微专题3 解三角形
1.正弦定理
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2.余弦定理
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A．
变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，
cos A＝.
3．三角形的面积公式
S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．
微点一 正、余弦定理解三角形——
教材·研析
例1 (人教A版必修第二册P54·22题)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c.
正、余弦定理的命题及解法
(1)设问方式：第一问一般为求角，常利用正、余弦定理实施“边角互化”，多与三角形的内角和定理、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式等相结合；第二问一般与长度、周长、面积等有关．
(2)解题关键：通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理，将边化为角或将角化为边，结合三角形面积公式，建立关系式求解，有时也可以用等面积法或几何法解决.
真题·链接
真题1 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
真题2 (2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
创新·变式
变式1 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B.
(1)若A＝，求B；
(2)若△ABC的面积为3，c＝6，且tan B>，求a.
变式2 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＝(1－cos A).
(1)求A；
(2)若a＝2，a2＋b2－c2≥ab，求△ABC的周长的取值范围．
微点二 最值、范围问题
例2 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos (B－C)＋a cos A－2c sin B cos A＝0.
(1)求A；
(2)若△ABC外接圆的直径为2，求2c－b的取值范围．
训练1 (2025·银川模拟)在①2c sin B cos A＝b(sin A cos B＋cos A sin B)；②sin2B＋sin2C＋cos2A－1＝sin(A＋B)sin (A＋C)；③＝sin A这三个条件中任选一个补充在下面的横线中，并解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______________.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为16，D为AC的中点，求BD的最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
微点三 解三角形中的情境问题
例3 (2025·上海黄浦模拟)三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面的高度差约为________．(精确到1)
[听课记录]____________________________________________________________
_____________________________________________________________________
解三角形的实际应用问题的步骤
(1)分析：明确已知与所求，画出示意图．
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量集中在有关的三角形中，建立解三角形问题的数学模型．
(3)求解：解三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验求出的解是否具有实际意义．训练2 如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646) ( )
A．53米 B．55米 C．57米 D．60米
1．(2022·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
2．(2022·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin A sin C＝，求b.
微专题3 解三角形
例1 解 (1)由题意及正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C－sin B－sin C＝0.又sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin A cos C＋cos A sin C，所以(sin A－cos A)sin C＝sin C，由于C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以2sin ＝1，即sin ＝，又A∈(0，π)，A－∈，所以A－＝，故A＝.
(2)解法一：由(1)知A＝，又a＝2，由余弦定理得b2＋c2－bc＝4 ①.由S＝得bc sin ＝，即bc＝4 ②，由①②解得b＝c＝2(负值已舍去).
解法二：由(1)知A＝，又a＝2，由余弦定理得b2＋c2－bc＝4 ①，由海伦—秦九韶公式与S＝得[b2c2－()2]＝3 ②，由①②解得b＝c＝2(负值已舍去).
真题1 解 (1)由余弦定理得cos C＝＝，又0
(2)由(1)得A＝π－B－C＝，由正弦定理＝，得＝，所以a＝c.所以△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋，解得c＝2.
真题2 解 (1)解法一(常规方法：辅助角公式)：由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin ＝1，由A∈(0，π)得A＋∈，故A＋＝，即A＝.
解法二(常规方法：同角三角函数的基本关系)：由sin A＋cos A＝2，sin2A＋cos2A＝1，消去sinA得到4cos2A－4cosA＋3＝0 (2cos A－)2＝0，解得cos A＝，又A∈(0，π)，故A＝.
解法三(利用极值点求解)：设f(x)＝sin x＋cos x(0解法四(利用向量的数量积公式求解)：设a＝(1，)，b＝(sin A，cos A)，由题意，得a·b＝sin A＋cos A＝2，根据向量的数量积公式，得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2cos 〈a，b〉，则2cos 〈a，b〉＝2 cos 〈a，b〉＝1，此时〈a，b〉＝0，即a，b同向共线，根据向量共线条件，1·cos A＝·sin A tan A＝，又A∈(0，π)，故A＝.
(2)由题设条件和正弦定理得b sin C＝c sin 2B sin B sin C＝2sin C sin B cos B，又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，进而cos B＝，得到B＝，于是C＝π－A－B＝，sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝，由正弦定理可得，＝＝，即＝＝，解得b＝2，c＝＋，故△ABC的周长为2＋＋3.
变式1 解 因为A，B，C是△ABC的内角，所以由sin C＝cos B，知B为锐角且C＝＋B或C＝－B.
(1)因为A＝，所以C＝－B，于是＋B＝－B(－B＝－B不成立，舍去)，即B＝.
(2)①当C＝＋B时，sin C＝sin ＝cos B且A＝π－B－C＝－2B，所以sin A＝cos 2B.由正弦定理得＝＝，所以a＝，b＝.因为△ABC的面积为3，于是ab sin C＝···cos B＝3，即6cos 2B tan B＝，即2··tanB＝1，即2··tanB＝1，整理得2tan3B＋tan2B－2tanB＋1＝0，于是(tan B－1)(2tan2B＋tanB－1)＝0.因为tan B>，所以tan B＝，所以B＝，于是a＝＝2.
②当C＝－B时，sin C＝sin ＝cos B且A＝π－B－C＝，由正弦定理得＝＝，所以a＝，b＝.因为△ABC的面积为3，于是ab sin C＝···cos B＝3，即2tan B＝1，于是tan B＝<，不符合题意．综上可知，a＝2.
变式2 解 (1)由sin A＝(1－cos A)变形可得sin ＝，因为A∈(0，π)，所以A＋＝，即A＝.
(2)因为A＝，所以B＋C＝，即B＝－C.由a2＋b2－c2≥ab结合余弦定理可得a2＋b2－(a2＋b2－2ab cos C)≥ab，则cos C≥，因为C是△ABC的内角，所以0例2 解 (1)由A＋B＋C＝π可得，A＝π－(B＋C)，所以cos A＝－cos (B＋C)，所以a cos (B－C)－a cos (B＋C)＝2c sin B cos A，a cos B cos C＋a sin B sin C－a cos B cos C＋a sin B sin C＝2c sin B cos A，a sin B sin C＝c sin B cos A，由正弦定理可得sin A sin B sin C＝sin C sin B cos A，因为sin C>0，sin B>0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由正弦定理可得＝＝＝2R＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，故2c－b＝4sin C－2sin B＝2(2sin C－sin B)，又A＋B＋C＝π，所以B＝－C，C∈，所以2c－b＝2＝2(sin C－cos C)＝6sin ，又C∈，所以C－∈，所以2c－b＝6sin ∈(－3，6)，所以2c－b的取值范围为(－3，6).
训练1 解 (1)若选择①：2c sin B cos A＝b(sin A cos B＋cos A sin B)，由正弦定理可得2sin C sin B cos A＝sin B sin (A＋B)＝sin B sin C，又C∈(0，π)，B∈(0，π)，故sin C≠0，sin B≠0，所以cos A＝，又A∈(0，π)，故A＝.
若选择②：sin2B＋sin2C＋cos2A－1＝sin(A＋B)sin (A＋C)，则sin2B＋sin2C－sin2A＝sinC sin B，由正弦定理可得b2＋c2－a2＝bc，故cos A＝＝，又A∈(0，π)，故A＝.
若选择③：＝sin A，由正弦定理可得＝sin A，再由余弦定理得cos A＝sin A，即tan A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)S△ABC＝cb sin A＝16，又A＝，所以cb＝64，在△BAD中，由余弦定理得BD2＝BA2＋AD2－2·BA·AD·cos A＝c2＋－2c··cos ＝c2＋－cb≥2－cb＝cb＝32，当且仅当c＝＝4时取等号，所以BD的最小值为4.
例3 373 解析 如图，过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，
故AA′－CC′＝AA′－(BB′－BH)＝AA′－BB′＋100＝AD＋100，由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB.所以AA′－CC′＝AD＋100＝DB＋100＝A′B′＋100.因为∠BCH＝15°，所以CH＝C′B′＝.在△A′C′B′中，由正弦定理得，＝＝＝，而sin 15°＝sin (45°－30°)＝×－×＝，所以A′B′＝＝100(＋1)≈273，所以AA′－CC′＝A′B′＋100≈373.
训练2 A 解析
如图，连接AC，在△ABC中，AB＝BC＝60，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形，AC＝60，∠ACB＝60°，由∠BCD＝120°，得∠ACD＝60°，而CD＝40，在△ACD中，由余弦定理得AD＝＝＝20≈53(米).
真题巧用·明技法
1．解 (1)因为＝，所以＝＝，所以cos A cos B＝sin B＋sin A sin B，所以cos (A＋B)＝sin B，所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.因为B∈，所以B＝.
(2)由(1)得cos (A＋B)＝sin B，所以sin ＝sin B，且02．解 (1)S1＝×a2＝a2，S2＝b2，S3＝c2，由S1－S2＋S3＝，得(a2－b2＋c2)＝，即a2－b2＋c2＝2，由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cosB，所以ac cos B＝1，且cos B>0.因为sin B＝，所以cos B＝，从而ac＝＝，因此△ABC的面积为ac sin B＝××＝.
(2)由正弦定理得sin A＝，sin C＝，由题设得＝.由(1)知ac＝，所以b2＝，所以b＝.(共45张PPT)
专题一
三角函数、平面向量与解三角形
专题一 三角函数、平面向量与解三角形
微专题3
解三角形
核心整合
核心整合
解
解
解
方法提炼
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解析
解析
方法提炼
解析
解
解
解
解
解
以题梳点
和考君
8当
0
01
:
1
1
1
I
I
1
I
I
B
C
A
C
B
A
D
C
B
真题巧用
明技君
A
D
B
C
A
H
C
B
D
A
C
B微练(五) 解三角形
班级： 姓名：
基础过关练
一、单项选择题
1．(2025·广安二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，C＝，b＝，则a＝ ( )
A.2 B． C． D．
2．(2025·昆明模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且＝－， 则角B的大小是 ( )
A. B． C． D．
3．(2025·金华模拟)在△ABC中，sin B＝，C＝120°，BC＝2，则△ABC的面积为 ( )
A.6 B．4 C．3 D．2
4．(2025·西安二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，＝，则角A的大小为 ( )
A. B． C． D．
5．(2025·台州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C＝2c cos A，则的最大值为 ( )
A. B． C． D. 3
6．(2025·长沙模拟)如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为 ( )
A.＋1 B．sin2α＋1
C.＋1 D．cos2α＋1
二、多项选择题
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是 ( )
A.若a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B.若＝，则A＝
C.若a2＋b2D.若A8．(2025·济宁一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，且2c－b＝2a cos B，则下列结论正确的是 ( )
A.A＝
B.△ABC外接圆的面积为π
C.△ABC面积的最大值为
D.△ABC周长的最大值为3
三、填空题
9．(2025·青岛一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列．若7sin A＝3sin C，则△ABC的面积为________．
10．如图是2025年4月30日13时08分，神舟十九号返回舱(图中C)接近地面的场景．伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于点D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin ∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________ m．(π＝3.14，sin ∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数)
四、解答题
11．(2025·天津高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin B＝b cos A，c－2b＝1，a＝.
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求sin (A＋2B)的值．
12．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)求角B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的取值范围．
能力提升练
13.(2025·淄博一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin 2B＝b cos B，且角B为锐角，b＝8，sin A＝，则sin (2B＋C)的值为________．
14．(2025·齐鲁名校联考)已知复数z，，z2，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是△ABC的外心．
(1)求|z|；
(2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b＋c)2＝a2＋4bc sin2.
(ⅰ)证明：△ABC是直角三角形；
(ⅱ)求△ABC的面积．
微练(五) 解三角形
1．B 解析 因为A＝，C＝，所以B＝π－－＝，由正弦定理＝，可得a＝＝＝.故选B.
2．C 解析 在△ABC中，因为＝－，由正弦定理可得＝－，化简可得－sin (B＋C)＝2sin A cos B，即－sin A＝2sin A cos B，因为A∈(0，π)，sin A>0，解得cos B＝－，故B＝，故选C.
3．D 解析 由题意得，sin A＝sin (60°－B)＝sin 60°cos B－cos 60°sin B＝×－×＝，由正弦定理，＝，得b＝＝＝4，所以S△ABC＝ab sin C＝×2×4×＝2，故选D.
4．B 解析 因为a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得2ac cos B＝ac，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝，因为＝＝＝，所以cos C＋sin A cos C＝sin C－cos A sin C，即sin (A＋C)＝sin C－cos C，又A＋C＝π－B，所以sin B＝sin ，所以B＝C－或B＋C－＝π(舍)，所以C＝＋＝，所以A＝π－B－C＝π－－＝.故选B.
5．C 解析 由余弦定理可知，cos C＝，cos A＝，由a cos C＝2c cos A可得a·＝2c·，化简可得a2＋b2－c2＝2b2＋2c2－2a2，所以3a2＝b2＋3c2，即a2＝，即＝＝≤＝，当且仅当＝时，即b＝c时，等号成立，所以的最大值为.故选C.
6．A 解析 在Rt△ABO中，sin α＝，即OB＝＝，在Rt△OBC中，OC2＝OB2＋BC2＝＋1.故选A.
7．BC 解析 由正弦定理知＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及＝，可得＝＝1，即tan A＝1，由0cos B，故D错误．
8．BCD 解析 对于选项A：因为2c－b＝2a cos B，由余弦定理可得2c－b＝2a×＝，整理可得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝＝，且A∈(0，π)，所以A＝，故A错误；对于选项B：由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R＝＝＝1，所以△ABC外接圆的面积为πR2＝π，故B正确；对于选项C：由b2＋c2－a2＝bc可得b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc，且b2＋c2≥2bc，即3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC面积的最大值为×3×＝，故C正确；对于选项D：由b2＋c2＝3＋bc可得(b＋c)2＝3＋3bc，即bc＝，且bc≤，即≤，解得(b＋c)2≤12，即b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为2＋＝3，故D正确．故选BCD.
9． 解析 因为a，b，c成公差为2的等差数列，所以c＝a＋4.因为7sin A＝3sin C，由正弦定理可得7a＝3c，解得a＝3，b＝5，c＝7，由余弦定理可得cos C＝＝＝－，因为C∈(0，π)，所以C＝，所以△ABC的面积为ab sin C＝×3×5×sin ＝.
10．20 解析 设半球的半径为r m，则2πr2＝1 200，所以r≈14，所以BC＝5r＝70 m．在△ABC中，由正弦定理得＝，则AB＝＝70××＝180(m)，又因为∠DAB＝30°，所以BD＝90 m，则CD＝BD－BC＝20 m．
11．解 (1)因为a sin B＝b cos A，所以由正弦定理可得sin A sin B＝sin B cos A，因为B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝.又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为c－2b＝1，a＝，cos A＝，所以由a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×，化简得b2＋b－2＝0，又b>0，故b＝1.由c＝2b＋1，得c＝3.
(3)由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝.因为b＝1<3＝c，所以B为锐角，cos B＝＝.sin2B＝2sin B cos B＝，cos 2B＝2cos2B－1＝.所以sin(A＋2B)＝sin (＋2B)＝sin cos 2B＋cos sin 2B＝×＋×＝.
12．解 (1)由正弦定理得：＝，即2sin C cos B－sin A cos B＝sin B cos A，所以2sin C cos B＝sin (A＋B)＝sin C，因为C∈，所以sin C≠0，所以cos B＝，又B∈，所以B＝.
(2)由正弦定理得：＝2R＝，所以a＝2R sin A＝sin A，c＝2R sin C＝sin C，所以S△ABC＝ac sin B＝sin A sin C＝sin A sin ＝sin A(sin A＋cos A)＝＝sin (2A－)＋，在锐角△ABC中：解得：A∈，所以2A－∈，所以sin ∈，sin ＋∈，则△ABC面积的取值范围为.
13． 解析 已知sin 2B＝b cos B，根据二倍角公式，则有2sin B cos B＝b cos B．因为B为锐角，即cos B≠0，可得，2sin B＝b.已知b＝8，可得，2sin B＝×8，解得sin B＝.因为B为锐角，根据sin2B＋cos2B＝1，可得cosB＝.由正弦定理＝，已知b＝8，sin A＝，sin B＝，则a＝＝＝.因为a＝14．解 (1)因为O是△ABC的外心，即|OA|＝|OB|＝|OC|，所以|z|＝||＝|z2|. 只需考虑|z|＝|z2|，即|z|＝|z|2，又因为A在第一象限，所以|z|≠0，所以|z|＝1.
(2)(ⅰ)证明：因为(b＋c)2＝a2＋4bc sin2，所以b2＋c2＋2bc＝a2＋2bc(1－cosA)，所以a2＝b2＋c2＋2bc cos A．由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，两式相加可得a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC是直角三角形.
(ⅱ)设z＝m＋ni，m，n∈R，则＝m－ni，z2＝m2－n2＋2mni，可知A(m，n)，B(m，－n)，C(m2－n2，2mn).易知AB与复平面的实轴垂直，又A＝，所以AC与复平面的虚轴垂直，所以n＝2mn，所以m＝，又|z|＝＝1，点A在第一象限，所以n＝.所以A，B，C(－，)，所以|AB|＝，|AC|＝1，所以△ABC的面积为|AB|·|AC|＝××1＝.(共35张PPT)
微练(五) 解三角形
基础过关练
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
① ②
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
能力提升练
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解
