24.1~24.2 阶段精练卷（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1~24.2阶段精练卷
用时:60分钟 总分:100分 得分:
一、选择题(本题包括6小题，每小题5分，共30分)
1.(2024·甘肃中考)如图,点 A,B,C 在⊙O 上,AC⊥OB,垂足为 D,若∠A=35°,则∠C 的度数是( ).
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
2. (2024·海南屯昌期末)如图,在⊙O中,AB 是直径, 则∠BOC 的度数为( ).
A. 35° B. 40° C. 45° D. 60°
3.如图,AB 是⊙O 的直径,D,C 是⊙O上的点,∠ADC=115°,则∠BAC 的度数是( ).
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
4.(2024·福建中考)如图,已知点 A,B 在⊙O 上,∠AOB=72°,直线MN与⊙O 相切,切点为C,且C为 的中点,则∠ACM 等于( ).
A. 18° B. 30° C. 36° D. 72°
5.如图,AC 是⊙O 的切线,B 为切点,连接OA,OC.若 ，则OC 的长度是( ).
A. 3 D. 6
6.(2024·泸州中考)如图,EA,ED 是⊙O 的切线,切点为A,D,点B,C在⊙O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=( ).
A. 56° B. 60° C. 68° D. 70°
二、填空题(本题包括5小题，每小题5分，共25分)
7.已知⊙O的半径为3，且A，B是⊙O上不同的两点，则弦AB 长度的取值范围是 .
8.(2024·牡丹江中考)如图,在⊙O中,直径AB⊥CD 于点E,CD=6,BE=1,则弦AC 的长为 .
9.(河北秦皇岛重点高中自主招生模拟)如图，⊙O的周长为4π，B是弦CD 上任意一点(与C，D不重合)，过点 B 作OC 的平行线交OD 于点E,则EO+EB= .
10.(2024·滨州中考)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,若四边形OABC 是菱形,则
11. (2024·广西贵港桂平期末)如图，在矩形ABCD 中，AB=4,AD=6,,点 F 是BC边上的一个动点，连接AF，过点B 作BE⊥AF 于点G，交射线CD 于点E，连接CG，则CG 的最小值是
三、解答题(本题包括5 小题，共45分)
12.(6分)(2024·南京中考)如图,在⊙O的内接四边形ABCD 中,AD=BC,，对角线AC 是⊙O 的直径.求证:四边形 ABCD 是矩形.
13.(8 分) (2025·河南信阳期中)如图,OA,OB,OC 都是⊙O 的半径, 2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC= 求⊙O 的半径.
14.(10分)已知四边形ABCD 内接于⊙O,对角线BD 是⊙O的直径.
(1)如图(1),连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA 平分∠BCD;
(2)如图(2),E为⊙O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB.若 求弦BC 的长.
15.(10分)(2024·东营中考)如图, 内接于⊙O,AB 是⊙O的直径,点 E 在⊙O上,点C 是 的中点， 垂足为 D，DC 的延长线交AB 的延长线于点 F.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)若 求线段AF 的长.
16.(11分)(2024·浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD 中, ,延长AD 至点E，使AE=AC,,延长BA 至点F,连接EF,使
(1)若 CD为直径，求 的度数.
(2)求证:
②EF=BD.
1. A
2. B [解析]∵AB 是直径,∴∠AOB=180°.∵∠AOE=60°,∴∠BOE =120°.∵BC=CD=DE,∴∠BOC= 故选 B.
3. A [解析]如图,连接OC.∵∠ADC=115°,∴优弧 所对的圆心角为2×
故选 A.
一题多解∵∠ADC=115°,∴∠ABC=180°—115°=65°.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∴∠BAC=
4. A [解析]∵C为 的中点,∠AOB=72°,∴∠AOC=∠BOC=36°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠OAC=72°.∵直线MN与⊙O 相切,切点为C,∴∠OCM=90°,∴∠ACM= .故选 A.
5. C [解析]如图,连接OB.∵AC是⊙O 的切线,∴OB⊥AC,∴∠ABO = ∠CBO =90°.∵∠A=30°,AB=2 故选C.
6. C [解析]如图,连接AD,∵四边形ABCD 是⊙O的内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°.∵∠BAE+∠BCD=236°,∴∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°,∴∠EAD=56°.∵EA,ED 是⊙O 的切线,切点为A,D,∴EA=ED,∴∠EDA=∠EAD=56°,∴∠E= .故选C.
归纳总结本题重点考查圆内接四边形的对角互补、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.
7.0[解析]∵AB⊥CD,CD=6,∴CE=ED= CD=3,设⊙O 的半径为 r,则OE = OB - EB = r - 1,在 Rt△OED中，由勾股定理得 即(r- 解得r=5,∴OA=5,OE=4,∴AE=OA+OE=9,在 Rt△AEC中,由勾股定理得.
9.2 [解析]∵⊙O 的周长为4π,∴OD=2.∵OC=OD,∴∠C=∠D.∵BE∥OC,∴∠EBD=∠C,∴∠EBD=∠D,∴BE=DE,∴EO+EB=OD=2.
10.60 [解析]∵四边形ABCD 内接于⊙O,∴∠B+∠D=180°.∵四边形OABC 是菱形,∴∠B=∠AOC,∴∠AOC+∠D=180°,由圆周角定理得
[解析]∵BE⊥AF,∴点 G 的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧.如图，当C，G，H三点共线时,CG取最小值,∴CG的最小值为CG=CH-r=
12.∵对角线AC 是⊙O 的直径,
∴∠B=∠D=90°,
∴△ABC 和△CDA 是直角三角形.
在 Rt△ABC 和 Rt△CDA 中,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),∴AB=CD.
又AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵∠B=90°,∴平行四边形ABCD 是矩形.
2∠BAC,∴∠AOB=2∠BOC.
(2)如图,过点O作半径OD⊥AB 于点 E, 连 接 DB, ∴ AE = BE,
∵∠AOB=2∠BOC.
∴∠DOB=∠BOC.
∴BD=BC.
在 Rt△BDE 中,∠DEB=90°,
在 Rt△BOE 中,∠OEB=90°, 解得 ，即⊙O的半径是
14.(1)∵OA⊥BD,∴AB=AD,∴∠ACB=∠ACD,即CA平分∠BCD.
(2)如图,延长AE 交BC 于点M,延长CE 交AB 于点N.
∵AE⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AMB=∠CNB=90°.
∵BD 是⊙O的直径,
∴∠BAD=∠BCD=90°,
∴∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB,
∴AD∥NC,CD∥AM,
∴四边形AECD 是平行四边形,∴AE=CD=3,
15.(1)如图,连接OC,
∵点C是. 的中点，
∴∠BAC=∠CAE.
∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,
∴∠OCA=∠CAD,∴OC∥AD.
∵AE⊥CD,∴OC⊥DF.
∵OC 是⊙O的半径,∴CD 是⊙O 的切线.
(2)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠ABC=60°,∴∠BAC=30°,
∴∠CAD=∠BAC=30°.
∴AF=2AD=6.
16.(1)∵CD 为直径,∴∠CAD=90°.
∵∠AFE=∠ADC=60°,
∴∠ABD=∠ACD=30°.
(2)①∵四边形ABCD 是圆内接四边形,
∴∠CBA+∠ADC=180°.
又∠AFE=∠ADC,
∴∠AFE+∠CBA=180°.∴EF∥BC.
②如图,过点 D 作DG∥BC交⊙O于点G,连接AG,CG,
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE=∠ACG.
∵EF∥DG,∴∠DEF=∠GDE,
∴∠DEF=∠ACG.
∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,
∴∠AFE=∠AGC.
∵AE=AC,∴△AEF≌△ACG(AAS),
∴EF=CG,∴EF=BD.