第二十四章 圆 检测提优卷 （含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章圆 检测提优卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·长沙中考)如图,在⊙O 中,弦AB 的长为8,圆心O到AB 的距离OE=4,则⊙O 的半径长为( ).
A. 4 B. 4 C. 5
2.(2024·广州中考)如图,在⊙O中,弦AB 的长为 ,点C在⊙O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.⊙O 所在的平面内有一点 P，若OP=5，则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ）.
A. 点 P 在⊙O上 B. 点 P 在⊙O内 C. 点 P 在⊙O外 D.无法确定
3.(2024·广东惠州惠东期末)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),点B(2,1),点C(2,-3),则经画图操作，可知△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）.
A.(-2,-1) B. (-1,0) C. (-1,-1) D. (0,-1)
4.(2024·德阳中考)已知,正六边形ABCDEF 的面积为( ，则正六边形的边长为（ ）.
A. 1 C. 2 D. 4
5.如图，AB 为半圆的直径，C为 的中点,点 D 在半圆上,BD=6,AB=10,则CD 的长为( ).
A. 2 C. 1
6.(2024·包头中考改编)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点O在四边形ABCD 内部，过点 C作⊙O 的切线交AB 的延长线于点 P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC 的度数为( ).
A. 105° B. 110° C. 115° D. 120°
7.(2024·南京中考)如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD,CD 分别与扇形ABF 相切于点A,E.若AB=15,BC=17,则AD 的长为( ).
A. 8 B. 8.5 D. 9
8.(浙江宁波慈溪中学自主招生)如图，⊙O 的圆心在梯形ABCD 的底边AB 上，并与其他三边均相切，若AB=10,AD=6,则CB的长为( ).
A. 4 B. 5 C. 6 D.无法确定
9.如图,半径为5 的圆中有一个内接矩形ABCD,AB>BC,点M 是 的中点,MN⊥AB 于点N,若矩形ABCD 的面积为30,则线段 MN 的长为（ ）.
10.如图,在等边三角形ABC中,点O在边AB上,⊙O 过点B 且分别与边AB,BC 相交于点D,E,F是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）.
A. 若EF⊥AC,则 EF 是⊙O 的切线 B. 若EF 是⊙O 的切线,则 EF⊥AC
C. 若BE=EC,则AC是⊙O 的切线 D. 若 则 AC是⊙O 的切线
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.如图，⊙A，⊙B，⊙C 两两不相交，且半径都是0.8cm，则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为 cm .
12.(2024·常州中考)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,连接AD,BC,BD.若∠BCD=20°,则∠ABD= °.
13.如图,已知 PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,C为PB 延长线上一点,CD 与⊙O 相切于点D,且CD⊥PC 于点C,PA=5,PC=7,则⊙O的半径R= .
14.(2024·兰州中考)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图(1)是陈列在展览馆的仿真模型.图(2)是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N 的半径分别是1cm和10cm,当⊙M顺时针转动3周时,⊙N 上的点P 随之旋转n°,则n= .
15.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为5cm ，母线OE(OF)长为5cm.在母线OF 上的点 A 处有一块爆米花残渣，且.FA=2cm,一只蚂蚁从杯口的点 E处沿圆锥表面爬行到点 A，则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm.
16.(2024·江苏宿迁泗阳期中)如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB，CD，弦AC是⊙O 的内
接正四边形的一条边.若以A 为圆心，以1为半径画弧，交⊙O 于点E，F，连接AE，CE，弦EC 是该圆内接正n 边形的一边，则该正 n边形的面积为 .
17.(2024·山西中考)如图(1)是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图(2)是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB 的圆心角为 点C,D 分别为OA,OB 的中点,则花窗的面积为
18.(2024·凉山州中考)如图,⊙M 的圆心为M(4,0),半径为2,P 是直线y=x+4上的一个动点，过点 P 作⊙M 的切线，切点为Q，则PQ 的最小值为 .
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)(2025·贵州遵义期末)如图,AB 是半圆O的直径,C,D 是半圆上的点,(CD=CB,过点C 作CE 于点E,连接OC,BD相交于点F.
(1)求证:
(2)若 求OA 的长.
20.(6 分)(2025·江苏盐城期末)如图,在 中，AB=AC,,以AB 为直径的⊙O与BC,AC 分别相交于点 D,E.
(1)求证:BD=CD;
(2)若⊙O 的半径为5, 求扇形 DOB 的面积.
21.(8分)已知一个零刻度落在点A 的量角器(半圆O)的直径为AB，一等腰直角三角板绕点 B 旋转.
(1)如图(1)所示，当等腰直角三角板的斜边交半圆于点 C，一直角边交半圆于点 D，另一直角边交半圆于点 E，若点C在量角器上的读数为 ，求此时点 E 在量角器上的读数.
(2)如图(2)所示，当点C，D在量角器上的读数α，β满足什么关系时，直角边与半圆O相切于点D 请说明理由.
22.(8分)(2024·西宁中考)如图,PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,连接OA,OB,过点O作( 交PB 于点C，过点C作 垂足为 D.
(1)求证:OC=AD;
(2)若⊙O的半径是3,PA=9,,求OC 的长.
23.(8分)(2024·山东济宁高新区期末)如图,AB 是半圆O 的直径,D 为半圆O上的点(不与A,B 重合),连接AD,点C为. 的中点，过点C作( 交AD 的延长线于点F，连接AC.
(1)求证:FC 是半圆O的切线;
(2)若 求半圆O 的半径及阴影部分的面积.
24.(8分)(2024·烟台中考)如图,AB 是⊙O 的直径, 内接于⊙O，点I 为 的内心，连接CI并延长交⊙O 于点D,E 是. 上任意一点,连接AD,BD,BE,CE.
(1)若 求 的度数；
(2)找出图中所有与 DI 相等的线段，并证明；
(3)若 求 的周长.
25.(10分)解答下列问题：
[问题呈现](1)阿基米德折弦定理：如图(1)，AB和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦),BC>AB,点 M 是 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即(CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA 的部分证明过程.
证明:如图(2),在CD上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.
∵M是 的中点，.
又∠A=∠C②,∴△MAB≌△MCG,∴MB=MG.
∵MD⊥BC,∴BD=DG,∴AB+BD=CG+DG,即(CD=DB+BA.
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
① ,② .
[理解运用](2)如图(1),AB,BC 是⊙O的两条弦,若AB=8,BC=12,点M 是 的中点， BC 于点D,则 BD 的长为 .
[变式探究](3)如图(3),若点 M 是 的中点，[问题呈现]中的其他条件不变，判断CD，DB，BA 之间存在怎样的数量关系 并加以证明.
[实践应用](4)根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图(4)，BC是⊙O的直径，点A 是圆上一定点，点D 是圆上一动点，且满足 若AB=12,⊙O的半径为10,求AD 的长.
26.(12分)MN 是⊙O 上的一条不经过圆心的弦，MN=4,在劣弧MN 和优弧MN 上分别有点A，B(不与M，N 重合)，且连接AM,BM.
(1)如图(1),AB 是直径,AB 交MN 于点C, 求 的度数.
(2)如图(2),连接OM,AB,过点O作( 交MN于点D，求证：
(3)如图(3),连接AN,BN,试猜想. 的值是否为定值 若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
1. B
2. C [解析]设AB 与OC 交于点D,∵弦AB 的长为4 2OD.设 OD=x,则 OA=2x,在 Rt△AOD 中,OD + 即 解得x=2(负值舍去),∴OA=2x=4.∵OP=5,∴OP>OA,∴点 P 在圆外.故选 C.
归纳总结要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系.本题可由勾股定理算出圆的半径r，已知点与圆心的距离d，则当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d3. A
4. C [解析]如图,连接OA,OB,过点O作OM⊥AB,垂足为M,∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴ 60°.∵OA=OB,∴△AOB 是正三角形,∴OA =OB =AB.设 AB =x,则 OA =OB =x,易求 解得x=2(负值舍去)，即正六边形的边长为2.故选 C.
5. B [解析]如图,连接AD,OC,过点 A 作AM⊥DC 交DC的延长线于点M.
∵AB 为半圆的直径，
∴∠ADB=90°.
∵BD=6,AB=10,
∵C为 的中点,∴∠AOC=90°,∴∠ADC=45°.
∵AM⊥DM,
∴∠AMD=90°,∴∠MAD=45°,∴MA=MD.
在 Rt△AMD 中,由勾股定理,可得
在Rt△ACM中,I 故选B.
6. A [解析]如图,连接OC,∵点C 为切点,∴OC⊥PC,∴∠OCP = 90°.∵∠BCP = 35°,∴∠OCB = 90°-∠BCP=55°.∵OC=OB,∴∠OBC =∠OCB =55°, 140°,∴ ∠AOC = 360°-∠AOB - ∠BOC = 150°,∴∠ABC= ∠AOC=75°,∴∠ADC=180°-∠ABC=105°.故选 A.
7. D [解析]如图,连接BE,过点 D 作A[DH⊥ BC 于点 H,则∠BHD =∠CHD=90°.∵AD,CD 分别与扇形ABF 相切于点A,E,AB=15,BC=17,∴AB=EB=15,AD⊥AB,CD⊥BEB,AD=ED,∴∠BAD=∠BEC=∴∠ADH = ∠CHD = 90°. ∵∠BAD =∠ADH =∠BHD=90°,∴四边形 ABHD 是矩形,∴BH=AD,DH=AB=15,∴CH=BC-BH=17-AD.∵DH + 且CD=CE+ED=8+AD,∴15 +(17- ,解得 AD=9.故选 D.
8. A [解析]如图,设⊙O 的半径是 R,⊙O 分别与边 AD,DC,CB 相切于点E,F,H,连接OE,OD,OF,OC,OH.设CD=y,CB=x,梯形ABCD的面积为S，则 ，联立①②,得x=4,即CB=4.故选 A.
9. A [解析]连接AC,CM,BM,∵四边形ABCD 为矩形,∴∠ABC =90°,∴AC 为⊙O 的直径,∴∠AMC =∠ABC=90°.∵⊙O 的半径为5,∴AC=10.∵点 M 为 的中点，∴AM=CM,∴AM=CM,∴∠ACM= ∴∠ABM=∠ACM=45°,AM =50.设AB=x,BC=y,其中x>y,则 解得 j (舍去)，即 =45°,∴∠BMN=45°,∴MN=BN,∴AN=AB-BN= 解得 或 (舍去).故选 A.
10. C [解析]A.连接OE,则OB=OE.∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=∠B =60°,∴∠OEB =∠B =60°,∴∠BOE=60°,∴∠BOE=∠BAC,∴OE∥AC.又 EF⊥AC,∴OE⊥EF,∴EF 是⊙O的切线,∴A选项正确;B.∵EF 是⊙O 的切线,∴OE⊥EF.由 A 选项知OE∥AC,∴AC⊥EF,∴B选项正确;
C.∵∠B=60°,OB=OE,∴BE=OB.∵BE=CE,∴BC=AB=2BO,∴AO=OB.过点O作OH⊥AC于点 ∴C选项错误；
由选项 C知 ∴OH=OB,∴AC 是⊙O 的切线,∴D 选项正确.故选C.
11.0.32π [解析]∵三角形的内角和等于180°,
∴三个扇形的圆心角的度数和为 180°，
∴图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为
12.70 [解析]∵BD=BD,∴∠BAD=∠BCD=20°.
∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-
13.2 [解析]如图,连接OB,OD.∵线段 PA,PB 分别与⊙O相切于点A,B,∴PB=PA=5,OB⊥PC,
∴∠OBC=90°.∵CD 与⊙O 相切于点 D,∴∠ODC=90°.∵CD⊥PC,∴∠DCB=90°,
∴四边形ODCB 为矩形,∴OD=BC.又 BC=PC-PB有三个角是直角的四边形是矩形
=7-5=2,∴OD=2,即⊙O的半径R=2.
14.108 [解析]∵⊙M 的周长为2πcm,∴⊙M 顺时针转动3周时，点P 移动的弧长为6πcm, 解得n=108.
[解析]∵OE=OF=EF=5cm,∴底面周长为5πcm.如图，将圆锥侧面沿OF 剪开，展平得到一个扇形，此扇形的半径OE=5cm，弧长等于圆锥底面圆的周长5πcm，设扇形圆心角度数为n°，则根据弧长公式，得 即展开图是一个半圆.∵点 E 是该半圆的中点,∴∠EOF=90°.连接 EA,则 EA 就是蚂蚁爬行的最短距离.∵OF =5cm ,AF=2cm,∴OA=3cm.在Rt△AOE 中,由勾股定理,得 25+9=34,∴EA= cm,即蚂蚁爬行的最短距离是
16.3 [解析]如图,连接OE,根据题意可知AB⊥CD,AE=AO=EO,∴∠AOC = 90°,∠AOE = 60°,
∴∠EOC=30°,∴EC 是该圆内接正十二边形的一边，∴n=12.过点 E 作EG⊥OC 于点G,
则EG= ∴正 n 边形的面积为
[解析]由题知， ∵点C,D 分别是OA,OB 的中点,
∴花窗的面积为(
阴影部分面积为扇形的面积减去△COD 的面积
18.2 [解析]如图,连接MP,MQ,直线y=x+4与x轴、y轴的交点分别为A,B.∵PQ是⊙M的切线,∴MQ⊥PQ, ∴当PM最小时,PQ最小，即当MP⊥AB时，MP 最小，由题意，知点 A 的坐标为(-4,0),点 B 的坐标为(0,4),∴OA=OB =4,∴∠BAO=45°,AM=8,当MP⊥AB 时, 4 ，∴PQ的最小值为
19.(1)∵CD=CB,∴CD=CB,
∴OC⊥BD,BF=DF.
∵CE⊥AB,∴∠OEC=∠OFB=90°.
∵∠COE=∠BOF,OC=OB,
∴△OCE≌△OBF(AAS).
(2)∵BD=8,
由(1)可知△OCE≌△OBF,
∴BF=DF=CE=4.
→全等三角形的对应边相等
设OA=OB=OC=r,则OE=r-3,
在 Rt△OCE 中,
解得
20.(1)如图,连接AD.
∵AB 为⊙O 的直径,∴∠BDA=90°,∴AD⊥BC.
∵AB=AC,∴BD=CD.
(2)∵∠CDE=50°,∴∠BAC=50°.
∵AD⊥BC,AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD=25°,
∴∠BOD=2∠BAD=50°.
∵⊙O 的半径为5,
21.(1)如图(1),连接OC,OE,
∵点C 在量角器上的读数为25°,∴∠AOC=25°.
∵∠CBE=45°,∴∠COE=90°,
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°.
(2)当α,β满足 时，直角边与半圆O相切于点D.理由如下：
如图(2),连接OC,OD,
∵直角边与半圆O相切于点D,∴∠PDO=90°,
∴∠PDO+∠P=180°,∴DO∥PB,
∴∠AOD=∠ABP=β.
22.(1)∵PA,PB 是⊙O的切线,OA,OB 是⊙O 的半径,
∴OA⊥PA,OB⊥PB.
∵OC∥PA,CD⊥AP,
∴CD⊥OC,∴∠OAD=∠CDA=∠OCD=90°,
∴四边形OADC 是矩形,∴OC=AD.
(2)设OC=AD=x,
∵四边形OADC 是矩形,⊙O的半径是3,PA=9,
∴OA=OB=CD=3,PD=PA-AD=9-x.
∵OC∥PA,∴∠OCB=∠P.
∵OB⊥PB,CD⊥AP,
∴∠OBC=∠CDP=90°.
在△OCB 和△CPD中
∴△OCB≌△CPD(AAS),
∴BC=PD=9-x.
在 Rt△OCB 中,由勾股定理,得 解得x=5,∴OC=5.
23.(1)如图,连接OC,则OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA.
∵点C为的中点，
∴∠BAC=∠DAC,
∴∠OCA=∠DAC,∴OC∥AD.
∵CF⊥AD,∴OC⊥CF.
∵OC 是⊙O 的半径,∴FC 是半圆O的切线.
(2)如图,连接OD,作OH⊥AD 于点 H,则∠AHO=90°.设⊙O的半径为r,
∵∠AFC=90°,AF=3,AC=2
∵∠OHD=∠HFC=∠OCF=90°,
∴四边形OCFH 是矩形,
∴FH=OC=r,OH=CF=
且OA=r,AH=3-r,
,解得r=2,
∴OC=2,DH=AH=3-2=1.
易知∠DAC=30°,
∴∠DOC=2∠DAC=60°.
∵S阴影=S矩形OCFH-S△ODH-S扇形DOC,
∴半圆O的半径长为2，阴影部分的面积为
24.(1)∵AB 是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ACB=90°.
又
∵四边形ABEC 是⊙O 的内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB=180°,
(2)DI=AD=BD.证明如下:
如图，连接AI，
∵点I 为△ABC的内心,
∴AD=BD,∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD.
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,
∴∠DAI=∠DIA,∴DI=AD=BD.
(3)如图,过点I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P,
∵点I 为△ABC 的内心,即为△ABC 的内切圆的圆心,
∴Q，F，P 分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP.
∵CI=2 ,∠IFC=90°,∠ACI=45°,
∴CF=CP=2.
∴△ABC 的周长为AB+AC+BC
=AB+AF+CF+CP+BP
=AB+AQ+BQ+2CF
=2AB+2CF
=2×13+2×2=30.
25.(1)在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 同弧所对的圆周角相等
(2)2 [解析]由题意,可得CD=DB+BA,即CD=12=CD+AB,
→由CD=12-BD, BD=CD-AB 推算得到
∴CD=12-CD+8,∴CD=10,∴BD=BC-CD=12-10=2.
(3)DB=CD+BA.证明如下:
如图(1),在DB上截取BG=BA,连接MA,MB,MC,MG.
∵M是 的中点，
∴AM=MC,∠MBA=∠MBG.又MB=MB,
∴△MAB≌△MGB(SAS),
∴MA=MG,∴MC=MG.
又DM⊥BC,∴DC=DG,
∴AB+DC=BG+DG,即DB=CD+BA.
(4)如图(2),当点 D 在BC 下方时,过点D 作D G ⊥AC于点G .
∵BC 是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°.
∵AB=12,⊙O 的半径为10,
∴BC=20,
∵∠D AC=45°,∴∠D AB=45°,∴D 为 的中点，
当点D 在BC上方时,∠D AC=45°,同理可得.AD =2 .综上所述，AD的长为14 或2
26.(1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AMB=90°.
∵AN=BN,∴∠AMN=∠BMN=45°.
∵OM=OB,∠ABM=30°,∴∠OMB=∠OBM=30°,
(2)如图(1),连接OA,OB,ON.
∴∠AON=∠BON.
又OA=OB,∴ON⊥AB.
∵OD∥AB,∴OD⊥ON,
∴∠DON=90°.
∵OM=ON,
∴∠OMN=∠ONM.
∵∠OMN+∠ONM+∠MOD+∠DON=180°,
∴∠MOD+2∠DMO=90°.
(3)AM·MB+AN·NB 的值是定值,为16.理由如下:如图(2),延长 MB 至点 M',使.BM'=AM,连接 NM',作 NE⊥MM'于点E.
设AM=BM'=a,BM=b.
∵四边形AMBN 是圆的内接四边形，
∴∠A+∠MBN=180°.
∵∠NBM'+∠MBN=180°,
∴∠A=∠NBM'.
∴△AMN≌△BM'N(SAS),
∴MN=NM'.
∵NE⊥MM′于点E,
在Rt△MEN 中,
化简，得