3 “爪型”三角形及应用
在解三角形中，“爪型”结构三角形问题是近几年高考的热点．所谓“爪型”结构三角形是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形，这类问题可分为三角形的中线，高线以及角平分线问题，主要考查学生的数学运算，逻辑推理和直观想象等数学核心素养．
类型一 中线问题
例1 (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
训练1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，S＝b2.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为3，a＝，D为边BC的中点，求AD的长．
类型二 高线问题
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
训练2 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin A tan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求.
类型三 角平分线问题
例3 (2025·江西一模)如图，在△ABC中，∠ACB的平分线与AB交于点D，AD∶AC∶CD＝3∶5∶7.
(1)求cos ∠ACB；
(2)若BC＋BD＝8，求的值．
训练3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b cos A＝2c cos A.
(1)求∠BAC的大小；
(2)若b＝4，c＝6，设AD为△ABC的角平分线，求AD的长．
类型四 “爪型”三角形的拓展
例4 (2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________．
[听课记录]____________________________________________________________
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训练4 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 AD⊥BC，交BC边于D点，∠BAC＝120°，AD＝2，则S△ABC的最小值为________．
进阶点3 “爪型”三角形及应用
例1 解 (1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝.
解法一：在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝.在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝，所以sin B＝＝，所以tanB＝＝.
解法二：在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin B＝＝，所以cos B＝＝.所以tanB＝＝.
(2)解法一：(平面向量法)
如图，因为S△ABC＝bc sin ∠BAC＝，所以sin ∠BAC＝，由题意得＝(＋)，||＝1，所以4＝b2＋c2＋2bc cos ∠BAC，又因为b2＋c2＝8，所以cos ∠BAC＝，因为sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，所以bc＝4，所以b＝c＝2.
解法二：(利用“背靠背角”互补关系)因为D为BC的中点，所以BD＝DC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＋cos ∠ADC＝0，则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＋＝0，得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.
(另解)因为D为BC的中点，所以BC＝2BD.在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝，整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6，得BD＝，所以a＝2.
在△ABC中，由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝＝－，所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝bc＝bc＝＝，解得bc＝4.则由解得b＝c＝2.
训练1 解 (1)由题意得S＝(＋1)·b2＝·b2＝·b2＝·b2，由正弦定理，得S＝·b2，即×bc sin A＝2bc cos A，所以tan A＝.又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为△ABC的面积为3，所以bc sin ＝3，所以bc＝12.因为a＝，所以b2＋c2－2bc cos ＝13，即b2＋c2－bc＝13，所以b2＋c2＝25.因为D是边BC的中点，所以＝(＋)，所以||2＝(b2＋c2＋2bc·cos ∠BAC)＝(b2＋c2＋bc)＝，所以||＝，所以AD的长为.
例2 解 (1)因为A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，所以4C＝π，所以C＝，因为2sin (A－C)＝sin B，所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，所以sin A cos C＝3cos A sin C，所以sin A＝3×cos A，所以sin A＝3cos A，即cos A＝sin A，又因为sin2A＋cos2A＝1，所以sin2A＋sin2A＝1，解得sin2A＝，又因为A∈(0，π)，所以sinA>0，所以sin A＝.
(2)解法一：(结合三角函数求解)
如图，过点C作CD⊥AB于点D.由(1)可知∠ACB＝，sin A＝，cos A＝，所以sin B＝sin (A＋∠ACB)＝.因为＝＝5，所以BC＝3，所以CD＝BC sin B＝6.
解法二：(结合等面积法求解)由(1)可知sin A＝，cos A＝sin A＝，所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝×＋×＝，所以＝＝＝5，所以AC＝5sin B＝5×＝2，设AB边上的高为h，则AB·h＝×AC×AB×sin A，解得h＝6，即AB边上的高为6.
解法三：(结合两个直角三角形求解)过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝h.由(1)可得∠ACB＝，tan A＝3，所以tan B＝－tan (A＋∠ACB)＝2，AD＝，所以BD＝.因为AB＝＋＝5，所以h＝6，即CD＝6.
训练2 解 (1)△ABC中，＝sin A tan ，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，得＝，由倍角公式得＝.又因为A，C为△ABC的内角，所以A，C∈(0，π)，∈，所以sin A≠0，cos ≠0.所以sin2＝，sin＝，则有＝，得C＝.
(2)如图，a＝8，b＝5，∠ACB＝，·＝||||·cos ∠ACB＝ab cos ∠ACB＝5×8×cos ＝20，所以2＝b2＝25，2＝a2＝64，由题意知CH⊥AB，所以·＝0，即(m＋n)·(－)＝(m－n)(·)－m2＋n2＝20(m－n)－25m＋64n＝0.所以5m＝44n，所以＝.
例3 解 (1)在△ACD中，由题意得AD∶AC∶CD＝3∶5∶7，设AD＝3t，则AC＝5t，CD＝7t，则由余弦定理得cos ∠ACD＝＝，因为CD是∠ACB的平分线，所以∠ACB＝2∠ACD，∠BCD＝∠ACD，由二倍角公式得cos ∠ACB＝2cos2∠ACD－1＝2×－1＝.
(2)由(1)知cos∠ACD＝，易得sin ∠ACD>0，所以sin ∠BCD＝sin ∠ACD＝＝，由余弦定理得cos∠ADC＝＝，结合诱导公式得sin ∠BDC＝sin (π－∠ADC)＝sin ∠ADC＝＝，在△BCD中，由正弦定理得＝＝＝，因为BC＋BD＝8，所以BD＝3，BC＝5，由余弦定理得cos A＝＝－，因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得＝＝＝.
训练3 解 (1)由a cos B＋b cos A＝2c cos A得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos A，又因为sin A cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin C，所以2sin C cos A＝sin C，又因为C∈(0，π)，sin C>0，所以cos A＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为S△BAD＋S△DAC＝S△BAC，所以AB×AD sin ∠BAD＋AD×AC sin ∠DAC＝AB×AC sin ∠BAC，又因为AB＝c＝6，AC＝b＝4，∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝，所以6AD×＋4AD×＝6×4×，所以AD＝.
例4 －1 解析 解法一：(利用两次余弦定理列方程求解，即代数法)设BD＝x，CD＝2x，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在△ACD中，b2＝4x2＋4－2·2x·2·cos 60°，可得，b2＝4x2－4x＋4，在△ABD中，c2＝x2＋4－2·x·2·cos 120°，可得，c2＝x2＋2x＋4，要使得最小，即最小，＝＝4－，其中x＋1＋≥2，此时≥4－2，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立，即BD＝－1时，取得最小值－1.
①
解法二：(利用平面向量坐标法求解，即几何法)以D为坐标原点建立如图①所示平面直角坐标系，设BD＝x(x>0)，则D(0，0)，B(－x，0)，C(2x，0)，A(1，)，则有＝(2x－1，－)，＝(－x－1，－)，所以||＝＝，||＝＝，则有＝＝＝4－，其中x＋1＋≥2，此时≥4－2，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立，即BD＝－1时，取得最小值－1.
解法三：(利用等面积法求解，即代数法)
②
设BD＝x，CD＝2x，如图②，过顶点A作AE⊥BC于点E，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以BC×AE＝BD×ADsin 120°＋CD×ADsin 60° ×3x×AE＝×x×2×＋×2x×2×，化简得，AE＝.所以在Rt△ADE中，DE＝＝1，则BE＝x＋1，CE＝2x－1，在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2＝(2x－1)2＋3＝4x2－4x＋4，在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2＝(x＋1)2＋3＝x2＋2x＋4，则有＝＝＝4－，其中x＋1＋≥2，此时≥4－2，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立，即BD＝－1时，取得最小值－1.
训练4 4 解析 (等面积法和余弦定理求解)如图，
因为S△ABC＝bc sin ∠BAC＝a×AD，∠BAC＝120°，AD＝2，所以a＝bc.在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc×cos 120°，化简得，b2c2＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，当且仅当b＝c时，等号成立，所以bc≥16，所以S△ABC＝bc×sin 120°≥4.(共34张PPT)
3 “爪型”三角形及应用
在解三角形中，“爪型”结构三角形问题是近几年高考的热点．所谓“爪型”结构三角形是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形，这类问题可分为三角形的中线，高线以及角平分线问题，主要考查学生的数学运算，逻辑推理和直观想象等数学核心素养．
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解析
解析
解析
解析
解析
方法提炼
解析
进
A
D
B
C
A
B
D
C
C
I
!
A
B
D
C
AH
B
y
3
2
A
B
2
X
C
-3-2-1
D
1八2
3
4
5
X
-1
2x
-2
A
2
I
B
X
D
E
2x
C
思路一：利用正、余弦定理进行边、角转化
思路二：向量法，AD=λAB十(1一λ)AC
66
99
思路三：背靠背的两角互补，cos∠ADB十
型问题
cos∠ADC=0,sin∠ADB=sin∠ADC
思路四：面积法，S△ABC=S
△ABD十S
△ACD
思路五：几何法，作平行线、垂线等
A
B
D
C微练(六) “爪型”三角形及应用
班级： 姓名：
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a cosC＋c cos A＝b·cos B．
(1)求B；
(2)若a＝12，D为BC边的中点，且AD＝3，求b.
2．(2025·湛江一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin B＋b cos ∠BAC＝b，D为BC边上的点，且AD平分∠BAC.
(1)求∠BAC的大小；
(2)若AD＝，a＝7，求△ABC的周长．
3．(2025·上饶一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2[b cos2(－)－a sincos ].
(1)求A；
(2)若b＝3，BC边上的高为，求△ABC的周长．
4．已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝8，＝1＋，且a≠c.
(1)求证：B＝2C；
(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM＝∠CBM，求线段BM长度的取值范围．
微练(六) “爪型”三角形及应用
1．解 (1)因为a cos C＋c cos A＝b·cos B，由正弦定理可得sin A cos C＋sin C cos A＝sin B cos B，即sin (A＋C)＝sin B cos B，sin (π－B)＝sin B＝sin B cos B，又因为B∈(0，π)，sin B≠0，所以1＝cos B，解得cos B＝，所以B＝.
(2)如图，因为D为BC边的中点，a＝12，所以BD＝CD＝6，设∠BAD＝θ，如图，在△ABD中，由正弦定理可得＝，即＝＝6，解得sin θ＝1，又因为θ∈(0，π)，所以θ＝.在Rt△ABD中，AB＝＝＝3，在△ABC中，AB＝3，BC＝12，B＝，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝27＋144－2×3×12×＝63，所以AC＝3，即b＝3.
2．解 (1)由正弦定理得sin ∠BAC sin B＋sin B cos ∠BAC＝sin B.又因为sin B≠0，所以sin ∠BAC＋cos ∠BAC＝1，所以sin ＝，所以∠BAC＋＝＋2kπ或∠BAC＋＝＋2kπ，k∈Z，所以∠BAC＝2kπ或∠BAC＝＋2kπ，k∈Z.又因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.
(2)因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD＝，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以bc sin ∠BAC＝AD·c sin ∠BAD＋AD·b sin ∠CAD，bc sin ＝×c·sin ＋×b·sin ，所以bc＝(b＋c)×，即bc＝(b＋c) ①.由余弦定理得72＝b2＋c2－2bc·cos ，即49＝(b＋c)2－bc ②.将①代入②得8(b＋c)2－15(b＋c)－8×49＝0，所以b＋c＝8，b＋c＝－(舍去)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋8＝15.
3．解 (1)由b＝2 b＝b－a sin B，所以b cos ＝a sin B．由正弦定理可得：sin B cos ＝sin A sin B，因为sin B≠0，所以cos ＝sin A．所以tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为b＝3，BC边上的高为，所以b sin C＝ sin C＝.根据正弦定理：＝ ＝ a＝c.由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A a2＝9＋c2－3c，所以c2＝9＋c2－3c c＝2或c＝－6(舍去)，所以a＝.所以△ABC的周长为：a＋b＋c＝＋3＋2＝5＋.
4．解 (1)证明：因为＝1＋，即＝，由正弦定理可得＝＝，又a≠c，即a－c≠0，所以＝，整理得b2＝c2＋ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cosB，整理得c＝a－2c cos B，由正弦定理得sin C＝sin A－2sin C cos B，故sin C＝sin (B＋C)－2sin C cos B，即sin C＝sin B cos C＋sin C cos B－2sin C cos B，整理得sin C＝sin (B－C)，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈，B∈，可得B－C∈，所以C＝B－C，即B＝2C.
(2)
因为点M在线段AC上，且∠ABM＝∠CBM，即BM平分∠ABC，如图，又∠ABC＝2C，所以C＝∠CBM，则∠BMC＝π－C－∠CBM＝π－2C，在△MCB中，由正弦定理得＝，所以BM＝＝＝＝，因为△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝2C，所以解得因此线段BM长度的取值范围为.(共15张PPT)
微练(六)
“爪型”三角形及应用
1
2
3
4
1
2
3
4
解
1
2
3
4
解
1
2
3
4
解
1
2
3
4
解
1
2
3
4
解
1
2
3
4
解
1
2
3
4
1
2
3
4
解
1
2
3
4
解
1
2
3
4
1
2
3
4
解
1
2
3
4
解
1
2
3
4
解
A
0
B
D
C
A
M
C
B
