7.4 二项分布与超几何分布 课件(共129张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.4 二项分布与超几何分布 课件(共129张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 10:25:59 | ||
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文档简介
(共129张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 重伯努利试验与二项分布
1 重伯努利试验的概念
名称 定义 示例
伯努利试 验 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试 验. 抛掷一枚质地均匀的
硬币1次.
抛掷一枚质地均匀的
硬币1 000次.
知识剖析
重伯努利试验的特征
（1）同一个伯努利试验重复（重复意味着各次试验成功的概率相同）做 次;
（2）各次试验的结果相互独立.
. .
2 重伯努利试验的概率公式
一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生 次,共
有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在 次试验中发生，而在其余
次试验中不发生的概率都是，所以由概率加法公式知,在 重伯
努利试验中，事件恰好发生次的概率为 .
特别提醒 使用公式时一定要明确该公式中各量表示的意义:
3 二项分布的概念
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为 ,
用表示事件发生的次数，则的分布列为, ,1,2,
, .即
0 1 … …
… …
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量 服从二项分布，记作
.
知识剖析
判断二项分布的关键点
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件.
①对立性：在一次试验中，事件 发生与否必居其一.
②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件 发生的概率都是同一常
数 .
的取值从0到 ,中间不间断.
二项分布与两点分布的关系
两点分布是一种特殊的二项分布,即 时的二项分布,所以二项分布可以看成
是两点分布的一般形式,二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布.
. .
4 二项分布与二项式定理间的联系
（1）二项分布的公式,,1,2, ,中，若把 看
成，看成，则有，且,,1,2, , 就是二项式定
理中 展开式的通项.
（2）根据二项式定理,
.
因为,所以 ,
即分布列,,1,2, , 满足性质
.
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P72思考]判断下列试验是否为 重伯努利试验.
（1）袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1球，记下颜
色后放回，连续取球10次；
【解析】是 重伯努利试验.因为每次试验的条件相同，且每次试验的结果互不影响，
同一事件在每次试验中发生的概率也相同.
（2）袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1球，不放回，
连续取球10次.
【解析】不是 重伯努利试验.因为每次试验的条件不同（每次取球后不放回，每次
取球与上次取球时袋中球的数目不同），并且每次试验中同一事件发生的概率不同.
例如，第一次取到红球的概率为 ，若第一次取到红球，则第二次再取到红球的
概率是；若第一次取到白球，则第二次取到红球的概率为 ，
即在上述两次试验中，取到红球的概率不同，故（2）不是 重伯努利试验.
例1-2 [教材改编P77 T3]［多选题］下列例子中随机变量 服从二项分布的有
( )
AC
A.表示重复抛掷一枚骰子 次中出现点数是3的倍数的次数
B.某射手击中目标的概率为, 表示从开始射击到击中目标所需次数
C.有一批产品共有件,其中件为次品,采用有放回抽取方法，表示 次抽取中出现
次品的件数
D.有一批产品共有件,其中件为次品,采用不放回抽取方法，表示 次抽取中出现
次品的件数
【解析】对于A,设事件为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则 ,则在
重伯努利试验中事件恰好发生了 次的概率
,符合二项分布的定义,即有.对于B, 的取值
是1,2,3, ,, ,显然不符合二项分布的定义,
因此 不服从二项分布.选项C与D的区别是:C是“有放回”抽取,而D是“无放回”抽取,显
然D中次试验是不独立的,因此不服从二项分布,对于C， 显然服从二项分布，且
.
例1-3 某学生回家途中共有3个十字路口，在每个十字路口遇到红灯的概率均为 ，
假设在各个十字路口遇到红灯的事件是相互独立的，用 表示这名学生回家途中遇到
红灯的次数，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】根据题意，
．
知识点2 超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取 件
（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则 的分布列为
,,，， ,.其中,,,, ,
,,, .
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 服从超几何分布.
知识剖析
超几何分布公式的推导
若事件表示“从含件次品的件产品中任取件，其中有 件次品”这一
随机事件.事件“从件产品中任取件”共有个样本点，其中恰有 件次品，则必有
件非次品，因此事件中含有 个样本点，由于任一样本点是等
可能出现的，所以由古典概型的概率计算公式可知 .（本质上还是
某一事件在随机试验中发生的次数与试验总次数的比值）
. .
怎样理解是与 中的较小者？
在超几何分布中，确定 的可能取值
的关键是确定它的最小值和最大值，具体
如下：
注意：在超几何分布中，随机变量
的最大值未必是次品件数 ,当抽取的产
品的件数不大于总体中次品的件数
即时,;当抽取的产品的件数
大于总体中次品的件数即时, .故的最大值是与 中的较小者. 同
理，可推测 的取值规律.
例2-4 ［多选题］(2025·陕西省西安市周至县第三中学月考)下列随机事件中的随机
变量 服从超几何分布的是( )
BD
A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为
C.某射手的命中率为，现对目标射击1次，记命中目标的次数为
D.盒中有4个白球和3个黑球，从中一次性摸出5个球，记摸出的黑球个数为
【解析】由超几何分布的定义可知选项B，D中的随机变量 服从超几何分布，A中
随机变量服从二项分布，C中随机变量服从两点分布，故选 .
【想一想丨问题质疑】
从此题，你能观察出超几何分布概率模型的特点吗？
提示 （1）总体中含有两类不同的个体;
（2）不放回抽取，且无先后顺序;
（3）随机变量的取值是指从总体中所抽取的 个个体中某一类个体的数量.
例2-5 [教材改编P80练习T1](2025·辽宁省建平县实验中学月考)学校要从5名男教师
和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为 ，则
__.
【解析】由题意知，服从参数为,, 的超几何分布，
因此 .
知识点3 二项分布、超几何分布的均值、方差公式
均值公 式 方差公式
下面仅对二项分布与超几何分布的均值公式进行证明.
证明 （1）如果服从参数为,的二项分布，即，且 ,则
.
（2）如果服从参数为，, 的超几何分布，由随机变量均值的定义，令
,,, ,
有 .
因为 ,
所以 .#1.1.2.3
例3-6 (2025·山西省实验中学期中)若随机变量，则 ( )
C
A.4.8 B.2.4 C.9.6 D.8.6
【解析】因为随机变量 ，
所以 ，
所以 .
例3-7 已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，若
表示取得白子的个数，则的均值 __.
【解析】 随机变量的取值为0，1，2，则 ,
,
.
所以 .
由题意知，随机变量服从超几何分布，其中，， ，则
由超几何分布的均值公式知 .
释疑惑 重难拓展
知识点4 二项分布与超几何分布的辨析
1 建立模型
袋子中有大小相同的个球，其中有个红球、个白球，令，设
表示摸出的 个球中红球的个数，则：
摸球方式
放回摸球
不放回摸球
2 二项分布与超几何分布的联系与区别
（1）由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，放回摸球是
二项分布，不放回摸球是超几何分布.
（2）对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明
超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近.
教材深挖
本知识点是对教材第79页[例6]的深挖.
（3）对于不放回摸球，当充分大，且远远小于 时，各次抽样结果彼此影响
很小，可近似认为是独立的.此时，超几何分布可以用二项分布近似.从方差的角度看，
由于 ，两个分布的方差也近似相等.
（4）在确定分布列时，超几何分布必须同时知道和 ，而二项分布只需要知
道 即可.
例4-8 [教材改编P79例6]某批件产品的次品率为 ，现在从中随机抽出2件进行检
验，问：当，， 时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽
到1件次品的概率各是多少？精确到
【解析】当 时，若放回抽取，则是二项分布，抽到的2件产品中恰有1件次
品的概率为 ；若不放回抽取，则是超几何分布，100件产
品中次品数为1，正品数是99，从100件产品里抽2件，恰有1件次品的概率为
.
当 时，若放回抽取，则抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为
；若不放回抽取，则从1 000件产品里抽2件，恰有1件次
品的概率为 .
当 时，若放回抽取，则抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为
；若不放回抽取，则从10 000件产品里抽2件，恰有1件
次品的概率为 .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 二项分布的概率计算及均值、方差问题
1 概率计算
例9 新考法 学科综合[教材改编P81 T5](2025·陕西省西安市第八十五中学月考)唐代
诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮
水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已
知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为 ，则该地在该季节连续三天内，
至少有两天出现大潮的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮的概率为 ，
有三天出现大潮的概率为 ，
所以至少有两天出现大潮的概率为 .
例10 (2025·江苏省无锡市期中)设随机变量， ，若
，则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为随机变量 ,
所以 ,
解得,所以 ,
则 .
例11 (2025·山东省枣庄市期中)有四道选择题，某同学答对其中每道题的概率都是 ，
且解答各题之间互不影响.已知答对一题得5分，不答或答错一题得0分.求该同学答完
这四道题的最终得分 的分布列.
【解析】该同学解答四道选择题，相当于进行了四次独立重复试验，设该同学答完
这四道题时答对的题数为，则随机变量服从二项分布，即 ,
（用的概率分布即得 的分布列）
则 ，
即 ，
，
，
，
. .
.
由知，的所有可能取值为0,5,10,15,20,故该同学答完这四道题的最终得分
的分布列为
0 5 10 15 20
2 均值、方差的求解
例12 若离散型随机变量，且，，则 ___.
【解析】因为离散型随机变量 ,
所以解得
所以 .
例13 (2025·安徽省淮南市期中)将一个半径适当的小球放入如图7.4-1所示的容器最上
方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物，最后落入
袋或袋中.已知小球每次遇到障碍物时，向左右两边下落的概率分别是 .
图7.4-1
（1）求小球落入 袋中的概率；
【解析】易知 .
（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球的个数.求 的分布
列、期望和方差.
【解析】由（1）知 ,则
（“小球落入袋中”和“小球落入 袋中”是对立事件），
由题意知 ,
， ,1，2，3，4，
则 的分布列为
0 1 2 3 4
， .
. .
【解析】记“小球落入袋中（小球落入 袋当且仅当小球一直向左下落或一直向右
下落时发生）”为事件, “小球落入袋中”为事件 .
. .
二项分布的应用
1.二项分布的简单应用是求重伯努利试验中事件恰好发生 次的概率.解题的一般
思路是：根据题意设出随机变量 分析出随机变量服从二项分布 确定参数,
写出二项分布的分布列 将 值代入求解概率.
2.二项分布的有关问题中，求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率,实质是
求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和或者利用对立
事件求概率.
3.若随机变量不服从二项分布，看能否找出与之相关联的，并且服从二项分布的另
一个随机变量，进而求解.
【学会了吗丨变式题】
图7.4-2
1.[教材改编P74例2]［多选题］(2025·福建省莆田第一中学入学考
试)如图7.4-2是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排相
互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙
作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落
过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落
入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5，用 表示
小球最后落入格子的号码，则下面计算正确的是( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】设“向右下落”，则“向左下落”， ，因为小球最后落
入格子的号码等于事件 发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所
以 ，
对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D正确.
题型2二项分布之概率最大问题
例14 某一批产品的合格率为 ，那么在取出的20件产品中，最有可能有几件产品
合格？
【解析】设在取出的20件产品中，合格产品有件，则 ，
教材深挖
该题型是教材第81页【探究与发现】的体现.
于是恰好有件产品合格的概率为 且
.
且 .（目的是比较比值与1的大小关系）
于是当时， ，
当时， ，
.
由以上分析可知，在取出的20件产品中，合格品有19件的概率最大，即最有可能有
19件合格品.
. .
当 取最大值时，
即
整理得解得 ，
又， .
故在取出的20件产品中，最有可能有19件产品合格.
例15 (2025·吉林省长春市东北师大附中月考)某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，
应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取
的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为 ，答对面
试每道题的概率为 ．假设每道题都是相互独立的，则甲得_____分的概率最大．
120
【解析】设应聘者答对的笔试备选题个数为，答对的面试备选题个数为 ，且答对
道笔试备选题和 道面试备选题的概率最大，
则 ，
由
得
解得,又，所以 .
,易知时， 最大（
中， 最大）.
故甲得分为 的概率最大．
. .
二项分布之概率最大问题的求解思路
如果，其中，求取得最大值时对应的 值，一般是考查
与1的大小关系.
由,求出的取值区间，此区间即为 的单调递增区间，它的补集
即为 的单调递减区间.
因为 ，所以要使
,则 .故有：#1.1.3
（1）若,则时 取得最大值；
（2）若是不超过的正整数，则当或 时，
取得最大值；
（3）若是不超过的非整数，则当 表示不超过
的最大整数）时 取得最大值.
说明：也可以用 来求，还可以考虑用不等式组
来求.#1.1.7
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·福建省泉州市期末)若，则 取得最大
值时， ______.
6或7
【解析】由题意知， 服从二项分布，
所以 ,
且 .
由不等式且 ，
得,解得 .
所以当时， ；
当时， .
当且仅当时， ，
所以当或时， 取得最大值.
3.(2025·湖南省G10教育联盟期中)为研究不同性别学生对 应用程序的了解情
况，某学校分别抽取男生和女生各50名进行调查，设事件“了解”，
“学生为女生”，且， ，现从全校的学生中随机抽取40名学生，
设其中了解的学生的人数为，则当 取得最大
值时, ( )
C
A.16 B.17 C.18 D.19
【解析】已知抽取男生和女生各50名，所以 .
又， ，
所以 ，
.
全校学生数量较大，可近似认为 .
令解得，因为 ，所以当
时， 取得最大值.
题型3 超几何分布的概率计算及均值、方差问题
1 概率计算
图7.4-3
例16（1）传统文化 算盘(2025·天津市第二十中学期中)如
图7.4-3，算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，
梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠
中任取3颗，记上珠的个数为，则 __．
【解析】由题意知， 的所有可能取值为0，1，2，则
．
（【另解】 ）
（2）(2025·江苏省南京市雨花台中学期中)盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先
从盒中随机抽取4个，则下列事件概率是 的是( )
B
A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是坏的 D.至多有2个是坏的
【解析】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.
抽取4个玩具，计算各选项概率如下.
恰有1个坏的： ；
4个全是好的： ；
恰有2个坏的： ；
至多2个坏的（【另解】）： .
综上，只有选项B中事件的概率为 .
. .
2 均值、方差的求解
例17（1）(2025·辽宁省沈阳市重点高中联合体期中)袋中有大小、形状完全相同的8
个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放
回，设取到白球的个数是，且，则 ( )
C
A.3 B.4 C.5 D.8
【解析】 的可能取值为0,1,2,3，
， ，
， ，
则 ，
所以 ．
（2）(2025·广西钦州市期末)某袋中装有大小相同、质地均匀的黑球和白球共5个.从
袋中随机取出3个球，已知不全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为 ，
则 _ __.
【解析】设袋中黑球个数为，则白球个数为 ，
则，故，则 的可能取值为1,2,3，
， ，
.
故，（【另解】随机变量服从参数为 ，
，的超几何分布，所以 ）
.
超几何分布的特征
满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成，如男生、女生；正
品、次品；优、劣等.判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量是
否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体（共有 个）内含有两种不
同的事物（有个），（有个），任取个，其中恰有个 ．符合以上特
征即可断定随机变量服从超几何分布．
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·山东省青岛第三十九中学期末)已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒
产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正
品的条件下，另一个为次品的概率为__.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再
从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为___.
【解析】设事件为“从甲盒中取出的2件产品中至少有一个为正品”，事件 为“从甲
中取出的2个产品中有一个为次品”，
则，，所以 .
设事件为“从乙盒中取出的这个产品是正品”，事件 为“从甲盒中取出两个正品”，
事件为“从甲盒中取出一个正品、一个次品”，事件 为“从甲盒中取出两个次品”，
则,, ，
,, ，
由全概率公式得
.
5.(2025·陕西省西安市第八十五中学期末)已知在 的二项展开式中，第6项
为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为 ，则 ___．
【解析】 的二项展开式的通项为
，
由题意得，解得 .
设为有理项，则能被3整除，故 ,5,8，
所以在 的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项．
若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为 ．
则 的所有可能取值为0，1，2，3，
，， ，
，
所以 ．
（【另解】 服从参数为，，的超几何分布，则 ）
6.(2025·湖北省随州市期末)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同
学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个
学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被
选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
【答案】设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件 ，则
.
故选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 .
（2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.
【答案】随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3.
.
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望 .
由题意知，随机变量 服从超几何分布，
其中，，，则 .
题型4 二项分布、超几何分布与统计知识的综合
图7.4-4
例18 (2025·江西省丰城中学期中)树立和践行“绿水青山
就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越
深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性
循环．据此，某网站开展了关于生态文明建设进展情况
的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓
最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80
%．现从参与关注生态文明建设的调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分
组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组 . 由
调查数据得到的频率分布直方图如图7.4-4所示．
（1）求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和中位数
（精确到小数点后一位）；
【解析】由，得 ，平均数为
.
设中位数为，则， ．
（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机
抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率；
【解析】由题意知，从第1,2组抽取的人数分别为2，3．
设第2组中恰好抽取2人的事件为，则 .
（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和
保护问题的人数为，求 的分布列与数学期望．
【解析】从所有参与调查的人中任意选出1人，此人关注环境治理和保护问题的概率
为 .
易知的所有可能取值为0，1,2,3，且 ，
，
，
，
,
的分布列为
0 1 2 3
.
例19 (2025·北京市人大附中统练)某次测验满分为100分，组和 组各有10人参加，
成绩如下表：
76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
对于该次测验， 分数时为及格， 分数时为良好，成绩 时为
优秀.
（1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率.
【解析】由题意知，组中成绩良好的学生有5人， 组中成绩良好的学生有7人，
从两组中任取1名学生，该名学生成绩为良好的概率为 .
（2）从组中随机抽取1名学生，再从组中随机抽取1名学生.用随机变量 表示这
两人的成绩为优秀的人数，求 的分布列和数学期望.
【解析】根据题意得，组中成绩优秀的学生有5人， 组中成绩优秀的学生有2人，
的可能取值为0，1，2，
,， ，
所以 的分布列为
0 1 2
因此，的数学期望 .
（3）从，两组中均随机抽取3人，组成绩为76，83，92.已知 组抽出的3人中有
2人的成绩为99，92，直接写出组3人成绩方差比 组3人成绩方差小的概率.
【解析】组3人成绩方差比组3人成绩方差小的概率为.理由如下： ，
，，，只需要抽出成绩比81高的人即可保证 组
3人成绩方差比组3人成绩方差小，组中成绩比81高的还有2人，故概率为 .
还可以用下列方法验证： 组成绩为76，83，92，
平均值为 ，
方差为 ，
设组第3个人的成绩为，则组成绩为99，92，，平均值为 ，
所以 ，
即 ，
代入检验，可知 可以为84，85，
故组3人成绩方差比组3人成绩方差小的概率为 .
思路点拨 （1）应用古典概型求解事件的概率即可；
（2）组中成绩优秀的学生有5人， 组中成绩优秀的学生有2人，根据超几何分布
计算其概率，列出分布列，求期望；
（3）设组第3个人的成绩为 ,根据方差的含义或平均数与方差的计算公式，结合题
意可得出 的取值范围,即可求出概率.
【学会了吗丨变式题】
图7.4-5
7.(2025·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校期中)4月23日是
联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高
一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名
高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅
读时间（单位：时），并将样本数据分成 ，
，， ，
九组，绘制成如图7.4-5所示的频率分布直
方图.
（1）求这500名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）.
【答案】设中位数为 ，前四个矩形的面积之和为
，
前五个矩形的面积之和为 ，
所以可设中位数为 ，
由中位数的定义可得 ，
解得 .
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，
从日平均阅读时间在， 三组内的学生中，采用分层抽样的方法
抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在 内的学生人数
为，求 的分布列和数学期望.
【答案】由频率分布直方图得这500名学生中日平均阅读时间在
，三组内的学生人数分别为 ，
， ，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在 内的学生中抽取
（人），
从这10人中随机抽取3人，则 的可能取值为0,1,2,3，
， ，
， ，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望 .
（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用
表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中 ,1,2，
，10.当最大时，写出 的值，并说明理由.
【答案】可知 ，原因如下：
由频率分布直方图，得
，
解得 ，
所以学生日平均阅读时间在内的概率为 ，
从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，设日平均阅读时间在 内的学生
人数，则 ，
所以，其中,1,2, , ，
由组合数的性质，得当时，最大，则 最大.
新考法·情境应用
例20 新情境 走进新高考在“ ”模式的新高考方案中，对化学、生物、地理
和政治四门选考科目制订了计算转换分 （即记入高考总分的分数）的“等级转换赋
分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分 等级转换；②原始分等
级内等比例转换赋分.某校的一次年级模拟考试中，政治、化学两选考科目的原始分
分布如下表：#1
等级 A B C D
比例
政治学科各等级对应的原始分区间
化学学科各等级对应的原始分区间
现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩，则分别在各等级的学生
人数如下表所示：#1.2
等级 A B C D
政治 4 6 7 2 1
化学 3 5 10 1 1
（1）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为86分，乙同学选考化学学科，其原始
分为93分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别计算甲、乙同学的转换分，并从公
平性的角度谈谈你对新高考“等级转换赋分规则”的看法.
【解析】甲同学选考政治学科的原始分为86分，
根据等比例转换赋分公式得，则 .
乙同学选考化学学科的原始分为93分，
根据等比例转换赋分公式得，则 ，
故甲、乙两位同学的转换分都为90分.
对新高考“等级转换赋分规则”的看法：
①从已知可得甲、乙两位同学的原始分都排第三，转换后都是90分，因此新高考“等
级转换赋分规则”具有公平性与合理性.
②甲同学与乙同学的原始分差7分，但转换后都是90分，说明新高考“等级转换赋分
规则”对尖子生不利.
（2）若在抽取的20个原始分成绩数据对应的学生中，从化学学科等级为A，B的学生
中随机抽取3人，设这3人中转换分不低于90分的有 人，求 的分布列和数学期望.
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.
等级 A B C D
原始分从高到低排序的等级人数占比
附2:计算转换分的等比例转换赋分公式：（其中，, 分别表示原始分
对应等级的原始分区间下限和上限；, 分别表示原始分对应等级的转换分赋分
区间下限和上限. 的计算结果按四舍五入取整）
【解析】该校化学学科原始分为93分时，根据等比例转换赋分公式得 ，
则 ，
即原始分低于93分的转换分低于90分，
所以由表格数据可知在化学学科等级为A，B的学生中，转换分不低于90分的有3人，
低于90分的有5人， 的所有可能取值为0,1,2,3，
则, ，
, .
所以 的分布列为
0 1 2 3
.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
二项分布与超几何分布在研究随机变量的概率分布中有着广泛而重要的应用，在高
考中主要考查二项分布和超几何分布的均值与方差的计算,或在实际问题中利用均值
和方差作出决策或判断等.各种题型都会出现，难度中等.
核心素养：数学运算（求均值与方差等）,数据分析（通过分析题目中给出的数据解
题），数学建模（二项分布或超几何分布模型的建立等）.
考向1 二项分布模型的应用
例21 (2025·天津)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率
均为,若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为 ,跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6
圈，则第二次跑5圈的概率为 ,跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为____；
若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为,则期望 ____.
0.6
3.2
【解析】小桐一周跑11圈的概率 .（分为两种情况：第
一次跑5圈，第二次跑6圈；第一次跑6圈，第二次跑5圈）
小桐一周运动量达标的概率 ，
（此处若直接求解，考虑情况较多，未达标的情况只有一种：第一次跑5圈，第二次
跑5圈）
显然服从二项分布,故 .
例22 (2025· 全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3,4，5，从中有放回地
随机取3次，每次取1个球.记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则 的数学期
望 ___.
【解析】 因为是有放回地取球，所以每次每个球被取到的概率均为 .
的所有可能取值为1，2，3，
则 ，
（3次抽取同一个球，从5个标有数字的球中选1个）
，
（抽取出2个球，1个球被取出1次，另一个球被取出2次，先从5个球中选2个，至于
哪个球被取1次，哪个球被取2次，有2种方法，被取1次的球的位置有3种可能，因此
需要乘以6）
，
（抽取出3个球，每个球各被抽取1次，先从5个球中选3个，这三个球是有顺序的，
因此需要排列一下，为 ）
所以 的分布列为
1 2 3
所以 .
依题意，的可能取值为1，2，3，总的选取可能数为 .
其中次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，则 .
恰好2个球被取出（即一球出现2次，另一球出现1次），选取出现2次的球有
5种方式，选取出现1次的球有4种方式，其中选取出现1次球的位置有3种可能，故事
件的可能情况有（种），故 .
个球被取出，每个球各出现一次，由排列数可知事件 的可能情况有
（种），故 .
所以 .
依题意，设随机变量，其中 ,2,3,4,5,
则 ,
由对称性，知所有 相等，
则由期望的性质，
得 ,
由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为 ，
由于抽取独立，该球三次均未被取出的概率为 ，
因此球至少被取出一次的概率为，故 ，
所以 .
例23 (2025· 全国二卷节选)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得
0分.设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为, ,且各球的胜负相
互独立，对正整数,记为打完个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完
个球后乙比甲至少多得2分的概率.
（1）求,（用 表示）；
【解析】打完3个球后甲比乙至少多得2分，只有一种情况：甲全胜得3分.所以
.
打完4个球后甲比乙至少多得2分，有两种情况：甲全胜得4分或甲胜3个球得3分，乙
胜1个球得1分.所以 .
（2）若，求 .
【解析】由（1）可知 ，
同理.（考虑每个球甲胜的概率 和每个球乙胜的
概率是对等的，所以可直接类比得出 ）
由，可得 ，
即，解得或 （舍去）.
所以 .
考向2 超几何分布模型的应用
例24 (2025·上海节选)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子 米混合泳接力金
牌，以下是历届奥运会男子 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），
数据按照升序排列.
（1）求这组数据的极差与中位数；
【解析】这组数据的极差为 ，中位数为
.
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率.
【解析】记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上”为事件 ，
由题可知，这10个数据中在211以上的有4个，故 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·浙江省浙南名校期中)已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，
其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球.方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为 ；
方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为 .下列说法中，正确的有( )
ACD
A.
B.，其中 ,1,2,3
C.
D.
【解析】对于A，方案一中，有放回地摸球，每次取到红球的概率为 ，摸4次球，
则取得红球个数 ，所以
，故A正确.
对于B，方案一中，， ,1,2,3.
方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，， ，
则， ,1,2,3.
， ，
所以 ，故B错误.
对于C，，，所以 ，故C
正确.
对于D， ，
由B选项知，， ，
， ，
由C选项知， ，所以
，可得 ，
即，故D正确.故选 .
. .
（也可利用超几何分布的方差公式求解，
，该公式不要
求记忆，学有余力的同学可尝试掌握）
2.[多选题](2025·山东省青岛市调研)已知随机变量，其中 ，则
( )
BD
A.若，，则
B.若，则
C.若，则，，1，2， ，6
D.若，则取值为奇数的概率小于
【解析】，, ，
解得,，与 矛盾，故A错误；
, ，
，
解得 ，故B正确；
时，，设 取得最大值，
则即
解得，随着的变化而变化，不一定在取得最大值，如
时，，此时 为最大值，故C错误；
由 ，
得当时， ，
当时， ，
所以 ，
（利用赋值法可得 取值为奇数的概率）
又，，所以 ，
即 ，
所以取值为奇数的概率小于，故D正确.故选 .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：35分钟
1.(2025·山东省聊城市莘县第一中学月考)2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组
合王楚钦、孙颖莎以 战胜日本队组合吉村真晴、大藤沙月，连续第三次夺得世乒
赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采
用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为 ，
每局比赛互不影响，则中国队组合再次以 获胜的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意，前3局胜2局输1局，第4局胜，
所以 .
2.(2025·辽宁省五校联考期末)设随机变量，，则 ( )
D
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】根据题意，随机变量 ，
则 ，
又，则 .
3.(2025·陕西省咸阳市实验中学质检)某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测
线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件
的盒子中随机抽取3个，再将电子元件放回．重复6次这样的试验，那么“取出的3个
电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是( )
B
A. B. C. D.
【解析】从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取3个，其中有
2个正品，1个次品的概率为 .再将电子元件放回，重复6次这样的试验，那么
“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率为
.
4.(2025·浙江省温州市期末)一个袋子中有完全相同的 个红球，3个白球.若采取不放
回方式从中随机摸出2个球，摸出的2个球都是红球的概率是 .现采取放回方式从中
依次摸出3个球，求恰有2次抽出红球的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】根据题意，采取不放回方式从中随机摸出2个球，摸出的2个球都是红球的
概率 ，
即，解得 （舍去负根），
故有放回地摸球，每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为 ，所以3次摸球中，
恰好有2次抽出红球的概率 .
5.[多选题](2025·江苏省江阴市六校期中)下列说法正确的是( )
ABD
A.随机变量 表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量
服从二项分布
B.有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法， 表示 次抽取中
出现次品的件数，则随机变量 服从二项分布
C.有一批种子的发芽率为 ，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的
个数记为，则随机变量 服从超几何分布
D.某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数
记为，则随机变量 服从超几何分布
【解析】对于选项A，因为每次概率相同且相互独立，符合 次独立重复试验，所以
随机变量 服从二项分布，故A正确；
对于选项B，因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合 次独立
重复试验，所以随机变量 服从二项分布，故B正确；
对于选项C，因为每次概率相同且相互独立，符合 次独立重复试验，所以随机变量
服从二项分布，故C错误；
对于选项D，因为样本分为两类，随机变量 表示某类样本中被抽取的个数，所以随
机变量 服从超几何分布，故D正确.
故选 .
6.[多选题](2025·甘肃省武威市期末)某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等
品,现从这批产品中任意抽取4个,则其中恰好有1个二等品的概率为( )
AD
A. B. C. D.
【解析】任意抽取4个产品有 种不同的抽取方法,其中恰好有1个二等品的抽取方法
有 种,
故所求事件的概率为 ，故D选项正确.
“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品或有2个二等品”，故A选项也正确.
7.某次英语测试的试卷由50道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一
个选项是正确答案，每道题选择正确得3分，不选择或选择错误不得分，满分150分.
若某学生选对每道题的概率均为 ，则该学生在这次英语测试中的成绩的期望是
_____.
105
【解析】设该学生在这次英语测试中选对的题数为 .
由题意知,则 .
又该学生在这次测试中的成绩为 ，所以该学生在这次英语测试中的成绩的期望为
.
8.(2025·北京市广渠门中学期中)袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相
同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求：
（1）有放回抽取时，取到黑球的个数 的分布列；
【答案】有放回抽取时，取到黑球的个数 可能的取值为0，1，2，3，
每次抽到黑球的概率均为 ，
次取球可以看成3次独立重复试验，则 ，
，
，
，
，
故 的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）不放回抽取时，取到黑球的个数 的分布列、期望和方差.
【答案】不放回抽取时，取到的黑球个数 可能的取值为0，1，2，
， ，
，
的分布列为
Y 0 1 2
P
,（【另解】 服从参数为10,3,2的超几何分布,
）
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：35分钟
9.传统文化 《周易》(2025·江苏省徐州市期中)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万
物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：
取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到
桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部
反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为 ，则一卦中恰有三个变爻
的概率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】1个爻为变爻的概率为，不是变爻的概率为 ,则一卦中
恰有三个变爻的概率为 .
10.(2025·河南省信阳市期末)某人在次射击中击中目标的次数为，且 ，
记，,1,2, ,，若是唯一的最大值，则 的值为( )
A
A.1.28 B.1.6 C.6.4 D.8
【解析】，，,1,2, , ，
若是唯一的最大值，则
解得 ．
， ，
，， ．
．
11.[多选题](2025·云南省临沧市部分学校开学考试)已知离散型随机变量 服从二项分
布，其中，，记为奇数的概率为,为偶数的概率为 ,则下
列说法中正确的有( )
ABC
A. B.时，
C.时，随着的增大而增大 D.时，随着 的增大而减小
【解析】由概率的基本性质可知， ，故A正确；
由时，离散型随机变量服从二项分布 ，
，
，
，
所以 ,故B正确；
，
即 ，
当时，为正数且随着 的增大而增大,故选项C正确；
当时， 正负交替，故选项D不正确.
故选 .
12.新定义 Poisson分布(2025·山东省滨州市期中) 分布是常见的离散型概率分
布，其概率分布列为,,1，2， ，其中 为自然对数的底数，
是分布的均值.当二项分布的很大而很小时，
分布可作为二项分布的近似.假设每个大肠杆菌基因组含有10 000个核苷酸对，采用
紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二聚体的概率均为 ，
则 ___；已知该菌株基因组有一个嘧啶二聚体就致死，则致死率为________.
3
【解析】由题意得，， ，
此时 分布可作为二项分布的近似，
此时 ，
故不致死的概率 ，
则致死率为 .
13.(2025·陕西省汉中市模拟)杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，
得到如下数据，如图7.4-1.
图7.4-1
（1）从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率.
【答案】由题知数学成绩不低于120分的有7人，故随机选出1人，其数学成绩不低于
120分的概率为 .
（2）杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机
选出3人，记为选出获得奖励的学生人数，求 的分布列和数学期望.
【答案】由题知数学成绩不低于135分的有4人， 的取值可能为0，1，2，3.
， ，
， ，
所以 的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
（3）杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行
复习训练，且在训练中进行多轮测评．规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个
模块达到90分以上，则该轮测评记为合格．在复习训练中，甲同学3个模块中每个模
块达到90分以上的概率均为 ，每轮测评互不影响．若甲同学在复习训练中获得合格
的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评．
【答案】设甲同学在一轮测评中合格为事件 ，
则 ，
又甲同学在轮测评中合格的次数满足，则 ，
解得 ，
所以至少要进行20轮测评.
14.[教材改编P81 T3](2025·广东省广州市期末)如图7.4-2，一质点在大小随机的外力
作用下，在 轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位长度或2个单位长度，其
中每次移动1个单位长度的概率均为，移动2个单位长度的概率均为 ．
图7.4-2
（1）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点 .
【答案】设移动1个单位长度的次数为,移动2个单位长度的次数为 ，则由题意得
解得 故5次移动中，有3次移动2个单位长度，2次移动1个单位长度，
， ,
，
令得，令得 ，
在上单调递增，在 上单调递减，
，此时 ．
（2）若，记质点从原点0运动到的位置的概率为 ．
（i）求, ；
【答案】 ，
则, ．
（ii）证明：是等比数列，并求 ．
【答案】由题意， ，
，
是首项为，公比为 的等比数列，
故 ，
．
C 培优练丨能力提升
15.新定义 切比雪夫不等式概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属
马尔科夫不等式和切比雪夫不等式．
马尔科夫不等式的形式如下：
设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意 ，均有
.
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾
部取值概率与其数学期望间的关系．当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式
的证明如下：#1.1.2
设的分布列为,,2, ,,其中,， ,2,
,,，则对任意 ，
，其中符号
表示对所有满足的指标所对应的 求和．#1.1.2.1
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量的期望为，方差为，则对任意 ，均有
.
（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 成立．
【答案】 对非负离散型随机变量及正数 使用马尔科夫不等式，
．
设的分布列为,,2, , ,
其中，,2, ,, ，
记，则对任意，
.
（2）某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 ．现随机选择了
100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式，通
过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
【答案】设在100名患者中治愈的人数为 ．假设药企关于此新药有效率的宣传内容
是客观真实的，
那么在此假设下，, ,
．
由切比雪夫不等式，得 ．
即100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过 ，此概率很小，（事实上，
由切比雪夫不等式我们也可以看出，随机变量的取值大部分是围绕着均值 的，
只有很少一部分偏离均值较远，且偏离均值 越远，概率越小）
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．
第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 重伯努利试验与二项分布
1 重伯努利试验的概念
名称 定义 示例
伯努利试 验 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试 验. 抛掷一枚质地均匀的
硬币1次.
抛掷一枚质地均匀的
硬币1 000次.
知识剖析
重伯努利试验的特征
（1）同一个伯努利试验重复（重复意味着各次试验成功的概率相同）做 次;
（2）各次试验的结果相互独立.
. .
2 重伯努利试验的概率公式
一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生 次,共
有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在 次试验中发生，而在其余
次试验中不发生的概率都是，所以由概率加法公式知,在 重伯
努利试验中，事件恰好发生次的概率为 .
特别提醒 使用公式时一定要明确该公式中各量表示的意义:
3 二项分布的概念
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为 ,
用表示事件发生的次数，则的分布列为, ,1,2,
, .即
0 1 … …
… …
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量 服从二项分布，记作
.
知识剖析
判断二项分布的关键点
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件.
①对立性：在一次试验中，事件 发生与否必居其一.
②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件 发生的概率都是同一常
数 .
的取值从0到 ,中间不间断.
二项分布与两点分布的关系
两点分布是一种特殊的二项分布,即 时的二项分布,所以二项分布可以看成
是两点分布的一般形式,二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布.
. .
4 二项分布与二项式定理间的联系
（1）二项分布的公式,,1,2, ,中，若把 看
成，看成，则有，且,,1,2, , 就是二项式定
理中 展开式的通项.
（2）根据二项式定理,
.
因为,所以 ,
即分布列,,1,2, , 满足性质
.
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P72思考]判断下列试验是否为 重伯努利试验.
（1）袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1球，记下颜
色后放回，连续取球10次；
【解析】是 重伯努利试验.因为每次试验的条件相同，且每次试验的结果互不影响，
同一事件在每次试验中发生的概率也相同.
（2）袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1球，不放回，
连续取球10次.
【解析】不是 重伯努利试验.因为每次试验的条件不同（每次取球后不放回，每次
取球与上次取球时袋中球的数目不同），并且每次试验中同一事件发生的概率不同.
例如，第一次取到红球的概率为 ，若第一次取到红球，则第二次再取到红球的
概率是；若第一次取到白球，则第二次取到红球的概率为 ，
即在上述两次试验中，取到红球的概率不同，故（2）不是 重伯努利试验.
例1-2 [教材改编P77 T3]［多选题］下列例子中随机变量 服从二项分布的有
( )
AC
A.表示重复抛掷一枚骰子 次中出现点数是3的倍数的次数
B.某射手击中目标的概率为, 表示从开始射击到击中目标所需次数
C.有一批产品共有件,其中件为次品,采用有放回抽取方法，表示 次抽取中出现
次品的件数
D.有一批产品共有件,其中件为次品,采用不放回抽取方法，表示 次抽取中出现
次品的件数
【解析】对于A,设事件为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则 ,则在
重伯努利试验中事件恰好发生了 次的概率
,符合二项分布的定义,即有.对于B, 的取值
是1,2,3, ,, ,显然不符合二项分布的定义,
因此 不服从二项分布.选项C与D的区别是:C是“有放回”抽取,而D是“无放回”抽取,显
然D中次试验是不独立的,因此不服从二项分布,对于C， 显然服从二项分布，且
.
例1-3 某学生回家途中共有3个十字路口，在每个十字路口遇到红灯的概率均为 ，
假设在各个十字路口遇到红灯的事件是相互独立的，用 表示这名学生回家途中遇到
红灯的次数，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】根据题意，
．
知识点2 超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取 件
（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则 的分布列为
,,，， ,.其中,,,, ,
,,, .
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 服从超几何分布.
知识剖析
超几何分布公式的推导
若事件表示“从含件次品的件产品中任取件，其中有 件次品”这一
随机事件.事件“从件产品中任取件”共有个样本点，其中恰有 件次品，则必有
件非次品，因此事件中含有 个样本点，由于任一样本点是等
可能出现的，所以由古典概型的概率计算公式可知 .（本质上还是
某一事件在随机试验中发生的次数与试验总次数的比值）
. .
怎样理解是与 中的较小者？
在超几何分布中，确定 的可能取值
的关键是确定它的最小值和最大值，具体
如下：
注意：在超几何分布中，随机变量
的最大值未必是次品件数 ,当抽取的产
品的件数不大于总体中次品的件数
即时,;当抽取的产品的件数
大于总体中次品的件数即时, .故的最大值是与 中的较小者. 同
理，可推测 的取值规律.
例2-4 ［多选题］(2025·陕西省西安市周至县第三中学月考)下列随机事件中的随机
变量 服从超几何分布的是( )
BD
A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为
C.某射手的命中率为，现对目标射击1次，记命中目标的次数为
D.盒中有4个白球和3个黑球，从中一次性摸出5个球，记摸出的黑球个数为
【解析】由超几何分布的定义可知选项B，D中的随机变量 服从超几何分布，A中
随机变量服从二项分布，C中随机变量服从两点分布，故选 .
【想一想丨问题质疑】
从此题，你能观察出超几何分布概率模型的特点吗？
提示 （1）总体中含有两类不同的个体;
（2）不放回抽取，且无先后顺序;
（3）随机变量的取值是指从总体中所抽取的 个个体中某一类个体的数量.
例2-5 [教材改编P80练习T1](2025·辽宁省建平县实验中学月考)学校要从5名男教师
和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为 ，则
__.
【解析】由题意知，服从参数为,, 的超几何分布，
因此 .
知识点3 二项分布、超几何分布的均值、方差公式
均值公 式 方差公式
下面仅对二项分布与超几何分布的均值公式进行证明.
证明 （1）如果服从参数为,的二项分布，即，且 ,则
.
（2）如果服从参数为，, 的超几何分布，由随机变量均值的定义，令
,,, ,
有 .
因为 ,
所以 .#1.1.2.3
例3-6 (2025·山西省实验中学期中)若随机变量，则 ( )
C
A.4.8 B.2.4 C.9.6 D.8.6
【解析】因为随机变量 ，
所以 ，
所以 .
例3-7 已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，若
表示取得白子的个数，则的均值 __.
【解析】 随机变量的取值为0，1，2，则 ,
,
.
所以 .
由题意知，随机变量服从超几何分布，其中，， ，则
由超几何分布的均值公式知 .
释疑惑 重难拓展
知识点4 二项分布与超几何分布的辨析
1 建立模型
袋子中有大小相同的个球，其中有个红球、个白球，令，设
表示摸出的 个球中红球的个数，则：
摸球方式
放回摸球
不放回摸球
2 二项分布与超几何分布的联系与区别
（1）由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，放回摸球是
二项分布，不放回摸球是超几何分布.
（2）对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明
超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近.
教材深挖
本知识点是对教材第79页[例6]的深挖.
（3）对于不放回摸球，当充分大，且远远小于 时，各次抽样结果彼此影响
很小，可近似认为是独立的.此时，超几何分布可以用二项分布近似.从方差的角度看，
由于 ，两个分布的方差也近似相等.
（4）在确定分布列时，超几何分布必须同时知道和 ，而二项分布只需要知
道 即可.
例4-8 [教材改编P79例6]某批件产品的次品率为 ，现在从中随机抽出2件进行检
验，问：当，， 时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽
到1件次品的概率各是多少？精确到
【解析】当 时，若放回抽取，则是二项分布，抽到的2件产品中恰有1件次
品的概率为 ；若不放回抽取，则是超几何分布，100件产
品中次品数为1，正品数是99，从100件产品里抽2件，恰有1件次品的概率为
.
当 时，若放回抽取，则抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为
；若不放回抽取，则从1 000件产品里抽2件，恰有1件次
品的概率为 .
当 时，若放回抽取，则抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为
；若不放回抽取，则从10 000件产品里抽2件，恰有1件
次品的概率为 .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 二项分布的概率计算及均值、方差问题
1 概率计算
例9 新考法 学科综合[教材改编P81 T5](2025·陕西省西安市第八十五中学月考)唐代
诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮
水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已
知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为 ，则该地在该季节连续三天内，
至少有两天出现大潮的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮的概率为 ，
有三天出现大潮的概率为 ，
所以至少有两天出现大潮的概率为 .
例10 (2025·江苏省无锡市期中)设随机变量， ，若
，则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为随机变量 ,
所以 ,
解得,所以 ,
则 .
例11 (2025·山东省枣庄市期中)有四道选择题，某同学答对其中每道题的概率都是 ，
且解答各题之间互不影响.已知答对一题得5分，不答或答错一题得0分.求该同学答完
这四道题的最终得分 的分布列.
【解析】该同学解答四道选择题，相当于进行了四次独立重复试验，设该同学答完
这四道题时答对的题数为，则随机变量服从二项分布，即 ,
（用的概率分布即得 的分布列）
则 ，
即 ，
，
，
，
. .
.
由知，的所有可能取值为0,5,10,15,20,故该同学答完这四道题的最终得分
的分布列为
0 5 10 15 20
2 均值、方差的求解
例12 若离散型随机变量，且，，则 ___.
【解析】因为离散型随机变量 ,
所以解得
所以 .
例13 (2025·安徽省淮南市期中)将一个半径适当的小球放入如图7.4-1所示的容器最上
方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物，最后落入
袋或袋中.已知小球每次遇到障碍物时，向左右两边下落的概率分别是 .
图7.4-1
（1）求小球落入 袋中的概率；
【解析】易知 .
（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球的个数.求 的分布
列、期望和方差.
【解析】由（1）知 ,则
（“小球落入袋中”和“小球落入 袋中”是对立事件），
由题意知 ,
， ,1，2，3，4，
则 的分布列为
0 1 2 3 4
， .
. .
【解析】记“小球落入袋中（小球落入 袋当且仅当小球一直向左下落或一直向右
下落时发生）”为事件, “小球落入袋中”为事件 .
. .
二项分布的应用
1.二项分布的简单应用是求重伯努利试验中事件恰好发生 次的概率.解题的一般
思路是：根据题意设出随机变量 分析出随机变量服从二项分布 确定参数,
写出二项分布的分布列 将 值代入求解概率.
2.二项分布的有关问题中，求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率,实质是
求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和或者利用对立
事件求概率.
3.若随机变量不服从二项分布，看能否找出与之相关联的，并且服从二项分布的另
一个随机变量，进而求解.
【学会了吗丨变式题】
图7.4-2
1.[教材改编P74例2]［多选题］(2025·福建省莆田第一中学入学考
试)如图7.4-2是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排相
互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙
作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落
过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落
入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5，用 表示
小球最后落入格子的号码，则下面计算正确的是( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】设“向右下落”，则“向左下落”， ，因为小球最后落
入格子的号码等于事件 发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所
以 ，
对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D正确.
题型2二项分布之概率最大问题
例14 某一批产品的合格率为 ，那么在取出的20件产品中，最有可能有几件产品
合格？
【解析】设在取出的20件产品中，合格产品有件，则 ，
教材深挖
该题型是教材第81页【探究与发现】的体现.
于是恰好有件产品合格的概率为 且
.
且 .（目的是比较比值与1的大小关系）
于是当时， ，
当时， ，
.
由以上分析可知，在取出的20件产品中，合格品有19件的概率最大，即最有可能有
19件合格品.
. .
当 取最大值时，
即
整理得解得 ，
又， .
故在取出的20件产品中，最有可能有19件产品合格.
例15 (2025·吉林省长春市东北师大附中月考)某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，
应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取
的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为 ，答对面
试每道题的概率为 ．假设每道题都是相互独立的，则甲得_____分的概率最大．
120
【解析】设应聘者答对的笔试备选题个数为，答对的面试备选题个数为 ，且答对
道笔试备选题和 道面试备选题的概率最大，
则 ，
由
得
解得,又，所以 .
,易知时， 最大（
中， 最大）.
故甲得分为 的概率最大．
. .
二项分布之概率最大问题的求解思路
如果，其中，求取得最大值时对应的 值，一般是考查
与1的大小关系.
由,求出的取值区间，此区间即为 的单调递增区间，它的补集
即为 的单调递减区间.
因为 ，所以要使
,则 .故有：#1.1.3
（1）若,则时 取得最大值；
（2）若是不超过的正整数，则当或 时，
取得最大值；
（3）若是不超过的非整数，则当 表示不超过
的最大整数）时 取得最大值.
说明：也可以用 来求，还可以考虑用不等式组
来求.#1.1.7
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·福建省泉州市期末)若，则 取得最大
值时， ______.
6或7
【解析】由题意知， 服从二项分布，
所以 ,
且 .
由不等式且 ，
得,解得 .
所以当时， ；
当时， .
当且仅当时， ，
所以当或时， 取得最大值.
3.(2025·湖南省G10教育联盟期中)为研究不同性别学生对 应用程序的了解情
况，某学校分别抽取男生和女生各50名进行调查，设事件“了解”，
“学生为女生”，且， ，现从全校的学生中随机抽取40名学生，
设其中了解的学生的人数为，则当 取得最大
值时, ( )
C
A.16 B.17 C.18 D.19
【解析】已知抽取男生和女生各50名，所以 .
又， ，
所以 ，
.
全校学生数量较大，可近似认为 .
令解得，因为 ，所以当
时， 取得最大值.
题型3 超几何分布的概率计算及均值、方差问题
1 概率计算
图7.4-3
例16（1）传统文化 算盘(2025·天津市第二十中学期中)如
图7.4-3，算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，
梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠
中任取3颗，记上珠的个数为，则 __．
【解析】由题意知， 的所有可能取值为0，1，2，则
．
（【另解】 ）
（2）(2025·江苏省南京市雨花台中学期中)盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先
从盒中随机抽取4个，则下列事件概率是 的是( )
B
A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是坏的 D.至多有2个是坏的
【解析】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.
抽取4个玩具，计算各选项概率如下.
恰有1个坏的： ；
4个全是好的： ；
恰有2个坏的： ；
至多2个坏的（【另解】）： .
综上，只有选项B中事件的概率为 .
. .
2 均值、方差的求解
例17（1）(2025·辽宁省沈阳市重点高中联合体期中)袋中有大小、形状完全相同的8
个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放
回，设取到白球的个数是，且，则 ( )
C
A.3 B.4 C.5 D.8
【解析】 的可能取值为0,1,2,3，
， ，
， ，
则 ，
所以 ．
（2）(2025·广西钦州市期末)某袋中装有大小相同、质地均匀的黑球和白球共5个.从
袋中随机取出3个球，已知不全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为 ，
则 _ __.
【解析】设袋中黑球个数为，则白球个数为 ，
则，故，则 的可能取值为1,2,3，
， ，
.
故，（【另解】随机变量服从参数为 ，
，的超几何分布，所以 ）
.
超几何分布的特征
满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成，如男生、女生；正
品、次品；优、劣等.判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量是
否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体（共有 个）内含有两种不
同的事物（有个），（有个），任取个，其中恰有个 ．符合以上特
征即可断定随机变量服从超几何分布．
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·山东省青岛第三十九中学期末)已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒
产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正
品的条件下，另一个为次品的概率为__.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再
从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为___.
【解析】设事件为“从甲盒中取出的2件产品中至少有一个为正品”，事件 为“从甲
中取出的2个产品中有一个为次品”，
则，，所以 .
设事件为“从乙盒中取出的这个产品是正品”，事件 为“从甲盒中取出两个正品”，
事件为“从甲盒中取出一个正品、一个次品”，事件 为“从甲盒中取出两个次品”，
则,, ，
,, ，
由全概率公式得
.
5.(2025·陕西省西安市第八十五中学期末)已知在 的二项展开式中，第6项
为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为 ，则 ___．
【解析】 的二项展开式的通项为
，
由题意得，解得 .
设为有理项，则能被3整除，故 ,5,8，
所以在 的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项．
若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为 ．
则 的所有可能取值为0，1，2，3，
，， ，
，
所以 ．
（【另解】 服从参数为，，的超几何分布，则 ）
6.(2025·湖北省随州市期末)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同
学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个
学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被
选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
【答案】设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件 ，则
.
故选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 .
（2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.
【答案】随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3.
.
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望 .
由题意知，随机变量 服从超几何分布，
其中，，，则 .
题型4 二项分布、超几何分布与统计知识的综合
图7.4-4
例18 (2025·江西省丰城中学期中)树立和践行“绿水青山
就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越
深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性
循环．据此，某网站开展了关于生态文明建设进展情况
的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓
最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80
%．现从参与关注生态文明建设的调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分
组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组 . 由
调查数据得到的频率分布直方图如图7.4-4所示．
（1）求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和中位数
（精确到小数点后一位）；
【解析】由，得 ，平均数为
.
设中位数为，则， ．
（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机
抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率；
【解析】由题意知，从第1,2组抽取的人数分别为2，3．
设第2组中恰好抽取2人的事件为，则 .
（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和
保护问题的人数为，求 的分布列与数学期望．
【解析】从所有参与调查的人中任意选出1人，此人关注环境治理和保护问题的概率
为 .
易知的所有可能取值为0，1,2,3，且 ，
，
，
，
,
的分布列为
0 1 2 3
.
例19 (2025·北京市人大附中统练)某次测验满分为100分，组和 组各有10人参加，
成绩如下表：
76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
对于该次测验， 分数时为及格， 分数时为良好，成绩 时为
优秀.
（1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率.
【解析】由题意知，组中成绩良好的学生有5人， 组中成绩良好的学生有7人，
从两组中任取1名学生，该名学生成绩为良好的概率为 .
（2）从组中随机抽取1名学生，再从组中随机抽取1名学生.用随机变量 表示这
两人的成绩为优秀的人数，求 的分布列和数学期望.
【解析】根据题意得，组中成绩优秀的学生有5人， 组中成绩优秀的学生有2人，
的可能取值为0，1，2，
,， ，
所以 的分布列为
0 1 2
因此，的数学期望 .
（3）从，两组中均随机抽取3人，组成绩为76，83，92.已知 组抽出的3人中有
2人的成绩为99，92，直接写出组3人成绩方差比 组3人成绩方差小的概率.
【解析】组3人成绩方差比组3人成绩方差小的概率为.理由如下： ，
，，，只需要抽出成绩比81高的人即可保证 组
3人成绩方差比组3人成绩方差小，组中成绩比81高的还有2人，故概率为 .
还可以用下列方法验证： 组成绩为76，83，92，
平均值为 ，
方差为 ，
设组第3个人的成绩为，则组成绩为99，92，，平均值为 ，
所以 ，
即 ，
代入检验，可知 可以为84，85，
故组3人成绩方差比组3人成绩方差小的概率为 .
思路点拨 （1）应用古典概型求解事件的概率即可；
（2）组中成绩优秀的学生有5人， 组中成绩优秀的学生有2人，根据超几何分布
计算其概率，列出分布列，求期望；
（3）设组第3个人的成绩为 ,根据方差的含义或平均数与方差的计算公式，结合题
意可得出 的取值范围,即可求出概率.
【学会了吗丨变式题】
图7.4-5
7.(2025·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校期中)4月23日是
联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高
一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名
高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅
读时间（单位：时），并将样本数据分成 ，
，， ，
九组，绘制成如图7.4-5所示的频率分布直
方图.
（1）求这500名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）.
【答案】设中位数为 ，前四个矩形的面积之和为
，
前五个矩形的面积之和为 ，
所以可设中位数为 ，
由中位数的定义可得 ，
解得 .
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，
从日平均阅读时间在， 三组内的学生中，采用分层抽样的方法
抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在 内的学生人数
为，求 的分布列和数学期望.
【答案】由频率分布直方图得这500名学生中日平均阅读时间在
，三组内的学生人数分别为 ，
， ，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在 内的学生中抽取
（人），
从这10人中随机抽取3人，则 的可能取值为0,1,2,3，
， ，
， ，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望 .
（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用
表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中 ,1,2，
，10.当最大时，写出 的值，并说明理由.
【答案】可知 ，原因如下：
由频率分布直方图，得
，
解得 ，
所以学生日平均阅读时间在内的概率为 ，
从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，设日平均阅读时间在 内的学生
人数，则 ，
所以，其中,1,2, , ，
由组合数的性质，得当时，最大，则 最大.
新考法·情境应用
例20 新情境 走进新高考在“ ”模式的新高考方案中，对化学、生物、地理
和政治四门选考科目制订了计算转换分 （即记入高考总分的分数）的“等级转换赋
分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分 等级转换；②原始分等
级内等比例转换赋分.某校的一次年级模拟考试中，政治、化学两选考科目的原始分
分布如下表：#1
等级 A B C D
比例
政治学科各等级对应的原始分区间
化学学科各等级对应的原始分区间
现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩，则分别在各等级的学生
人数如下表所示：#1.2
等级 A B C D
政治 4 6 7 2 1
化学 3 5 10 1 1
（1）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为86分，乙同学选考化学学科，其原始
分为93分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别计算甲、乙同学的转换分，并从公
平性的角度谈谈你对新高考“等级转换赋分规则”的看法.
【解析】甲同学选考政治学科的原始分为86分，
根据等比例转换赋分公式得，则 .
乙同学选考化学学科的原始分为93分，
根据等比例转换赋分公式得，则 ，
故甲、乙两位同学的转换分都为90分.
对新高考“等级转换赋分规则”的看法：
①从已知可得甲、乙两位同学的原始分都排第三，转换后都是90分，因此新高考“等
级转换赋分规则”具有公平性与合理性.
②甲同学与乙同学的原始分差7分，但转换后都是90分，说明新高考“等级转换赋分
规则”对尖子生不利.
（2）若在抽取的20个原始分成绩数据对应的学生中，从化学学科等级为A，B的学生
中随机抽取3人，设这3人中转换分不低于90分的有 人，求 的分布列和数学期望.
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.
等级 A B C D
原始分从高到低排序的等级人数占比
附2:计算转换分的等比例转换赋分公式：（其中，, 分别表示原始分
对应等级的原始分区间下限和上限；, 分别表示原始分对应等级的转换分赋分
区间下限和上限. 的计算结果按四舍五入取整）
【解析】该校化学学科原始分为93分时，根据等比例转换赋分公式得 ，
则 ，
即原始分低于93分的转换分低于90分，
所以由表格数据可知在化学学科等级为A，B的学生中，转换分不低于90分的有3人，
低于90分的有5人， 的所有可能取值为0,1,2,3，
则, ，
, .
所以 的分布列为
0 1 2 3
.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
二项分布与超几何分布在研究随机变量的概率分布中有着广泛而重要的应用，在高
考中主要考查二项分布和超几何分布的均值与方差的计算,或在实际问题中利用均值
和方差作出决策或判断等.各种题型都会出现，难度中等.
核心素养：数学运算（求均值与方差等）,数据分析（通过分析题目中给出的数据解
题），数学建模（二项分布或超几何分布模型的建立等）.
考向1 二项分布模型的应用
例21 (2025·天津)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率
均为,若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为 ,跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6
圈，则第二次跑5圈的概率为 ,跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为____；
若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为,则期望 ____.
0.6
3.2
【解析】小桐一周跑11圈的概率 .（分为两种情况：第
一次跑5圈，第二次跑6圈；第一次跑6圈，第二次跑5圈）
小桐一周运动量达标的概率 ，
（此处若直接求解，考虑情况较多，未达标的情况只有一种：第一次跑5圈，第二次
跑5圈）
显然服从二项分布,故 .
例22 (2025· 全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3,4，5，从中有放回地
随机取3次，每次取1个球.记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则 的数学期
望 ___.
【解析】 因为是有放回地取球，所以每次每个球被取到的概率均为 .
的所有可能取值为1，2，3，
则 ，
（3次抽取同一个球，从5个标有数字的球中选1个）
，
（抽取出2个球，1个球被取出1次，另一个球被取出2次，先从5个球中选2个，至于
哪个球被取1次，哪个球被取2次，有2种方法，被取1次的球的位置有3种可能，因此
需要乘以6）
，
（抽取出3个球，每个球各被抽取1次，先从5个球中选3个，这三个球是有顺序的，
因此需要排列一下，为 ）
所以 的分布列为
1 2 3
所以 .
依题意，的可能取值为1，2，3，总的选取可能数为 .
其中次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，则 .
恰好2个球被取出（即一球出现2次，另一球出现1次），选取出现2次的球有
5种方式，选取出现1次的球有4种方式，其中选取出现1次球的位置有3种可能，故事
件的可能情况有（种），故 .
个球被取出，每个球各出现一次，由排列数可知事件 的可能情况有
（种），故 .
所以 .
依题意，设随机变量，其中 ,2,3,4,5,
则 ,
由对称性，知所有 相等，
则由期望的性质，
得 ,
由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为 ，
由于抽取独立，该球三次均未被取出的概率为 ，
因此球至少被取出一次的概率为，故 ，
所以 .
例23 (2025· 全国二卷节选)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得
0分.设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为, ,且各球的胜负相
互独立，对正整数,记为打完个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完
个球后乙比甲至少多得2分的概率.
（1）求,（用 表示）；
【解析】打完3个球后甲比乙至少多得2分，只有一种情况：甲全胜得3分.所以
.
打完4个球后甲比乙至少多得2分，有两种情况：甲全胜得4分或甲胜3个球得3分，乙
胜1个球得1分.所以 .
（2）若，求 .
【解析】由（1）可知 ，
同理.（考虑每个球甲胜的概率 和每个球乙胜的
概率是对等的，所以可直接类比得出 ）
由，可得 ，
即，解得或 （舍去）.
所以 .
考向2 超几何分布模型的应用
例24 (2025·上海节选)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子 米混合泳接力金
牌，以下是历届奥运会男子 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），
数据按照升序排列.
（1）求这组数据的极差与中位数；
【解析】这组数据的极差为 ，中位数为
.
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率.
【解析】记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上”为事件 ，
由题可知，这10个数据中在211以上的有4个，故 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·浙江省浙南名校期中)已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，
其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球.方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为 ；
方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为 .下列说法中，正确的有( )
ACD
A.
B.，其中 ,1,2,3
C.
D.
【解析】对于A，方案一中，有放回地摸球，每次取到红球的概率为 ，摸4次球，
则取得红球个数 ，所以
，故A正确.
对于B，方案一中，， ,1,2,3.
方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，， ，
则， ,1,2,3.
， ，
所以 ，故B错误.
对于C，，，所以 ，故C
正确.
对于D， ，
由B选项知，， ，
， ，
由C选项知， ，所以
，可得 ，
即，故D正确.故选 .
. .
（也可利用超几何分布的方差公式求解，
，该公式不要
求记忆，学有余力的同学可尝试掌握）
2.[多选题](2025·山东省青岛市调研)已知随机变量，其中 ，则
( )
BD
A.若，，则
B.若，则
C.若，则，，1，2， ，6
D.若，则取值为奇数的概率小于
【解析】，, ，
解得,，与 矛盾，故A错误；
, ，
，
解得 ，故B正确；
时，，设 取得最大值，
则即
解得，随着的变化而变化，不一定在取得最大值，如
时，，此时 为最大值，故C错误；
由 ，
得当时， ，
当时， ，
所以 ，
（利用赋值法可得 取值为奇数的概率）
又，，所以 ，
即 ，
所以取值为奇数的概率小于，故D正确.故选 .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：35分钟
1.(2025·山东省聊城市莘县第一中学月考)2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组
合王楚钦、孙颖莎以 战胜日本队组合吉村真晴、大藤沙月，连续第三次夺得世乒
赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采
用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为 ，
每局比赛互不影响，则中国队组合再次以 获胜的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意，前3局胜2局输1局，第4局胜，
所以 .
2.(2025·辽宁省五校联考期末)设随机变量，，则 ( )
D
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】根据题意，随机变量 ，
则 ，
又，则 .
3.(2025·陕西省咸阳市实验中学质检)某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测
线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件
的盒子中随机抽取3个，再将电子元件放回．重复6次这样的试验，那么“取出的3个
电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是( )
B
A. B. C. D.
【解析】从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取3个，其中有
2个正品，1个次品的概率为 .再将电子元件放回，重复6次这样的试验，那么
“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率为
.
4.(2025·浙江省温州市期末)一个袋子中有完全相同的 个红球，3个白球.若采取不放
回方式从中随机摸出2个球，摸出的2个球都是红球的概率是 .现采取放回方式从中
依次摸出3个球，求恰有2次抽出红球的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】根据题意，采取不放回方式从中随机摸出2个球，摸出的2个球都是红球的
概率 ，
即，解得 （舍去负根），
故有放回地摸球，每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为 ，所以3次摸球中，
恰好有2次抽出红球的概率 .
5.[多选题](2025·江苏省江阴市六校期中)下列说法正确的是( )
ABD
A.随机变量 表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量
服从二项分布
B.有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法， 表示 次抽取中
出现次品的件数，则随机变量 服从二项分布
C.有一批种子的发芽率为 ，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的
个数记为，则随机变量 服从超几何分布
D.某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数
记为，则随机变量 服从超几何分布
【解析】对于选项A，因为每次概率相同且相互独立，符合 次独立重复试验，所以
随机变量 服从二项分布，故A正确；
对于选项B，因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合 次独立
重复试验，所以随机变量 服从二项分布，故B正确；
对于选项C，因为每次概率相同且相互独立，符合 次独立重复试验，所以随机变量
服从二项分布，故C错误；
对于选项D，因为样本分为两类，随机变量 表示某类样本中被抽取的个数，所以随
机变量 服从超几何分布，故D正确.
故选 .
6.[多选题](2025·甘肃省武威市期末)某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等
品,现从这批产品中任意抽取4个,则其中恰好有1个二等品的概率为( )
AD
A. B. C. D.
【解析】任意抽取4个产品有 种不同的抽取方法,其中恰好有1个二等品的抽取方法
有 种,
故所求事件的概率为 ，故D选项正确.
“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品或有2个二等品”，故A选项也正确.
7.某次英语测试的试卷由50道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一
个选项是正确答案，每道题选择正确得3分，不选择或选择错误不得分，满分150分.
若某学生选对每道题的概率均为 ，则该学生在这次英语测试中的成绩的期望是
_____.
105
【解析】设该学生在这次英语测试中选对的题数为 .
由题意知,则 .
又该学生在这次测试中的成绩为 ，所以该学生在这次英语测试中的成绩的期望为
.
8.(2025·北京市广渠门中学期中)袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相
同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求：
（1）有放回抽取时，取到黑球的个数 的分布列；
【答案】有放回抽取时，取到黑球的个数 可能的取值为0，1，2，3，
每次抽到黑球的概率均为 ，
次取球可以看成3次独立重复试验，则 ，
，
，
，
，
故 的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）不放回抽取时，取到黑球的个数 的分布列、期望和方差.
【答案】不放回抽取时，取到的黑球个数 可能的取值为0，1，2，
， ，
，
的分布列为
Y 0 1 2
P
,（【另解】 服从参数为10,3,2的超几何分布,
）
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：35分钟
9.传统文化 《周易》(2025·江苏省徐州市期中)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万
物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：
取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到
桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部
反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为 ，则一卦中恰有三个变爻
的概率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】1个爻为变爻的概率为，不是变爻的概率为 ,则一卦中
恰有三个变爻的概率为 .
10.(2025·河南省信阳市期末)某人在次射击中击中目标的次数为，且 ，
记，,1,2, ,，若是唯一的最大值，则 的值为( )
A
A.1.28 B.1.6 C.6.4 D.8
【解析】，，,1,2, , ，
若是唯一的最大值，则
解得 ．
， ，
，， ．
．
11.[多选题](2025·云南省临沧市部分学校开学考试)已知离散型随机变量 服从二项分
布，其中，，记为奇数的概率为,为偶数的概率为 ,则下
列说法中正确的有( )
ABC
A. B.时，
C.时，随着的增大而增大 D.时，随着 的增大而减小
【解析】由概率的基本性质可知， ，故A正确；
由时，离散型随机变量服从二项分布 ，
，
，
，
所以 ,故B正确；
，
即 ，
当时，为正数且随着 的增大而增大,故选项C正确；
当时， 正负交替，故选项D不正确.
故选 .
12.新定义 Poisson分布(2025·山东省滨州市期中) 分布是常见的离散型概率分
布，其概率分布列为,,1，2， ，其中 为自然对数的底数，
是分布的均值.当二项分布的很大而很小时，
分布可作为二项分布的近似.假设每个大肠杆菌基因组含有10 000个核苷酸对，采用
紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二聚体的概率均为 ，
则 ___；已知该菌株基因组有一个嘧啶二聚体就致死，则致死率为________.
3
【解析】由题意得，， ，
此时 分布可作为二项分布的近似，
此时 ，
故不致死的概率 ，
则致死率为 .
13.(2025·陕西省汉中市模拟)杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，
得到如下数据，如图7.4-1.
图7.4-1
（1）从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率.
【答案】由题知数学成绩不低于120分的有7人，故随机选出1人，其数学成绩不低于
120分的概率为 .
（2）杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机
选出3人，记为选出获得奖励的学生人数，求 的分布列和数学期望.
【答案】由题知数学成绩不低于135分的有4人， 的取值可能为0，1，2，3.
， ，
， ，
所以 的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
（3）杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行
复习训练，且在训练中进行多轮测评．规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个
模块达到90分以上，则该轮测评记为合格．在复习训练中，甲同学3个模块中每个模
块达到90分以上的概率均为 ，每轮测评互不影响．若甲同学在复习训练中获得合格
的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评．
【答案】设甲同学在一轮测评中合格为事件 ，
则 ，
又甲同学在轮测评中合格的次数满足，则 ，
解得 ，
所以至少要进行20轮测评.
14.[教材改编P81 T3](2025·广东省广州市期末)如图7.4-2，一质点在大小随机的外力
作用下，在 轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位长度或2个单位长度，其
中每次移动1个单位长度的概率均为，移动2个单位长度的概率均为 ．
图7.4-2
（1）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点 .
【答案】设移动1个单位长度的次数为,移动2个单位长度的次数为 ，则由题意得
解得 故5次移动中，有3次移动2个单位长度，2次移动1个单位长度，
， ,
，
令得，令得 ，
在上单调递增，在 上单调递减，
，此时 ．
（2）若，记质点从原点0运动到的位置的概率为 ．
（i）求, ；
【答案】 ，
则, ．
（ii）证明：是等比数列，并求 ．
【答案】由题意， ，
，
是首项为，公比为 的等比数列，
故 ，
．
C 培优练丨能力提升
15.新定义 切比雪夫不等式概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属
马尔科夫不等式和切比雪夫不等式．
马尔科夫不等式的形式如下：
设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意 ，均有
.
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾
部取值概率与其数学期望间的关系．当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式
的证明如下：#1.1.2
设的分布列为,,2, ,,其中,， ,2,
,,，则对任意 ，
，其中符号
表示对所有满足的指标所对应的 求和．#1.1.2.1
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量的期望为，方差为，则对任意 ，均有
.
（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 成立．
【答案】 对非负离散型随机变量及正数 使用马尔科夫不等式，
．
设的分布列为,,2, , ,
其中，,2, ,, ，
记，则对任意，
.
（2）某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 ．现随机选择了
100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式，通
过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
【答案】设在100名患者中治愈的人数为 ．假设药企关于此新药有效率的宣传内容
是客观真实的，
那么在此假设下，, ,
．
由切比雪夫不等式，得 ．
即100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过 ，此概率很小，（事实上，
由切比雪夫不等式我们也可以看出，随机变量的取值大部分是围绕着均值 的，
只有很少一部分偏离均值较远，且偏离均值 越远，概率越小）
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．