2 三角函数中ω的取值范围问题
三角函数中求ω的取值范围是高考的热点．考查内容主要是函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等知识的综合，需要学生能够熟练运用三角函数的基本性质和图象．试题多以单选题、多选题、填空题形式呈现．
题型一 与函数的单调性有关
例1 已知ω>0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是 ( )
A． B． C． D．(0，2]
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题型二 与函数的最值、极值有关
例2 (2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin (ωx＋)在区间(0，π)恰有三个极值点，两个零点，则ω的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
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例3 设函数f(x)＝cos (ω>0)，若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
[听课记录]____________________________________________________________
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题型三 与函数的对称性有关
例4 (2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是 ( )
A． B． C． D．
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题型四 与函数的零点有关
例5 (2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
进阶点2 三角函数中ω的取值范围问题
例1 A 解析 函数f(x)＝sin 的导函数为f′(x)＝ωcos ，要使函数f(x)＝sin 在上单调递减，则有f′(x)＝ωcos ≤0恒成立，则2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，即2kπ＋≤ωx≤2kπ＋，所以＋≤x≤＋(k∈Z).当k＝0时，≤x≤，又例2 C 解析 依题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点，两个零点，结合y＝sin x，x∈的图象，如图，则<ωπ＋≤3π，解得<ω≤，即ω∈.故选C.
例3 解析 由题意知f(x)max＝f＝1，即cos (－)＝1，所以－＝2kπ(k∈Z)，解得ω＝8k＋(k∈Z).又因为ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝.
例4 C 解析 由题意知，曲线C为y＝sin ＝sin ，又C关于y轴对称，则＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝＋2k(k∈Z)，又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C.
例5 [2，3) 解析 因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，如图，结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.(共10张PPT)
进阶点 2 三角函数中ω 的取值范围问题
三角函数中求ω的取值范围是高考的热点．考查内容主要是函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等知识的综合，需要学生能够熟练运用三角函数的基本性质和图象．试题多以单选题、多选题、填空题形式呈现．
解析
解析
解析
解析
解析
进
2
1
m
3
5
3π
X
2
2
y=1
2wπ/
2π
4π
6π
t
y=cos t微练(三) 三角函数中ω的取值范围问题
班级： 姓名：
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝cos (ω<0)在上单调递减，则实数ω的取值范围是 ( )
A. B．
C. D．
2．将函数f(x)＝cos (ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到曲线C.若曲线C关于原点对称，则ω 的最小值是 ( )
A. B． C． D．
3．(2025·衡阳模拟)已知ω>0，函数f(x)＝sin ωx在上存在最值，则ω的取值范围是 ( )
A. B．
C.∪ D．∪
4．(2025·黄冈模拟)已知函数f(x)＝sin (ω>0)在[0，π]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 ( )
A. B．
C. D．
5．函数f(x)＝2sin ωx(sin ωx＋cos ωx)(ω>0)在上单调递增，且对任意的实数a，f(x)在(a，a＋π)上不单调，则ω的取值范围为 ( )
A. B．
C. D．
二、多项选择题
6．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，则下列说法正确的有 ( )
A.若ω＝1，则f(x)在上单调递增
B.若f＝f，则ω 的最小值为2
C.若ω＝2，则把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，所得到的图象关于原点对称
D.若f(x)在(0，π)上有3个零点，则<ω≤
7．已知f(x)＝sin ，ω>0，则下列结论正确的是 ( )
A.若f(x)的最小正周期为π ，则ω＝2
B.若f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数为偶函数，则ω 的最小值为1
C.若f(x)在(0，π)上恰有两个极值点，则ω 的取值范围为
D.存在ω，使得f(x)在上单调递减
三、填空题
8．(2025·湖南模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx在(0，π)内有2个零点，则ω的最大值为________．
9．(2025·常德二模)已知函数f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)在区间(－π，π)上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数ω的取值范围是________．
10．已知函数f(x)＝sin (ωπx＋φ)(ω>0，0<φ≤π)，若f(x)是偶函数，则φ＝________；若圆面x2＋y2≤2恰好覆盖f(x)的图象的最高点和最低点共3个，则ω 的取值范围是________.
微练(三) 三角函数中ω的取值范围问题
1．A 解析 函数f(x)＝cos (ω<0)的最小正周期T＝，所以π－≤×，即－2≤ω<0.当x∈时，ωπ＋<ωx＋<ω＋，依题意知－π＋2kπ≤ωπ＋<ω＋≤2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤ω≤－＋4k，k∈Z，又－2≤ω<0，所以k＝0，所以ω∈.
2．C 解析 将函数f(x)＝cos (ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝cos 的图象，又曲线C关于原点对称，所以－－＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－－2k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω 取得最小值.故选C.
3．D 解析 当f(x)＝sin ωx取最值时，ωx＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，由题知<<π，故ω0，当k＝0时，<ω<；当k＝1时，<ω<，显然当ω>时，＝＝<＝，此时f(x)＝sin ωx在上必有最值点．综上，所求ω的取值范围是∪.
4．B 解析 因为0≤x≤π，ω>0，所以－≤ωx－≤ωπ－，因为函数f(x)＝sin (ω>0)在[0，π]上有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ－<3π，解得≤ω<.
5．D 解析 因为f(x)＝2sin ωx(sin ωx＋cos ωx)＝2sin2ωx＋2sinωx cos ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＋＝2sin ＋，又因为x∈，且ω>0，则2ωx－∈(－，－)，因为f(x)在上单调递增，所以－≤，所以0<ω≤，因为对任意的实数a，f(x)在(a，a＋π)上不单调，所以f(x)的周期T＝<2π，所以ω>，所以<ω≤.
6．BD 解析 依题意，f(x)＝2sin .对于A，若ω＝1，则f(x)＝2sin ，当x∈时，x＋∈，因为y＝sin x 在上不单调，所以f(x)＝2sin 在上不单调，故A不正确；对于B，因为f＝f，则直线x＝是函数f(x) 图象的一条对称轴，ω＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝6k＋2，k∈Z，而ω>0，则ωmin＝2，故B正确；对于C，当ω＝2 时，f(x)＝2sin ，依题意，函数y＝f＝2sin ＝2sin (2x－)，这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，故C不正确；对于D，当x∈(0，π) 时，ωx＋∈，依题意，3π<ωπ＋≤4π ，解得<ω≤，故D正确．
7．AC 解析 对于A，由题意得＝π，又ω>0，所以ω＝2，故A正确；对于B，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin 的图象，由题意知该函数为偶函数，则＋＝＋kπ，k∈Z，得ω＝＋3k，k∈Z，又ω>0，所以ω 的最小值为，故B错误；对于C，由x∈(0，π)，得ωx＋∈，若f(x)在(0，π)上恰有两个极值点，则<ωπ＋≤，所以ω∈，故C正确；对于D，由x∈，得ωx＋∈[－＋，＋]，若f(x)在上单调递减，则 [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，ω 无解，故f(x)在上不可能单调递减，故D错误．故选AC.
8． 解析 已知f(x)＝sin ωx＋cos ωx，根据辅助角公式得到f(x)＝2sin .令f(x)＝0，即2sin ＝0，则sin ＝0.所以ωx＋＝kπ，k∈Z，解关于x的方程可得x＝＝，k∈Z.因为x∈(0，π)，当k＝1时，x1＝＝∈(0，π)；当k＝2时，x2＝＝∈(0，π)；当k＝3时，x3＝＝.由于函数f(x)在(0，π)内有2个零点，所以解得ω的取值范围是<ω≤. 可知，ω的最大值为.
9． 解析 当x∈(－π，π)，ω>0时，ωx－∈，由函数f(x)在区间(－π，π)上有且仅有1个零点和1条对称轴，|－ωπ－|>|ωπ－|，得或解得或则<ω≤，所以实数ω的取值范围是.
10． [1，2) 解析 因为f(x)是偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ≤π，所以φ＝，可得f(x)＝sin ＝cos ωπx.
设f(x)的最小正周期为T，因为f(x)的图象和x2＋y2≤2的图象均关于y轴对称，如图所示，所以圆面在y轴右侧仅覆盖f(x)的图象的1个最低点，对于x2＋y2＝2，令y＝±1，解得x＝±1，可得解得10，所以1<≤2，解得1≤ω<2，所以ω 的取值范围是[1，2).(共25张PPT)
微练(三) 三角函数中ω
的取值范围问题
1
5
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8
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