7.5 正态分布 课件(共106张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.5 正态分布 课件(共106张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 10:26:09 | ||
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文档简介
(共106张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 正态曲线与正态分布
1 连续型随机变量
现实中，有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区
间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
（有无数个值，不能一一列举）
. .
2 正态曲线与正态分布的概念
图7.5-1
（1）我们称,
（其中, 为参数）为正态密度函数，称
它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，其图
象如图7.5-1所示.
（2）若随机变量 的概率分布密度函数为
，则称随机变量 服从正态分布，记为
，（【易错】注意此处为，而不是） ）.
（3）若，则 ， .
. .
3 正态曲线的特点
由 的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点：
（1）曲线是单峰的，它关于直线 对称.,有
（2）曲线在 处达到峰值 .（可由复合函数的单调性求得）
（3）当无限增大时，曲线无限接近 轴.
（4）曲线位于轴上方，与轴不相交；，恒成立曲线与 轴
之间的区域的面积为1.
. .
. .
. .
. .
. .
知识剖析 参数 和 对正态曲线的形状的
影响
1. 为位置参数.
当参数 取固定值时，正态曲线的位
2. 为形状参数.
参数 的大小决定了曲线的高低和胖瘦，因此 的变化影响曲线的形状. 越小，
曲线越“瘦高”，表示随机变量的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量
的分布越分散，如图7.5-3.（参数 反映了随机变量的分布相对于均值 的离散程度）
置由 确定，且随着 的变化而沿轴平移，如图7.5-2.（参数 反映了正态分布的
集中位置）
学思用·典例详解
例1-1 根据下列正态密度函数的表达式，找出其均值和方差.
（1）， ；
【解析】将正态密度函数与对照得 ,
，所以其均值为0，方差为1.
（2）， .
【解析】将正态密度函数与 对照得
, ，所以其均值为1，方差为2.
图7.5-7
例1-2 如图7.5-7所示是一个正态曲线，试根据该
图象写出正态密度函数的解析式．
【解析】由题图可知该正态曲线关于直线
对称，最大值是，所以 ，（随机变量的
均值）
由，得 ，（随机变量的标准差）
所以该正态密度函数的解析式为
， .
图7.5-8
例1-3 (2025·山东省齐鲁名校联考)已知三条正态曲线
如图7.5-8 所示，则下列
判断正确的是( )
D
A.， B.，
C.， D.，
【解析】由正态曲线关于直线 对称，知 的大小决定曲线的形
状， 越大，曲线越“矮胖”； 越小，曲线越“瘦高”，则 .
（也可由，得,即 ）
知识点2 正态分布的几何意义及 原则
1 正态分布的几何意义
对任意的，正态曲线与轴之间的区域的面积总为1.若 ，如图
7.5-4所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而 为
区域 的面积.
图7.5-4
2 三个常用的概率值
假设，可以证明：对给定的, 是一个
只与 有关的定值.特别地，
，
，
.
上述结果可用图7.5-5表示.
图7.5-5
3 原则
尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中， 的取值几乎总是落
在区间内,而在此区间以外取值的概率大约只有 ，通常认为这
种情况几乎不可能发生.（这样的事件可看成小概率事件）
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量 只取
中的值，这在统计学中称为 原则.
学思用·典例详解
例2-4 [多选题](2025·山西省朔州市期中)随机变量服从正态分布 ,则下列结
论正确的是( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】由随机变量服从正态分布 ,得正态曲线的对称轴为直线
，则 ,故A正确;标准差为5,方差为25，故B错误;
由正态曲线的对称性得, ，故C，D正确.
图7.5-9
例2-5 [教材改编P87习题7.5 T2]为了解某地高中男生的身体发育
状况，随机抽取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他
们的体重（单位：）服从正态分布 ，正态曲线如图7.5
-9所示.若体重落在区间 内属于正常情况，则在这1 000
名男生中不属于正常情况的人数约是( )
D
A.954 B.819 C.683 D.317
【解析】由题意可知，, ，故
,从而不属于正常情况的人数
约是 .
释疑惑 重难拓展
知识点3 标准正态分布
1 定义
且 的正态分布称为标准正态分布，其密度函数解析式为
, ，标准正态分布在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果
，那么令，则可以证明 （也可通过函数图象变换加
以说明），即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.
. .
. .
2 标准正态分布下的概率表示
如果，那么对于任意，通常记，也就是说 表
示对应的正态曲线与轴在区间 内所围的面积，如图7.5-6所示.
图7.5-6
3 性质
根据正态曲线的对称性，可以知道具有性质 .
学思用·典例详解
例3-6 (教材改编P87练习T1)设随机变量 服从标准正态分布，已知 ，
则 ( )
D
A.0.03 B.0.06 C.0.97 D.0.94
【解析】 ，
，
,
标准正态曲线关于直线 对称，
，
故 .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 正态曲线及其特点的认识
例7 [多选题](2025·江苏省无锡市运河实验中学月考)甲、乙两类水果的质量
（单位：）分别服从正态分布， ，正态曲线如图7.5-10所示，
则下列说法正确的是( )
ABC
图7.5-10
A.甲类水果的平均质量为
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【解析】由图象可知甲曲线关于直线对称，乙曲线关于直线 对称，
， ，故A，C正确；
甲曲线比乙曲线更“高瘦”， 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质
量，故B正确；
乙曲线的峰值为，即 ，
，故D错误．
例8 (2025·湖南省长沙市明德中学月考)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻
技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂
交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食
供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高
（单位：）服从正态分布，其正态密度函数为， ，
则下列说法正确的是( )
A
A.该地水稻的平均株高为
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在 以下的概率小
D.随机测量一株水稻，其株高在和在（单位： ）的概率一样大
【解析】由，得， ，故该地水稻的平均株高
为 ，该地水稻株高的方差为100，故A正确,B错误；
，所以随机测量一株水稻，其株高在 以
上的概率比株高在 以下的概率大，故C错误；
根据正态曲线对称性知， ，
故随机测量一株水稻，其株高在和在（单位： ）的概率不一样
大，故D错误．
利用正态曲线的特点求参数 ，
（1）正态曲线是单峰的，它关于直线 对称，由此特点结合图象求出 .
（2）正态曲线在 处达到峰值，由此特点结合图象可求出 .
【学会了吗丨变式题】
1.(2026·湖北省沙市中学月考)某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶
青生产红茶．根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红
茶产量（单位：克）分别为，，且， ，其正态曲线如图
7.5-11所示，则以下结论错误的是( )
D
图7.5-11
A.的数据较 更集中
B.
C.甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D.
【解析】对于A， 的正态曲线更“瘦高”，即数据更集中，正确；
对于B， 直线，，的正态曲线与轴围成的面积大于直线 ,
，的正态曲线与轴围成的面积，又 ，
， ，正确；
对于C，， 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率 ，正
确；
对于D，由B知， ，
，错误．故选D．
题型2 正态分布的概率计算
1 利用正态曲线的对称性求概率
例9（1）(2025·河南省南阳市期末)已知随机变量服从正态分布 ，
，则 ( )
A
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
图7.5-12
【解析】由 可知，其正态曲线如图7.5-12所示，对称
轴为直线 ,则
.
（2）(2025·黑龙江省实验中学期中)已知随机变量 服从正态分布 ，若
，则 _____．
0.37
【解析】由于随机变量 服从正态分布，且 ，
所以 ，
所以 .
（3）(2025·天津市四校期末)设随机变量服从正态分布 ，且
，若，则 ____．
0.5
【解析】因为随机变量服从正态分布，且 ，所以
.
根据正态曲线的对称性（5.5与0.5关于3对称）， ，所
以 .
. .
思路点拨 利用正态曲线的对称性进行区间转化，即可求概率.
2 利用三个特殊区间的概率值求概率
例10 设 ，试求：
（1） ;
【解析】
.
（2） ;
【解析】由该正态曲线关于直线 对称可知
（3） .
【解析】 ,
.
利用正态分布求概率的两个方法
（1）对称法：由于正态曲线是关于直线 对称的，且概率的和为1，故关于直
线 对称的区间概率相等．如：
；
．
（2）“ ”法：利用落在区间，， 内
的概率分别是,， 求解．（此法常用于条件中无已知概率的时
候）
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·河北省部分名校期末)已知随机变量，若 ，
，则 ( )
D
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【解析】由题意可得 .
随机变量， ．
3.[多选题](2025·河南省周口市期末)某地区根据有气象记录以来的统计数据，发现每
年第三季度日平均降雨量（单位：毫米）服从正态分布 ，则( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】由，得, ，
，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.故选 .
题型3 正态分布的实际应用
1 利用正态分布进行估计
例11 (2025·山东省临沂市期末)某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量
（单位：克）服从正态分布 ，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检
的篮球的质量不小于596克的个数约为( )
C
A.286 B.293 C.252 D.246
【解析】由题意可知，, ，
由 得
，
即 ，
所以 ，
所以
，
因此被抽检的篮球的质量不小于596克的个数为 .
利用服从于正态分布 的随机变量在三个特殊区间上取值的概率可以解决一些
实际问题，如估算总体在某一范围内的个体数等.
具体方法：先确定随机变量在某一范围内取值的概率，再乘总体数量.
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·山东省青岛市调研)某工厂制造的某种机器零件的尺寸 ，现
从中随机抽取10 000个零件，尺寸在 内的个数约为( )
B
A.2 718 B.1 359 C.430 D.215
【解析】,, ,
则 ,
故随机抽取的10 000个零件中尺寸在〖99.8，99.9］内的个数约为
.
2 原则的应用
例12 (2025·四川师范大学附属中学三诊)在实际应用中，通常认为服从正态分布
的随机变量只取中的值，这在统计学中称为 原则.现用
甲、乙、丙、丁四台 打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这四台
打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸（单位： ）服从正态
分布，且 .根据要求，正式打印前需要对设备进行
调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位： ）如
下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是( )
C
A.甲：，，，， B.乙：，，，，
C.丙：，，，， D.丁：，，，，
【解析】依题意，， ，
所以， ,
所以打印出来的零件内径尺寸应满足，（利用 原则求出打印出的
零件内径尺寸范围）
结合选项可知，不需要调试的为丙.
利用 原则进行决策的步骤
（1）确定一次试验中的取值是否落在区间 内.
（2）进行判断:若,则符合要求；若 ,则不符合
要求.
【学会了吗丨变式题】
5.［多选题］(2025·重庆市调研)已知某生产线上生产的零件长度 （单位：厘米）服
从正态分布，根据 原则，若的取值在 外，则可以
认为生产线是不正常的.则( )
BCD
A.
B.
C.若抽检的10个样本的长度均在 内，可以认为生产线正常
D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为 ，应对生产线进行检修
【解析】由题意可得, .
对于A，因为正态分布求得的是随机变量在某一区域内的概率，所以
或，但 ,故A错误；
对于B，因为服从正态分布，所以正态曲线关于直线 对称，所以
，故B正确；
对于C，因为，即零件长度在 内的是正常的，
所以C正确；
对于D， ，所以需要对生产线进行检修，所以D正确.故选BCD.
题型4 标准正态分布及其应用
例13 (2025·福建省泉州市期中)随机变量， ，若
，则 _______.
【解析】因为，所以 ，
若 ，
则 ，
所以 .
例14 (2025·辽宁省东北育才学校统考)某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物
四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分
为,,,, 共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为
，，，，.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至 等级内的
考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，， ，
， 五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩.如果该省某次高考模拟考
试政治科目的原始成绩，若一名学生的原始成绩划分为 等级，则他
的原始分数最低为____分．（分数保留整数）
附： .
71
【解析】由题意知，等级人数所占比例为 ，
若等级的原始分数最低为 ，
又原始成绩，则， ，
令，则 ，
又，所以 ，
即，可得 ,
则他的原始分数最低为71分.
题型5 正态分布与其他知识的综合应用
图7.5-13
例15 (2025·广东省江门市期中)某市高中男生身高
统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服
从正态分布 .现从某学校高三年级男生中
随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全
部介于和 之间，将测量结果按如下
方式分成6组：第1组 ，第2组
， ，第6组 ，如图7.5-13是按
上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）试估计该校高三年级男生的平均身高；
【解析】由频率分布直方图可知，该校高三年级男生的平均身高约为 .
（2）求这50名男生身高在以上（含 ）的人数；
【解析】由频率分布直方图知，后3组的频率为 ，人数
为，即这50名男生身高在以上（含 ）的人数为10.
（3）在这50名身高在以上（含 ）的男生中任意抽取2人，将该2人身
高纳入全市排名（从高到低），能进入全市前135名的人数记为 ，求 的数学期望.
【解析】全市100 000名男生的身高服从正态分布 ，则
.
由正态曲线的对称性可知， ，且
，（在对称轴两侧的对称区间内发生的概率相等，此处易
漏除以2）
故全市前135名男生的身高在 及以上.
这50人中身高在及以上的人数为 .
随机变量 的可能取值为0，1，2，则
. .
, ,
，
故 .
给什么 得什么
求什么 想什么
差什么 找什么 求能进入全市前135名的人数，先由身高服从正态分布计算出全市前135
名所对应的身高，进而计算这50名学生中身高能进入全市前135名的人
数，最后再计算相应概率.
图7.5-14
例16 某工厂抽取了一台设备 在一段时间内生产
的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图
7.5-14所示的频率分布直方图．
（1）计算该样本的平均值，方差 .（同一组中
的数据用该组区间的中点值作代表）
【解析】由频率分布直方图可得 ，
．
（2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值
近似服从正态分布，其中 近似为样本平均值，近似为样本方差 .任取
一个产品，记其质量指标值为.若 ，则认为该产品为一等品;
，则认为该产品为二等品;若 ，则认为该产品为不合
格品.已知设备 正常状态下每天生产这种产品1 000个．
（ⅰ）用样本估计总体，该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过
【解析】 由（1）得 ，由题图可得质量指
标值在和的频率为 ，所以该工厂一天
生产的产品中不合格品超过 ．
由于
.所
以该工厂一天生产的产品中不合格品超过 ．
（ⅱ）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备 换得生产相同产
品的改进设备.经测试，设备 正常状态下每天生产产品1 200个，生产的产品为一
等品的概率是，二等品的概率是，不合格品的概率是 .若工厂生产一个一
等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40
元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备
参考数据： ．
【解析】设，分别为设备， 一天为工厂创造的利润，则
，
，所以采用新设备 利润每天增加
，
（天）.
因此，只需56天使用设备产生的利润就超过使用设备 产生的利润和换购费用总和，
从长远来看，应该换购设备 ．
. .
. .
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·安徽省亳州二中月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品
的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图（图7.5-15）：
图7.5-15
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 （同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表）；
【答案】由频率分布直方图可知，抽取产品的质量指标值的样本平均数 ,
样本方差 .
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布,其中 近
似为样本平均数，近似为样本方差 .
（ⅰ）利用该正态分布，求 ;
【答案】由（1）知， ，
从而 .
（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位
于区间的产品件数.利用的结果，求 .
附： .
【答案】由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为
0.682 7，依题意知 ,
所以
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考对正态分布的考查以正态曲线的性质为主,重点考查利用正态曲线的对称性求解
简单的概率问题,在解答题中多强调对 原则的应用.各种题型都会出现，难度中等
或中等偏下.
核心素养：直观想象（正态曲线），数学建模（构建正态分布模型）,数据分析
（通过分析题目中给的数据解题）,数学运算（求随机变量取值的概率）.
考向1 正态分布的图象与性质
例17 (新高考全国Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中
不正确的是( )
D
A. 越小，该物理量一次测量结果落在 内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在内的概率与落在 内的概率相等
【解析】设该物理量一次测量结果为 .
对A， 越小，说明数据越集中在10附近，所以落在 内的概率越大，所
以选项A正确；
对B，根据正态曲线的对称性可得， ,所以选项B正确；
对C，根据正态曲线的对称性可得， ，所以选项C正确；
对D，根据正态曲线的对称性可得，
,又
，所以
，所以选项D错误.
考向2 概率的计算与应用
例18 [多选题](2024· 新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多
措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位:万元）情况，从该种植区抽
取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值,样本方差 .已知该种植
区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入 服从正态分
布,则（若随机变量服从正态分布,则 ）
( )
BC
A. B. C. D.
【解析】由题意可知，，所以 ,
,所以
,所以A错误，
B正确.
因为，所以, ,所以
,所以 ，所以C正确,D错误.综上，选 .
例19 (2022·新高考全国Ⅱ卷)随机变量服从正态分布 ，若
，则 _____．
0.14
【解析】由题意可知， ，故
．
考向3 与统计知识的综合
例20 (全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线
上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位： ）.根据长期生产经验，可以认为这
条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ．
（1）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
之外的零件数,求及 的数学期望；
【解析】抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为 ，从而零件
的尺寸在之外的概率为，故（判断 服从
二项分布是求 的关键）.因此
.
X的数学期望为
. .
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
【解析】如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的概率只有
，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 之外的零件的概率
只有 ，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在
这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述
监控生产过程的方法是合理的.
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26
经计算得, ，其
中为抽取的第个零件的尺寸，，2， ，16．
用样本平均数作为 的估计值,用样本标准差作为 的估计值 ，利用估计值判断
是否需对当天的生产过程进行检查.剔除 之外的数据，用剩下的数据
估计 和 （精确到0.01）.
附：, .
【解析】由，,得 的估计值， 的估计值 ,由样
本数据可以看出9.22在， 之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除数据，剩下数据的平均数为,因此 的估计
值为10.02.
因为，所以
（由公式变形可得） ，
剔除数据 ，剩下数据的样本方差为
，
又,因此 的估计值为0.09.
. .
思路点拨 （1）利用正态分布、二项分布的性质求出及 的数学期望；
（2）先计算尺寸在 之外的零件的概率，再说明监控生产过程方法
的合理性；先利用给出的数据计算出区间 ，从而剔除
之外的数据，再利用剩余数据估计 和 .
高考新题型专练
图7.5-16
1.[多选题](2025·江西省赣州市模拟)近年来，网络消费新业态、
新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展.某报社开展了网络
交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选
取5 000人进行问卷调查，根据满意度得分（单位：分）分成以
下5组：， ， .统计结果如图7.5-16所
示．由频率分布直方图可认为满意度得分 （单位：分）近似地
服从正态分布，并已求得 ．则( )
ABD
A.由频率分布直方图可估计样本的平均数为74.5
B.由频率分布直方图可估计样本的中位数为75
C.由正态分布可估计全县 的人口为2.3万人
D.由正态分布可估计全县 的人口为40.93万人
【解析】选项A，样本平均数为
，即
A正确；
选项B，满意度得分在区间内的频率为 ，满意
度得分在区间内的频率为 ，所以中位数
在区间内，设中位数为,则，解得 ，即B
正确；
选项C，由题意知，近似服从正态分布 ，所以
，
所以估计全县的人口为 （万人），即C错误；
选项D， ，
所以估计全县的人口为 （万人），即D正确．故
选ABD．
2.[多选题](2025·广东省广州市期末)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别
记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车用时 和骑
自行车用时都服从正态分布，，，和 的正态曲线如
图7.5-17所示．则下列正确的是( )
BD
图7.5-17
A.
B.
C.
D.为了保证 的概率不迟到，李明不管选择哪种交通
工具都需至少预留36分钟时间
【解析】对于A，根据给定的正态曲线，可得，所以 ，所以A
错误；
对于B，根据正态曲线，可得时的正态曲线与轴围成的面积小于时
的正态曲线与轴围成的面积，所以 ，所以B正确；
对于C，根据正态曲线，可得
，
即 ，所以C错误；
对于D，因为 ，所以
，
为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时
间，所以D正确.故选BD.
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：35分钟
1.(2025·陕西省渭南市期末)设随机变量服从正态分布 ,若
,则 ( )
B
A. B. C. D.2
【解析】, ，
解得 ,故选B.
2.(2025·山东省东营市期末)设随机变量 服从标准正态分布 ，已知
，则 ( )
C
A.0.025 B.0.05 C.0.95 D.0.975
【解析】 ，
.
3.(2025·江西省丰城中学段考)已知随机变量 服从正态分布 ,
，则 ( )
B
A.0.26 B.0.24 C.0.48 D.0.52
【解析】 随机变量 服从正态分布 ，
，
又， ，
根据正态曲线的对称性可得 .
4.(2025·湖南省娄底市第一中学期末)某市高二年级有20 000名学生，在一次检测考
试中，数学成绩 ，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况
（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65
分以上的概率为( )
（参考数据：, ）
C
A. B. C. D.
【解析】由知 ，
则 ，
，
又10名学生的成绩在65分以上的人数，所以 ．
5.［多选题］(2025·河南省开封市期末)若随机变量服从正态分布 ，已知
，则( )
AB
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知，正态曲线的对称轴为直线 ，
对于A， ，故A正确；
对于B，由正态曲线的对称性可知， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.
故选 .
图7.5-1
6.［多选题］(2025·山东省枣庄市期末)甲、乙两地举行数学
联考，统计发现：甲地学生的成绩 ，
乙地学生的成绩 .图7.5-1是甲、乙两
地学生的数学成绩的正态曲线，则( )
AD
A.甲地学生的数学平均成绩比乙地的低
B.甲地学生的数学成绩的离散程度比乙地的小
C.
D.若，则
【解析】对于A，由图象可得甲地学生的数学平均成绩比乙地的低，故A正确；
对于B，由图象可得甲地学生的数学成绩的离散程度比乙地的大，故B错误；
对于C，由正态曲线的对称性可得
，故C错误；
对于D，若，则 ，
， ，
所以 ，
，
所以 ，故D正确．
故选 ．
7.已知随机变量 服从正态分布,则 ___.
8
【解析】 随机变量 服从正态分布,,则 .
8.(2025·甘肃省武威市期中)在某校举行的一场古诗词大赛中，全体参赛学生的成绩
（单位：分）近似服从正态分布 ．已知成绩在90分以上的学生有16名．
（1）试问此次参赛的学生约有多少人？
【答案】由题意知，，所以， ，则
,
．
因此，此次参赛的学生约有703人．
（2）若该校计划奖励成绩在80分以上的学生，试问此次大赛获得奖励的学生约有多
少人？
【答案】由 ，
．
因此，此次大赛获得奖励的学生约有112人．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：45分钟
9.(2025·湖北省武汉市期末)设随机变量，函数 在
定义域上是单调递减函数的概率为，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 ，
所以 ，
若对任意实数恒成立，则 ，所以
.
又，所以，，，，， ，
所以， ，
则
.
10.(2025·河北省沧衡八校联盟期中)某校高三学生的模考数学成绩 服从正态分布
，按照，，， 的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合
格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为92分，则他的等级是( )
B
A.优秀 B.良好 C.合格 D.基本合格
【解析】由题得，，所以， ，
.
因为 ，
所以根据比例成绩大于95分为优秀.
因为 ，
所以根据比例成绩在85到95之间的为良好，
又小张的数学成绩为92分，所以他的等级是良好.
11.新考法 数学文化［多选题］(2025·辽宁省葫芦岛市期末)正态密度函数的形式由
法国数学家棣莫弗于1733年提出，但德国数学家高斯提出“正态误差”的理论后，正
态密度函数才取得“概率分布”的身份，故正态分布又称为高斯分布，记作
，的正态分布称为标准正态分布，如果令 ，则可以
证明 ，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果
，那么对任意的,通常记，也就是说，表示
对应的正态曲线与轴在区间 内所围的面积.为了解某市高三数学复习备考情
况，该市教研机构组织了一次模拟考试，研究发现，本次考试的数学成绩
（单位：分）近似服从正态分布 ．则下列说法正确的有( )
参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布 对应的概率值．
0.24 0.25 0.26 0.35 0.36
A.已知，则
B.
C.按以往的统计数据，该市数学成绩能达到优秀等级的同学约占 ，据此估计本
次考试成绩达到优秀等级的数学成绩为108分（精确到整数）
D.已知该市考生约有10 000名，某学生此次数学成绩为110分，则该学生在全市排名
大概位于 名之间
√
√
√
【解析】对于A，若，则 ，
所以 ，
所以 ，故A错误；
对于B， ，故B
正确；
对于C，若该市数学成绩能达到优秀等级的同学占 ，
则 ，
所以，所以 ，
又，所以， ，
所以，即 ，故C正确；
对于D，若某学生此次数学成绩为110分，
则 ，
因为 ，
所以 ，
因为，所以该学生在全市排名大概位于 名之
间，故D正确．
故选 ．
12.(2025·江西省鹰潭市余江一中月考)中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据
该定理，若随机变量，则当且时， 可以由服从正态
分布的随机变量 近似替代，且 的期望与方差分别与 的期望与方差近似相等.现
投掷一枚质地均匀的骰子2 500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数
少于1 300的概率为__________.（参考数据： ）
【解析】投掷一枚质地均匀分布的骰子2 500次，设向上的点数为偶数的次数为 ，
则 ，
，
.
由于且，由中心极限定理可知 ，且
， ，
又 ，
所以 ，
所以利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数小于1 300的概率为
13.(2025·福建省莆田市期中)某大型电器企业为了解组装车间职工的工作情况，从中
随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下表所示.
日组装个数
人数 6 12 34 30 10 8
（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组
装个数少于165的概率.
【答案】设至少有1人日组装个数少于165为事件 ，
则 .
（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数服从正态分布，
近似为这100人日组装个数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
【答案】这100人日组装个数的平均值为
,
所以 .
因为，所以 .
（i）若组装车间有20 000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；
【答案】易知 ,所以
,
所以日组装个数超过198的人数为 .
（ii）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，
若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望．
【答案】因为 ,所以日组装个数在185以上的概率为0.5．
设这3人中日组装个数超过185的人数为 ，这3人增加的日工资总额为 ，则
，且 ，
所以，所以 ．
14.某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期
生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布 ．某机械加工厂购
买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10
件作为样本，记样本的尺寸为，2，3， ，10，单位： ，测得的数据
如下表：
100.03 100.4 99.92 100.52 99.98
100.35 99.92 100.44 100.66 100.78
用样本的平均数作为 的估计值，用样本的标准差作为 的估计值．
（1）按照技术标准的要求，若样本尺寸均在（单位: ）范围内，
则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格．
【答案】根据题意知，样本的平均数
，
方差 ，
所以， .
因为样本尺寸 ，所以该切割设备的质量合格.
（2）该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了如下两种销售方案
（假设每种方案对销售量没有影响）.
方案1：每个零件均按70元定价销售.
方案2：若零件的实际尺寸在（单位：）范围内，则该零件为 级零件，每个零
件定价100元，否则为 级零件，每个零件定价60元．
哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明．
附：,样本方差 .
【答案】若采用方案2，则可设生产的零件售价为随机变量 ，则 可以取60，100.
由（1）知，该设备生产的零件尺寸 ，
60 100
所以 的数学期望为
因为 ,即采用方案2时每个零件的平均售价高于采用方案1时的定价，所以
方案2的利润更大．
所以 ，
.
所以随机变量 的分布列如下.
C 培优练丨能力提升
15.(2025·安徽省部分学校联考)无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要
技术，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对
无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：
对无人驾驶的态度 支持 中立 反对
频数 48 32 16
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相
互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，
每名反对者得1分．
（1）从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．
【答案】由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为 ，得5分的概率为
，
故从该校任选2名学生得分不相同的概率为
.
（2）从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．
【答案】因为 ，
所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为
.
（3）从该校任选名学生，设其中得分为5的学生人数为，若 ，
利用下面所给的两个结论，求正整数 的最小值．
结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布 ；
结论二：若随机变量，则， ．
【答案】易知，设 ，
根据结论一，知近似服从正态分布 .
再根据结论二，知 （【释疑惑】若
,则 ）
由条件知 ，
所以，解得 ，
所以正整数 的最小值为11.
第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 正态曲线与正态分布
1 连续型随机变量
现实中，有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区
间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
（有无数个值，不能一一列举）
. .
2 正态曲线与正态分布的概念
图7.5-1
（1）我们称,
（其中, 为参数）为正态密度函数，称
它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，其图
象如图7.5-1所示.
（2）若随机变量 的概率分布密度函数为
，则称随机变量 服从正态分布，记为
，（【易错】注意此处为，而不是） ）.
（3）若，则 ， .
. .
3 正态曲线的特点
由 的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点：
（1）曲线是单峰的，它关于直线 对称.,有
（2）曲线在 处达到峰值 .（可由复合函数的单调性求得）
（3）当无限增大时，曲线无限接近 轴.
（4）曲线位于轴上方，与轴不相交；，恒成立曲线与 轴
之间的区域的面积为1.
. .
. .
. .
. .
. .
知识剖析 参数 和 对正态曲线的形状的
影响
1. 为位置参数.
当参数 取固定值时，正态曲线的位
2. 为形状参数.
参数 的大小决定了曲线的高低和胖瘦，因此 的变化影响曲线的形状. 越小，
曲线越“瘦高”，表示随机变量的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量
的分布越分散，如图7.5-3.（参数 反映了随机变量的分布相对于均值 的离散程度）
置由 确定，且随着 的变化而沿轴平移，如图7.5-2.（参数 反映了正态分布的
集中位置）
学思用·典例详解
例1-1 根据下列正态密度函数的表达式，找出其均值和方差.
（1）， ；
【解析】将正态密度函数与对照得 ,
，所以其均值为0，方差为1.
（2）， .
【解析】将正态密度函数与 对照得
, ，所以其均值为1，方差为2.
图7.5-7
例1-2 如图7.5-7所示是一个正态曲线，试根据该
图象写出正态密度函数的解析式．
【解析】由题图可知该正态曲线关于直线
对称，最大值是，所以 ，（随机变量的
均值）
由，得 ，（随机变量的标准差）
所以该正态密度函数的解析式为
， .
图7.5-8
例1-3 (2025·山东省齐鲁名校联考)已知三条正态曲线
如图7.5-8 所示，则下列
判断正确的是( )
D
A.， B.，
C.， D.，
【解析】由正态曲线关于直线 对称，知 的大小决定曲线的形
状， 越大，曲线越“矮胖”； 越小，曲线越“瘦高”，则 .
（也可由，得,即 ）
知识点2 正态分布的几何意义及 原则
1 正态分布的几何意义
对任意的，正态曲线与轴之间的区域的面积总为1.若 ，如图
7.5-4所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而 为
区域 的面积.
图7.5-4
2 三个常用的概率值
假设，可以证明：对给定的, 是一个
只与 有关的定值.特别地，
，
，
.
上述结果可用图7.5-5表示.
图7.5-5
3 原则
尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中， 的取值几乎总是落
在区间内,而在此区间以外取值的概率大约只有 ，通常认为这
种情况几乎不可能发生.（这样的事件可看成小概率事件）
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量 只取
中的值，这在统计学中称为 原则.
学思用·典例详解
例2-4 [多选题](2025·山西省朔州市期中)随机变量服从正态分布 ,则下列结
论正确的是( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】由随机变量服从正态分布 ,得正态曲线的对称轴为直线
，则 ,故A正确;标准差为5,方差为25，故B错误;
由正态曲线的对称性得, ，故C，D正确.
图7.5-9
例2-5 [教材改编P87习题7.5 T2]为了解某地高中男生的身体发育
状况，随机抽取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他
们的体重（单位：）服从正态分布 ，正态曲线如图7.5
-9所示.若体重落在区间 内属于正常情况，则在这1 000
名男生中不属于正常情况的人数约是( )
D
A.954 B.819 C.683 D.317
【解析】由题意可知，, ，故
,从而不属于正常情况的人数
约是 .
释疑惑 重难拓展
知识点3 标准正态分布
1 定义
且 的正态分布称为标准正态分布，其密度函数解析式为
, ，标准正态分布在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果
，那么令，则可以证明 （也可通过函数图象变换加
以说明），即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.
. .
. .
2 标准正态分布下的概率表示
如果，那么对于任意，通常记，也就是说 表
示对应的正态曲线与轴在区间 内所围的面积，如图7.5-6所示.
图7.5-6
3 性质
根据正态曲线的对称性，可以知道具有性质 .
学思用·典例详解
例3-6 (教材改编P87练习T1)设随机变量 服从标准正态分布，已知 ，
则 ( )
D
A.0.03 B.0.06 C.0.97 D.0.94
【解析】 ，
，
,
标准正态曲线关于直线 对称，
，
故 .
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 正态曲线及其特点的认识
例7 [多选题](2025·江苏省无锡市运河实验中学月考)甲、乙两类水果的质量
（单位：）分别服从正态分布， ，正态曲线如图7.5-10所示，
则下列说法正确的是( )
ABC
图7.5-10
A.甲类水果的平均质量为
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【解析】由图象可知甲曲线关于直线对称，乙曲线关于直线 对称，
， ，故A，C正确；
甲曲线比乙曲线更“高瘦”， 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质
量，故B正确；
乙曲线的峰值为，即 ，
，故D错误．
例8 (2025·湖南省长沙市明德中学月考)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻
技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂
交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食
供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高
（单位：）服从正态分布，其正态密度函数为， ，
则下列说法正确的是( )
A
A.该地水稻的平均株高为
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在 以下的概率小
D.随机测量一株水稻，其株高在和在（单位： ）的概率一样大
【解析】由，得， ，故该地水稻的平均株高
为 ，该地水稻株高的方差为100，故A正确,B错误；
，所以随机测量一株水稻，其株高在 以
上的概率比株高在 以下的概率大，故C错误；
根据正态曲线对称性知， ，
故随机测量一株水稻，其株高在和在（单位： ）的概率不一样
大，故D错误．
利用正态曲线的特点求参数 ，
（1）正态曲线是单峰的，它关于直线 对称，由此特点结合图象求出 .
（2）正态曲线在 处达到峰值，由此特点结合图象可求出 .
【学会了吗丨变式题】
1.(2026·湖北省沙市中学月考)某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶
青生产红茶．根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红
茶产量（单位：克）分别为，，且， ，其正态曲线如图
7.5-11所示，则以下结论错误的是( )
D
图7.5-11
A.的数据较 更集中
B.
C.甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D.
【解析】对于A， 的正态曲线更“瘦高”，即数据更集中，正确；
对于B， 直线，，的正态曲线与轴围成的面积大于直线 ,
，的正态曲线与轴围成的面积，又 ，
， ，正确；
对于C，， 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率 ，正
确；
对于D，由B知， ，
，错误．故选D．
题型2 正态分布的概率计算
1 利用正态曲线的对称性求概率
例9（1）(2025·河南省南阳市期末)已知随机变量服从正态分布 ，
，则 ( )
A
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
图7.5-12
【解析】由 可知，其正态曲线如图7.5-12所示，对称
轴为直线 ,则
.
（2）(2025·黑龙江省实验中学期中)已知随机变量 服从正态分布 ，若
，则 _____．
0.37
【解析】由于随机变量 服从正态分布，且 ，
所以 ，
所以 .
（3）(2025·天津市四校期末)设随机变量服从正态分布 ，且
，若，则 ____．
0.5
【解析】因为随机变量服从正态分布，且 ，所以
.
根据正态曲线的对称性（5.5与0.5关于3对称）， ，所
以 .
. .
思路点拨 利用正态曲线的对称性进行区间转化，即可求概率.
2 利用三个特殊区间的概率值求概率
例10 设 ，试求：
（1） ;
【解析】
.
（2） ;
【解析】由该正态曲线关于直线 对称可知
（3） .
【解析】 ,
.
利用正态分布求概率的两个方法
（1）对称法：由于正态曲线是关于直线 对称的，且概率的和为1，故关于直
线 对称的区间概率相等．如：
；
．
（2）“ ”法：利用落在区间，， 内
的概率分别是,， 求解．（此法常用于条件中无已知概率的时
候）
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·河北省部分名校期末)已知随机变量，若 ，
，则 ( )
D
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【解析】由题意可得 .
随机变量， ．
3.[多选题](2025·河南省周口市期末)某地区根据有气象记录以来的统计数据，发现每
年第三季度日平均降雨量（单位：毫米）服从正态分布 ，则( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】由，得, ，
，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.故选 .
题型3 正态分布的实际应用
1 利用正态分布进行估计
例11 (2025·山东省临沂市期末)某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量
（单位：克）服从正态分布 ，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检
的篮球的质量不小于596克的个数约为( )
C
A.286 B.293 C.252 D.246
【解析】由题意可知，, ，
由 得
，
即 ，
所以 ，
所以
，
因此被抽检的篮球的质量不小于596克的个数为 .
利用服从于正态分布 的随机变量在三个特殊区间上取值的概率可以解决一些
实际问题，如估算总体在某一范围内的个体数等.
具体方法：先确定随机变量在某一范围内取值的概率，再乘总体数量.
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·山东省青岛市调研)某工厂制造的某种机器零件的尺寸 ，现
从中随机抽取10 000个零件，尺寸在 内的个数约为( )
B
A.2 718 B.1 359 C.430 D.215
【解析】,, ,
则 ,
故随机抽取的10 000个零件中尺寸在〖99.8，99.9］内的个数约为
.
2 原则的应用
例12 (2025·四川师范大学附属中学三诊)在实际应用中，通常认为服从正态分布
的随机变量只取中的值，这在统计学中称为 原则.现用
甲、乙、丙、丁四台 打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这四台
打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸（单位： ）服从正态
分布，且 .根据要求，正式打印前需要对设备进行
调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位： ）如
下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是( )
C
A.甲：，，，， B.乙：，，，，
C.丙：，，，， D.丁：，，，，
【解析】依题意，， ，
所以， ,
所以打印出来的零件内径尺寸应满足，（利用 原则求出打印出的
零件内径尺寸范围）
结合选项可知，不需要调试的为丙.
利用 原则进行决策的步骤
（1）确定一次试验中的取值是否落在区间 内.
（2）进行判断:若,则符合要求；若 ,则不符合
要求.
【学会了吗丨变式题】
5.［多选题］(2025·重庆市调研)已知某生产线上生产的零件长度 （单位：厘米）服
从正态分布，根据 原则，若的取值在 外，则可以
认为生产线是不正常的.则( )
BCD
A.
B.
C.若抽检的10个样本的长度均在 内，可以认为生产线正常
D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为 ，应对生产线进行检修
【解析】由题意可得, .
对于A，因为正态分布求得的是随机变量在某一区域内的概率，所以
或，但 ,故A错误；
对于B，因为服从正态分布，所以正态曲线关于直线 对称，所以
，故B正确；
对于C，因为，即零件长度在 内的是正常的，
所以C正确；
对于D， ，所以需要对生产线进行检修，所以D正确.故选BCD.
题型4 标准正态分布及其应用
例13 (2025·福建省泉州市期中)随机变量， ，若
，则 _______.
【解析】因为，所以 ，
若 ，
则 ，
所以 .
例14 (2025·辽宁省东北育才学校统考)某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物
四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分
为,,,, 共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为
，，，，.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至 等级内的
考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，， ，
， 五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩.如果该省某次高考模拟考
试政治科目的原始成绩，若一名学生的原始成绩划分为 等级，则他
的原始分数最低为____分．（分数保留整数）
附： .
71
【解析】由题意知，等级人数所占比例为 ，
若等级的原始分数最低为 ，
又原始成绩，则， ，
令，则 ，
又，所以 ，
即，可得 ,
则他的原始分数最低为71分.
题型5 正态分布与其他知识的综合应用
图7.5-13
例15 (2025·广东省江门市期中)某市高中男生身高
统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服
从正态分布 .现从某学校高三年级男生中
随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全
部介于和 之间，将测量结果按如下
方式分成6组：第1组 ，第2组
， ，第6组 ，如图7.5-13是按
上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）试估计该校高三年级男生的平均身高；
【解析】由频率分布直方图可知，该校高三年级男生的平均身高约为 .
（2）求这50名男生身高在以上（含 ）的人数；
【解析】由频率分布直方图知，后3组的频率为 ，人数
为，即这50名男生身高在以上（含 ）的人数为10.
（3）在这50名身高在以上（含 ）的男生中任意抽取2人，将该2人身
高纳入全市排名（从高到低），能进入全市前135名的人数记为 ，求 的数学期望.
【解析】全市100 000名男生的身高服从正态分布 ，则
.
由正态曲线的对称性可知， ，且
，（在对称轴两侧的对称区间内发生的概率相等，此处易
漏除以2）
故全市前135名男生的身高在 及以上.
这50人中身高在及以上的人数为 .
随机变量 的可能取值为0，1，2，则
. .
, ,
，
故 .
给什么 得什么
求什么 想什么
差什么 找什么 求能进入全市前135名的人数，先由身高服从正态分布计算出全市前135
名所对应的身高，进而计算这50名学生中身高能进入全市前135名的人
数，最后再计算相应概率.
图7.5-14
例16 某工厂抽取了一台设备 在一段时间内生产
的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图
7.5-14所示的频率分布直方图．
（1）计算该样本的平均值，方差 .（同一组中
的数据用该组区间的中点值作代表）
【解析】由频率分布直方图可得 ，
．
（2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值
近似服从正态分布，其中 近似为样本平均值，近似为样本方差 .任取
一个产品，记其质量指标值为.若 ，则认为该产品为一等品;
，则认为该产品为二等品;若 ，则认为该产品为不合
格品.已知设备 正常状态下每天生产这种产品1 000个．
（ⅰ）用样本估计总体，该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过
【解析】 由（1）得 ，由题图可得质量指
标值在和的频率为 ，所以该工厂一天
生产的产品中不合格品超过 ．
由于
.所
以该工厂一天生产的产品中不合格品超过 ．
（ⅱ）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备 换得生产相同产
品的改进设备.经测试，设备 正常状态下每天生产产品1 200个，生产的产品为一
等品的概率是，二等品的概率是，不合格品的概率是 .若工厂生产一个一
等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40
元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备
参考数据： ．
【解析】设，分别为设备， 一天为工厂创造的利润，则
，
，所以采用新设备 利润每天增加
，
（天）.
因此，只需56天使用设备产生的利润就超过使用设备 产生的利润和换购费用总和，
从长远来看，应该换购设备 ．
. .
. .
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·安徽省亳州二中月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品
的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图（图7.5-15）：
图7.5-15
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 （同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表）；
【答案】由频率分布直方图可知，抽取产品的质量指标值的样本平均数 ,
样本方差 .
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布,其中 近
似为样本平均数，近似为样本方差 .
（ⅰ）利用该正态分布，求 ;
【答案】由（1）知， ，
从而 .
（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位
于区间的产品件数.利用的结果，求 .
附： .
【答案】由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为
0.682 7，依题意知 ,
所以
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考对正态分布的考查以正态曲线的性质为主,重点考查利用正态曲线的对称性求解
简单的概率问题,在解答题中多强调对 原则的应用.各种题型都会出现，难度中等
或中等偏下.
核心素养：直观想象（正态曲线），数学建模（构建正态分布模型）,数据分析
（通过分析题目中给的数据解题）,数学运算（求随机变量取值的概率）.
考向1 正态分布的图象与性质
例17 (新高考全国Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中
不正确的是( )
D
A. 越小，该物理量一次测量结果落在 内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在内的概率与落在 内的概率相等
【解析】设该物理量一次测量结果为 .
对A， 越小，说明数据越集中在10附近，所以落在 内的概率越大，所
以选项A正确；
对B，根据正态曲线的对称性可得， ,所以选项B正确；
对C，根据正态曲线的对称性可得， ，所以选项C正确；
对D，根据正态曲线的对称性可得，
,又
，所以
，所以选项D错误.
考向2 概率的计算与应用
例18 [多选题](2024· 新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多
措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位:万元）情况，从该种植区抽
取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值,样本方差 .已知该种植
区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入 服从正态分
布,则（若随机变量服从正态分布,则 ）
( )
BC
A. B. C. D.
【解析】由题意可知，，所以 ,
,所以
,所以A错误，
B正确.
因为，所以, ,所以
,所以 ，所以C正确,D错误.综上，选 .
例19 (2022·新高考全国Ⅱ卷)随机变量服从正态分布 ，若
，则 _____．
0.14
【解析】由题意可知， ，故
．
考向3 与统计知识的综合
例20 (全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线
上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位： ）.根据长期生产经验，可以认为这
条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ．
（1）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
之外的零件数,求及 的数学期望；
【解析】抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为 ，从而零件
的尺寸在之外的概率为，故（判断 服从
二项分布是求 的关键）.因此
.
X的数学期望为
. .
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
【解析】如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的概率只有
，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 之外的零件的概率
只有 ，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在
这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述
监控生产过程的方法是合理的.
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26
经计算得, ，其
中为抽取的第个零件的尺寸，，2， ，16．
用样本平均数作为 的估计值,用样本标准差作为 的估计值 ，利用估计值判断
是否需对当天的生产过程进行检查.剔除 之外的数据，用剩下的数据
估计 和 （精确到0.01）.
附：, .
【解析】由，,得 的估计值， 的估计值 ,由样
本数据可以看出9.22在， 之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除数据，剩下数据的平均数为,因此 的估计
值为10.02.
因为，所以
（由公式变形可得） ，
剔除数据 ，剩下数据的样本方差为
，
又,因此 的估计值为0.09.
. .
思路点拨 （1）利用正态分布、二项分布的性质求出及 的数学期望；
（2）先计算尺寸在 之外的零件的概率，再说明监控生产过程方法
的合理性；先利用给出的数据计算出区间 ，从而剔除
之外的数据，再利用剩余数据估计 和 .
高考新题型专练
图7.5-16
1.[多选题](2025·江西省赣州市模拟)近年来，网络消费新业态、
新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展.某报社开展了网络
交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选
取5 000人进行问卷调查，根据满意度得分（单位：分）分成以
下5组：， ， .统计结果如图7.5-16所
示．由频率分布直方图可认为满意度得分 （单位：分）近似地
服从正态分布，并已求得 ．则( )
ABD
A.由频率分布直方图可估计样本的平均数为74.5
B.由频率分布直方图可估计样本的中位数为75
C.由正态分布可估计全县 的人口为2.3万人
D.由正态分布可估计全县 的人口为40.93万人
【解析】选项A，样本平均数为
，即
A正确；
选项B，满意度得分在区间内的频率为 ，满意
度得分在区间内的频率为 ，所以中位数
在区间内，设中位数为,则，解得 ，即B
正确；
选项C，由题意知，近似服从正态分布 ，所以
，
所以估计全县的人口为 （万人），即C错误；
选项D， ，
所以估计全县的人口为 （万人），即D正确．故
选ABD．
2.[多选题](2025·广东省广州市期末)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别
记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车用时 和骑
自行车用时都服从正态分布，，，和 的正态曲线如
图7.5-17所示．则下列正确的是( )
BD
图7.5-17
A.
B.
C.
D.为了保证 的概率不迟到，李明不管选择哪种交通
工具都需至少预留36分钟时间
【解析】对于A，根据给定的正态曲线，可得，所以 ，所以A
错误；
对于B，根据正态曲线，可得时的正态曲线与轴围成的面积小于时
的正态曲线与轴围成的面积，所以 ，所以B正确；
对于C，根据正态曲线，可得
，
即 ，所以C错误；
对于D，因为 ，所以
，
为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时
间，所以D正确.故选BD.
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：35分钟
1.(2025·陕西省渭南市期末)设随机变量服从正态分布 ,若
,则 ( )
B
A. B. C. D.2
【解析】, ，
解得 ,故选B.
2.(2025·山东省东营市期末)设随机变量 服从标准正态分布 ，已知
，则 ( )
C
A.0.025 B.0.05 C.0.95 D.0.975
【解析】 ，
.
3.(2025·江西省丰城中学段考)已知随机变量 服从正态分布 ,
，则 ( )
B
A.0.26 B.0.24 C.0.48 D.0.52
【解析】 随机变量 服从正态分布 ，
，
又， ，
根据正态曲线的对称性可得 .
4.(2025·湖南省娄底市第一中学期末)某市高二年级有20 000名学生，在一次检测考
试中，数学成绩 ，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况
（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65
分以上的概率为( )
（参考数据：, ）
C
A. B. C. D.
【解析】由知 ，
则 ，
，
又10名学生的成绩在65分以上的人数，所以 ．
5.［多选题］(2025·河南省开封市期末)若随机变量服从正态分布 ，已知
，则( )
AB
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知，正态曲线的对称轴为直线 ，
对于A， ，故A正确；
对于B，由正态曲线的对称性可知， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.
故选 .
图7.5-1
6.［多选题］(2025·山东省枣庄市期末)甲、乙两地举行数学
联考，统计发现：甲地学生的成绩 ，
乙地学生的成绩 .图7.5-1是甲、乙两
地学生的数学成绩的正态曲线，则( )
AD
A.甲地学生的数学平均成绩比乙地的低
B.甲地学生的数学成绩的离散程度比乙地的小
C.
D.若，则
【解析】对于A，由图象可得甲地学生的数学平均成绩比乙地的低，故A正确；
对于B，由图象可得甲地学生的数学成绩的离散程度比乙地的大，故B错误；
对于C，由正态曲线的对称性可得
，故C错误；
对于D，若，则 ，
， ，
所以 ，
，
所以 ，故D正确．
故选 ．
7.已知随机变量 服从正态分布,则 ___.
8
【解析】 随机变量 服从正态分布,,则 .
8.(2025·甘肃省武威市期中)在某校举行的一场古诗词大赛中，全体参赛学生的成绩
（单位：分）近似服从正态分布 ．已知成绩在90分以上的学生有16名．
（1）试问此次参赛的学生约有多少人？
【答案】由题意知，，所以， ，则
,
．
因此，此次参赛的学生约有703人．
（2）若该校计划奖励成绩在80分以上的学生，试问此次大赛获得奖励的学生约有多
少人？
【答案】由 ，
．
因此，此次大赛获得奖励的学生约有112人．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：45分钟
9.(2025·湖北省武汉市期末)设随机变量，函数 在
定义域上是单调递减函数的概率为，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 ，
所以 ，
若对任意实数恒成立，则 ，所以
.
又，所以，，，，， ，
所以， ，
则
.
10.(2025·河北省沧衡八校联盟期中)某校高三学生的模考数学成绩 服从正态分布
，按照，，， 的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合
格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为92分，则他的等级是( )
B
A.优秀 B.良好 C.合格 D.基本合格
【解析】由题得，，所以， ，
.
因为 ，
所以根据比例成绩大于95分为优秀.
因为 ，
所以根据比例成绩在85到95之间的为良好，
又小张的数学成绩为92分，所以他的等级是良好.
11.新考法 数学文化［多选题］(2025·辽宁省葫芦岛市期末)正态密度函数的形式由
法国数学家棣莫弗于1733年提出，但德国数学家高斯提出“正态误差”的理论后，正
态密度函数才取得“概率分布”的身份，故正态分布又称为高斯分布，记作
，的正态分布称为标准正态分布，如果令 ，则可以
证明 ，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果
，那么对任意的,通常记，也就是说，表示
对应的正态曲线与轴在区间 内所围的面积.为了解某市高三数学复习备考情
况，该市教研机构组织了一次模拟考试，研究发现，本次考试的数学成绩
（单位：分）近似服从正态分布 ．则下列说法正确的有( )
参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布 对应的概率值．
0.24 0.25 0.26 0.35 0.36
A.已知，则
B.
C.按以往的统计数据，该市数学成绩能达到优秀等级的同学约占 ，据此估计本
次考试成绩达到优秀等级的数学成绩为108分（精确到整数）
D.已知该市考生约有10 000名，某学生此次数学成绩为110分，则该学生在全市排名
大概位于 名之间
√
√
√
【解析】对于A，若，则 ，
所以 ，
所以 ，故A错误；
对于B， ，故B
正确；
对于C，若该市数学成绩能达到优秀等级的同学占 ，
则 ，
所以，所以 ，
又，所以， ，
所以，即 ，故C正确；
对于D，若某学生此次数学成绩为110分，
则 ，
因为 ，
所以 ，
因为，所以该学生在全市排名大概位于 名之
间，故D正确．
故选 ．
12.(2025·江西省鹰潭市余江一中月考)中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据
该定理，若随机变量，则当且时， 可以由服从正态
分布的随机变量 近似替代，且 的期望与方差分别与 的期望与方差近似相等.现
投掷一枚质地均匀的骰子2 500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数
少于1 300的概率为__________.（参考数据： ）
【解析】投掷一枚质地均匀分布的骰子2 500次，设向上的点数为偶数的次数为 ，
则 ，
，
.
由于且，由中心极限定理可知 ，且
， ，
又 ，
所以 ，
所以利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数小于1 300的概率为
13.(2025·福建省莆田市期中)某大型电器企业为了解组装车间职工的工作情况，从中
随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下表所示.
日组装个数
人数 6 12 34 30 10 8
（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组
装个数少于165的概率.
【答案】设至少有1人日组装个数少于165为事件 ，
则 .
（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数服从正态分布，
近似为这100人日组装个数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
【答案】这100人日组装个数的平均值为
,
所以 .
因为，所以 .
（i）若组装车间有20 000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；
【答案】易知 ,所以
,
所以日组装个数超过198的人数为 .
（ii）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，
若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望．
【答案】因为 ,所以日组装个数在185以上的概率为0.5．
设这3人中日组装个数超过185的人数为 ，这3人增加的日工资总额为 ，则
，且 ，
所以，所以 ．
14.某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期
生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布 ．某机械加工厂购
买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10
件作为样本，记样本的尺寸为，2，3， ，10，单位： ，测得的数据
如下表：
100.03 100.4 99.92 100.52 99.98
100.35 99.92 100.44 100.66 100.78
用样本的平均数作为 的估计值，用样本的标准差作为 的估计值．
（1）按照技术标准的要求，若样本尺寸均在（单位: ）范围内，
则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格．
【答案】根据题意知，样本的平均数
，
方差 ，
所以， .
因为样本尺寸 ，所以该切割设备的质量合格.
（2）该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了如下两种销售方案
（假设每种方案对销售量没有影响）.
方案1：每个零件均按70元定价销售.
方案2：若零件的实际尺寸在（单位：）范围内，则该零件为 级零件，每个零
件定价100元，否则为 级零件，每个零件定价60元．
哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明．
附：,样本方差 .
【答案】若采用方案2，则可设生产的零件售价为随机变量 ，则 可以取60，100.
由（1）知，该设备生产的零件尺寸 ，
60 100
所以 的数学期望为
因为 ,即采用方案2时每个零件的平均售价高于采用方案1时的定价，所以
方案2的利润更大．
所以 ，
.
所以随机变量 的分布列如下.
C 培优练丨能力提升
15.(2025·安徽省部分学校联考)无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要
技术，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对
无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：
对无人驾驶的态度 支持 中立 反对
频数 48 32 16
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相
互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，
每名反对者得1分．
（1）从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．
【答案】由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为 ，得5分的概率为
，
故从该校任选2名学生得分不相同的概率为
.
（2）从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．
【答案】因为 ，
所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为
.
（3）从该校任选名学生，设其中得分为5的学生人数为，若 ，
利用下面所给的两个结论，求正整数 的最小值．
结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布 ；
结论二：若随机变量，则， ．
【答案】易知，设 ，
根据结论一，知近似服从正态分布 .
再根据结论二，知 （【释疑惑】若
,则 ）
由条件知 ，
所以，解得 ，
所以正整数 的最小值为11.