第七章 随机变量及其分布 章末总结 课件(共57张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册

(共57张PPT)
第七章 随机变量及其分布
章末总结
巧梳理 知识框图
提能力 专题归纳
专题1 求随机变量的数学期望和方差的三种方法
数学期望和方差是随机变量的重要数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均
水平和稳定程度，并被广泛地应用于解决实际问题，现就其常用解法举例如下.
1 利用定义法求解
例1 五个自然数1,2,3,4,5按照一定的顺序排成一排.
（1）求2和4不相邻的概率.
【解析】记“2和4不相邻”为事件,则 ，（插空法）故2和4不相邻的
概率为 .
（2）定义:若两个数的和为6且相邻,则称这两个数为一组“友好数”.随机变量 表示上
述五个自然数组成的一个排列中的“友好数”的组数,求 的分布列、数学期望 和
方差 .
【解析】因为,故最多有2组“友好数”,所以 的所有可能取值为2,1,0，
,（把2,4捆在一起当成一个元素，把1,5捆在一起当成一个元素）
，（若只有“2，4”一组“友好数”,就是把2，4捆在一起当成一
个元素,将其与3先排列,产生3个空位,再把1，5插入，同理可得只有“1,5”一组“友好数”
的情况）
.（可以分类讨论3的位置，也可用
来计算）
所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
所以 .
. .
2 利用性质求解
例2 已知 的分布列如下:
X 0 1
（1）求 的分布列;
【解析】由分布列的性质知,故,从而 的分布列为
0 1
（2）计算 的方差;
【解析】 由（1）知 ,
所以 ，
故 .
由（1）知 ,
所以 ,
的期望 ,
所以的方差 .
（3）若,求 的均值和方差.
【解析】因为 ,
所以, .
名师点评 此题运用了数学期望和方差的性质公式： ,
, 进行求解,方便快捷.
3 利用公式求解
例3 (2025·天津市大港油田实验中学月考)已知随机变量,若 ,则
, 分别是( )
A
A.4和2.4 B.2和2.4 C.6和2.4 D.4和5.6
【解析】 ,
, .
,, .
例4 若随机变量的正态密度函数是,则 ____,
____.
16
【解析】依题意得,,,则, .
.
.
名师点评 熟练掌握随机变量的各种分布模型（如两点分布、二项分布、超几何分布、
正态分布等），在选择题或填空题中求它们的期望与方差时，可直接用下面的公式求解.
分布模型 期望公式 方差公式
两点分布
专题2 有关概率解答题的综合性、创新性的体现
1 概率与统计的综合体现
图7-1
例5 (2025·安徽省阜阳市模拟)为了了解市
民对党史知识的掌握情况，某地的相关机
构随机选取了该地的100名市民进行调查，
将他们的年龄（单位：岁）分成6段：
,, , ，并绘制了如
图7-1所示的频率分布直方图.
（1）现从年龄在,, 内的人员中按分层随机抽样的方法抽取8人，
再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示年龄在内的人数，求 的分布列
和数学期望；
【解析】按分层随机抽样的方法抽取的8人中，
年龄在内的人数为 ，
年龄在内的人数为 ，
年龄在内的人数为 .
所以的可能取值为0，1，2，服从超几何分布，且,, ,
所以， ，
，
所以 的分布列为
0 1 2
.
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，
其中有名市民的年龄在内的概率为.当 最
大时，求 的值.
【解析】由题意知在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为，且 服从二项
分布.由频率分布直方图可知，年龄在 内的频率为
，所以 ，
所以 .
设
若，则， ；
若，则， .
所以当时，最大，即当最大时， .
2 概率与数列的综合体现
例6 (2025·山东省潍坊一中质检)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪
种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对
比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,
再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止
试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲
药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得 分;若施以乙药的白鼠
治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得 分;若都治愈或都未治愈则两种
药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ,一轮试验中甲药的得分记为 .
（1）求 的分布列.
【解析】的所有可能取值为 ,0,1.
,
,
.
所以 的分布列为
0 1
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分, 表示“甲药的累计得分为
时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则, ,
,其中, ,
.假设, .
（ⅰ）证明: 为等比数列;
【解析】由（1）得 ,
, .
因此,故 ,即
.
又,所以为公比为4,首项为 的等比数列.
（ⅱ）求,并根据 的值解释这种试验方案的合理性.
【解析】由 可得
.
由于,故 ，所以
.
表示甲药的累计得分为4时，最终认为甲药比乙药更有效的概率.由计算结果可以
看出,在甲药治愈率为 ,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为
，此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.
3 答案开放式的创新性设问
例7 (2025·北京市朝阳区六校联考)体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年
人腋下温度（单位:）平均在到之间即为正常体温,超过 即为发热.
现规定发热状态下，不同体温分成以下三种发热类型:低热， ;高热，
;超高热（有生命危险）， .
某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院进行治疗.医生根据病情变化，从14日开
始，以3天为一个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间，
患者每天上午8:00服药,护士每天下午16:00为患者测量腋下体温，记录如下:#1.1
抗生素使用情况 没有使用 日期 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日 19日
38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0
抗生素使用情况 没有使用 日期 20日 21日 22日 23日 24日 25日 26日
38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3
（1）请你计算该患者住院期间体温不低于 的各天体温的平均值.
【解析】由表可知,该患者共6天的体温不低于,记其平均体温为 ,
.
所以该患者住院期间体温不低于的各天体温的平均值为 .
续表
（2）在19日到23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行“ 项
目”的检查，记为高热体温下做“项目”检查的天数，试求 的分布列与数学期望.
【解析】因为高热体温的天数为2，所以 的所有可能取值为0,1,2.
, ,
.
则 的分布列为
0 1 2
所以 .
（3）抗生素一般在服药后2时至8时在血液中的含量达到高峰，开始杀灭病菌，达到
消炎退热的效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗
生素治疗效果最佳，并说明理由.
【解析】显然“抗生素”治疗效果不佳.“抗生素 ”治疗效果最佳.理由如下.
①使用“抗生素”期间，体温先连续两天下降,共计，又回升,“抗生素 ”使
用期间，体温持续下降，共计,说明“抗生素”降温效果最好,故“抗生素 ”治疗
效果最佳.
②使用“抗生素”治疗期间患者的平均体温约为,方差约为 ；使用“抗
生素”治疗期间患者的平均体温为,方差约为,使用“抗生素 ”治疗期间
患者体温的离散程度大,说明存在某个时间节点降温效果明显,故“抗生素 ”治疗效果
最佳.
“抗生素 ”治疗效果最佳.理由如下.
使用“抗生素”开始治疗后,患者体温才开始稳定下降,且使用“抗生素 ”治疗当天患者
的体温较前一天下降,是单日降温效果最好的一天,故“抗生素 ”治疗效果最佳.
（开放型问题,答案不唯一,但答“抗生素 ”治疗效果最佳不得分,理由与结果不匹配不
得分,不用数据不得分）
一题一课·学一题会一类
一类离散型随机变量期望的简便计算
1 问题的提出
例8 在某个电视鉴定栏目中，有甲、乙、丙、丁四个人，每人带了一件藏品，其中
甲、乙、丙的藏品被鉴定为“珍品”的概率是，丁的藏品被鉴定为“珍品”的概率是 .
（1）求这四件藏品中恰有一件藏品被鉴定为“珍品”的概率；
【解析】四件藏品中恰有一件藏品被鉴定为“珍品”的概率
.
（2）设这四件藏品中被鉴定为“珍品”的件数为随机变量，求 的数学期望.
【解析】 的所有可能取值为：0，1，2，3，4.
则 ;
（由（1）知）；
;
;
.
故 .
思考：第（2）问中，如果只考察甲、乙、丙的三件藏品，则三件藏品中被鉴定为
“珍品”的件数，其期望 ，而如果只考察丁的一件藏品，
显然这一件藏品被鉴定为“珍品”的期望，这时有恰是问题的答案 ,这
是不是巧合？
事实上，四件藏品被鉴定为“珍品”的件数应是 ，那么
是否成立呢？
2 问题的解决
对于两个离散型随机变量 , ，下面我们讨论 能否成立.
设离散型随机变量 , 的分布列分别为：
，
.
令 ，则所有可能取值为： ,
即,， ，，,， ，， ， ,
, ，（这时 个取值中可能存在多个相等的情况）.
由相互独立事件的概率乘法公式知，随机变量的分布列为 .#1.3
由于,，, ,
于是 ,
即 ，至此，问题得以解决，利用此结论即可对上述问题（2）
作简化.#1.6
【解析】记 表示甲、乙、丙的三件藏品被鉴定为“珍品”的件数， 表示丁的一件
藏品被鉴定为“珍品”的件数，则 ，且， ，所以
，，故 .
当某个离散型随机变量可以视为两个或多个随机变量的和时，利用上述结论与方法，
即可把求较复杂的离散型随机变量的数学期望问题转化为求两个或多个简单的随机
变量的期望的计算问题.
3 应用举例
例9 某单位绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活
率分别为和 ，且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；
【解析】两种大树各成活1株的概率为 .
（2）成活的株数 的期望.
【解析】令, 分别表示两种大树成活的株数，
则, .
于是， .
从而知 .
例10 一次数学考试共10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选
项是正确的.设计试卷时，安排前道题使考生都能得出正确答案；安排中间 道
题，使考生每题得出正确答案的概率为 ;安排最后两道题，每题得出正确答案的概
率为 ，且考生每题答对与否相互独立.同时规定，选对得5分，不选或选错得0分.要
使考生所得期望的分数不小于40分，求 的最小值.
【解析】设中间道题中答对的题数为 ，最后两题中答对的题数为 ,
则这10道题中答对的题数 ，
则， ，
所以, ,
于是 .
由条件得,解得 .
故要使考生所得期望的分数不小于40分，则 的最小值为7.
课堂小结 计算离散型随机变量的数学期望时，对运算能力有着较高的要求，在解决
这类问题时往往是思路明晰，但运算错误.在一类问题中，若能较好地运用上述方法，
则可较大程度地减少运算量，从而减少或避免运算的失误.
一章一练·学思维知创新
例11 新定义 信息熵(2025·河南省开封市期末)在数字通信中，信号是由0和1组成的
序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发
送信号0时，接收到0和1的概率分别为和 ；发送信号1时，接收到1
和0的概率分别为和 ．假设发送信号0和1是等可能的．
（1）若发送信号一次，求接收到正确信号的概率.
【解析】记发送信号为事件 .
接收到正确信号为事件 .
则,,, ，
所以 .
（2）若随机变量的分布列为,2,…, ，记事件
发生后给我们的信息量为，则称的均值为 的信
息熵，记为 .
①设发送信号两次，接收到正确信号的次数为，若，求 的信息熵
的值；
【解析】发送信号两次，接收到正确信号的次数为 .
由（1）知发送信号一次，接收到正确信号的概率 ,
所以，所以 ，
所以 .
②设发送信号一次，接收到正确信号的次数为，求的信息熵 取得最大值
时 的值．
【解析】发送信号一次，接收到正确信号的次数 的分布列为
0 1
所以 .
令，设, ，
所以 ，
由，解得 ，
所以当时，，在区间 上单调递减；
当时，，在区间 上单调递增.
所以当时， 取得最小值，
又 ，
所以取得最大时， .
例12 新考法 新定义题(2025·安徽省皖豫名校摸底)在机器学习中，精确率 、召回
率、卡帕系数 是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人
的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次
对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”， 表示事件“选到的位点检
测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数 ，
其中, ．
（1）若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率 ．
实际有雷 实际无雷 总计
检测到有雷 40 24 64
检测到无雷 10 26 36
总计 50 50 100
【解析】 ，
．
（2）对任意一次测试，证明： ．
【解析】 ，
要证明 ，
需证明 ．
等式右边：
．
等式左边：
因为 ，
所以
．
等式左右两边相等，因此 成立．
（3）若，则认为机器人的检测效果良好；若 ，则认为检测
效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数 评价（1）中机器人
的检测效果．
【解析】 ,
由（2）得，因为 ，
所以（1）中机器人的检测效果一般．
尖子生 强基自招
命题点1 概率
例13 (2025·全国高中数学联赛江苏赛区预赛)甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，
甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为___.
【解析】 设事件为“第次交换后黑球仍在甲手中”，记, ,
1,2, ，则有,且, .
由全概率公式得, ,变形可得
,，故}是以为首项， 为公比的等比数列，
故,故 ，
所以 .
黑球如果最后要回到甲手中，要么不动，要么动的次数是偶数，因此需
分类讨论.
黑球不动，概率为 ；
黑球动两次，概率为 ；
黑球动四次，概率为 .
故经过四次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为 .
例14 (2024· 全国高中数学联赛一试B卷)一只青蛙在正方形 的四个顶点间跳跃，
每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独
立的.若青蛙第一次跳跃前位于顶点,则它6次跳跃后恰好仍位于顶点 的概率为__.
图7-2
【解析】假设正方形如图7-2所示放置，青蛙初始位置为顶点 .
（若青蛙6次跳跃后恰好位于顶点 ，则它的纵向跳跃次数和横向跳
跃次数都是偶数，由此分类讨论）
①纵向跳跃6次的概率为 ；
②横向跳跃6次的概率也为 ；
③纵向跳跃4次，横向跳跃2次的概率为 ；
④横向跳跃4次，纵向跳跃2次的概率也为 ，
综上，6次跳跃后回到顶点的概率为 .
例15 (2025·全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛)是从,2, , 中随机抽取3个不同
的数排列出的最大的三位数，是从,2, , 中随机抽取3个不同的数排列出的最大
的三位数.求 的概率.
【解析】可分为两类：中有9时和中无9时 .
由题意可得，中有 ，
中无 .
若中有9，则 ；
若中无9,则 ，
此时 .
所以 .
命题点2 随机变量的数字特征
例16 (2025· 中国科学技术大学强基计划)个球装进 个盒，则装有球的盒子的个数
的期望是________________．
【解析】引入随机变量，定义时，表示第个盒子中有球， 时，表示
第个盒子中没有球，其中,2, , ，则装有球的盒子的个数
，
又），（一个球放入某个盒子的概率为 ）
，
故 ，
所以 ，
即装有球的盒子的个数的期望是 .
. .
例17 (2025·全国高中数学联赛广东赛区预赛)投篮测试规则如下：每人最多投三次，
投中为止，且第次投中得分为分 ，若三次均未投中，则得分为0分.
假设甲同学投篮的命中率为,若参加投篮测试的投篮次数的均值为 ,
则甲投篮测试的得分的均值为______.
2.376
【解析】设投篮次数为，得分为，则,2,3, ,2,1,0,
则,, ，（前两次均未投中，不
用管第三次是否投中）
所以 ,
则，即 ,
解得或 （舍去），
所以, ,
, ,
所以 .
. .
例18 (2024·全国高中数学联赛山东赛区预赛)口袋中有大小相同的6个红球和2个白球,
从中一个一个地摸球（不放回）,直到2个白球都摸出即停止摸球.则停止摸球后袋内
剩红球个数的期望值是___.
【解析】设口袋内剩红球的个数为，则 ,1,2,3,4,5,6，
当口袋内剩个红球时，一共摸球 次，且最后一次摸出两个
白球中的任意一个，前次摸出 个红球，1个白球，
不妨将其视为排列问题，从8个球中选择个球进行排列，有 种情况，
停止摸球时，有!种情况，（先选出1个白球，再选出 个红球，
最后对这 个球全排列）
因此，,1,2, ,6,
,,,, ,
, ,所以
.