1 和差化积与积化和差公式及应用
和差化积与积化和差公式在数学中，特别是在三角函数的计算和化简过程中，是非常有用的工具，能将复杂的三角函数和差或乘积形式转化为更简单的形式，从而简化计算过程．
1.和差化积公式
sin θ＋sin φ＝2sin cos
sin θ－sin φ＝2cos sin
cos θ＋cos φ＝2cos cos
cos θ－cos φ＝－2sin sin
2．积化和差公式
sin α·cos β＝
cos α·sin β＝
cos α·cos β＝
sin α·sin β＝－
题型一 和差化积公式的应用
角度1：和差化积公式的直接应用
例1 (1)(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝ ( )
A． B． C． D．
(2)已知sinα＋sin β＝，tan ＝，则cos α＋cos β＝________．
角度2：和差化积公式的融合应用
例2 (1)若A＋B＝，则sin A＋sin B的最大值是________．
(2)已知x1，x2是函数f(x)＝cos 3x－cos 2x，x∈(0，π)的两个零点，则|x1－x2|＝________．
[听课记录]____________________________________________________________
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题型二 积化和差公式的应用
角度1：积化和差公式的直接应用
例3 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝ ( )
A． B． C．－ D．－
(2)若cos cos ＝－，则sin 2α＝ ( )
A． B．－ C． D．－
角度2：积化和差公式的融合应用
例4 (1)(2025·湖北联考)(多选题)如图所示，已知角α，β(0<α<β<)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则下列说法正确的是 ( )
A．∠BOC＝
B．·＋1＝||2
C．·＝||
D．点M的坐标为(cos cos ，sin ·cos )
(2)1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分，高斯基碑上刻着如图所示的图案．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则＝________．
[听课记录]______________ ____________________
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进阶点1 和差化积与积化和差公式及应用
例1 (1)D 解析 cos 2－cos 2＝(cos ＋cos )(cos －cos )＝2cos cos ·＝－sin sin ＝，故选D.
(2) 解析 依题意，sin α＋sin β＝2sin cos ＝，则sin cos ＝，又tan ＝＝，则cos cos ＝，所以cos α＋cos β＝2cos cos ＝.
例2 (1) 解析 sin A＋sin B＝2sin cos ＝cos ≤，当且仅当A＝B＝时取等号，则sin A＋sin B的最大值为.
(2) 解析 f(x)＝cos 3x－cos 2x＝－2sin ·sin ＝－2sin sin ，则令－2sin sin ＝0，当sin ＝0时，因为x∈，则∈，此时无解，当sin ＝0，因为x∈，则∈，则＝π或2π，解得x＝或x＝，则＝－＝.
例3 (1)B 解析 由积化和差公式得cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]＝，又sin (α－β)＝，所以sin (α＋β)＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝.
(2)C 解析 因为coscos ＝×[cos (α＋＋α－)＋cos ]＝×[cos ＋cos π]＝＝－，所以sin 2α＝.
例4 (1)ACD 解析 因为角α，β(0<α<β<)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，且M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，所以OA＝OB，所以∠BOC＝∠BOA＝，故A正确；易知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，所以·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (β－α)，所以·＋1＝cos (β－α)＋1＝2cos2，||2＝||2cos2∠BOC＝cos2，所以·＋1≠||2，故B错误；因为·＝||||cos∠AOC＝cos ＝||，故C正确；因为xM＝(xA＋xB)＝(cos α＋cos β)＝cos ·cos ，yM＝(yA＋yB)＝(sin α＋sin β)＝sin cos ，故D正确．故选ACD.
(2)15 解析 由题意可知：α＝.又＝＝＝2cos 2＝1＋cos kα.
所以＝16＋cos kα＝16＋cos ，
又cos ＝＝＝＝＝－1.所以＝16＋cos ＝16－1＝15.(共19张PPT)
1 和差化积与积化和差公式及应用
和差化积与积化和差公式在数学中，特别是在三角函数的计算和化简过程中，是非常有用的工具，能将复杂的三角函数和差或乘积形式转化为更简单的形式，从而简化计算过程．
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
进
个y
B
C
M
A
0
X微练(二) 和差化积与积化和差公式及应用
班级： 姓名：
一、单项选择题
1．若sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan 的值为 ( )
A.2 B． C．－2 D．－
2．已知cos 2α＝2sin 2β－，cos ＝，则tan αtan β＝ ( )
A. B．7 C．－ D．－7
3．已知角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)cos β＝，则cos (α＋2β)的值为 ( )
A. B． C． D．
4．若S＝sin 2＋sin 2＋sin 2，则S的值为 ( )
A. B．1
C. D．以上都不对
5．将一个圆20等分，每份圆弧所对的圆心角为α，则cos 2kα＝ ( )
A.8 B． C． D．9
6．已知α∈[0，2π]，且sin α＋sin 2α＋sin 3α＝0，则满足条件的α的个数为 ( )
A.3 B．5 C．7 D．9
7．在平面直角坐标系xOy中，设α，β都是锐角，2α，2β，2α＋2β的始边都是x轴的非负半轴，终边分别与单位圆x2＋y2＝1交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3)，且y1＋y2＝3y3，则x1＋x2的最大值为 ( )
A. B． C． D．
二、填空题
8．在△ABC中，若B＝，则cos A sin C的取值范围为________．
9．已知sin (α＋β)sin (α－β)＝2m(m≠0)，则cos 2α－cos 2β＝________．
10．已知α，β满足sin α＋cos β＝，cos α＋sin β＝，则sin ＝________．
微练(二) 和差化积与积化和差公式及应用
1．A 解析 由sinα＋sin β＝2sin cos ＝，cos α＋cos β＝2cos cos ＝，两式相除得tan ＝＝2.
2．C 解析 因为cos 2α＝2sin 2β－，所以cos 2α＋cos 2β＝，由和差化积公式可得2cos(α＋β)cos (α－β)＝，因为cos (α－β)＝，所以cos (α＋β)＝，由cos αcos β＋sin αsin β＝，cos αcos β－sin αsin β＝可得cos αcos β＝，sin αsin β＝－，所以tan αtan β＝＝－.
3．C 解析 cos α＝，cos (α＋β)cos β＝，由积化和差得cos (α＋β)cos β＝＝[cos (α＋2β)＋cos α]＝＝，解得cos (α＋2β)＝－＝.
4．A 解析 S＝sin 2＋sin 2＋sin 2＝(1－cos )＋(1－cos )＋(1－cos )＝－(cos ＋cos ＋cos )＝－(sin cos ＋sin cos ＋sin cos )＝－(sin －sin ＋sin －sin ＋sin π－sin )＝.
5．D 解析 由题意知α＝，则cos 2kα＝＝，而cos 2kα＝cos 2α＋cos 4α＋cos 6α＋…＋cos 38α＝＝＝＝＝＝＝－1，则cos 2kα＝9.
6．C 解析 由和差化积公式得到sin α＋sin 3α＝2sin 2αcos α，所以sin α＋sin 2α＋sin 3α＝sin 2α(2cos α＋1)，因为sin α＋sin 2α＋sin 3α＝0，所以sin 2α＝0或cos α＝－，当sin 2α＝0时，2α＝kπ(k∈Z)，即α＝kπ(k∈Z)，因为α∈[0，2π]，所以α＝0，，π，，2π；当cos α＝－时，因为α∈[0，2π]，所以α＝，.所以符合题意的α共有7个．
7．D 解析 由题设y1＋y2＝3y3，得sin 2α＋sin 2β＝3sin (2α＋2β)，由和差化积公式及二倍角公式得，2sin (α＋β)cos (α－β)＝6sin (α＋β)cos (α＋β)，又0<α<，0<β< 0<α＋β<π，所以sin (α＋β)≠0，则cos (α－β)＝3cos (α＋β)≤1，所以cos (α＋β)≤，当且仅当α＝β时取等号，由x1＋x2＝cos 2α＋cos 2β＝2cos (α＋β)cos (α－β)＝6cos 2(α＋β)≤.
8． 解析 由B＝得A＋C＝，则cos A sin C＝[sin (A＋C)－sin (A－C)]＝＝－sin .由0
9．－2m 解析 由sin (α＋β)sin (α－β)＝2m，可得2sin (α＋β)sin (α－β)＝cos 2β－cos 2α＝4m，则cos 2α－cos 2β＝－＝＝－2m.
10． 解析 因为sin α＋cos β＝，cos α＋sin β＝，所以2＝sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝，2＝cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝；相加得sin 2α＋sin 2β＋cos 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝，即2＋2sin (α＋β)＝，所以sin (α＋β)＝－；相减得sin 2α＋cos 2β－cos 2α－sin 2β＋2sin αcos β－2cos αsin β＝2＋2(sin αcos β－cos αsin β)＝2＋2sin (α－β)＝，又sin α＋sin β＝2sin cos ，sin α－sin β＝2cos sin ，所以sin 2α－sin 2β＝(2sin cos )(2cos sin )＝sin (α－β)sin (α＋β)＝－sin (α－β)，所以sin (α－β)＝－＝＋sin (α－β)，解得sin (α－β)＝.(共19张PPT)
微练(二) 和差化积与积化
和差公式及应用
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