九年级数学上册人教版 22.2 二次函数与一元二次方程 课时练习题（含解析）

九年级数学上册人教版第22.2节《二次函数与一元二次方程》课时练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线与y轴的交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线与x轴的交点坐标是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解为( )

A． B． C．或 D．
5．将抛物线沿x轴向右平移m（）个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则m的值可以是（　　）
A．3 B．4 C．8 D．9
6．已知二次函数（为常数），若，记，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③；④当时，方程一定有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．已知函数的图象与x轴只有一个交点．则该交点的坐标为 ．
9．已知在二次函数的图象上，比较 ．（填或）
10．小兰画了一个函数的图象如图，则关于x的方程的解是 ．

11．如图，抛物线的对称轴为，点P是抛物线与x轴的交点，若点P的坐标为，则的解集为 ．
12．已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ．
13．方程的两根为和，那么抛物线的对称轴是直线 ．
14．在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则m的取值范围是 ．
15．若二次函数（a是不为0的常数）的图像与x轴交于A，B两点．若线段上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是 ．
16．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是 ．
17．已知二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点A的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦关于x的一元二次方程的两个根是，．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题
18．已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标．
19．已知，，取什么值时，与相等？
20．已知二次函数．
(1)求证：不论取何值，该函数图像与轴总有两个交点；
(2)若该函数图像与轴交于点，求该函数的图像与轴的交点坐标．
21．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点C在该抛物线上移动，若的面积为1，求此时点C的坐标．

22．已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，求的值．
23．已知二次函数（其中为常数）．
(1)若该函数图像经过点和，求的值；
(2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由；
(3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小．
24．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点，
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求、点坐标，
(3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围．
25．如图，二次函数的图象经过点且与轴交于点，点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，一次函数的图象经过点及点．

(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集．
26．已知抛物线的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)抛物线与轴的另一个交点坐标：______；
(2)不等式的解是______；
(3)随的增大而减小的自变量的取值范围是______；
(4)求出抛物线的解析式及顶点坐标．
27．综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接，，．
(1)求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点为轴左侧二次函数图象上一动点，作射线．
①若点是射线上一点，当时，求点的坐标；
②随着点的运动，试探究：射线上是否存在一点，使得，且的面积最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《九年级数学上册人教版第22.2节《二次函数与一元二次方程》课时练习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B A C D C B
1．C
【分析】本题主要考查与y轴的交点的特征，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案．
【详解】解：与y轴的交点即，
，
故坐标是，
故选C．
2．B
【分析】将、代入二次函数求解即可．
【详解】将、代入二次函数，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式．
3．A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的交点问题，根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标，解出两根即可得到抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】解：根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标，
解方程得，．
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的交点的横坐标结合图象即可求解．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴当或时，在的上方，
即
∴不等式的解为或
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到关于m的不等式是解题的关键．根据平移规律得到新抛物线为，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线，由点，在新抛物线上，且，即可得到关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴将抛物线向右平移m（）个单位得到一条新抛物线为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，在新抛物线上，且，
∴，
∴，
故选：D．
6．C
【分析】由题意可得，从而得到，再根据可得，由此即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数，，
∴，是方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确得到是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2，3之间，
∴与x轴的另一个交点在，0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴当时，，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
∴．故③错误．
∵，
∴，
∴
∴当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴当时，方程一定有两个不相等的实数根．
如图，

故④正确，
综上，正确的结论有2个，
故选：B．
8．或或
【分析】本题考查一次函数与x轴的交点、二次函数与一元二次方程，分一次函数和二次函数两种情况：当时，把代入解析式求解即可；当时，令，根据判别式，求解即可．
【详解】解：①当时，函数为，其图象与x轴只有一个交点，为；②当时，该函数为二次函数，
令，则，即．
∵函数图象与x轴只有一个交点，
∴，
解得，，
当时，，其图象与x轴交于点；
当时，，其图象与x轴交于点，
故答案为：或或．
9．
【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键．
将点坐标代入可求对应的函数值，然后比大小即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，
故答案为：．
10．或/，
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用二次函数的图象与x轴的交点坐标即可求解，熟练掌握用二次函数的图象解一元二次方程．
【详解】解：由图得：
函数的图象与x轴的交点坐标为：，，
关于x的方程的解为：或，
故答案为：或．
11．
【分析】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，轴对称的性质，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．
首先根据轴对称的性质求出点P关于直线的对称点的坐标，然后运用数形结合思想即可得出答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
根据轴对称的性质，点P关于直线的对称点的坐标为，
不等式的解集为，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可．
【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线，
∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1，
∵当时，函数值；当时，，
∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若点，均在对称轴的右侧，
此时，
∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当时，，
∴，即，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
即，
此时；
若点，均在对称轴的两侧，则
，
即；
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
13．
【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程，由条件可求得抛物线与轴的两个交点的横坐标，再利用对称性可求得抛物线线的对称轴，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】方程的两根为和，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为和，
∴抛物线对称轴，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出抛物线与y轴相交于，对称轴为，则抛物线还经过点，再求出顶点坐标为，①当时，该抛物线开口向上，函数有最小值，根据点在点的左侧，得出当且仅当顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点，则，即可求解；②当时，该抛物线开口向下，函数有最大值，把，代求出对应的m的值，根据与线段只有一个公共点，即可求出m的取值范围．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与y轴相交于，
该抛物线的对称轴为，
∴抛物线还经过点
当时，，
∴该抛物线的顶点坐标为，
∵，，
∴直线为，
①当时，该抛物线开口向上，函数有最小值，
∵点在点的左侧，
∴当且仅当顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点，
∴，
解得：，
②当时，该抛物线开口向下，函数有最大值，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵与线段只有一个公共点，
∴，
综上：或，
故答案为：或．
15．
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
先求出抛物线的顶点坐标，从而得出对称轴和，再根据线段上有且只有5个点的横坐标为整数，可分析临界点函数值的取值范围进行求解．
【详解】解：由得，，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
根据抛物线与轴交点情况得，，
∵线段上有且只有5个横坐标为整数的点，
∴这些整数为：，
当时，，解得；
当时，，解得；
所以，a的取值范围是，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，设抛物线解析式为，把代入，得到关于的方程，求解即可得到a的值．
【详解】解：过C作轴于点D．
由题意可知，
∵，
∴，
设，则，，
设抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得；
故答案为：
17．②③④⑥⑦
【分析】根据抛物线的开口方向、与x轴交点个数、对称轴、增减性逐个进行判断，得出答案．
【详解】∵二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，
∴，故②正确；
根据图象可知，当时，，
∴，故③正确；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，故⑤错误；
根据图象可知，当时，，
∴，故⑥正确；
∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为，
∴关于x的一元二次方程的两个根是，，故⑦正确．
综上所述，正确的有②③④⑥⑦．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的对称性是解决问题的关键．
18．，
【分析】令，即可得到方程，解方程可得抛物线与x轴交点．
【详解】解：令，得，解得，，
∴该抛物线与x轴的交点坐标是和．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解一元二次方程，掌握二次函数的性质正确计算是解题的关键．
19．当为1或4时，与相等
【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的交点问题,解一元二次方程，根据题意，列方程，按照因式分解法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键
【详解】解：根据题意得：，
整理得：，即，解得：，
当为1或4时，与相等．
20．(1)见详解
(2)
【分析】（1）证明对应的一元二次方程的根的判别式大于0，即可得出结论；
（2）把点代入抛物线的解析式，即可得到一个关于的方程，从而求得的值，得到函数的解析式，令并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：对于二次函数，
令，可得，
∵，
∴不论取何值，该函数图像与轴总有两个交点；
（2）根据题意，该函数图像与轴交于点，
将点代入二次函数解析式，
可得，解得，
∴该函数解析式为，
令，则有，
解得，，
∴该函数的图像与轴的交点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与轴的交点的判定方法是关键．
21．，，
【分析】首先解方程，可求出A，B的坐标，进而得到的长，再根据的面积为1，设C点的坐标，进而求出C的坐标．
【详解】解：解方程得：，，
A点的坐标为，B点的坐标为，
线段的长为2，
设C点的坐标，由题意知，
，
，
在二次函数中，令，
解得：，，
令，解得：，
综上可知C点的坐标为，，．
【点睛】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标和解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标，解一元二次方程是解题的关键．
22．3
【分析】根据抛物线对称性可得抛物线对称轴为直线，从而可得，由抛物线x轴有公共点，可得，将代入可得，，进而求解．本题二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与轴交点与判别式的关系．
【详解】解：抛物线经过不同两点，，
抛物线对称轴为直线，
即，整理得，
该二次函数的图象与x轴有公共点
∴
，
∵，
∴，
，，
．
23．(1)
(2)只有一个公共点，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题以及二次函数的图像和性质等知识．
（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据根的判别式判断即可．
（3）法一：把两点分别代入二次函数得出和，然后做差即可比较．
法二：利用二次函数的图像和性质比较即可．
【详解】（1）解：将和代入，
得，
解得．
（2）解：，
，
图像与轴只有一个公共点．
（3）解：法一：
由题意知
法二：对称轴为，
与关于对称轴对称，
∴当时，随着的增大而增大，
．
∴．
24．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解；
（2）令，解方程即可求得、点坐标；
（3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，
∴设抛物线解析式为
代入，得
解得：
∴
（2）解：当时，
解得：
∴，
（3）解：∵，
根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为．
25．(1)，
(2)或
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质．
（1）先将点代入，再将对称轴直线代入公式即可得出和的值，根据点的对称性确定点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象和、的交点坐标可直接求出的解集．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
二次函数图象的对称轴直线，
，
，，
二次函数的解析式为；
，
点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，
，
设一次函数代解析式为，
，
，
一次函数的解析式为；
（2）解：由图象可得，不等式的解集或．
26．(1)
(2)
(3)
(4)，顶点坐标为
【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
（1）根据函数图象及对称轴即可求解；
（2）结合函数图象及（1）中交点即可得出结果；
（3）根据函数图象即可得出结果；
（4）设抛物线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式即可求解．
【详解】（1）解：依题意得抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
故答案为：；
（2）抛物线与轴的两个交点坐标为，
不等式的解是；
故答案为：；
（3）抛物线的对称轴为，
随的增大而减小的自变量的取值范围是；
故答案为：；
（4）依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，，
设抛物线的解析式为，
把三个点的坐标代入其中得，
解之得，
，
顶点坐标为．
27．(1)，；直线的解析式为
(2)①；②
【分析】（1）通过解方程得A、B的坐标；令可求出点C的坐标，运用待定系数法可求直线的函数表达式；
（2）①设点，求出直线的解析式，设，根据全等三角形的性质得出对应边相等，列出方程，求解即可；②设，求得，根据得，进一步得出当时，最大值为，得出，从而得出结论
【详解】（1）当时，，
解得，
∵点在点的左侧，
∴，
当时，
∴
又，
∴，
设直线的解析式为，
把点C、D的坐标代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
（2）①设点，设直线的解析式为，
把点B、P的坐标代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∵，
∵，
又，
∴
得，，代入①得：
解得，（舍去）
∴，
∴；
②由①得，
设，则
∵，
∴，
∴①
又
∵为定值，
∴最大时，最大，
由①得，,
∴当时，最大，为，
∴（负值舍去）
∴
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的最值问题．
答案第1页，共2页
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