8.3 列联表与独立性检验 课件(共105张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册
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| 名称 | 8.3 列联表与独立性检验 课件(共105张PPT)-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 10:27:18 | ||
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文档简介
(共105张PPT)
第八章 成对数据的统计分析
8.3 列联表与独立性检验
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 分类变量与列联表
1 分类变量
分类变量是一种特殊的随机变量，它是用不同的“值”表示个体所属的不同类别，
这里的“值”应作为“广义”的值进行理解，它取的不一定是具体的数值.
教材深挖 如何理解分类变量
1.分类变量也称属性变量或定性变量.它的不同的取值仅表示个体所属的类别，
如性别变量，只取男、女两个值，有时也可以把分类变量的不同取值用数字来表示，
但这时的数字除了表示分类以外没有其他的含义.例如，用0表示“男”，1表示“女”，
性别变量就变成取值为0和1的随机变量，这些数字并没有其他的含义，此时比较性
别变量的两个不同值之间的大小没有意义，性别变量的均值和方差也没有意义.
2.分类变量的取值一定是离散的.
3.分类变量是大量存在的，如是否吸烟，商品的等级等.
2 列联表
一般地，假设有两个分类变量和，它们的取值为 ，其样本频数列联表
（称为 列联表）为：#1
合计
合计
（对于同一个问题，列联表的列法并不是唯一的，也可以交换, 的位置）
列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
特别提醒 （1）列联表是两个或两个以上分类变量的汇总统计表，现阶段我们仅研
究两个分类变量的列联表，并且每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为
列联表.
（2）列联表有助于直观地观测数据之间的关系，如上表最后一行的前两个数分
别是事件和 中样本点的个数;最后一列的前两个数分别
是事件和 中样本点的个数；中间的四个格中的数是表
格的核心部分，给出了事件, 中样本点的个数；右下角格中
的数是样本空间中样本点的总数 .#1.3.1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
3 两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法
（1）频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小
进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系.如可以通过列联表中与 值的大
小粗略地判断分类变量和 之间有无关系.一般其值相差越大，分类变量有关系的可
能性越大.（利用列联表判断两个分类变量关联性的方法）
. .
. .
. .
. .
. .
. .
（2）图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否互
相影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.
将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来,其中两列的数据分别对应
不同的颜色,这就是等高堆积条形图.
等高堆积条形图可以展示列联表数据的频率特征,能够直观地反映出两个分类变
量间是否相互影响.可以观察下方颜色区域的高度,如果两个高度相差比较明显,就判
断两个分类变量之间有关系.（利用等高堆积条形图判断两个分类变量关联性的方法）
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 一个 列联表如下：
合计
35 45
7
合计 73
则表中, 的值分别是( )
B
A.10,38 B.17,45 C.10,45 D.17,38
【解析】由,得.由,得.由,得 .由
,得 .
例1-2 [教材改编P126例1]网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解
网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了
1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而
另外800人中有120人不及格.学生经常上网与学习成绩有关吗？
【解析】 根据题目所给的数据得到如下 列联表：
成绩 上网 合计
经常上网 不经常上网 不及格 80 120 200
及格 120 680 800
合计 200 800 1 000
, ,两者相差较大，因此可以认为经常上网与学习成绩有关.
图8.3-1
由题意得到等高堆积条形图如图8.3-1所示：
比较图中阴影部分，可以发现期末考试不及格的人中经常上
网的频率明显高于期末考试及格的人中经常上网的频率，
（等高堆积条形图中下方颜色区域的高度相差比较明显）因
此可以认为经常上网与学习成绩有关.
. .
. .
【想一想丨归纳总结】
列联表与等高堆积条形图的优劣
判断两个分类变量关系强弱的过程中，利用列联表可以准确掌握总体中各部分
的频率，但是需要计算；利用等高堆积条形图可以比较各个部分之间的差异，明确
展现两个分类变量的关系.利用上述两种方法仅能粗略判断，都不能知道两个分类变
量有关系的概率大小.
知识点2 独立性检验
1 独立性检验的公式及定义
提出零假设（原假设）分类变量和 独立.
假定我们通过简单随机抽样得到了和 的抽样数据列联表.
在列联表中，如果零假设成立，则应满足,即 .因此，
越小，说明两个分类变量之间关系越弱； 越大，说明两个分类变
量之间关系越强.
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个
随机变量.用取值的大小作为判断零假设 是否成立的依
据，当它比较大时推断不成立,否则认为 成立.
这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为 独立性检验，读作
“卡方独立性检验”，简称独立性检验.（独立性检验的本质是比较观测值和期望值之
间的差异，由 所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值进行判断的）
2 临界值的定义
对于任何小概率值 ，可以找到相应的正实数 ，使得 成立，
我们称 为 的临界值，这个临界值可作为判断大小的标准.概率值 越小，临
界值 越大.
3 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
4 独立性检验的具体步骤
（1）提出零假设和 相互独立，并给出在问题中的解释.
（2）根据抽样数据整理出列联表，利用公式计算 的值.
（3）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上
界 ，然后查表确定临界值 .
（4）当 时，我们就推断不成立，即认为和 不独立，该推断犯错
误的概率不超过 ;（即有 的把握判断和 有关联）
当 时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和 独立.
. .
. .
5 独立性检验与反证法
简单地说，反证法是在某种假设之下，推出一个矛盾结论，从而证明 不成
立;而独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与 相矛盾的小概率事件，就推
断 不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.另外，在全部逻辑推理正确
的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误（我们不知道犯这类
错误的概率的大小，但是知道，若 越大，则 越小）.#1
. .
特别提醒 列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,具有随机性,因此,独立性检
验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定
一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问
题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.比如：
依据小概率值的独立性检验，若 ，则认为两个分类变量有关
联，此推断犯错误的概率不大于，也就是有 的把握认为两分类变量有关联；
若 ，则认为没有充分证据推断两分类变量有关联.#1.1.1
学思用·典例详解
例2-3 给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种
病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与
青少年的犯罪是否有关系.其中，用独立性检验可以解决的问题有( )
B
A.①②③ B.②④⑤ C.②③④⑤ D.①②③④⑤
【解析】独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，因此可以解决的
问题有②④⑤.
例2-4 想要检验喜欢参加体育活动是否与性别有关，应该检验( )
D
A.零假设 男性喜欢参加体育活动
B.零假设 女性不喜欢参加体育活动
C.零假设 喜欢参加体育活动与性别有关
D.零假设 喜欢参加体育活动与性别无关
【解析】独立性检验零假设有反证法的意味，应假设两个分类变量（而非变量的属
性）无关．
例2-5 (2025·湖南省长沙市期中)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把
500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录进行比较,提出假
设使用血清与预防感冒相互独立,即预防感冒与使用血清无关.利用 列联表计
算得,由临界值表知 ,则下列表述中正确的是( )
A
A.根据小概率值的独立性检验,推断不成立,推断 不成立犯错误的概率不
大于0.01
B.认为预防感冒与使用血清无关
C.这种血清预防感冒的有效率为
D.这种血清预防感冒的有效率为
【解析】由题意可知,又 ,因此根据小概率值
的独立性检验,推断 不成立,即认为预防感冒与使用血清有关,也就是说这种
血清能起到预防感冒的作用,推断不成立犯错误的概率不大于 ,当然这种推断与
血清预防感冒的有效率无关,故B,C,D有误.
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 用 列联表或等高堆积条形图推断两分类变量间的关联性
例6 在某次独立性检验中，得到如下列联表：
合计
B 200 800 1 000
180
合计 380
最后发现，两个分类变量没有关联，则 的值可能是( )
B
A.200 B.720 C.100 D.180
【解析】 两个分类变量没有关联，（在列联表中，如果两个分类变量和 没有关
联，则应满足，即 ）
， ．
例7 [教材改编P135 T5]某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，
性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人
在考前心情紧张.作出等高堆积条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否
有关联．
【解析】作 列联表如下：
性格内向 性格外向 合计
考前心情紧张 332 213 545
考前心情不紧张 94 381 475
合计 426 594 1 020
图8.3-2
作出相应的等高堆积条形图如图8.3-2所示.
从图8.3-2中可以看出，考前心情紧张的样本中性格内向占
的比例比考前心情不紧张的样本中性格内向占的比例明显
要高，所以可以认为考前心情紧张与性格类别有关联.
两个分类变量关联性的直观判断方法
在列联表中，如果与（或与）相差越大，则 越大，两个
分类变量有关联的可能性越大；
在等高堆积条形图中，如果下方颜色区域的高度相差越明显（即与 相差较
大），两个分类变量有关联的可能性就越大.
说明：利用 列联表或等高堆积条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,
但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.
【学会了吗丨变式题】
1.假设有两个变量与的 列联表如下：
对于以下数据，对同一样本能说明与 有关联的可能性最大的一组为( )
B
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
【解析】当 越大时，两个变量有关联的可能性就越大.检验四个选项中所给
的 .
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
显然，B中 最大，故选B.
题型2 由 进行独立性检验
1 对 含义的理解
例8 [多选题]对与两个分类变量进行独立性检验时，关于随机变量 的说法中正
确的是( )
BCD
A.的值越大，与 的关联程度越大
B.的值越小，与 关联的可信程度越小
C.若求出，根据的独立性检验，可判断与 不独立，此推断犯错误
的概率不会超过0.05
D.在列联表中，若每个数据变为原来的3倍，则 的值变为原来的3倍
【解析】的值越大，说明有更大的把握认为与 有关联，但不能判断其关联程度
大小，故A错误；
由临界值数据可知的值越小，与 关联的可信程度越小，故B正确；
，根据的独立性检验，可判断与 不独立，此推断犯错误的
概率不会超过 ，故C正确；
在列联表中，若每个数据变为原来的3倍，则 的值变为
，是原来的3倍，故D正确.
例9 (2025·浙江省杭州学军中学测试)针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性
别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为
，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的 ，女生中喜欢短视频的人数
占女生人数的.零假设为喜欢短视频和性别相互独立.若依据 的独立性
检验认为喜欢短视频和性别不独立，则 的最小值为( )
C
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】根据题意列出 列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢短视频
不喜欢短视频
合计
,
由于依据 的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
则，即,得 .
, 的最小值为9．
2 有关联的检验
例10 [教材改编P133例4]某出租汽车公司决定更换一批小汽车以代替原来报废的出
租车，现有， 两款车型的使用寿命（单位：年）频数表如下：
使用寿命/年 5 6 7 8 合计
10 20 45 25 100
15 35 40 10 100
（1）填写下表，并依据小概率值 的独立性检验，分析出租车的使用寿命与
汽车车型是否有关联.
车型 使用寿命 合计
不高于6年 不低于7年
合计
【解析】零假设为 出租车的使用寿命与汽车车型之间无关联.
根据题目所给数据得到如下 列联表：
车型 使用寿命 合计
不高于6年 不低于7年 A型 30 70 100
B型 50 50 100
合计 80 120 200
所以 .（此处易由于对 列联表中
，，， 的位置不清楚，从而在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误）
依据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为出租车的使用寿
命与汽车车型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.
. .
. .
（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的型车和一辆开了4年的 型车中选择,为了
尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明他应如何选择．
【解析】记事件为“小李选择型车，3年内（含3年）不换车”，事件 为“小李选择
型车，3年内（含3年）不换车”，
所以, .
因为，所以小李应选择 型车.
3 无关联的检验
图8.3-3
例11 [教材改编P132例3]为了研究某种疾病
的治愈率，某医院对100名患者中的一部分
患者采用了外科疗法，另一部分患者采用
了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈
情况绘制了等高堆积条形图，如图8.3-3：
（1）根据图8.3-3完善以下关于治疗方法和治愈情况的 列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈 外科疗法
化学疗法 18
合计 100
【解析】根据等高堆积条形图，采用化学疗法的治愈率为 ，
由 列联表得化学疗法治愈的人数为18，
故采用化学疗法的人共有 （人），
采用外科疗法的有40人，其中治愈的有 （人）.
所以 列联表如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈 外科疗法 20 20 40
化学疗法 42 18 60
合计 62 38 100
（2）依据小概率值 的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有
关.（如需计算，结果精确到 ）
【解析】零假设为 此种疾病治愈率与治疗方法无关.
则根据 列联表中的数据计算得到
，
所以依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断 不成立，
因此可以认为 成立，即此种疾病治愈率与治疗方法无关.
思路点拨 （1）由题知采用化学疗法的治愈率为 ，治愈的人数为18人，进而
计算得对应的数据，完成 列联表.
（2）根据独立性检验的思想，计算 ，并根据已知数据判断即可.
解决独立性检验问题的基本步骤
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·山东省济南第一中学学情检测)小明为了了解不同性别的观众对去年春晚小
品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看去年春晚的观众，得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 110
合计 80 200
（1）求， ；
【答案】由列联表可知，， .
（2）在所有喜欢去年春晚小品类节目的观众中随机选1人，记该观众是男性观众的
概率为，求出 的估计值；
【答案】由列联表可知，喜欢去年春晚小品类节目的观众共计120人，其中男性有45
人，
则该观众是男性观众的概率的估计值为 .
（3）根据小概率值 的独立性检验，能否认为性别与喜欢去年春晚小品类节
目有关联？
【答案】补全 列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 75 35 110
合计 120 80 200
零假设为 性别与喜欢去年春晚小品类节目无关联，
根据列联表中的数据，得 ，
依据小概率值的独立性检验，可推断 不成立，即可以认为性别与喜欢去
年春晚小品类节目有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.
题型3 独立性检验与统计概率的综合
例12 (2026· 山西省运城市期末)2025年国家卫生健康委员会联合多部门发布了重要
文件，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立健康生活方式，实
现长期体重管理.为了解居民体育锻炼情况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调
查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄
70 55 36 59
25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每
周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，
根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判断
体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
青年 中年 合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
【解析】由题得 列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
零假设 体育锻炼频率的高低与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验推断 不成立，即认为体育锻炼频率的高低与
年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配
的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 与
的人数分别为,，取随机变量，求 的值.
【解析】由频数分布表知，利用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的8人中，年
龄在,内的人数分别为， ，
依题意，的所有可能情况为,;,;, .
,
,
，
所以 .
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·河南省驻马店市期末)一家调查机构在某地随机抽查1 000名成年居民对新能
源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计
女性居民 150 250 400
男性居民 350 250 600
合计 500 500 1 000
（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向
存在性别差异？
【答案】零假设 新能源车与燃油车的购买倾向不存在性别差异.
因为 ，
所以根据小概率值的独立性检验，推断 不成立，所以在犯错误的概率不
超过0.01的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异.
（2）从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从
中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加
座谈的概率.
【答案】由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为 ，
所以抽取男性7人，女性3人，
再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件 ，
则 ，
恰有2名男性居民记为事件，则 ，
所以在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率为
.
（3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的
方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居
民人数为，求 的分布列与数学期望.
【答案】在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽
样的方法抽12人，可得抽取结果如下表：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车
男性居民 7 5
再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为， 可
取0，1，2，3，
则， ，
， ，
的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考主要考查独立性检验的应用，求出 的值，进行判断即可,多以解答题的形式呈
现.近几年高考对独立性检验的考查，多与统计知识、概率知识综合，难度中等偏上.
核心素养:数据分析（从已知条件中提炼数据，列出 列联表等），数学运算
（的求解、概率的计算等），逻辑推理（根据 的值判断是否相关等）.
考向 由 进行独立性检验
例13 (2025· 全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查
的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表:
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常 患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求 的估计值;
【解析】由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病
的有180人，
所以由样本估计总体得 .
（2）根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
【解析】零假设 超声波检查结果与是否患该疾病无关.
,
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为超声波检查
结果与是否患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
例14 (2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、
乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表:
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 能否有 的把握认
为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异
【解析】填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
则完整的 列联表如下：
优级品 非优级品 总计
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
总计 96 54 150
.
因为 ,
所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
因为 ，
所以没有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率.设为升级改造后抽取的 件产
品的优级品率.如果 ,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽
取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提
高了
【解析】由题意可知 ,
又 ，
所以 ，
所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
高考新题型专练
1.新情境 民俗谚语［多选题］(2025·江苏省盐城市七校联考)
千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等
的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩
云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，
雨在半夜后”，观察了地区的100天日落和夜晚天气的情况，得到如下 列联表：
日落云里走 夜晚天气 合计
下雨 未下雨 出现 25 5 30
未出现 25 45 70
合计 50 50 100
并计算得到，下列小波对 地区天气判断正确的是( )
ABC
A.地区夜晚下雨的概率约为
B.在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为
C.有 的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关
D.出现“日落云里走”，有 的把握认为夜晚会下雨
【解析】对于选项A，因为夜晚下雨的天数一共有50天，所以夜晚下雨的概率约为
，故A正确.
对于选项B，未出现“日落云里走”时夜晚下雨有25天，未出现“日落云里走”一共有70
天，所以在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为 ，故B正确.
对于选项C，因为，所以有 的把握认为“日落云里
走”是否出现与当晚是否下雨有关，故C正确，D错误.故选 ．
2.[多选题](2025·吉林省白城市洮南市第一中学期末)某中学为了解学生对学校食堂服
务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或
不满意的评价，所得数据统计如下表所示，经计算 ，则下列结论正确的
是( )
满意 不满意
男 30 20
女 40 10
AC
A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C.根据小概率值 的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D.根据小概率值 的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
【解析】对于A，由列联表可知该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 ，
A正确.
对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为 ，即该学校女生比
男生对食堂服务更满意，B错误.
对于C，D，由于 ，
故根据小概率值 的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；
根据小概率值 的独立性检验，不能认为男、女生对该食堂服务的评价有差
异，C正确，D错误.
故选 .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：35分钟
1.为了解A品牌手机和B品牌手机使用的情况是否和消费者的性别有关，应采用的统
计方法是( )
C
A.分层抽样 B.回归分析 C.独立性检验 D.频率分布直方图
2.在 列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那
么这两个比值为( )
A
A.与 B.与 C.与 D.与
【解析】由题意，得 ，
因为 的值越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，故选A.
图8.3-1
3.“甲”和“乙”是两款社交产品,小明为了解不同群体
对这两款产品的首选情况,统计了周围老师和同学关
于首选“甲”或“乙”的比例,得到如图8.3-1所示的等高
堆积条形图,根据等高堆积条形图中的信息,可判断
下列说法正确的是( )
A
A.对老师而言,更倾向于首选“甲”
B.对学生而言,更倾向于首选“乙”
C.首选“甲”的老师比首选“甲”的学生多
D.如果首选“甲”的老师比首选“甲”的学生多,那么小
明统计的老师人数一定比学生多
【解析】对老师群体而言,首选“甲”与首选“乙”的比例为 ,故对老师而言,更倾向于
首选“甲”,即A正确.
对学生群体而言,首选“甲”与首选“乙”的比例为 ,故对学生而言,更倾向于首选“甲”,
即B错误.
由于老师群体与学生群体人数不定,即首选“甲”的老师与首选“甲”的学生人数无法比
较,即C错误.
设老师群体有人,学生群体有人,则有,即,但不一定大于 ，即
小明统计的老师人数不一定比学生多,即D错误.
4.(2025·辽宁省县域重点高中期末)为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数
学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性
最大，则 ( )
性别 羽毛球 喜欢 不喜欢
女生
男生 50 100
D
A.4 B.2 C.1 D.
【解析】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则 ，所以
,即，所以 .
5.［多选题］(2025·湖南省邵阳市期中)随机询问100人是否喜欢足球，得到如下列联表：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男 35 15 50
女 25 25 50
合计 60 40 100
参照临界值表，下列结论正确的是( )
BD
A.有 的把握认为“喜欢足球与性别无关”
B.有 的把握认为“喜欢足球与性别有关”
C.根据小概率值 的独立性检验，能认为“喜欢足球与性别有关”
D.根据小概率值 的独立性检验，能认为“喜欢足球与性别无关”
【解析】由题意可知 ，
，
有 的把握认为“喜欢足球与性别有关”.
，
根据小概率值 的独立性检验，能认为“喜欢足球与性别无关”.
6.(2025·河南省南阳一中月考)某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相
关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且 ，
若依据小概率值 的独立性检验，可以认为性别与对工作的满意程度具有相关
性，则 的值是________.
对工作满意 对工作不满意
男
女
14或15
【解析】补全 列联表如下：
对工作满意 对工作不满意 合计
男
女
合计
依题意， ，
解得,又，且，所以 的值为14或15.
7.[教材改编P134 T3](2025·四川省江油市第一中学月考)甲、乙两台机床生产同种产
品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台
机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表:
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
【答案】由题意，可得甲机床、乙机床生产的产品总数均为200件，
因为甲机床生产的产品中一级品的频数为150，所以甲机床生产的产品中一级品的频
率为 ,
因为乙机床生产的产品中一级品的频数为120，所以乙机床生产的产品中一级品的频
率为 .
（2）依据小概率值 的独立性检验，分析甲机床的产品质量与乙机床的产品
质量是否有差异.
【答案】零假设为 甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.
则根据列联表中的数据计算得
.
所以依据小概率值的独立性检验，推断 不成立，即认为甲机床的产品质
量与乙机床的产品质量有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01.
8.(2025·广东省东莞市东莞中学段考)随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产
业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞
争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车
近5年的广告费投入（单位:亿元）进行了统计，具体数据见下表:
1 2 3 4 5
4.8 5.6
并随机调查了400名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表:
认可 不认可
50 岁以下 140 60
50 岁及以上 120 80
（1）求广告费投入与年份代号 之间的经验回归方程；
【答案】由题意，得 ,
，
则 ，
，
所以, ，
故广告费投入与年份代号之间的经验回归方程为 .
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源
汽车的认可度有关联
【答案】零假设为 市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联.由题中表
格数据，计算得 .
依据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为市民的年龄与对
该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：45分钟
9.(2025·江苏省南通市期末)随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时
间的政策引发社会的广泛关注，某教育时报就“支持增加中学生体育锻炼时间的政策
是否与性别有关”对某校高二年级部分学生作了专题调查，被调查的男、女生人数相
同，其中男生支持的人数占男生调查人数的，女生支持的人数占女生调查人数的．
若有 的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调
查的学生中男生人数可能为( )
D
A.135 B.145 C.146 D.150
【解析】设参加调查的男生、女生各人，依题意填写 列联表，如下：
支持 不支持 合计
男生
女生
合计
若有 的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则
，
即 ，
解得，由题意知，且 是15的整数倍，
所以 可取150．故选D．
10.［多选题］(2025·陕西省渭南市蒲城中学期末)有甲、乙两个班级进行数学考试，
按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩，得到如下列联表：
班级 成绩 合计
优秀 非优秀 甲班 10
乙班 30
合计 105
已知在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是( )
BC
A.列联表中的值为30， 的值为35
B.列联表中的值为20， 的值为45
C.根据列联表中的数据，若依据小概率值 的独立性检验，则能认为成绩与
班级有关系
D.根据列联表中的数据，若依据小概率值 的独立性检验，则不能认为成绩
与班级有关系
【解析】 在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，
成绩优秀的人数为，非优秀的人数为 ，
， ，
，
依据小概率值 的独立性检验，能认为成绩与班级有关系.
11.(2025·浙江省宁波市模拟)某校在去年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活
动有800名学生参加.活动结束后，经评估发现有 的学生的劳动技能得到了提升.
为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面
向未参加第一次活动的学生开展.不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑
战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导.已知第二次活动吸引了1 200名学生参
加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升.
（1）补充完整下面的 列联表.
劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计
首次活动
第二次活动
合计
【答案】首次活动劳动技能提升的学生人数为 ；
首次活动劳动技能未提升的学生人数为 ；
第二次活动劳动技能提升的学生人数为960；
第二次活动劳动技能未提升的学生人数为 ，
劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计
首次活动 560 240 800
第二次活动 960 240 1 200
合计 1 520 480 2 000
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学
生的劳动技能提升与活动改进有关？
【答案】零假设为 该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进无
关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断 不成立，
即该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关，该推断犯错误
的概率不超过0.01.
（3）从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层
随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深
度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率.
【答案】抽取的20名学生中劳动技能得到提升的人数为 ，抽取的20
名学生中劳动技能未得到提升的人数为 ，
记从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，其中恰好有2名学生的劳动技能提升
为事件 ，
则 .
12.(2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下:选40只小白鼠，随机
地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓
度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的
增加量（单位: ）.
（1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列和数学期望.
【答案】 的所有可能取值为0,1,2，
, ,1,2.
所以 的分布列为
X 0 1 2
P
.
（2）试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2
25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3
34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3
40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8
16.5
21.6
32.3
（i）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于 与不小于
的数据的个数，完成如下列联表.
对照组
试验组
【答案】根据试验数据可以知道40只小白鼠体重增加量的中位数
.
列联表如下
对照组 6 14
试验组 14 6
（ii）根据中的列联表，能否有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正
常环境中体重的增加量有差异？
【答案】零假设 为：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无
差异.根据中结果可得 ，
所以依据小概率值的独立性检验，推断 不成立，即认为小白鼠在高浓度
臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05.
13.(2025·四川省成都玉林中学诊断)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育
节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图8.3-2是根据调查结果绘制的
观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.
图8.3-2
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表,并依据小概率值 的独立性检验，
分析“体育迷”是否与性别有关.
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
【答案】由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有
（人），
从而 列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为 “体育迷”与性别无关.
将 列联表中的数据代入公式，得
.
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为
成立，即认为“体育迷”与性别无关.
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽
样的方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为 .若每
次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差 .
【答案】由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 ,将频率视为概率，则从观
众中抽取1名“体育迷”的概率为 .
由题意知近似服从二项分布 ，则
,
,
,
,
从而 的分布列为
X 0 1 2 3
P
, .
第八章 成对数据的统计分析
8.3 列联表与独立性检验
图解课标要点
教材帮 新知课丨必备知识解读
知识点1 分类变量与列联表
1 分类变量
分类变量是一种特殊的随机变量，它是用不同的“值”表示个体所属的不同类别，
这里的“值”应作为“广义”的值进行理解，它取的不一定是具体的数值.
教材深挖 如何理解分类变量
1.分类变量也称属性变量或定性变量.它的不同的取值仅表示个体所属的类别，
如性别变量，只取男、女两个值，有时也可以把分类变量的不同取值用数字来表示，
但这时的数字除了表示分类以外没有其他的含义.例如，用0表示“男”，1表示“女”，
性别变量就变成取值为0和1的随机变量，这些数字并没有其他的含义，此时比较性
别变量的两个不同值之间的大小没有意义，性别变量的均值和方差也没有意义.
2.分类变量的取值一定是离散的.
3.分类变量是大量存在的，如是否吸烟，商品的等级等.
2 列联表
一般地，假设有两个分类变量和，它们的取值为 ，其样本频数列联表
（称为 列联表）为：#1
合计
合计
（对于同一个问题，列联表的列法并不是唯一的，也可以交换, 的位置）
列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
特别提醒 （1）列联表是两个或两个以上分类变量的汇总统计表，现阶段我们仅研
究两个分类变量的列联表，并且每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为
列联表.
（2）列联表有助于直观地观测数据之间的关系，如上表最后一行的前两个数分
别是事件和 中样本点的个数;最后一列的前两个数分别
是事件和 中样本点的个数；中间的四个格中的数是表
格的核心部分，给出了事件, 中样本点的个数；右下角格中
的数是样本空间中样本点的总数 .#1.3.1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
3 两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法
（1）频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小
进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系.如可以通过列联表中与 值的大
小粗略地判断分类变量和 之间有无关系.一般其值相差越大，分类变量有关系的可
能性越大.（利用列联表判断两个分类变量关联性的方法）
. .
. .
. .
. .
. .
. .
（2）图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否互
相影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.
将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来,其中两列的数据分别对应
不同的颜色,这就是等高堆积条形图.
等高堆积条形图可以展示列联表数据的频率特征,能够直观地反映出两个分类变
量间是否相互影响.可以观察下方颜色区域的高度,如果两个高度相差比较明显,就判
断两个分类变量之间有关系.（利用等高堆积条形图判断两个分类变量关联性的方法）
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 一个 列联表如下：
合计
35 45
7
合计 73
则表中, 的值分别是( )
B
A.10,38 B.17,45 C.10,45 D.17,38
【解析】由,得.由,得.由,得 .由
,得 .
例1-2 [教材改编P126例1]网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解
网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了
1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而
另外800人中有120人不及格.学生经常上网与学习成绩有关吗？
【解析】 根据题目所给的数据得到如下 列联表：
成绩 上网 合计
经常上网 不经常上网 不及格 80 120 200
及格 120 680 800
合计 200 800 1 000
, ,两者相差较大，因此可以认为经常上网与学习成绩有关.
图8.3-1
由题意得到等高堆积条形图如图8.3-1所示：
比较图中阴影部分，可以发现期末考试不及格的人中经常上
网的频率明显高于期末考试及格的人中经常上网的频率，
（等高堆积条形图中下方颜色区域的高度相差比较明显）因
此可以认为经常上网与学习成绩有关.
. .
. .
【想一想丨归纳总结】
列联表与等高堆积条形图的优劣
判断两个分类变量关系强弱的过程中，利用列联表可以准确掌握总体中各部分
的频率，但是需要计算；利用等高堆积条形图可以比较各个部分之间的差异，明确
展现两个分类变量的关系.利用上述两种方法仅能粗略判断，都不能知道两个分类变
量有关系的概率大小.
知识点2 独立性检验
1 独立性检验的公式及定义
提出零假设（原假设）分类变量和 独立.
假定我们通过简单随机抽样得到了和 的抽样数据列联表.
在列联表中，如果零假设成立，则应满足,即 .因此，
越小，说明两个分类变量之间关系越弱； 越大，说明两个分类变
量之间关系越强.
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个
随机变量.用取值的大小作为判断零假设 是否成立的依
据，当它比较大时推断不成立,否则认为 成立.
这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为 独立性检验，读作
“卡方独立性检验”，简称独立性检验.（独立性检验的本质是比较观测值和期望值之
间的差异，由 所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值进行判断的）
2 临界值的定义
对于任何小概率值 ，可以找到相应的正实数 ，使得 成立，
我们称 为 的临界值，这个临界值可作为判断大小的标准.概率值 越小，临
界值 越大.
3 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
4 独立性检验的具体步骤
（1）提出零假设和 相互独立，并给出在问题中的解释.
（2）根据抽样数据整理出列联表，利用公式计算 的值.
（3）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上
界 ，然后查表确定临界值 .
（4）当 时，我们就推断不成立，即认为和 不独立，该推断犯错
误的概率不超过 ;（即有 的把握判断和 有关联）
当 时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和 独立.
. .
. .
5 独立性检验与反证法
简单地说，反证法是在某种假设之下，推出一个矛盾结论，从而证明 不成
立;而独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与 相矛盾的小概率事件，就推
断 不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.另外，在全部逻辑推理正确
的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误（我们不知道犯这类
错误的概率的大小，但是知道，若 越大，则 越小）.#1
. .
特别提醒 列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,具有随机性,因此,独立性检
验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定
一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问
题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.比如：
依据小概率值的独立性检验，若 ，则认为两个分类变量有关
联，此推断犯错误的概率不大于，也就是有 的把握认为两分类变量有关联；
若 ，则认为没有充分证据推断两分类变量有关联.#1.1.1
学思用·典例详解
例2-3 给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种
病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与
青少年的犯罪是否有关系.其中，用独立性检验可以解决的问题有( )
B
A.①②③ B.②④⑤ C.②③④⑤ D.①②③④⑤
【解析】独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，因此可以解决的
问题有②④⑤.
例2-4 想要检验喜欢参加体育活动是否与性别有关，应该检验( )
D
A.零假设 男性喜欢参加体育活动
B.零假设 女性不喜欢参加体育活动
C.零假设 喜欢参加体育活动与性别有关
D.零假设 喜欢参加体育活动与性别无关
【解析】独立性检验零假设有反证法的意味，应假设两个分类变量（而非变量的属
性）无关．
例2-5 (2025·湖南省长沙市期中)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把
500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录进行比较,提出假
设使用血清与预防感冒相互独立,即预防感冒与使用血清无关.利用 列联表计
算得,由临界值表知 ,则下列表述中正确的是( )
A
A.根据小概率值的独立性检验,推断不成立,推断 不成立犯错误的概率不
大于0.01
B.认为预防感冒与使用血清无关
C.这种血清预防感冒的有效率为
D.这种血清预防感冒的有效率为
【解析】由题意可知,又 ,因此根据小概率值
的独立性检验,推断 不成立,即认为预防感冒与使用血清有关,也就是说这种
血清能起到预防感冒的作用,推断不成立犯错误的概率不大于 ,当然这种推断与
血清预防感冒的有效率无关,故B,C,D有误.
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 用 列联表或等高堆积条形图推断两分类变量间的关联性
例6 在某次独立性检验中，得到如下列联表：
合计
B 200 800 1 000
180
合计 380
最后发现，两个分类变量没有关联，则 的值可能是( )
B
A.200 B.720 C.100 D.180
【解析】 两个分类变量没有关联，（在列联表中，如果两个分类变量和 没有关
联，则应满足，即 ）
， ．
例7 [教材改编P135 T5]某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，
性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人
在考前心情紧张.作出等高堆积条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否
有关联．
【解析】作 列联表如下：
性格内向 性格外向 合计
考前心情紧张 332 213 545
考前心情不紧张 94 381 475
合计 426 594 1 020
图8.3-2
作出相应的等高堆积条形图如图8.3-2所示.
从图8.3-2中可以看出，考前心情紧张的样本中性格内向占
的比例比考前心情不紧张的样本中性格内向占的比例明显
要高，所以可以认为考前心情紧张与性格类别有关联.
两个分类变量关联性的直观判断方法
在列联表中，如果与（或与）相差越大，则 越大，两个
分类变量有关联的可能性越大；
在等高堆积条形图中，如果下方颜色区域的高度相差越明显（即与 相差较
大），两个分类变量有关联的可能性就越大.
说明：利用 列联表或等高堆积条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,
但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.
【学会了吗丨变式题】
1.假设有两个变量与的 列联表如下：
对于以下数据，对同一样本能说明与 有关联的可能性最大的一组为( )
B
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
【解析】当 越大时，两个变量有关联的可能性就越大.检验四个选项中所给
的 .
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
显然，B中 最大，故选B.
题型2 由 进行独立性检验
1 对 含义的理解
例8 [多选题]对与两个分类变量进行独立性检验时，关于随机变量 的说法中正
确的是( )
BCD
A.的值越大，与 的关联程度越大
B.的值越小，与 关联的可信程度越小
C.若求出，根据的独立性检验，可判断与 不独立，此推断犯错误
的概率不会超过0.05
D.在列联表中，若每个数据变为原来的3倍，则 的值变为原来的3倍
【解析】的值越大，说明有更大的把握认为与 有关联，但不能判断其关联程度
大小，故A错误；
由临界值数据可知的值越小，与 关联的可信程度越小，故B正确；
，根据的独立性检验，可判断与 不独立，此推断犯错误的
概率不会超过 ，故C正确；
在列联表中，若每个数据变为原来的3倍，则 的值变为
，是原来的3倍，故D正确.
例9 (2025·浙江省杭州学军中学测试)针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性
别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为
，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的 ，女生中喜欢短视频的人数
占女生人数的.零假设为喜欢短视频和性别相互独立.若依据 的独立性
检验认为喜欢短视频和性别不独立，则 的最小值为( )
C
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】根据题意列出 列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢短视频
不喜欢短视频
合计
,
由于依据 的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
则，即,得 .
, 的最小值为9．
2 有关联的检验
例10 [教材改编P133例4]某出租汽车公司决定更换一批小汽车以代替原来报废的出
租车，现有， 两款车型的使用寿命（单位：年）频数表如下：
使用寿命/年 5 6 7 8 合计
10 20 45 25 100
15 35 40 10 100
（1）填写下表，并依据小概率值 的独立性检验，分析出租车的使用寿命与
汽车车型是否有关联.
车型 使用寿命 合计
不高于6年 不低于7年
合计
【解析】零假设为 出租车的使用寿命与汽车车型之间无关联.
根据题目所给数据得到如下 列联表：
车型 使用寿命 合计
不高于6年 不低于7年 A型 30 70 100
B型 50 50 100
合计 80 120 200
所以 .（此处易由于对 列联表中
，，， 的位置不清楚，从而在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误）
依据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为出租车的使用寿
命与汽车车型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.
. .
. .
（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的型车和一辆开了4年的 型车中选择,为了
尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明他应如何选择．
【解析】记事件为“小李选择型车，3年内（含3年）不换车”，事件 为“小李选择
型车，3年内（含3年）不换车”，
所以, .
因为，所以小李应选择 型车.
3 无关联的检验
图8.3-3
例11 [教材改编P132例3]为了研究某种疾病
的治愈率，某医院对100名患者中的一部分
患者采用了外科疗法，另一部分患者采用
了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈
情况绘制了等高堆积条形图，如图8.3-3：
（1）根据图8.3-3完善以下关于治疗方法和治愈情况的 列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈 外科疗法
化学疗法 18
合计 100
【解析】根据等高堆积条形图，采用化学疗法的治愈率为 ，
由 列联表得化学疗法治愈的人数为18，
故采用化学疗法的人共有 （人），
采用外科疗法的有40人，其中治愈的有 （人）.
所以 列联表如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈 外科疗法 20 20 40
化学疗法 42 18 60
合计 62 38 100
（2）依据小概率值 的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有
关.（如需计算，结果精确到 ）
【解析】零假设为 此种疾病治愈率与治疗方法无关.
则根据 列联表中的数据计算得到
，
所以依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断 不成立，
因此可以认为 成立，即此种疾病治愈率与治疗方法无关.
思路点拨 （1）由题知采用化学疗法的治愈率为 ，治愈的人数为18人，进而
计算得对应的数据，完成 列联表.
（2）根据独立性检验的思想，计算 ，并根据已知数据判断即可.
解决独立性检验问题的基本步骤
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·山东省济南第一中学学情检测)小明为了了解不同性别的观众对去年春晚小
品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看去年春晚的观众，得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 110
合计 80 200
（1）求， ；
【答案】由列联表可知，， .
（2）在所有喜欢去年春晚小品类节目的观众中随机选1人，记该观众是男性观众的
概率为，求出 的估计值；
【答案】由列联表可知，喜欢去年春晚小品类节目的观众共计120人，其中男性有45
人，
则该观众是男性观众的概率的估计值为 .
（3）根据小概率值 的独立性检验，能否认为性别与喜欢去年春晚小品类节
目有关联？
【答案】补全 列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 75 35 110
合计 120 80 200
零假设为 性别与喜欢去年春晚小品类节目无关联，
根据列联表中的数据，得 ，
依据小概率值的独立性检验，可推断 不成立，即可以认为性别与喜欢去
年春晚小品类节目有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.
题型3 独立性检验与统计概率的综合
例12 (2026· 山西省运城市期末)2025年国家卫生健康委员会联合多部门发布了重要
文件，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立健康生活方式，实
现长期体重管理.为了解居民体育锻炼情况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调
查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄
70 55 36 59
25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每
周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，
根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判断
体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
青年 中年 合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
【解析】由题得 列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
零假设 体育锻炼频率的高低与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验推断 不成立，即认为体育锻炼频率的高低与
年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配
的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 与
的人数分别为,，取随机变量，求 的值.
【解析】由频数分布表知，利用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的8人中，年
龄在,内的人数分别为， ，
依题意，的所有可能情况为,;,;, .
,
,
，
所以 .
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·河南省驻马店市期末)一家调查机构在某地随机抽查1 000名成年居民对新能
源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计
女性居民 150 250 400
男性居民 350 250 600
合计 500 500 1 000
（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向
存在性别差异？
【答案】零假设 新能源车与燃油车的购买倾向不存在性别差异.
因为 ，
所以根据小概率值的独立性检验，推断 不成立，所以在犯错误的概率不
超过0.01的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异.
（2）从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从
中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加
座谈的概率.
【答案】由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为 ，
所以抽取男性7人，女性3人，
再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件 ，
则 ，
恰有2名男性居民记为事件，则 ，
所以在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率为
.
（3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的
方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居
民人数为，求 的分布列与数学期望.
【答案】在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽
样的方法抽12人，可得抽取结果如下表：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车
男性居民 7 5
再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为， 可
取0，1，2，3，
则， ，
， ，
的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考主要考查独立性检验的应用，求出 的值，进行判断即可,多以解答题的形式呈
现.近几年高考对独立性检验的考查，多与统计知识、概率知识综合，难度中等偏上.
核心素养:数据分析（从已知条件中提炼数据，列出 列联表等），数学运算
（的求解、概率的计算等），逻辑推理（根据 的值判断是否相关等）.
考向 由 进行独立性检验
例13 (2025· 全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查
的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表:
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常 患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求 的估计值;
【解析】由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病
的有180人，
所以由样本估计总体得 .
（2）根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
【解析】零假设 超声波检查结果与是否患该疾病无关.
,
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为超声波检查
结果与是否患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
例14 (2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、
乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表:
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 能否有 的把握认
为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异
【解析】填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
则完整的 列联表如下：
优级品 非优级品 总计
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
总计 96 54 150
.
因为 ,
所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
因为 ，
所以没有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率.设为升级改造后抽取的 件产
品的优级品率.如果 ,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽
取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提
高了
【解析】由题意可知 ,
又 ，
所以 ，
所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
高考新题型专练
1.新情境 民俗谚语［多选题］(2025·江苏省盐城市七校联考)
千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等
的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩
云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，
雨在半夜后”，观察了地区的100天日落和夜晚天气的情况，得到如下 列联表：
日落云里走 夜晚天气 合计
下雨 未下雨 出现 25 5 30
未出现 25 45 70
合计 50 50 100
并计算得到，下列小波对 地区天气判断正确的是( )
ABC
A.地区夜晚下雨的概率约为
B.在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为
C.有 的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关
D.出现“日落云里走”，有 的把握认为夜晚会下雨
【解析】对于选项A，因为夜晚下雨的天数一共有50天，所以夜晚下雨的概率约为
，故A正确.
对于选项B，未出现“日落云里走”时夜晚下雨有25天，未出现“日落云里走”一共有70
天，所以在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为 ，故B正确.
对于选项C，因为，所以有 的把握认为“日落云里
走”是否出现与当晚是否下雨有关，故C正确，D错误.故选 ．
2.[多选题](2025·吉林省白城市洮南市第一中学期末)某中学为了解学生对学校食堂服
务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或
不满意的评价，所得数据统计如下表所示，经计算 ，则下列结论正确的
是( )
满意 不满意
男 30 20
女 40 10
AC
A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C.根据小概率值 的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D.根据小概率值 的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
【解析】对于A，由列联表可知该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 ，
A正确.
对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为 ，即该学校女生比
男生对食堂服务更满意，B错误.
对于C，D，由于 ，
故根据小概率值 的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；
根据小概率值 的独立性检验，不能认为男、女生对该食堂服务的评价有差
异，C正确，D错误.
故选 .
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：35分钟
1.为了解A品牌手机和B品牌手机使用的情况是否和消费者的性别有关，应采用的统
计方法是( )
C
A.分层抽样 B.回归分析 C.独立性检验 D.频率分布直方图
2.在 列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那
么这两个比值为( )
A
A.与 B.与 C.与 D.与
【解析】由题意，得 ，
因为 的值越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，故选A.
图8.3-1
3.“甲”和“乙”是两款社交产品,小明为了解不同群体
对这两款产品的首选情况,统计了周围老师和同学关
于首选“甲”或“乙”的比例,得到如图8.3-1所示的等高
堆积条形图,根据等高堆积条形图中的信息,可判断
下列说法正确的是( )
A
A.对老师而言,更倾向于首选“甲”
B.对学生而言,更倾向于首选“乙”
C.首选“甲”的老师比首选“甲”的学生多
D.如果首选“甲”的老师比首选“甲”的学生多,那么小
明统计的老师人数一定比学生多
【解析】对老师群体而言,首选“甲”与首选“乙”的比例为 ,故对老师而言,更倾向于
首选“甲”,即A正确.
对学生群体而言,首选“甲”与首选“乙”的比例为 ,故对学生而言,更倾向于首选“甲”,
即B错误.
由于老师群体与学生群体人数不定,即首选“甲”的老师与首选“甲”的学生人数无法比
较,即C错误.
设老师群体有人,学生群体有人,则有,即,但不一定大于 ，即
小明统计的老师人数不一定比学生多,即D错误.
4.(2025·辽宁省县域重点高中期末)为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数
学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性
最大，则 ( )
性别 羽毛球 喜欢 不喜欢
女生
男生 50 100
D
A.4 B.2 C.1 D.
【解析】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则 ，所以
,即，所以 .
5.［多选题］(2025·湖南省邵阳市期中)随机询问100人是否喜欢足球，得到如下列联表：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男 35 15 50
女 25 25 50
合计 60 40 100
参照临界值表，下列结论正确的是( )
BD
A.有 的把握认为“喜欢足球与性别无关”
B.有 的把握认为“喜欢足球与性别有关”
C.根据小概率值 的独立性检验，能认为“喜欢足球与性别有关”
D.根据小概率值 的独立性检验，能认为“喜欢足球与性别无关”
【解析】由题意可知 ，
，
有 的把握认为“喜欢足球与性别有关”.
，
根据小概率值 的独立性检验，能认为“喜欢足球与性别无关”.
6.(2025·河南省南阳一中月考)某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相
关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且 ，
若依据小概率值 的独立性检验，可以认为性别与对工作的满意程度具有相关
性，则 的值是________.
对工作满意 对工作不满意
男
女
14或15
【解析】补全 列联表如下：
对工作满意 对工作不满意 合计
男
女
合计
依题意， ，
解得,又，且，所以 的值为14或15.
7.[教材改编P134 T3](2025·四川省江油市第一中学月考)甲、乙两台机床生产同种产
品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台
机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表:
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
【答案】由题意，可得甲机床、乙机床生产的产品总数均为200件，
因为甲机床生产的产品中一级品的频数为150，所以甲机床生产的产品中一级品的频
率为 ,
因为乙机床生产的产品中一级品的频数为120，所以乙机床生产的产品中一级品的频
率为 .
（2）依据小概率值 的独立性检验，分析甲机床的产品质量与乙机床的产品
质量是否有差异.
【答案】零假设为 甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.
则根据列联表中的数据计算得
.
所以依据小概率值的独立性检验，推断 不成立，即认为甲机床的产品质
量与乙机床的产品质量有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01.
8.(2025·广东省东莞市东莞中学段考)随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产
业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞
争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车
近5年的广告费投入（单位:亿元）进行了统计，具体数据见下表:
1 2 3 4 5
4.8 5.6
并随机调查了400名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表:
认可 不认可
50 岁以下 140 60
50 岁及以上 120 80
（1）求广告费投入与年份代号 之间的经验回归方程；
【答案】由题意，得 ,
，
则 ，
，
所以, ，
故广告费投入与年份代号之间的经验回归方程为 .
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源
汽车的认可度有关联
【答案】零假设为 市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联.由题中表
格数据，计算得 .
依据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为市民的年龄与对
该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：45分钟
9.(2025·江苏省南通市期末)随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时
间的政策引发社会的广泛关注，某教育时报就“支持增加中学生体育锻炼时间的政策
是否与性别有关”对某校高二年级部分学生作了专题调查，被调查的男、女生人数相
同，其中男生支持的人数占男生调查人数的，女生支持的人数占女生调查人数的．
若有 的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调
查的学生中男生人数可能为( )
D
A.135 B.145 C.146 D.150
【解析】设参加调查的男生、女生各人，依题意填写 列联表，如下：
支持 不支持 合计
男生
女生
合计
若有 的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则
，
即 ，
解得，由题意知，且 是15的整数倍，
所以 可取150．故选D．
10.［多选题］(2025·陕西省渭南市蒲城中学期末)有甲、乙两个班级进行数学考试，
按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩，得到如下列联表：
班级 成绩 合计
优秀 非优秀 甲班 10
乙班 30
合计 105
已知在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是( )
BC
A.列联表中的值为30， 的值为35
B.列联表中的值为20， 的值为45
C.根据列联表中的数据，若依据小概率值 的独立性检验，则能认为成绩与
班级有关系
D.根据列联表中的数据，若依据小概率值 的独立性检验，则不能认为成绩
与班级有关系
【解析】 在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，
成绩优秀的人数为，非优秀的人数为 ，
， ，
，
依据小概率值 的独立性检验，能认为成绩与班级有关系.
11.(2025·浙江省宁波市模拟)某校在去年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活
动有800名学生参加.活动结束后，经评估发现有 的学生的劳动技能得到了提升.
为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面
向未参加第一次活动的学生开展.不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑
战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导.已知第二次活动吸引了1 200名学生参
加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升.
（1）补充完整下面的 列联表.
劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计
首次活动
第二次活动
合计
【答案】首次活动劳动技能提升的学生人数为 ；
首次活动劳动技能未提升的学生人数为 ；
第二次活动劳动技能提升的学生人数为960；
第二次活动劳动技能未提升的学生人数为 ，
劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计
首次活动 560 240 800
第二次活动 960 240 1 200
合计 1 520 480 2 000
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学
生的劳动技能提升与活动改进有关？
【答案】零假设为 该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进无
关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断 不成立，
即该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关，该推断犯错误
的概率不超过0.01.
（3）从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层
随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深
度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率.
【答案】抽取的20名学生中劳动技能得到提升的人数为 ，抽取的20
名学生中劳动技能未得到提升的人数为 ，
记从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，其中恰好有2名学生的劳动技能提升
为事件 ，
则 .
12.(2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下:选40只小白鼠，随机
地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓
度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的
增加量（单位: ）.
（1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列和数学期望.
【答案】 的所有可能取值为0,1,2，
, ,1,2.
所以 的分布列为
X 0 1 2
P
.
（2）试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2
25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3
34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3
40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8
16.5
21.6
32.3
（i）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于 与不小于
的数据的个数，完成如下列联表.
对照组
试验组
【答案】根据试验数据可以知道40只小白鼠体重增加量的中位数
.
列联表如下
对照组 6 14
试验组 14 6
（ii）根据中的列联表，能否有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正
常环境中体重的增加量有差异？
【答案】零假设 为：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无
差异.根据中结果可得 ，
所以依据小概率值的独立性检验，推断 不成立，即认为小白鼠在高浓度
臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05.
13.(2025·四川省成都玉林中学诊断)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育
节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图8.3-2是根据调查结果绘制的
观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.
图8.3-2
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的列联表,并依据小概率值 的独立性检验，
分析“体育迷”是否与性别有关.
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
【答案】由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有
（人），
从而 列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为 “体育迷”与性别无关.
将 列联表中的数据代入公式，得
.
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为
成立，即认为“体育迷”与性别无关.
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽
样的方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为 .若每
次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差 .
【答案】由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 ,将频率视为概率，则从观
众中抽取1名“体育迷”的概率为 .
由题意知近似服从二项分布 ，则
,
,
,
,
从而 的分布列为
X 0 1 2 3
P
, .