机变量 的分布列如下表所示，若
，则 ( )
X 0 1
P
B
A. B. C. D.
【解析】易知，解得 ①，
若，此时 ②，
联立①②，解得， ，
则 ．
5.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给 组的某个
同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲
猜对成语的概率是，同学乙猜对成语的概率是 ，且规定猜对得1分，猜不对得0
分，则这两个同学各猜1次，两人得分之和 （单位：分）的均值为( )
A
A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1
【解析】由题意知 的可能取值为0，1，2，
，
，
．
．
6.［多选题］(2025·山东省临沂一中段考)两所高校举行强基自招考试，某同学参加
每所高校的考试获得通过的概率均为 ，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参
加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量 ，则( )
ABD
A.的可能取值为0,1 B. 服从两点分布
C. D.
【解析】由已知得 的可能取值为0,1，且服从两点分布．
，
，
， .
7.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕
业生得到甲公司面试通知的概率为，得到乙、丙两公司面试通知的概率均为 ，且
三个公司是否让其面试是相互独立的.记 为该毕业生得到面试通知的个数.若
，则 __.
【解析】,，易知随机变量 的可能的值为0，1，
2，3， ，
，
，
，
.
8.(2025·福建省福州市期中)甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、
乙各投篮一次.比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得 分；若甲未投中，
乙投中，甲得 分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分.当甲、
乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜；四轮比赛后，
若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局.
甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和，且互不影响.一轮比赛中甲的得分记为 .
（1）求 的分布列；
【答案】依题意，的所有可能取值为 ，0，1.
则 ，
，
，
所以 的分布列为
X 0 1
P 0.3 0.5 0.2
（2）记甲、乙一共进行了轮比赛，求 的分布列及期望.
【答案】 的所有可能取值为2，3，4.
，
，
，
所以 的分布列为
Y 2 3 4
P 0.13 0.13 0.74
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：40分钟
9.(2025·山东省枣庄市期末)若随机事件在一次试验中发生的概率为 ，
用随机变量表示在一次试验中发生的次数，则 的最小值为( )
A
A. B.0 C.1 D.3
【解析】由题意可得随机变量 的所有可能取值为0，1，且服从两点分布，
， ，
则， ，
则 ，当且仅当
，即 时取等号.
所以的最小值为 .
10.(2025·湖北省武汉市新洲区第一中学期末)袋中装有大小相同的3个红球和3个白球，
每次从中不放回地摸出一个球，直到3个红球全部摸出后就停止.设随机变量 表示停
止摸球时摸到白球的个数，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则 的可能取值为0，1，2，3.
则， ,
， .
则 .
11.(2025·山东省济南市开学考试)设，随机变量取值, ,
,,的概率均为，随机变量取值,,,, 的概率也均
为 ，则( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，
=，故 ，A,B错误；
设 ，
则
，（【另解】也可利用 求
解）
，
由，得，即 ，
其他同理，则有
. .
，
即 ，故C正确，D错误.
12.(2025·辽宁省大连市期中)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每
份10元的价格销售到某生鲜超市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当
天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能
够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜
超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销售量（单位：份），制成如下表格.
（注：,，且 ）
每天前8小时的销售量 15 16 17 18 19 20 21
频数 10 15 16 16 13
若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销
售有机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时， 的
取值集合为( )
A.，21， B.，25，28，
C.，26，27， D.，27，28，
【解析】设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为 ，购进18份有机蔬菜时利润为
，
则 的分布列如下
65 75 85
P
所以 .
的分布列如下
√
60 70 80 90
P
所以 ,
由题意知，，即,解得 ，
又且,，则且，即的取值集合为 ，27，
28， ．
13.［多选题］甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时
从甲、乙两盒中随机取出 个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球
个数的数学期望为， ，则下列结论正确的是( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知，用表示交换后甲盒子中的黑球个数， 表示交换后乙盒子中
的黑球个数，
当时， ,
,
,
因此 ，
，
所以， ，故A正确，C正确.
当时， ，
，
，
因此 ，
，
所以， ，故B错误，D正确．
故选 ．
14.新定义 条件期望(2025·四川省大数据精准教学联盟一模)条件概率与条件期望是
现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛地应用到日常
生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件 条件下的期望
为，其中,, ,为
的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“ ”都发生的概
率.某商场进行促销活动，在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概
率均为，某人在该商场消费了1 000元，共获得4次抽奖机会.设 表示
第一次抽中奖品时的抽取次数， 表示第二次抽中奖品时的抽取次数，则
___.
2
【解析】由题意可知 可取1,2,3，
所以 ，
，
.
又 ，（【另解】
）
所以
.
. .
15.某村积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销
售．现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式
的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了100
件作为样本检测其质量指标值（质量指标值越大，质量越好），检测结果如表1所示.
表1
指标区间
甲种生产方式 8 20 36 24 12
乙种生产方式 6 26 38 22 8
已知每件中药半成品的等级与纯利润（单位：元）间的关系如表2所示：
表2
指标区间
等级 二级 一级 特级
纯利润 30 50 100
将频率视为概率，解答下列问题．
（1）分别记利用甲种、乙种加工方式所加工的一件中药材半成品的利润为， ，
求, 的分布列；
【答案】由题意可得， 的所有可能取值为30，50，100，
, ,
，
故 的分布列为
X 30 50 100
P 0.28 0.36 0.36
同理可得， 的分布列为
Y 30 50 100
P 0.32 0.38 0.3
（2）从数学期望的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．
【答案】 （元），
（元），
，
村民选择甲种中药材加工方式获利更多．
C 培优练丨能力提升
16.(2025·广东省深圳市一模)新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项
中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0
分．正确答案为两项或三项，若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三
项，每对一项得2分.
（1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判
断的概率如下表：
选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断
A 0.8 0.1 0.1
B 0.7 0.1 0.2
C 0.6 0.3 0.1
D 0.5 0.3 0.2
若此题的正确选项为 ，求学生甲答此题得6分的概率. ________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
设事件 表示“学生答此
题得6分”，即对于选项A，C作出正确判断，且对于选项B，D作出正确判断或判断
不了，
所以
（2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 ，正确答案是三
个选项的概率为 ．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两
种答题方案：Ⅰ随机选一个选项；Ⅱ随机选两个选项．
①若 ，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率；
【答案】记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则 ,
.
②以本题得分的数学期望为决策依据， 的取值在什么范围内选择方案Ⅰ更好？
【答案】对于方案Ⅰ，记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则 的所有可能取值为0，2，3，
则 ，
，
，
所以 .
对于方案Ⅱ，记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则 的所有可能取值
为0，4，6，
则 ，
，
，
所以 .
要使选择方案Ⅰ更好，则
解得，故的取值范围为 ．