微专题5 数列求和
微点一 错位相减法求和——
教材·研析
例1 (人教A版选择性必修第二册P56·11题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
真题·链接
真题 (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
创新·变式
变式 已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝a＋2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若b1＝1，bn＝3bn＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn，并证明1≤Tn<3.
微点二 裂项相消法求和
例2 (2025·榆林模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝7，S6＝27.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)“裂项相消法”的解题流程：一项裂开两项→互相抵消→计算余下的项→得结果．
(2)利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项．
(3)常用的裂项公式
①＝－；
②＝；
③＝－.
微点三 分组(并项)法求和
例3 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前20项和T20.
分组法求数列前n项和的关键
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝
且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
(2)若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和．
1．(2024·全国甲卷)设Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
2．(2022·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
微专题5 数列求和
例1 解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则由S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)，得解得所以an＝2n－1(n∈N*).
(2)由(1)及bn＝3n-1，知cn＝(2n－1)·3n-1，所以Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)·3n-1，3Tn＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，两式相减，得－2Tn＝1＋2×(31＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n－1)·3n＝－2－2(n－1)·3n，所以Tn＝(n－1)·3n＋1.
真题 解 (1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1，即(n－1)an－1＝(n－2)an，当n＝2时，可得a1＝0，故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3).当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1.
(2)令bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋ ①，Tn＝＋＋…＋＋ ②，由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，即Tn＝2－.
变式 解 (1)当n＝1时，4a1＝a＋2a1＋1，解得a1＝1.当n≥2时，由4Sn＝a＋2an＋1，得4Sn－1＝a＋2an－1＋1，两式相减，得4an＝a－a＋2an－2an－1，整理得a－a＝2(an＋an－1).又an>0，所以an－an－1＝2，即{an}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*).
(2)因为b1＝1≠0，bn＝3bn＋1，所以＝，所以数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，所以bn＝，即anbn＝，则Tn＝＋＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减，得Tn＝1＋2(＋＋＋…＋)－＝1＋2×－＝2－，解得Tn＝3－，则Tn＋1－Tn＝－＝>0，所以Tn＋1>Tn，所以Tn单调递增，所以当n＝1时，Tn取得最小值，且最小值为1.又>0，所以Tn<3，故1≤Tn<3.
例2 解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则由题意得即解得所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
(2)因为an＝n＋1，则an＋1＝n＋2，所以bn＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝－＝.
例3 解 (1)证明：显然an≠0，由an＋1＝得＝＋，又a1＝1，则数列是首项为1，公差为的等差数列．由＝1＋(n－1)×，得an＝.
(2)由(1)可知bn＝(－1)n+1××＝×[(－1)n+1·(3n＋1)(3n＋4)]，所以T20＝×[4×7－7×10＋10×13－13×16＋…＋(－1)21×61×64]＝×(－6)×(7＋13＋19＋…＋61)＝×(－6)××10＝－.
真题巧用·明技法
1．解 (1)因为4Sn＝3an＋4 ①，所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4 ②.则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1.当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n-1.
(2)因为bn＝(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1，所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n-1)－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋(2－4n)·3n，所以Tn＝1＋(2n－1)·3n.
2．解 (1)因为a1＝1，所以＝1，又是公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)×＝.因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以＝(n≥2)，所以＝(n≥2)，整理得＝(n≥2)，所以××…××＝××…××＝(n≥2)，所以Sn＝(n≥2)，又S1＝1也满足上式，所以Sn＝(n∈N*)，则Sn－1＝(n≥2)，所以an＝－＝(n≥2)，又a1＝1也满足上式，所以an＝(n∈N*).
(2)证明：因为an＝，所以＝＝2(－)，所以＋＋…＋＝2[＋＋…＋＋]＝2<2.(共27张PPT)
专题二
数列
专题二 数列
微专题5
数列求和
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方法提炼
方法提炼
证明
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以题梳点
和考君
8当
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真题巧用
明技君微练(八) 数列求和
班级： 姓名：
1．(2025·合肥二模)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝3，a2＋a4＝2b2，a1a3＝b3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2．(2025·枣庄模拟) 在数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝an－2n，求数列{bn}的前n项和Sn的最大值．
3．(2025·湘豫联考)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1，是1－Sn与Sn＋1的等差中项．
(1)证明：数列{}是等差数列；
(2)设bn＝(－1)n·(Sn＋an)，求数列{bn}的前2n项和T2n.
4．(2025·西安模拟)已知数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝3n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn<.
微练(八) 数列求和
1．解 (1)设公差为d，公比为q(q≠0)，a2＋a4＝2b2，故2a1＋4d＝2b1q，6＋4d＝6q，a1a3＝b3，故3(3＋2d)＝3q2，联立解得或(舍去)，故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3·3n-1＝3n.
(2)＝＝，设数列的前n项和为Sn，则Sn＝＋＋＋＋…＋ ①，Sn＝＋＋＋＋…＋ ②，两式①－②得Sn＝1＋＋＋＋…＋－＝－＝－，所以Sn＝－(n＋).
2．解 (1)依题意，当n≥2时，an－an－1＝2n-1－2，则an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝20＋(21－2)＋(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n-1－2)＝(2＋22＋23＋…＋2n-1)－2(n－1)＋20＝－2n＋22＝2n－2n＋20，a1＝20满足上式，所以{an}的通项公式为an＝2n－2n＋20.
(2)由(1)得bn＝an－2n＝－2n＋20，数列{bn}是递减等差数列，由bn≥0，得n≤10，则数列{bn}前10项均为非负数，从第11项起为负数，而b10＝0，因此数列{bn}前10项和与前9项和相等，都最大，所以数列{bn}的前n项和Sn的最大值为S10＝S9＝×10＝90.
3．解 (1)证明：因为是1－Sn与Sn＋1的等差中项，所以2＝1－Sn＋Sn＋1，所以Sn＝1＋Sn＋1－2＝(－1)2，因为数列{an}的各项均为正数，所以Sn>0，所以＝－1，所以－＝1，所以数列{}是公差为1，首项为＝＝1的等差数列．
(2)因为数列{}是公差为1，首项为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以Sn＝n2，当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，所以an＝2n－1，所以bn＝(－1)n·(Sn＋an)，T2n＝－S1－a1＋S2＋a2－S3－a3＋S4＋a4＋…＋S2n＋a2n＝(S2－S1)＋(S4－S3)＋…＋(S2n－S2n－1)－(a1－a2＋…－a2n)＝a2＋a4＋…＋a2n－(a1－a2＋…－a2n)＝－(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋2(a2＋a4＋…＋a2n)＝－＋2×＝－＋2×＝－n(2n－1)＋n(4n＋2)＝2n2＋3n.
4．解 (1)当n＝1时，a1＝3×1＝3，当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝3n，a1＋＋＋…＋＝3(n－1)，故＝3n－3(n－1)＝3 an＝3n.n＝1时，上式亦成立．所以数列{an}的通项公式为：an＝3n.
(2)因为bn＝，所以Sn＝＋＋＋…＋，所以Sn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得：Sn＝3－＝3×－＝1－，所以Sn＝＝－<.(共11张PPT)
微练(八) 数列求和
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