微专题四 万有引力与航天
高考热点·突破
热点一 开普勒定律与万有引力定律的应用
例1 下列说法正确的是( )
A.对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,行星运动过程中速度大小不变
B.天王星被称作“笔尖下发现的行星”
C.开普勒第三定律=k,月亮围绕地球运动的k值与人造卫星围绕地球运动的k值相同
D.丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录,提出了“日心说”的观点
训练1 (2025·马鞍山检测)绕太阳一周需要6万余年的紫金山 阿特拉斯彗星于2023年被发现,是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星。该彗星的运行轨道可视为椭圆,2024年10月12日紫金山 阿特拉斯彗星来到最接近地球的地点,许多天文爱好者用肉眼看到了这颗彗星。已知地球绕太阳公转的半径为1 AU,则紫金山 阿特拉斯彗星轨道的半长轴约为( )
A.1.5×102 AU B.1.5×103 AU
C.1.5×104 AU D.1.5×105 AU
热点二 卫星和天体的运动
例2 (多选)(2024·福建卷)据报道,我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约400 km的轨道上,其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约550 km的轨道上,若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动,则“巡天号”( )
A.角速度大小比“哈勃”的小
B.线速度大小比“哈勃”的小
C.运行周期比“哈勃”的小
D.向心加速度大小比“哈勃”的大
[模型构建] 卫星和天体运动的解题要点
例3 (2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为( )
A. B.
C. D.(1+k)3
[解题技法] 天体质量的两种求解思路
训练2 “双星系统”由相距较近的两颗恒星组成,每颗恒星的半径远小于两颗恒星之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体,它们在相互间的万有引力作用下绕某一点做匀速圆周运动。某一双星系统如图所示,A恒星的质量为m1,B恒星的质量为m2,A恒星的轨道半径为r1,B恒星的轨道半径为r2,下列说法正确的是( )
A.m1一定小于m2
B.轨道半径为r1的星球线速度更大
C.若双星的质量一定,双星间距离越大,其转动周期越大
D.只要测得双星之间的距离L和双星周期T,即可计算出某一颗星的质量
热点三 卫星的变轨 追及和相遇问题
例4 (2025·南阳联考)利用航天器进行宇宙探索的过程中,经常要对航天器进行变轨。如图所示,先把卫星发射至近地轨道Ⅰ,然后在轨道Ⅰ上的A点点火,使卫星进入轨道Ⅱ做椭圆运动,再在轨道Ⅱ上的远地点B点点火,使卫星进入轨道Ⅲ。轨道Ⅲ的半径约为地球半径的4倍,下列说法正确的是( )
A.卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要在B点减速
B.卫星在轨道Ⅲ上运行时的加速度大于在轨道Ⅰ上运行时的加速度
C.卫星在轨道Ⅱ上运行时经过B点的速度小于7.9 km/s
D.卫星在轨道Ⅰ上运动的周期与在轨道Ⅲ上运动的周期之比是1∶16
[模型构建] (1)卫星变轨的分析思路。
离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 Gm
变轨结果 变为椭圆轨道运动或再变轨到较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或再变轨到较小半径圆轨道上运动
(2)变轨过程中的能量变化。
卫星在点火加速时,做离心运动,机械能增加;点火减速时,做近心运动,机械能减少。卫星在沿椭圆形轨道运动的过程中机械能守恒。
例5 (2025·广东质检)甲、乙两颗卫星绕地球做匀速圆周运动,甲、乙两卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积之比为1∶2,两卫星轨道在同一平面内,且两卫星运行方向相同,则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两卫星的轨道半径之比为1∶
B.甲、乙两卫星的轨道半径之比为1∶4
C.在乙卫星转动一周过程中,甲、乙两卫星出现3次相距最近
D.在乙卫星转动一周过程中,甲、乙两卫星出现6次相距最近
[模型构建] 卫星的追及和相遇问题
卫星的追及问题,其实就是两颗卫星围绕地球运动一段时间后,处于同一半径或直径上的问题。若两颗卫星从同一半径处开始计时,则再次到达同一半径上时(如图1所示),相距最近,满足关系(ω1-ω2)t=n·2π或者t=n·2π(n取正整数);若两颗卫星从同一半径处开始计时,当到达同一直线上时(如图2所示),相距最远,满足关系(ω1-ω2)t=(2n+1)π或t=(2n+1)π(n取零及正整数)。
训练3 (多选)(2025·河南模拟)测得绕地球做匀速圆周运动的甲、乙两卫星的线速度大小分别等于“近地卫星”线速度大小的和倍,已知甲卫星的运行周期为T,万有引力常量为G,则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两卫星运转的轨道半径之比为1∶2
B.甲、乙两卫星若想实现对接,可使甲卫星在适当位置先加速变轨
C.甲卫星运转的向心加速度大小等于地球表面重力加速度的
D.地球的密度为
高考真题·体验
1.(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年,该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU,八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用,则该小行星的公转轨道应介于( )
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
2.(2025·河南卷)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b,它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的,其母恒星质量约为太阳质量的,则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为( )
A.13天 B.27天 C.64天 D.128天
3.(多选)(2025·安徽卷)2025年4月,我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T。月球的质量为M,半径为R,引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力,则( )
A.r= B.r=+R
C.M= D.M=
4.(2025·四川卷)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面,绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号,位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示,T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动,地球质量为M,万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为( )
A. B.
C. D.
5.(2024·安徽卷)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
6.(2025·河北卷)随着我国航天事业飞速发展,人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力,不考虑自转,该星球可视为质量分布均匀的球体,半径为R0,表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时,引力势能为mg0(r≥R0)。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动,则发射初速度为( )
A. B.
C. D.
微专题四 万有引力与航天
例1 C 解析 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,近日点速度大,远日点速度小,A项错误;海王星被称作“笔尖下发现的行星”,B项错误;若将轨道简化为圆,根据G=mr,解得k==,公式中的k值由中心天体的质量决定,月亮围绕地球运动的k值与人造卫星围绕地球运动的k值相同,C项正确;哥白尼提出了“日心说”的观点,D项错误。
训练1 B 解析 由开普勒第三定律=,其中T彗=60 000年,T地=1年,r地=1 AU,解得紫金山 阿特拉斯彗星轨道的半长轴约为a彗=1.5×103 AU,B项正确。
例2 CD 解析 根据万有引力提供向心力可得=mω2r=m=mr=ma,解得ω=,v=,T=,a=,由于“巡天号”的轨道半径小于“哈勃”的轨道半径,则有ω巡>ω哈,v巡>v哈,T巡a哈,C、D两项正确。
例3 D 解析 设月球半径为R,质量为M,对嫦娥六号,根据万有引力提供向心力G=m·(k+1)R,月球的体积V=πR3,月球的平均密度ρ=,联立解得ρ=(1+k)3,D项正确。
训练2 C 解析 根据万有引力提供向心力可得G=m1ω2r1=m2ω2r2,因r1m2,A项错误;由于角速度相等,根据v=ωr可知,轨道半径为r1的星球线速度更小,B项错误;根据G=m1r1=m2r2,可得T=2π,若双星的质量一定,双星间距离越大,其转动周期越大,C项正确;由T=2π可知,只要测得双星之间的距离L和双星周期T,即可计算出两星的质量之和,但不能计算出某一颗星的质量,D项错误。
例4 C 解析 卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ,需要在B点加速,A项错误;根据万有引力提供向心力有=ma,解得a=,故卫星在轨道Ⅲ上运行时的加速度小于在轨道Ⅰ上运行时的加速度,B项错误;根据卫星的变轨原理可知,卫星经过轨道Ⅱ上B点的速度小于轨道Ⅲ上B点的速度,7.9 km/s是第一宇宙速度,轨道Ⅲ上的速度小于7.9 km/s,故卫星在轨道Ⅱ上运行时经过B点的速度小于7.9 km/s,C项正确;根据开普勒第三定律=k,卫星在轨道Ⅰ上运动的周期与在轨道Ⅲ上运动的周期之比为1∶8,D项错误。
例5 B 解析 设卫星做圆周运动的半径为r,根据万有引力提供向心力,有G=mr,卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积S0=,联立解得S0=,由此可知,甲、乙两卫星做圆周运动的半径之比为r甲∶r乙=1∶4,A项错误,B项正确;根据开普勒第三定律,有=,T甲∶T乙=1∶8,甲、乙两卫星出现1次相距最近的时间设为t,则有t=2π,在乙卫星转动一周过程中,甲、乙两卫星出现相距最近的次数为n=,联立解得n=7,C、D两项错误。
训练3 BC 解析 设地球的半径为R,对近地卫星及两卫星由万有引力提供向心力G=m,即r=,则r∝,则有==,解得r甲=2R,r乙=8R,由于甲位于低轨道,想实现甲、乙对接,需甲在适当位置加速变轨,A项错误,B项正确;对甲卫星和近地卫星有G=ma,即a∝,则有==,C项正确;对甲卫星由万有引力提供向心力G=mr甲,解得地球的质量为M==,地球的体积为V=πR3,地球的密度为ρ==,D项错误。
高考真题体验
1.C 解析 由开普勒第三定律=得R行=R地,代入数据解得R行≈3.2 AU,结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间,C项正确。
2.A 解析 由万有引力提供向心力=mr,即T=2π,且M恒=M日,rG=r日地,解得TG≈13天,A项正确。
3.BC 解析 根据开普勒第三定律可知,卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径,则有2r=a+b+2R,解得r=,A项错误,B项正确;对卫星乙,根据万有引力提供向心力有G=mr,解得M=,C项正确,D项错误。
4.A 解析 设卫星转动的周期为T',根据题意可得·-·=2π,解得T'=,根据万有引力提供向心力G=mr,解得r=,代入T'=,解得r=,A项正确。
5.B 解析 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得=,整理得T2=T1=288 h,A项错误;根据开普勒第二定律得,近月点的速度大于远月点的速度,B项正确;近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动,在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C项错误;两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D项错误。
6.B 解析 飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得G=m,飞行器发射过程由机械能守恒定律得m+0=mv2+mg0,只考虑星球引力和忽略自转的情况下,星球表面的重力等于万有引力,即G=m'g0,联立解得飞行器发射的初速度为v0=,B项正确。(共42张PPT)
微专题四
专题一 力与运动
万有引力与航天
热点一 开普勒定律与万有引力定律的应用
例1 下列说法正确的是( )
A.对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，行星运动过程中速度大小不变
B.天王星被称作“笔尖下发现的行星”
C.开普勒第三定律=k，月亮围绕地球运动的k值与人造卫星围绕地球运动的k值相同
D.丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，近日点速度大，远日点速度小，A项错误；海王星被称作
“笔尖下发现的行星”，B项错误；若将轨道简化为圆，根据G=mr，解得k==，公式中的k值由中心天体的质量决 定，月亮围绕地球运动的k值与人造卫星围绕地球运动的k值相 同，C项正确；哥白尼提出了“日心说”的观点，D项错误。
解析
训练1 (2025·马鞍山检测)绕太阳一周需要6万余年的紫金山-阿特拉斯彗星于2023年被发现，是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星。该彗星的运行轨道可视为椭圆，2024年10月12日紫金山-阿特拉斯彗星来到最接近地球的地点，许多天文爱好者用肉眼看到了这颗彗星。已知地球绕太阳公转的半径为1 AU，则紫金山-阿特拉斯彗星轨道的半长轴约为( )
A.1.5×102 AU B.1.5×103 AU
C.1.5×104 AU D.1.5×105 AU
由开普勒第三定律=，其中T彗=60 000年，T地=1年，r地= 1 AU，解得紫金山-阿特拉斯彗星轨道的半长轴约为a彗=1.5× 103 AU，B项正确。
解析
热点二 卫星和天体的运动
例2 (多选)(2024·福建卷)据报道，我国计划发射的“巡天号”望远 镜将运行在离地面约400 km的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约550 km的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号”( )
A.角速度大小比“哈勃”的小
B.线速度大小比“哈勃”的小
C.运行周期比“哈勃”的小
D.向心加速度大小比“哈勃”的大
根据万有引力提供向心力可得=mω2r=m=mr=ma，解得ω=，v=，T=，a=，由于“巡天号”的轨道半径小于“哈勃”的轨道半径，则有ω巡>ω哈，v巡>v哈，T巡a哈，C、D两项正确。
解析
[模型构建] 卫星和天体运动的解题要点
例3 (2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A. B. C. D.(1+k)3
设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力G=m·(k+1)R，月球的体积V=πR3，月球的平均密度ρ=，联立解得ρ=(1+k)3，D项正确。
解析
[解题技法] 天体质量的两种求解思路
训练2 “双星系统”由相距较近的两颗恒星组
成，每颗恒星的半径远小于两颗恒星之间的
距离，而且双星系统一般远离其他天体，它
们在相互间的万有引力作用下绕某一点做匀
速圆周运动。某一双星系统如图所示，A恒星
的质量为m1，B恒星的质量为m2，A恒星的轨道半径为r1，B恒星的轨道半径为r2，下列说法正确的是( )
A.m1一定小于m2
B.轨道半径为r1的星球线速度更大
C.若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大
D.只要测得双星之间的距离L和双星周期T，即可计算出某一颗星的质量
根据万有引力提供向心力可得G=m1ω2r1=m2ω2r2，因r1m2，A项错误；由于角速度相等，根据v=ωr可知，轨道半径为r1的星球线速度更小，B项错误；根据G=m1r1=m2r2，可得T=2π，若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大，C项正确；由T=2π可知，只要测得双星之间的距离L和双星周期T，即可计算出两星的质量之和，但不能计算出某一颗星的质量，D项错误。
解析
热点三 卫星的变轨 追及和相遇问题
例4 (2025·南阳联考)利用航天器进行宇宙
探索的过程中，经常要对航天器进行变轨。
如图所示，先把卫星发射至近地轨道Ⅰ，然后
在轨道Ⅰ上的A点点火，使卫星进入轨道Ⅱ做椭
圆运动，再在轨道Ⅱ上的远地点B点点火，使
卫星进入轨道Ⅲ。轨道Ⅲ的半径约为地球半径
的4倍，下列说法正确的是( )
A.卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要在B点减速
B.卫星在轨道Ⅲ上运行时的加速度大于在轨道Ⅰ上运行时的加速度
C.卫星在轨道Ⅱ上运行时经过B点的速度小于7.9 km/s
D.卫星在轨道Ⅰ上运动的周期与在轨道Ⅲ上运动的周期之比是1∶16
卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在B点加速，A项错误；根据万有引力提供向心力有=ma，解得a=，故卫星在轨道Ⅲ上运行时的加速度小于在轨道Ⅰ上运行时的加速度，B项错误；根据卫星的
解析
变轨原理可知，卫星经过轨道Ⅱ上B点的速度小于轨道Ⅲ上B点的速度，7.9 km/s是第一宇宙速度，轨道Ⅲ上的速度小于7.9 km/s，故卫星在轨道Ⅱ上运行时经过B点的速度小于7.9 km/s，C项正确；根据开普勒第三定律=k，卫星在轨道Ⅰ上运动的周期与在轨道Ⅲ上运动的周期之比为1∶8，D项错误。
解析
[模型构建] (1)卫星变轨的分析思路。
离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 G G
变轨结果 变为椭圆轨道运动或再变轨到较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或再变轨到较小半径圆轨道上运动
(2)变轨过程中的能量变化。
卫星在点火加速时，做离心运动，机械能增加；点火减速时，做近心运动，机械能减少。卫星在沿椭圆形轨道运动的过程中机械能守恒。
例5 (2025·广东质检)甲、乙两颗卫星绕地球做匀速圆周运动， 甲、乙两卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积之比为1∶2，两卫星轨道在同一平面内，且两卫星运行方向相同，则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两卫星的轨道半径之比为1∶
B.甲、乙两卫星的轨道半径之比为1∶4
C.在乙卫星转动一周过程中，甲、乙两卫星出现3次相距最近
D.在乙卫星转动一周过程中，甲、乙两卫星出现6次相距最近
设卫星做圆周运动的半径为r，根据万有引力提供向心力，有G =mr，卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积S0=，联立解得S0=，由此可知，甲、乙两卫星做圆周运动的半径之比为r甲∶r乙=1∶4，A项错误，B项正确；根据开普勒第三定律，有=，T甲∶T乙=1∶8，甲、乙两卫星出现1次相距最近的时
解析
间设为t，则有t=2π，在乙卫星转动一周过程中，甲、乙两卫星出现相距最近的次数为n=，联立解得n=7，C、D两项错误。
解析
[模型构建] 卫星的追及和相遇问题
卫星的追及问题，其实就是两颗卫星
围绕地球运动一段时间后，处于同一
半径或直径上的问题。若两颗卫星从
同一半径处开始计时，则再次到达同
一半径上时(如图1所示)，相距最近，
满足关系(ω1-ω2)t=n·2π或者t=n·2π(n取正整数);若两颗卫星从同一半径处开始计时,当到达同一直线上时(如图2所示),相距最远,满足关系(ω1-ω2)t=(2n+1)π或t=(2n+1)π(n取零及正整数)。
训练3 (多选)(2025·河南模拟)测得绕地球做匀速圆周运动的甲、乙两卫星的线速度大小分别等于“近地卫星”线速度大小的倍，已知甲卫星的运行周期为T，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两卫星运转的轨道半径之比为1∶2
B.甲、乙两卫星若想实现对接，可使甲卫星在适当位置先加速变轨
C.甲卫星运转的向心加速度大小等于地球表面重力加速度的
D.地球的密度为
设地球的半径为R，对近地卫星及两卫星由万有引力提供向心力G=m，即r=，则r∝，则有==，解得r甲=2R，
r乙=8R，由于甲位于低轨道，想实现甲、乙对接，需甲在适当位置加速变轨，A项错误，B项正确；对甲卫星和近地卫星有G=ma，即a∝，则有==，C项正确；对甲卫星由万
解析
有引力提供向心力G=mr甲，解得地球的质量为M= =，地球的体积为V=πR3，地球的密度为ρ==，D项错误。
解析
1.(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运 动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于( )
A.金星与地球的公转轨道之间 B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间 D.天王星与海王星的公转轨道之间
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
由开普勒第三定律=得R行=R地，代入数据解得R行≈ 3.2 AU，结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C项正确。
解析
2.(2025·河南卷)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为( )
A.13天 B.27天
C.64天 D.128天
由万有引力提供向心力=mr，即T=2π，且M恒=M日，rG=r日地，解得TG≈13天，A项正确。
解析
3.(多选)(2025·安徽卷)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则( )
A.r= B.r=+R C.M= D.M=
根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径，则有2r=a+b+2R，解得r=，A项错误，B项正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G=mr，解得M=，C项正确，D项错误。
解析
4.(2025·四川卷)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为( )
A. B.
C. D.
设卫星转动的周期为T'，根据题意可得-=2π，解得T'=
，根据万有引力提供向心力G=mr，解得r=，代入T'=，解得r=，A项正确。
解析
5.(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月
点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得=，整理得T2=T1=288 h，A项错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B项正确；近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C项错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D项错误。
解析
6.(2025·河北卷)随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0(r≥R0)。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为( )
A. B. C. D.
飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G=m，飞行器发射过程由机械能守恒定律得m+0=mv2+mg0，只考虑星球引力和忽略自转的情况下，星球表面的重力等于万有引力，即G=m'g0，联立解得飞行器发射的初速度为v0=，B项正确。
解析专题精练4 万有引力与航天
保分基础练
1.(2024·全国甲卷)2024年5月,嫦娥六号探测器发射成功,开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球,飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是( )
A.在环月飞行时,样品所受合力为零
B.若将样品放置在月球正面,它对月球表面压力等于零
C.样品在不同过程中受到的引力不同,所以质量也不同
D.样品放置在月球背面时对月球的压力,比放置在地球表面时对地球的压力小
2.(2025·山西部分重点高中联考)如图所示,一半径为R、密度均匀的球体,在距球心2R处有一质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体,则剩余部分对该质点的万有引力变为原来的( )
A. B.
C. D.
3.(2024·贵州卷)土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动,其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2且r1≠r2,向心加速度大小分别为a1、a2,则( )
A.= B.=
C.a1r1=a2r2 D.a1=a2
4.(2024·新课标卷)天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1000倍
5.(2025·嘉兴三模)鸿鹄卫星是我国的一颗近地卫星,离地高度约为500 km。若此卫星绕地球做匀速圆周运动,则其( )
A.发射速度小于7.9 km/s
B.与月球相比,周期更大
C.与同步卫星相比,角速度更小
D.与赤道上的建筑物相比,向心加速度更大
6.(2025·重庆七校联考)2015年9月,美国的探测设施接收到一个来自GW150914的引力波信号,此信号是由两个黑洞的合并过程产生的。如果将某个双黑洞系统简化为如图所示的圆周运动模型,两黑洞绕O点做匀速圆周运动。在相互强大的引力作用下,两黑洞间的距离缓慢减小,在此过程中,两黑洞做圆周运动的( )
A.向心力均逐渐减小
B.角速度均逐渐减小
C.周期均不变
D.线速度均逐渐增大
7.(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示。为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径。则( )
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
8.(2025·咸阳二模)2024年5月7日,我国在太原卫星发射中心成功发射长征六号丙运载火箭,搭载发射的海王星01星、智星一号C星、宽幅光学卫星和高分视频卫星顺利进入预定轨道飞行试验任务获得圆满成功。假设海王星01星、智星一号C星处于同一轨道平面做匀速圆周运动,且绕地球运动的方向相同,海王星01星绕地球运动的周期为T1、智星一号C星绕地球运动的周期为T2,海王星01星距离地面的高度大于智星一号C星,下列说法正确的是( )
A.T1B.在相同时间内,海王星01星、智星一号C星与地心连线扫过的面积相等
C.海王星01星、智星一号C星相邻两次距离最近的时间间隔为t=
D.海王星01星线速度大于智星一号C星线速度
9.(2025·秦皇岛一模)2024年5月3日17时27分嫦娥六号成功发射,经过5天的飞行被月球引力捕获,进入环月轨道,经过连续多次近月制动,轨道逐渐降低。先在距离月球表面200 km的环月轨道Ⅰ上运行,随后变轨进入近月点离月球表面15 km、远月点离月球表面200 km的轨道Ⅱ上,如图所示,A处为变轨位置,A、B分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点,下列说法正确的是( )
A.嫦娥六号在A处变轨时应加速
B.嫦娥六号在轨道Ⅱ从A到B运行时机械能增大
C.嫦娥六号在B点的速率小于轨道Ⅰ上运行的速率
D.嫦娥六号在轨道Ⅰ上运行时的周期大于在轨道Ⅱ上运行时的周期
增分提能练
10.空间站在距离地面高度为h的圆轨道上运行。航天员进行舱外巡检任务,此时航天员与空间站相对静止。已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,下列说法正确的是( )
A.此时航天员所受合力为零
B.地球的质量为
C.空间站的线速度大小为R
D.空间站的向心加速度大小为g
11.(多选)(2024·广东卷)如图所示,探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”,探测器与背罩断开连接,背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg,背罩质量为50 kg,该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取g=10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有( )
A.该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B.该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C.“背罩分离”后瞬间,背罩的加速度大小为80 m/s2
D.“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
12.(2025·海口模拟)2024年6月25日,嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域,工作正常,实现世界首次月球背面采样返回。据中国探月工程总设计师吴伟仁院士介绍:我国航天员有望在十年内登上月球。如果将来航天员在月球(视为质量分布均匀的球体)表面以大小为v0的初速度竖直上抛一物体(视为质点),经时间t返回手中。已知引力常量为G,月球的半径为R,则( )
A.月球表面的重力加速度为
B.月球的质量为
C.在月球上发射卫星的最小发射速度为v=
D.月球卫星的最小环绕速度为v=
13.2024年5月,嫦娥六号月球探测器开启主发动机实施制动,进入周期为12 h的椭圆环月轨道,近月点A距月心2.0×103 km,远月点C距月心1.0×104 km,BD为椭圆轨道的短轴。已知引力常量为G,下列说法正确的是( )
A.嫦娥六号与月球之间的引力与它们之间的距离成反比
B.嫦娥六号的发射速度大于11.2 km/s
C.嫦娥六号在A点和C点速率之比为5∶1
D.嫦娥六号从B经C到D的运动时间为6 h
14.(2025·攀枝花二模)我国计划在2030年前实现首次中国人登陆月球,假设航天员登陆月球前先随着陆器和登月飞船绕月球做匀速圆周运动,周期为T,登月后在月球表面用弹簧测力计测量一个质量为m的物体的重力,当物体静止时,弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G,着陆器和登月飞船绕月球做圆周运动时距月球表面的高度可忽略不计,则月球的质量为( )
A. B.
C. D.
15.(2025·哈尔滨模拟)如图所示,A是静止在赤道上的物体,B、C是同一平面内两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上,C是地球静止卫星。已知地球自转周期为T1,B的运行周期为T2,则以下判断正确的是( )
A.卫星C的运行速度大小大于地球的第一宇宙速度
B.A、B的线速度大小关系为vA>vB
C.周期大小关系为TC>TB>TA
D.B、C相距最近为计时起点,绕行方向相同,经过时间,B、C相距最远
专题精练4 万有引力与航天
1.D 解析 在环月飞行时,样品所受合力提供所需的向心力,不为零,A项错误;若将样品放置在月球正面,它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小,由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的,则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力,所以样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小,B项错误,D项正确;样品在不同过程中受到的引力不同,但样品的质量相同,C项错误。
2.B 解析 设球体的密度为ρ,则球体的质量为M=ρπR3,被挖去的小球体的质量为M'=ρπ=M,完整球体对质点的万有引力大小为F1=,被挖去的小球体对质点的万有引力大小为F2==F1,剩余部分对质点的万有引力大小为F=F1-F2=F1,剩余部分对该质点的万有引力变为原来的,B项正确。
3.D 解析 设土星的质量为M,两颗卫星的质量分别为m1、m2,对两颗卫星,根据牛顿第二定律G=m1a1,G=m2a2,整理得a1=a2,D项正确。
4.B 解析 设红矮星质量为M1,行星质量为m1,半径为r1,周期为T1;太阳的质量为M2,地球质量为m2,到太阳距离为r2,周期为T2;根据万有引力定律有G=m1r1,G=m2r2,联立解得=·,由于轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,解得≈0.1,B项正确。
5.D 解析 第一宇宙速度7.9 km/s是最小的发射速度,所以卫星的发射速度大于7.9 km/s,A项错误;因月球的轨道半径大于卫星的轨道半径,根据开普勒第三定律可知月球围绕地球做圆周运动的周期大于此卫星围绕地球做圆周运动的周期,B项错误;根据万有引力提供向心力,有G=mrω2,解得ω=,因同步卫星的轨道半径大于此卫星的轨道半径,所以同步卫星的角速度小于此卫星的角速度,C项错误;因同步卫星的角速度与地球自转的角速度相等,由上分析可知此卫星的角速度大于赤道上的建筑物的角速度,赤道上的建筑物到地心的距离小于此卫星到地心的距离,根据向心加速度公式a=rω2,此卫星的向心加速度大于赤道上的建筑物的向心加速度,D项正确。
6.D 解析 向心力由万有引力提供,根据万有引力定律可得Fn=G,两黑洞间的距离逐渐减小,万有引力增大,所以向心力均逐渐增大,A项错误;根据牛顿第二定律可得G=Mr1,G=mr2,r1+r2=L,解得T=2π,所以ω==,两黑洞间的距离L逐渐减小,周期均减小,角速度增大,B、C两项错误;根据v=ωr可得v1=r1,v2=r2,由于两黑洞间的距离L逐渐减小的过程中,L3的减小量大于、的减小量,所以线速度均增大,D项正确。
7.A 解析 在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变,根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同,A项正确;因为变轨后其半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,B项错误;变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度,原水平向左的圆周运动速度不变,因此合速度变大,C项错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大,而比在近地点的速度小,则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,D项错误。
8.C 解析 根据开普勒第三定律有=,由于海王星01星距离地面的高度大于智星一号C星,即海王星01星的轨道半径大于智星一号C星的轨道半径,则有T1>T2,A项错误;绕地球做匀速圆周运动的卫星,由万有引力提供向心力,则有G=mω2r,解得ω=,卫星在Δt时间内扫过的面积S=·πr2,解得S=,轨道半径越大,相同时间内扫过的面积越大,即在相同时间内,海王星01星与地心连线扫过的面积大于智星一号C星与地心连线扫过的面积,B项错误;令海王星01星、智星一号C星相邻两次距离最近的时间间隔为t,则有t-t=2π,解得t=,C项正确;绕地球做匀速圆周运动的卫星,由万有引力提供向心力,则有G=m,解得v=,由于海王星01星的轨道半径大于智星一号C星的轨道半径,则海王星01星线速度小于智星一号C星线速度,D项错误。
9.D 解析 嫦娥六号在A处由高轨道Ⅰ降到轨道Ⅱ上需要减速,A项错误;嫦娥六号在轨道Ⅱ从A到B运行时只有引力做功,机械能保持不变,B项错误;嫦娥六号在B点需要减速后才做匀速圆周运动,且在B点做圆周运动的速率大于轨道Ⅰ上运行的速率,故在B点的速率大于轨道Ⅰ上运行的速率,C项错误;根据开普勒第三定律=k,轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴,故嫦娥六号在轨道Ⅰ上运行时的周期大于在轨道Ⅱ上运行时的周期,D项正确。
10.C 解析 航天员相对空间站静止,即航天员和空间站一起相对地球做圆周运动,所受合力不为零,A项错误;设地表有一物体,质量为m,忽略地球自转,有=mg,解得地球的质量为M=,B项错误;由=m,其中r=R+h,得v=,代入地球质量,解得v=R,C项正确;由=ma,其中r=R+h,得a=,代入地球质量,解得a=,D项错误。
11.AC 解析 在星球表面,根据G=mg,解得g=,行星的质量和半径分别为地球的和,地球表面重力加速度大小取g=10 m/s2,可得该行星表面的重力加速度大小g'=4 m/s2,A项正确;在星球表面上空,根据万有引力提供向心力G=m,解得星球的第一宇宙速度v=,行星的质量和半径分别为地球的和,可得该行星的第一宇宙速度v行=v地,地球的第一宇宙速度为7.9 km/s,所以该行星的第一宇宙速度v行=×7.9 km/s,B项错误;“背罩分离”前,探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动,对探测器受力分析,可知探测器与保护背罩之间的作用力F=mg'=4 000 N,“背罩分离”后,背罩所受的合力大小为4 000 N,对背罩,根据牛顿第二定律F=m'a,解得a=80 m/s2,C项正确;“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P=mg'v=1 000×4×60 W=240 kW,D项错误。
12.C 解析 根据题意可知,设月球表面的重力加速度为g',由运动学规律有t=,月球表面的重力加速度为g'=,A项错误;由万有引力等于重力有=mg',解得M==,B项错误;由万有引力提供向心力有=m,解得v==,在月球上发射卫星的最小发射速度、最大环绕速度为,C项正确,D项错误。
13.C 解析 根据万有引力定律F=可知,嫦娥六号与月球之间的引力与它们之间的距离的平方成反比,A项错误;嫦娥六号环绕月球运动,未脱离地球的束缚,故其发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s,小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s,B项错误;由开普勒第二定律,可得vAΔtrA=vCΔtrC ,嫦娥六号在A点和C点速率之比为==,C项正确;嫦娥六号围绕月球做椭圆运动,根据开普勒第二定律可知,从A→B→C做减速运动,从C→D→A做加速运动,则从B→C→D的运动时间大于半个周期,即大于6 h,D项错误。
14.D 解析 设月球表面的重力加速度为g,月球的半径为R,月球的质量为M,根据题意则有F=mg,对于绕月球表面做匀速圆周运动的航天器,有=m'R,在月球表面物体的重力和万有引力大小相等,则有=m'g,联立解得M=,D项正确。
15.D 解析 根据G=m,解得v=,轨道半径越大,线速度越小,第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度,其轨道半径最小,可知,卫星C的运行速度大小小于地球的第一宇宙速度,A项错误;结合上述可知,B的线速度大于C的线速度,同步卫星与地球自转角速度相等,根据v=ωr,C的线速度大于A的线速度,则有vATB,C项错误;B、C相距最近为计时起点,绕行方向相同,则B、C第一次相距最远时有Δt-Δt=π,解得Δt=,D项正确。
