微专题三 力与曲线运动
高考热点·突破
热点一 曲线运动 运动的合成与分解
例1 (2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是( )
例2 (2025·安徽联考)如图所示为某联动装置,竖直面内的两固定杆,AB倾斜、BC水平,AB与BC间的夹角为30°,C端装有一定滑轮(大小不计),小球a套在AB杆上,绕过定滑轮的轻绳一端连接在小球a上,另一端吊着小球b。由静止释放小球a,当小球a运动到位置D时,CD段轻绳与水平方向的夹角为30°,此时a、b两球的速度大小之比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.∶1 D.1∶
[解题技法] 解答关联速度问题的两个关键点
(1)确定合速度,一般以物体对地的速度为合速度。
(2)确定两个分速度的方向,一般为沿绳(或杆)方向和垂直绳(或杆)方向。
训练1 (2025·安康联考)有一条小河的两岸平行,河水以速度v匀速向东流去,小船A从北岸开到南岸,运动路径始终与河岸垂直,小船B从南岸开到北岸,船头始终与河岸垂直。结果发现小船A的渡河时间是小船B渡河时间的倍。已知小船A与B在静水中的速度大小均为v0,则以下关系正确的是( )
A.v0=v B.v0=v
C.v0=v D.v0=v
热点二 抛体运动
例3 (多选)(2025·武汉模拟)跳台滑雪是一种雪上竞技类的运动项目,现某运动员从跳台a处沿水平方向飞出,在斜坡b处着陆,ab近似看成直线且足够长,如图所示。测得ab间竖直的高度差h=20 m,运动员着陆时的速度与水平方向夹角β=53°,已知重力加速度g=10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,运动员在空中运动的空气阻力不计。下列说法正确的是( )
A.ab之间的距离为25 m
B.滑雪运动员以25 m/s的速率在b点着陆
C.减小在a点的初速度,运动员着陆的速度与水平方向夹角小于53°
D.改变在a点的初速度,运动员总是在飞行总时间的一半时离斜面最远
[解题技法] 解答平抛运动问题的三个常用技巧
(1)解答平抛运动(或类平抛运动)时,利用“化曲为直”的思想,即将曲线运动转化为两个方向的直线运动,利用直线运动规律求解。
(2)熟练使用平抛运动两个重要推论:①平抛运动任意时刻速度方向的反向延长线一定通过水平分位移的中点;②平抛运动任意位置处,速度方向与水平方向的夹角的正切值tan θ等于位移方向与水平方向的夹角的正切值tan α的2倍,即tan θ=2tan α。
(3)平抛运动中常见的两类问题:①已知速度信息(某时刻的速度大小或方向)类,沿水平和竖直方向分解该时刻的速度求解问题;②已知位移信息(位移大小或方向)类,沿水平和竖直方向分解位移求解问题。
例4 (2024·梅州模拟)运动员在同一位置分别沿与水平地面成30°和60°角的方向踢出一只橄榄球,两次球落在同一地点,运动轨迹如图所示,不计空气阻力,则橄榄球( )
A.沿轨迹①运动的位移较大
B.沿轨迹②运动的时间较长
C.在最高点时沿轨迹②运动的速度小
D.两次的最高点位置一定在同一竖直线上
[解题技法] 斜抛运动(类斜抛运动)的处理方法
(1)处理斜抛运动时也采用“化曲为直”的方法。
(2)斜上抛运动的上升和下落过程的位移大小、速度大小、时间均有对称性的特征。
(3)当物体做斜上抛运动至最高点时,运用逆向思维可转化为平抛运动处理。
训练2 (2025·安庆模拟)在水平放置的圆柱体轴线的正上方的P点,将一个小球以水平速度v0垂直圆柱体的轴线抛出,小球飞行一段时间后恰好从圆柱体上Q点沿切线飞过,测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ,那么小球经过Q点时的速度是( )
A. B.
C. D.
热点三 圆周运动
例5 如图所示,有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转,转轴上的A点有一长为L的细绳系有质量为m的小球,重力加速度大小为g。要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面,则A点到水平面高度h最大为( )
A. B.ω2g
C. D.
[思维路径] 水平面内圆周运动的分析思路
例6 如图所示,半径为R的光滑圆形管道竖直放置,管的内径很小,直径略小于管道内径的小球在管道内运动时,它经过最高点时速度为v1,重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.当小球以的速度经过与圆心等高的点时,圆管外壁对小球的作用力为mg
B.若v1=,则小球经过最高点时对圆管的内壁有向下的作用力
C.若v1=,则小球经过最高点时,圆管的内壁对球有作用力
D.若v1=,则小球经过最低点时,圆管的外壁对球的作用力为5mg
[思维路径] 竖直面内圆周运动的分析思路
训练3 (2025·张家口模拟)如图所示,倾角为37°的光滑斜面固定在水平地面上,长度为L的细线一端与小球相连,另一端穿入小孔O与力传感器(位于斜面体内部)连接。小球从某一位置(细线处于拉直状态)由静止释放后摆下,到达最低点时力传感器的示数是小球重力的1.8倍。现在O点的下方钉一个钉子P(O、P连线与斜面底边垂直),小球从相同位置(细线处于拉直状态)由静止释放后摆下,细线所能承受的最大拉力是重力的3倍,钉子和小球均可视为质点,不计空气阻力和细线与钉子相碰时的能量损失,sin 37° =0.6,cos 37°=0.8。下列说法正确的是( )
A.当细线碰到钉子的瞬间,小球的线速度突然增大
B.当细线碰到钉子的瞬间,小球的角速度保持不变
C.为使细线不被拉断,OP之间距离可能是L
D.为使细线不被拉断,OP之间距离可能是L
曲线运动与传统文化
典例 (2025·重庆模拟)如图甲为记载于《天工开物》的风扇车,它是用来去除水稻等农作物籽实中杂质的木制传统农具。风扇车的工作原理可简化为如图乙模型:质量为m1的杂质与质量为m2的籽实仅在水平恒定风力和重力的作用下,从同一位置P静止释放,若m1小于m2,杂质与籽实受到的风力大小相等。下列说法正确的是( )
A.杂质与籽实在空中做曲线运动
B.杂质与籽实在空中运动的时间相等
C.杂质与籽实落地时速度大小相等
D.杂质落地点与P点的水平距离小于籽实落地点与P点的水平距离
[情境与思维分析] 在古老的农耕智慧中,风扇车借风力分离稻谷与杂质。想象杂质(轻)与籽实(重)从同一高度释放——竖直方向,二者仅受重力,同步自由下落,落地时间相同;水平方向,风力恒定,轻者(杂质)惯性小,被风力“推”得更远,最终落点分离。古人巧用风力与质量差异,通过运动时间的“同”与水平轨迹的“异”,实现高效分选,物理规律暗藏于千年农具之中。
训练 (2025·江苏联考)对落差较大的道路,建设螺旋立交可以有效地保证车辆安全行驶。如图所示,某螺旋立交为2.5层同心圆螺旋结构,上下层桥梁平面位置重叠,转弯路面设计为外高内低。下列针对这段路的分析正确的是( )
A.车辆上坡过程中受重力、支持力、摩擦力、向心力
B.接触面的动摩擦因数的大小对车辆在转弯处的设计时速有影响
C.通过螺旋式设计可减小坡度,目的是增大车辆与地面的摩擦力
D.两辆车以相同的速率转弯时,外侧的车需要的向心力可能更大
高考真题·体验
1.(多选)(2025·福建卷)如图为春晚上转手绢的机器人,手绢上有P、Q两点,圆心为O,已知OQ=OP,手绢绕O点做匀速圆周运动,则( )
A.P、Q线速度之比为1∶
B.P、Q角速度之比为∶1
C.P、Q向心加速度之比为∶1
D.P点所受合外力总是指向O
2.(2025·安徽卷)在竖直平面内,质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动,质点N沿竖直方向做直线运动,M、N在运动过程中始终处于同一高度。t=0时,M、N与O点位于同一直线上,如图所示。此后在M运动一周的过程中,N运动的速度v随时间t变化的图像可能是( )
3.(2025·云南卷)如图所示,某同学将两颗鸟食从O点水平抛出,两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动,两运动轨迹在同一竖直平面内,则( )
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
4.(多选)(2025·广东卷)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出,使小球在水平面内做匀速圆周运动,如图所示。已知圆周运动的半径R为0.4 m,小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°,小球质量为0.1 kg,重力加速度g取10 m/s2。关于该小球,下列说法正确的有( )
A.角速度为5 rad/s
B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2
D.所受支持力大小为1 N
5.(多选)(2024·山东卷)如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力。重物在此运动过程中,下列说法正确的是( )
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
6.(2024·北京卷)如图所示,水平放置的排水管满口排水,管口的横截面积为S,管口离水池水面的高度为h,水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动,已知重力加速度为g,h远大于管口内径。求:
(1)水从管口到水面的运动时间t;
(2)水从管口排出时的速度大小v0;
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
微专题三 力与曲线运动
例1 D 解析 小车做曲线运动,所受合外力指向曲线的凹侧,A、B两项错误;小车沿轨道从左向右运动,动能一直增加,故合外力与运动方向夹角为锐角,C项错误,D项正确。
例2 B 解析 CD段轻绳与水平方向的夹角为30°时,设小球a的速度大小为v1,小球b的速度大小为v2,则有v1cos 60°=v2,解得v1∶v2=2∶1,B项正确。
训练1 B 解析 设河的宽度为d,小船A的运动路径始终与河岸垂直,小船A渡河的时间t1=,其中θ是小船A在静水中的速度方向与运动路径的夹角,小船B的船头始终与河岸垂直,小船B渡河的时间t2=,根据题意有=,根据小船A的运动情况,河水的速度v与小船在静水中的速度v0的关系为v=v0sin θ,联立解得v0=v,B项正确。
例3 BD 解析 速度与水平方向的夹角的正切值是位移与水平方向的夹角正切值的两倍,减小在a点的初速度,落到ab上时位移与水平方向的夹角仍然不变,所以速度与水平方向的夹角也保持不变;tan β==,由计算可得水平位移为x=30 m,由勾股定理可得lab= m=10 m,A项错误,C项错误;运动员竖直方向的分运动为自由落体运动,有=2gh,解得vy=20 m/s,则在b点的速度vb==25 m/s,B项正确;将运动分解为平行于斜面的匀加速直线运动和垂直于斜面的匀变速直线运动,在垂直于斜面方向运动员先做向上的匀减速直线运动再做向下的加速度不变的匀加速直线运动,当运动员离斜面最远时就是垂直于斜面方向的分速度变为零时。由对称性可知,垂直于斜面向上运动和向下运动时间相同,所以运动员总是在飞行总时间的一半时离斜面最远,D项正确。
例4 D 解析 两次球从同一地点出发落在同一地点,则两次运动位移相等,A项错误;两次球都做斜上抛运动,竖直方向的分运动为竖直上抛运动,设最大高度为h,球在空中运动时间t=2(球上升和下落时间相等),则球沿轨迹①运动的时间较长,B项错误;球在水平方向的分运动为匀速直线运动,有x=v0t,水平分位移相等,球沿轨迹①运动时间长,则球沿轨迹①的水平分速度小,在最高点时的速度小,C项错误;两次球都做斜上抛运动,轨迹都是抛物线,根据对称性知,两次最高点位置一定在同一竖直线上,D项正确。
训练2 A 解析 测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ,即水平速度与末速度的夹角为θ,根据平行四边形法则可得cos θ=,解得vQ=,A项正确。
例5 A 解析 以小球为研究对象,小球受三个力的作用,重力mg、水平面支持力FN、绳子拉力F,在竖直方向合力为零,在水平方向所需向心力为mω2R,设绳子与竖直方向的夹角为θ,则有轨道半径R=htan θ,由平衡条件和牛顿第二定律得Fcos θ+FN=mg,Fsin θ=mω2htan θ,当球即将离开水平面时,h最大,此时FN=0,即Fcos θ=mg,Fsin θ=mgtan θ=mω2htan θ,联立解得h=,A项正确。
例6 C 解析 当小球以的速度经过与圆心等高的点时,圆管外壁对小球的作用力为F=m=3mg,A项错误;在最高点,仅由重力提供向心力时,有mg=m,解得v=,由于v1=>v,故小球经过最高点时,圆管的外壁对球有向下的作用力,则小球对管的外壁有向上的作用力,B项错误;由于v1=训练3 C 解析 不计细线与钉子相碰时的能量损失,当细线碰到钉子的瞬间,小球的线速度保持不变,由v=ωr,由于半径变小,可知角速度突然增大,A、B两项错误;设小球运动到最低点时的速度为v,未钉钉子时,由牛顿第二定律得F1-mgsin 37°=m,解得v2=1.2gL,钉钉子后,由牛顿第二定律得F2-mgsin 37°=m,因为F2<3mg,则情境思维双驱
典例 B 解析 在水平恒定风力和重力的作用下,从同一位置P静止释放,所以杂质与籽实在空中做初速度为零的匀变速直线运动,A项错误;杂质与籽实在空中运动的时间相等,因为竖直方向两者均做自由落体运动,高度相同,B项正确;杂质与籽实在空中都做初速度为零的匀加速直线运动,所受合力F合=,因为m1a2,又杂质与籽实在空中运动的时间相等,则由落地速度v=at得v1>v2,C项错误;杂质的水平加速度较大,水平方向位移x=at2,杂质落地点与P点的水平距离大于籽实落地点与P点的水平距离,D项错误。
训练 D 解析 车辆上坡过程中受到重力、支持力、摩擦力、牵引力,A项错误;设倾角为θ,由牛顿第二定律有mgtan θ=m,车辆在转弯处的设计时速为v=,与接触面的动摩擦因数的大小无关,B项错误;通过螺旋式设计,有效减小坡度,主要目的是减小车重力沿斜面向下的分力,C项错误;根据向心力公式Fn=m,由于两辆车的质量未知,则以相同的速率转弯时,外侧的车需要的向心力可能更大,D项正确。
高考真题体验
1.AD 解析 手绢做匀速圆周运动,由题图可知P、Q属于同轴传动模型,故角速度相等,即角速度之比为1∶1,B项错误;由v=ωr可知,P、Q线速度之比vP∶vQ=rOP∶rOQ=1∶,A项正确;由a=ω2r可知,P、Q向心加速度之比aP∶aQ=rOP∶rOQ=1∶,C项错误;做匀速圆周运动的物体,其合外力等于向心力,故合力总是指向圆心O,D项正确。
2.D 解析 根据题意可知,M的速度在竖直方向上的分量始终与N的速度相同,设M做圆周运动的速率为v0,半径为R,则t时间内M转过的角度为,以竖直向上为正方向,结合题图可知M的速度在竖直方向的分量(即N的速度)为v=v0cos,所以D项可能正确。
3.D 解析 鸟食的运动视为平抛运动,则在竖直方向有h=gt2,由于hM4.AC 解析 对小球受力分析可知F向=mgtan 45°=mω2R,解得ω=5 rad/s,A项正确;线速度大小为v=ωR=2 m/s,B项错误;向心加速度大小为an=ω2R=10 m/s2,C项正确;所受支持力大小为N== N,D项错误。
5.BD 解析 将初速度分解为沿PQ方向分速度v1和垂直PQ方向分速度v2,则有v1=v0cos 60°=10 m/s,v2=v0sin 60°=10 m/s,将重力加速度分解为沿PQ方向分加速度a1和垂直PQ方向分加速度a2,则有a1=gsin 30°=5 m/s2,a2=gcos 30°=5 m/s2,垂直PQ方向根据对称性可得重物运动时间t=2=4 s,重物离PQ连线的最远距离dmax==10 m,A、C两项错误;重物落地时竖直分速度大小vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s,落地速度与水平方向夹角正切值tan θ===,解得θ=60°,B项正确;从抛出到最高点所用时间t1==1 s,从最高点到落地所用时间t2=t-t1=3 s,轨迹最高点与落点的高度差h=g=45 m,D项正确。
6.答案 (1) (2)d (3)Sd
解析 (1)水在空中做平抛运动,由平抛运动规律得,竖直方向h=gt2,
解得水从管口到水面的运动时间t=。
(2)由平抛运动规律得,水平方向d=v0t,
解得水从管口排出时的速度大小v0=d。
(3)管口单位时间内流出水的体积Q=Sv0=Sd。(共55张PPT)
微专题三
专题一 力与运动
力与曲线运动
热点一 曲线运动 运动的合成与分解
例1 (2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，A、B两项错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C项错误，D项正确。
解析
例2 (2025·安徽联考)如图所示为某联动装置，竖直面内的两固定杆，AB倾斜、BC水平，AB与BC间的夹角为30°，C端装有一定滑轮(大小不计)，小球a套在AB杆上，绕过定滑轮的轻绳一端连接在小球a上，另一端吊着小球b。由静止释放小球a，当小球a运动到位置D 时，CD段轻绳与水平方向的夹角为30°，此时
a、b两球的速度大小之比为( )
A.1∶2 B.2∶1
C.∶1 D.1∶
CD段轻绳与水平方向的夹角为30°时，设小球a的速度大小为v1，小球b的速度大小为v2，则有v1cos 60°=v2，解得v1∶v2=2∶1，B项正确。
解析
[解题技法] 解答关联速度问题的两个关键点
(1)确定合速度，一般以物体对地的速度为合速度。
(2)确定两个分速度的方向，一般为沿绳(或杆)方向和垂直绳(或杆)方向。
训练1 (2025·安康联考)有一条小河的两岸平行，河水以速度v匀速向东流去，小船A从北岸开到南岸，运动路径始终与河岸垂直，小船B从南岸开到北岸，船头始终与河岸垂直。结果发现小船A的渡河时间是小船B渡河时间的倍。已知小船A与B在静水中的速度大小均为v0，则以下关系正确的是( )
A.v0=v B.v0=v
C.v0=v D.v0=v
设河的宽度为d，小船A的运动路径始终与河岸垂直，小船A渡河的时间t1=，其中θ是小船A在静水中的速度方向与运动路径的夹角，小船B的船头始终与河岸垂直，小船B渡河的时间t2=，根据题意有=，根据小船A的运动情况，河水的速度v与小船在静水中的速度v0的关系为v=v0sin θ，联立解得v0=v，B项正确。
解析
热点二 抛体运动
例3 (多选)(2025·武汉模拟)跳台滑雪是一种雪上竞技类的运动项 目，现某运动员从跳台a处沿水平方向飞
出，在斜坡b处着陆，ab近似看成直线且
足够长，如图所示。测得ab间竖直的高
度差h=20 m，运动员着陆时的速度与水
平方向夹角β=53°，已知重力加速度g=
10 m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，运动员在空中运动的空气阻力不计。下列说法正确的是( )
A.ab之间的距离为25 m
B.滑雪运动员以25 m/s的速率在b点着陆
C.减小在a点的初速度，运动员着陆的速度与水平方向夹角小于53°
D.改变在a点的初速度，运动员总是在飞行总时间的一半时离斜面最远
速度与水平方向的夹角的正切值是位移与水平方向的夹角正切值的两倍，减小在a点的初速度，落到ab上时位移与水平方向的夹角仍然不变，所以速度与水平方向的夹角也保持不变；tan β ==，由计算可得水平位移为x=30 m，由勾股定理可得lab= m=10 m，A项错误，C项错误；运动员竖直方向的分运动为自由落体运动，有=2gh，解得vy=20 m/s，则在b
解析
点的速度vb==25 m/s，B项正确；将运动分解为平行于斜面的匀加速直线运动和垂直于斜面的匀变速直线运动，在垂直于斜面方向运动员先做向上的匀减速直线运动再做向下的加速度不变的匀加速直线运动，当运动员离斜面最远时就是垂直于斜面方向的分速度变为零时。由对称性可知，垂直于斜面向上运动和向下运动时间相同，所以运动员总是在飞行总时间的一半时离斜面最 远，D项正确。
解析
[解题技法] 解答平抛运动问题的三个常用技巧
(1)解答平抛运动(或类平抛运动)时，利用“化曲为直”的思想，即将曲线运动转化为两个方向的直线运动，利用直线运动规律求解。
(2)熟练使用平抛运动两个重要推论：①平抛运动任意时刻速度方向的反向延长线一定通过水平分位移的中点；②平抛运动任意位置 处，速度方向与水平方向的夹角的正切值tan θ等于位移方向与水平方向的夹角的正切值tan α的2倍，即tan θ=2tan α。
(3)平抛运动中常见的两类问题：①已知速度信息(某时刻的速度大小或方向)类，沿水平和竖直方向分解该时刻的速度求解问题；②已知位移信息(位移大小或方向)类，沿水平和竖直方向分解位移求解问 题。
例4 (2024·梅州模拟)运动员在同一位置分别沿与水平地面成30°和60°角的方向踢出一只橄榄球，两次球落在同一地 点，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则橄榄球( )
A.沿轨迹①运动的位移较大
B.沿轨迹②运动的时间较长
C.在最高点时沿轨迹②运动的速度小
D.两次的最高点位置一定在同一竖直线上
两次球从同一地点出发落在同一地点，则两次运动位移相等，A项错误；两次球都做斜上抛运动，竖直方向的分运动为竖直上抛运 动，设最大高度为h，球在空中运动时间t=2(球上升和下落时间相等)，则球沿轨迹①运动的时间较长，B项错误；球在水平方向的分运动为匀速直线运动，有x=v0t，水平分位移相等，球沿轨迹①运动时间长，则球沿轨迹①的水平分速度小，在最高点时的速度小，C项错误；两次球都做斜上抛运动，轨迹都是抛物线，根据对称性知，两次最高点位置一定在同一竖直线上，D项正确。
解析
[解题技法] 斜抛运动(类斜抛运动)的处理方法
(1)处理斜抛运动时也采用“化曲为直”的方法。
(2)斜上抛运动的上升和下落过程的位移大小、速度大小、时间均有对称性的特征。
(3)当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维可转化为平抛运动处理。
训练2 (2025·安庆模拟)在水平放置的圆柱体轴线的正上方的P点，将一个小球以水平速度v0垂直圆柱体的轴线抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体上Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球经过Q点时的速度是( )
A. B.
C. D.
测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，即水平速度与末速度的夹角为θ，根据平行四边形法则可得cos θ=，解得vQ=，A项正确。
解析
热点三 圆周运动
例5 如图所示，有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有一长为L的细绳系有质量为m的小球，重力加速度大小为g。要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，则A点到水平面高度h最大为( )
A. B.ω2g
C. D.
以小球为研究对象，小球受三个力的作用，重力mg、水平面支持力FN、绳子拉力F，在竖直方向合力为零，在水平方向所需向 心力为mω2R，设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有轨道半径R=htan θ，由平衡条件和牛顿第二定律得Fcos θ+FN=mg，Fsin θ =mω2htan θ，当球即将离开水平面时, h最大，此时FN=0, 即Fcos θ =mg，Fsin θ=mgtan θ=mω2htan θ，联立解得h=，A项正确。
解析
[思维路径] 水平面内圆周运动的分析思路
例6 如图所示，半径为R的光滑圆形管道竖直放置，管的内径很小，直径略小于管道内径的小球在管道内运动时，它经过最高点时速度为v1，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.当小球以的速度经过与圆心等高的点时，圆管外壁对小球的作用力为mg
B.若v1=，则小球经过最高点时对圆管的内壁有向下的作用力
C.若v1=，则小球经过最高点时，圆管的内壁对球有作用力
D.若v1=，则小球经过最低点时，圆管的外壁对球的作用力为5mg
当小球以的速度经过与圆心等高的点时，圆管外壁对小球的作用力为F=m=3mg，A项错误；在最高点，仅由重力提供向心力时，有mg=m，解得v=，由于v1=>v，故小球经过最高点时，圆管的外壁对球有向下的作用力，则小球对管的外壁 有向上的作用力，B项错误；由于v1=解析
时，圆管的内壁对球有向上的作用力，C项正确；若v1=，由机械能守恒定律得m+2mgR=m，解得小球经过最低点的速度为v2=，小球经过最低点时，有F-mg=m，解得圆管的外壁对球的作用力为F=7mg，D项错误。
解析
[思维路径] 竖直面内圆周运动的分析思路
训练3 (2025·张家口模拟)如图所示，倾角为37°的光滑斜面固定在水平地面上，长度为L的细线一端与小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器(位于斜面体内部)连接。小球从某一位置(细线处于拉直状态)由静止释放后摆下，到达最低点时力传感器的示数是小球重力的1.8倍。现在O点的下方钉一个钉子P(O、P连线与斜面底边垂直)，小球从相同位置(细线处于拉直状态)由静止释放后摆下，细线所能承受的最大拉力是重力的3倍，钉子和小球均可视为质点，不计空气阻力和细线与钉子相碰时的能量损失，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法正确的是( )
A.当细线碰到钉子的瞬间，小球的线速度突然增大
B.当细线碰到钉子的瞬间，小球的角速度保持不变
C.为使细线不被拉断，OP之间距离可能是L
D.为使细线不被拉断，OP之间距离可能是L
不计细线与钉子相碰时的能量损失，当细线碰到钉子的瞬间，小球的线速度保持不变，由v=ωr，由于半径变小，可知角速度突然增大，A、B两项错误；设小球运动到最低点时的速度为v，未钉钉子时，由牛顿第二定律得F1-mgsin 37°=m，解得v2=1.2gL，钉钉子后，由牛顿第二定律得F2-mgsin 37°=m，因为F2<
3mg，则解析
曲线运动与传统文化
典例 (2025·重庆模拟)如图甲为记载于《天工开物》的风扇车，它是用来去除水稻等农作物籽实中杂质的木制传统农具。风扇车的工作原理可简化为如图乙模型：质量为m1的杂质与质量为m2的籽实仅在水平恒定风力和重力的作用下，从同一位置P静止释放，若m1小于m2，杂质与籽实受到的风力大小相等。下列说法正确的是( )
A.杂质与籽实在空中做曲线运动
B.杂质与籽实在空中运动的时间相等
C.杂质与籽实落地时速度大小相等
D.杂质落地点与P点的水平距离小于籽实落地点与P点的水平距离
在水平恒定风力和重力的作用下，从同一位置P静止释放，所以杂质与籽实在空中做初速度为零的匀变速直线运动，A项错误；杂质与籽实在空中运动的时间相等，因为竖直方向两者均做自由 落体运动，高度相同，B项正确；杂质与籽实在空中都做初速度为零的匀加速直线运动，所受合力F合=，因为m1a2，又杂质与
解析
籽实在空中运动的时间相等，则由落地速度v=at得v1>v2，C项错 误；杂质的水平加速度较大，水平方向位移x=at2，杂质落地点与P点的水平距离大于籽实落地点与P点的水平距离，D项错误。
解析
[情境与思维分析] 在古老的农耕智慧中，风扇车借风力分离稻谷与杂质。想象杂质(轻)与籽实(重)从同一高度释放——竖直方向，二者仅受重力，同步自由下落，落地时间相同；水平方向，风力恒定，轻者(杂质)惯性小，被风力“推”得更远，最终落点分离。古人巧用风力与质量差异，通过运动时间的“同”与水平轨迹的“异”，实现高效分选，物理规律暗藏于千年农具之中。
训练 (2025·江苏联考)对落差较大的道路，建
设螺旋立交可以有效地保证车辆安全行驶。如图
所示，某螺旋立交为2.5层同心圆螺旋结构，上下
层桥梁平面位置重叠，转弯路面设计为外高内低。
下列针对这段路的分析正确的是( )
A.车辆上坡过程中受重力、支持力、摩擦力、向心力
B.接触面的动摩擦因数的大小对车辆在转弯处的设计时速有影响
C.通过螺旋式设计可减小坡度，目的是增大车辆与地面的摩擦力
D.两辆车以相同的速率转弯时，外侧的车需要的向心力可能更大
车辆上坡过程中受到重力、支持力、摩擦力、牵引力，A项错 误；设倾角为θ，由牛顿第二定律有mgtan θ=m，车辆在转弯处的设计时速为v=，与接触面的动摩擦因数的大小无关，B项错误；通过螺旋式设计，有效减小坡度，主要目的是减小车重力沿斜面向下的分力，C项错误；根据向心力公式Fn=m，由于两辆车的质量未知，则以相同的速率转弯时，外侧的车需要的向心力可能更大，D项正确。
解析
1.(多选)(2025·福建卷)如图为春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，已知OQ=OP，手绢绕O点做匀速圆周运动，则( )
A.P、Q线速度之比为1∶
B.P、Q角速度之比为∶1
C.P、Q向心加速度之比为∶1
D.P点所受合外力总是指向O
手绢做匀速圆周运动，由题图可知P、Q属于同轴传动模型，故角速度相等，即角速度之比为1∶1，B项错误；由v=ωr可知，P、Q线速度之比vP∶vQ=rOP∶rOQ=1∶，A项正确；由a=ω2r可知， P、Q向心加速度之比aP∶aQ=rOP∶rOQ=1∶，C项错误；做匀 速圆周运动的物体，其合外力等于向心力，故合力总是指向圆心O，D项正确。
解析
2.(2025·安徽卷)在竖直平面内，质点M绕定点O沿
逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做
直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。
t=0时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是( )
根据题意可知，M的速度在竖直方向上的分量始终与N的速度相 同，设M做圆周运动的速率为v0，半径为R，则t时间内M转过的角度为，以竖直向上为正方向，结合题图可知M的速度在竖直方向的分量(即N的速度)为v=v0cos，所以D项可能正确。
解析
3.(2025·云南卷)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则( )
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直
方向有h=gt2，由于hM要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟
食先抛出，A、B两项错误；在水平
方向有x=v0t，如图所示，过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，C项错误，D项正确。
解析
4.(多选)(2025·广东卷)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动的半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有( )
A.角速度为5 rad/s
B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2
D.所受支持力大小为1 N
对小球受力分析可知F向=mgtan 45°=mω2R，解得ω=5 rad/s，A项正确；线速度大小为v=ωR=2 m/s，B项错误；向心加速度大小为an=ω2R=10 m/s2，C项正确；所受支持力大小为N== N， D项错误。
解析
5.(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重 物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
将初速度分解为沿PQ方向分速度v1和垂直PQ方向分速度v2，则有v1=v0cos 60°=10 m/s，v2=v0sin 60°=10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向分加速度a1和垂直PQ方向分加速度a2，则有a1=
gsin 30°=5 m/s2，a2=gcos 30°=5 m/s2，垂直PQ方向根据对称性可得重物运动时间t=2=4 s，重物离PQ连线的最远距离dmax==10 m，A、C两项错误；重物落地时竖直分速度大小
解析
vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s，落地速度与水平方向夹角正切值tan θ= ==，解得θ=60°，B项正确；从抛出到最高点所用时间t1==1 s，从最高点到落地所用时间t2=t-t1=3 s，轨迹最高点与落点的高度差h=g=45 m，D项正确。
解析
6.(2024·北京卷)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向h=gt2，
解得水从管口到水面的运动时间t=。
解析
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
由平抛运动规律得，水平方向d=v0t，
解得水从管口排出时的速度大小v0=d。
解析
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
管口单位时间内流出水的体积Q=Sv0=Sd。
解析专题精练3 力与曲线运动
保分基础练
1.(2025·哈尔滨一模)如图,某质点沿曲线从B点运动到A点,分析质点在A点的速度方向,使用的物理学思想方法是( )
A.控制变量法 B.极限思维法
C.等效替代法 D.理想模型法
2.(2024·湖北卷)如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到( )
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
3.(多选)(2024·甘肃卷)电动小车在水平面内做匀速圆周运动,下列说法正确的是( )
A.小车的动能不变
B.小车的动量守恒
C.小车的加速度不变
D.小车所受的合外力一定指向圆心
4.(2024·江苏卷)制作陶瓷时,在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点,则( )
A.离转轴越近的陶屑质量越大
B.离转轴越远的陶屑质量越小
C.陶屑只能分布在台面的边缘处
D.陶屑只能分布在一定半径的圆内
5.(多选)(2025·大理模拟)如图所示,某满载旅客的高铁列车通过半径为R、内外铁轨所在平面与水平地面的夹角为θ的一段圆弧铁轨时,车轮对内外铁轨恰好都没有侧向挤压。重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
A.列车通过圆弧轨道时的速度大小为
B.若列车空载并以原速率(此时车轮对内外轨恰好没有侧向挤压)通过圆弧轨道,则车轮侧向挤压内轨
C.若列车通过圆弧轨道的过程中速率增大,则列车在该过程中所受的合力减小
D.若列车以小于原速率(此时车轮对内外轨恰好没有侧向挤压)通过圆弧轨道,则车轮侧向挤压内轨
6.(2025·合肥模拟)在某次军事演习中A、B两火炮以相同的速率从不同方向对位于与炮口处于同一水平高度的目标W发射炮弹,要求同时击中目标,炮弹运动轨迹如图所示,不计空气阻力,则下列说法正确的是( )
A.A、B两火炮需同时发射
B.两炮弹击中目标时速度相同
C.A炮弹从发射到轨迹最高点的时间小于B炮弹
D.A炮弹在轨迹最高点的速度等于B炮弹
7.(2025·蚌埠模拟)质量为m的物块P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上,轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着物块P与小车,物块P与滑轮间的细绳平行于斜面,小车以速率v0水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时,重力加速度为g,下列判断正确的是( )
A.物块P的速率为v0sin θ2
B.物块P的速率为v0cos θ1
C.细绳对物块P的拉力恒为mgsin θ1
D.细绳对物块P的拉力大于mgsin θ1
8.(多选)(2025·宿州模拟)如图所示,质量为m的小球置于方形的光滑盒子中,盒子的边长略大于小球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内以O点为圆心做半径为R的匀速圆周运动,已知重力加速度为g,空气阻力不计。下列说法正确的是( )
A.若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力,则盒子运动的周期为2π
B.若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力,则盒子运动的周期为4π
C.若盒子运动的周期为π,当盒子运动到与O点位于同一水平面上时,小球受盒子右侧面的作用力为4mg
D.若盒子运动的周期为π,当盒子运动到与O点位于同一水平面上时,小球受盒子的作用力为4mg
9.(2025·重庆二模)如图所示,某同学向一圆柱形杯中水平抛出一小物块(可视为质点),小物块恰好经过杯口中心无阻挡地落到杯底边沿P点。已知杯内高h,杯底直径为D,重力加速度为g,抛出点O与竖直杯壁(厚度不计)在同一竖直线上。忽略空气阻力,则小物块水平抛出时的速度大小为( )
A.D B.D
C.D D.D
增分提能练
10.(2025·景德镇三模)如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量均为m的球A和球B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力,重力加速度为g。则球B在最高点时( )
A.球B的速度为零
B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力为mg
D.水平转轴对杆的作用力为2mg
11.(2025·蚌埠模拟)如图所示,一条宽度d=200 m,两岸平行的河流,河中各处水流速度大小均为v1=2 m/s,小船从O点保持船头与河岸始终成θ=53°角匀速驶向对岸,O点的正对岸是A点。小船在静水中的速度大小为v2=5 m/s。(sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)下列说法正确的是( )
A.小船刚好到达正对岸的A点
B.小船到达对岸用时40 s
C.小船到达对岸的位置在正对岸A点的上游
D.若仅改变船头与岸的角度θ,小船可以在时间不变的情况下到正对岸的A点
12.(2025·赣州联考)“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一质量为m的小球在光滑的水平面上以初速度v0(沿x轴正方向)穿过一段风带,经过风带时风会给小球一个沿水平方向且与v0方向垂直(沿y轴正方向)的恒力作用,风带在0≤x≤l区域,其他区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向如图所示,已知小球在穿过风带过程中沿y轴正方向运动的位移为。下列说法正确的是( )
A.小球穿过风带所需时间为
B.小球穿过风带过程中的加速度大小为
C.小球穿过风带时所受恒力的大小为
D.小球穿过风带后的速度大小为2v0
13.(多选)如图所示,用长为L的轻绳(轻绳不可伸长)连接的A、B两物块(均可视为质点)放置在绕竖直轴转动的水平圆盘上,A、B连线的延长线过圆盘的圆心O,A与圆心O的距离也为L,A、B两物块的质量均为m,与圆盘间的动摩擦因数均为μ,物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,A、B始终相对圆盘静止,重力加速度为g,则下列说法正确的是( )
A.A、B所受的摩擦力一定相等
B.ω=是物块开始滑动的临界角速度
C.轻绳最大弹力为μmg
D.当ω=时,A所受摩擦力的大小为μmg
14.(2025·安徽部分学校调研)如图所示,一倾斜的匀质圆盘可绕垂直于盘面的固定对称轴转动,盘面上离转轴距离为l=6.25 cm处有一质量为m=0.1 kg的小物块(可视为质点)静止在倾斜的匀质圆盘上,小物块与盘面间的动摩擦因数为μ=,盘面与水平面的夹角θ=30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g大小取10 m/s2。若小物块随圆盘匀速转动且小物块与圆盘始终保持相对静止,求:
(1)小物块即将滑动时的角速度;(计算结果可保留根式)
(2)当角速度达最大值时,小物块运动到最高点时所受摩擦力的大小。
15.(2025·张家口模拟)如图所示,平台距竖直光滑圆弧轨道的B点的竖直高度h=0.45 m,竖直光滑圆弧轨道半径为r=2.75 m,OB与竖直方向的夹角为∠COB=37°。质量为m=1 kg的小球以初速度v0从平台边缘A点水平飞出,恰好沿圆弧轨道B点的切线方向进入圆弧,小球在C点的速度vC和在B点的速度vB之间的关系满足=+2gr(1-cos 37°)。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,小球可视为质点。求:
(1)小球到达B点时的速度大小;
(2)平台边缘A点与B点的水平距离;
(3)小球对圆弧轨道C点的压力大小(结果用分数表示)。
专题精练3 力与曲线运动
1.B 解析 利用曲线上两点无限逼近作曲线的切线的方法对应的思想方法是极限思维法,B项正确。
2.C 解析 青蛙做平抛运动,水平方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动,则有x=vt,h=gt2,可得v=x,因此水平位移越小,竖直高度越大,初速度越小,因此跳到荷叶c上面,C项正确。
3.AD 解析 做匀速圆周运动的物体速度大小不变,故动能不变,A项正确;做匀速圆周运动的物体速度方向时刻在改变,故动量不守恒,B项错误;做匀速圆周运动的物体加速度大小不变,方向时刻在改变,C项错误;做匀速圆周运动的物体所受的合外力一定指向圆心,D项正确。
4.D 解析 与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动,静摩擦力提供向心力,当静摩擦力为最大静摩擦力时,根据牛顿第二定律可得μmg=mω2rmax,解得rmax=,因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同,由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量无关,只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ与ω均一定,故rmax为定值,即陶屑离转轴最远的距离不超过,即陶屑只能分布在半径为的圆内,A、B、C三项错误,D项正确。
5.AD 解析 设当车轮对内、外铁轨恰好都没有侧向挤压时,列车的速度大小为v,则有mgtan θ=m,解得v=,A项正确;只要列车通过圆弧轨道的速率为v,车轮就不会侧向挤压铁轨,与质量无关,B项错误;若列车通过圆弧轨道的过程中速率增大,此时列车所需的向心力增大,列车所受的合力增大,C项错误;若列车以小于原速率通过圆弧轨道,列车所受的合力大于所需的向心力,则此时列车有做向心运动的趋势,车轮将侧向挤压内轨,D项正确。
6.C 解析 斜抛运动可视为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。设竖直方向速度为vy,上升的最大高度为h=,由题图可知,B炮弹上升的高度大于A炮弹上升的高度,可知vAyvBx,D项错误。
7.D 解析 细绳相连的物体,沿绳子方向速度相等,把小车速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向,物块P的速度与小车沿绳子方向的速度相等,即物块P的速度vP=v0cos θ2,A、B两项错误;小车向右运动,细绳和水平方向的夹角θ2减小,物块P的速度vP=v0cos θ2在增大,物块P沿斜面向上做加速运动,由牛顿第二定律FT-mgsin θ1=ma,可知细绳拉力大于mgsin θ1,C项错误,D项正确。
8.AC 解析 若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力,即在最高点有mg=m,解得v=,盒子运动的周期为T==2π,A项正确,B项错误;若盒子运动的周期为π,当盒子运动到与O点位于同一水平面上时,小球受盒子右侧面的作用力为F1=m=4mg,小盒子还需要给小球一个竖直向上的支持力,大小为F2=mg,小球受到小盒子的作用力为F==mg,C项正确,D项错误。
9.A 解析 设抛出点O到杯壁上端的距离为H,小物块平抛时的速度大小为v,从O点到P点历时为t,则在水平方向有D=vt,在竖直方向有H+h=gt2,且H=g,联立解得v=D,A项正确。
10.B 解析 球B运动到最高点时,球B对杆恰好无作用力,即重力恰好提供向心力,则有mg=m,解得vB=,A项错误;由于A、B两球的角速度相等,由v=ωr得球A的速度大小为vA=vB=,B项正确;杆对A球的作用力T-mg=m,则T=1.5mg,B球到最高点时,对杆无弹力,所以水平转轴对杆的作用力为1.5mg,C、D两项错误。
11.C 解析 小船沿河岸方向速度v2cos θ=3 m/s,可知该速度大于水流速度v1=2 m/s,即小船到达正对岸的A点的上游位置,A项错误,C项正确;小船沿垂直河岸方向有d=v2sin θ·t,解得小船过河时间t=50 s,B项错误;若小船到达对岸的A点要满足v2cos θ=v1,即cos θ==,可知θ变大,小船过河时间t=,时间变短,D项错误。
12.C 解析 小球在x轴方向以速度v0做匀速直线运动,小球穿过风带所需时间t=,A项错误;小球在y轴方向做初速度为0的匀加速直线运动,有=at2,解得a=,B项错误;由牛顿第二定律得F=ma=m,C项正确;小球在y轴方向做初速度为0的匀加速直线运动,由运动学公式得vy=at=v0,小球穿过风带后的速度大小为v==v0,D项错误。
13.BCD 解析 当ω较小时,甲、乙均由静摩擦力充当向心力,由F=mω2r可知,两滑块受摩擦力不等,当ω增大,它受到的静摩擦力也增大,而B的圆周半径大于A的圆周半径,所以B受到的静摩擦力先达到最大,此后ω继续增大,要保证B不滑动,轻绳产生弹力并增大,A受到的静摩擦力继续增大,直到A受到的静摩擦力也达到最大,此时ω最大,轻绳弹力T也最大,该过程中两滑块的摩擦力不相等;对B:Tm+μmg=m·2L,对A:μmg-Tm=mL,联立解得ωm=,Tm=μmg,A项错误,B、C两项正确;当B恰到最大静摩擦力,细绳拉力为零时μmg=m·2L,解得ω1=,当<ω=<时,此时对B分析T+μmg=mω2·2L,对A分析f-T=mω2L,解得A所受摩擦力的大小为f=μmg,D项正确。
14.答案 (1)2 rad/s (2)0.25 N
解析 (1)由于小物体随匀质圆盘做圆周运动,其向心力由小物块受到的指向圆心的合力提供,在最低点时指向圆心的合力最小。小物块在最低点即将滑动时,由牛顿第二定律有μmgcos 30°-mgsin 30°=ml,
解得小物块开始滑动的角速度ω m=,
代入数据解得ω m=2 rad/s。
(2)在最高点,根据牛顿第二定律得
mgsin 30°-Ff=ml,
代入数据,联立解得Ff=0.25 N。
15.答案 (1)5 m/s (2)1.2 m (3) N
解析 (1)小球在AB间做平抛运动,在竖直方向则有=2gh,
解得vy=3 m/s,
在B点,根据运动的合成与分解有sin 37°=,
解得vB=5 m/s。
(2)小球在AB间做平抛运动,在竖直方向有vy=gt,
解得t=0.3 s,
在B点,根据运动的合成与分解有tan 37°=,
解得v0=4 m/s,
平台边缘A点与B点的水平距离xAB=v0t,
解得xAB=1.2 m。
(3)根据题意有m=m+mgr(1-cos 37°),
其中vB=5 m/s,可得小球到达C点时的速度为
vC=6 m/s,
在C点,由牛顿第二定律得FN-mg=m,
解得FN= N,
由牛顿第三定律可知,小球对圆弧轨道C点的压力
FN'=FN= N。
