(共19张PPT)
专题突破
方法解读
跨学科综合与实践是指整合数学与其他学科的知识和思想方法，从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐述社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识与实践能力.
例题精讲
【数学与物理融合】
例1 综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船(如图1所示)，通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体(如空气或水)中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应(如图2所示).生活中的足球、“香蕉球”、乒乓球、弧圈球都是马格努斯效应的常见例子.
【设计方案】小明与同学组成科技小组，
设计实验验证马格努斯效应.实验装置如
图3所示，圆柱体模拟转子船的圆筒(圆
柱体半径和高度都可以调节).已知装置产
生的推力满足公式F＝k·ω·v，其中k为
比例系数(与圆柱体侧面积A有关，实验条
件下关系近似为k＝0.5A)，ω为电机控制圆柱体旋转的角速度(单位：rad/s)，v为电风扇模拟的风速(单位：m/s)，产生的推力F可用测力计测量(单位：N).现有实验数据如下：
实验组 风速v/(m/s) 旋转角速度ω/(rad/s) 推力F/N
1 5 4 24
(2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10 rad/s.
①现有装置能否产生100 N的推力 请说明理由；
解：保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
F＝k·ω·v＝1.2×10×5＝60(N)＜100 (N)，∴现有装置不能产生100 N的推力；
②已知初始时圆柱体半径r＝0.5 m，请设计一个改变圆柱体半径的方案(高度不变)，使得装置在最高旋转角速度下能产生100 N的推力(结果保留两位小数，计算过程中π取3).
【数学与化学融合】
例2 【实践任务】研究小组利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据.
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据(0≤x≤20)，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
(2)任务二：探究该化学试剂的挥发情况.
查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长
售价/(元/盆) 日销售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【数据整理】
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价/(元/盆) _______ _______ _______ _______ _______
日销售量/盆 _______ _______ _______ _______ _______
18
20
22
26
30
54
50
46
38
30
【拓广应用】
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉时，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价
解：∵每天获得400元的利润，∴(x－15)(－2x＋90)＝400，
解得x＝25或x＝35，
∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②当售价为多少时，每天能够获得最大利润 并求出最大利润.
解：设每天获得的利润为w元，
根据题意，得w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450.
∵－2＜0，∴当x＝30时，w取最大值450，
∴售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润450元.
【数学与地理融合】
2.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动
过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕
塑，其底座的底面为矩形
ABCD，其示意图如图：
活动过程 测绘过程
与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；
③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75.sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40.(共21张PPT)
专题突破
方法解读
从教材中涉及的重点背景出发，适当改编拓展探究，掌握数学研究的方法；注重动手实践，发展学生的应用意识、创新意识和实践能力.
例题精讲
【七上：进位制的认识与探究】
例1 综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1 011)2就是二进制数1 011的简单写法.十进制数一般不标注基数.
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.规定当a≠0时，a0＝1.如：3 721＝3×103＋7×102＋2×101＋1×100，(421)7＝4×72＋2×71＋1×70.
【解决问题】
(1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳
子上打结来记录数量，即“结绳计数”.一位母亲在从右到左
依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数.例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况(因为：4×71＋2＝30)，那么由图2可知，孩子出生后的天数是__________；
510
(1 110)2
【九上：推测滑行距离与滑行时间之间的关系】
例2 某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料获得以下信息：
材料一：由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应时间为0.2秒.从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离，如图1.
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能(车速不超过150 km/h)进行测试，测得数据如表：
车速x/(km/h) 0 30 60 90 120 150
制动距离y/m 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75
探究任务：
(1)以车速x为横坐标，制动距离y为纵坐标，在图2的坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
解：如答图所示；
(2)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的解析式；
(3)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为40 m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度；
(4)若某驾驶员驾驶这种新型汽车以50 km/h的速度在单行道上行驶，发现前方15 m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，驾驶员紧急刹车，请问是否有碰撞危险 请说明理由.
举一反三
1.综合与实践
【教材情境】数学活动课上，老师提出这样一个问题：在八年级上册我们遇到了这样一个问题，如图，△ABD和△AEC都是等边三角形.求证BE＝DC.我们可以证明△ACD≌△AEB，得到BE＝DC.
【拓展迁移】
(3)冲锋小队再次提出：若将图①中的正方形PCEF绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到图②的情形(BP与CD交于点G，与DE交于点O)，此时，请猜想图②中线段BP与线段DE的关系 请写出你的猜想结果，并证明你所得到的结论.
2.(九下第81页测量物高)某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙两位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单.
课题 测量校园内一棵大树的高度
测量工具 测角仪、皮尺
测量图例
测量方法 某一时刻，大树AB在太阳光下的影子末端落在地面上的点C处，甲同学在点C处竖立一根标杆CP，同一时刻标杆CP在太阳光下的影子末端落在地面上的点D处，乙同学站在点E处，他的眼睛在点F处，观察树顶A的仰角为∠AFG.
测量数据 标杆CP＝2.5米，标杆CP的影长CD为2米，CE＝13米，EF＝1.6米，仰角∠AFG＝21°
说明 点B，C，D，E在同一水平直线上，AB⊥BE，PC⊥BE，FE⊥BE，图中所有的点都在同一平面内(参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38).
(1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点D的位置(不写画法，保留作图痕迹)；
解：如答图，点D即为所求；(共21张PPT)
专题突破
模型分析
1.提出问题：从实际情境或真实问题中提出问题.
2.设计方案：借助数学与其他学科的知识和思想方法，从数学角度观察分析与思考，设计研究方案，列出设计步骤.
3.解决问题：将现实问题抽象为数学问题，再进一步分析和解决问题.
例题精讲
例1 (2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗.
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线长均为7 cm
的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离(如图2).由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究.
【方案设计】工具：如图3，测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图4，在空旷地找一点C；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m，AC≈388.5 m.
【问题解决】
(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离
(参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998)；
【评价反思】
(2)设计其他方案计算A，B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
解：工具：测角仪、测距仪、无人机(只能
测角度、水平面高度).
测量过程：步骤1：如答图1，在空旷地找一
点C，使得△ABC是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC＝a m，AC＝b m.
举一反三
1.(2023·广东)综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图1，将正方形纸
板的边长三等分，画出九个
相同的小正方形，并剪去四
个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上
∠A1B1C1的大小关系；
解：∠ABC＝∠A1B1C1；
(2)证明(1)中你发现的结论.
解：∵A1B1为正方形对角线，
∴∠A1B1C1＝45°，
设每个方格的边长为1，连接AC，
2.(2025·深圳)综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的
场景，如图，某数学小组针对某次
演出，研究了排队人数与安检时间、
安检通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开通9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
18x
w＝－x2＋42x＋100
(3)已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道 请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.(共24张PPT)
专题突破
方法解读
2025年全国中考“综合与实践”类题目在核心素养导向下，呈现鲜明的跨学科性、情境真实性和思维高阶化趋势.试题多源于真实场景(如社区治理、科学实验、传统文化等)，要求将知识迁移至实际问题.跨学科融合，强调能力整合，突出探究过程，开放答案设计，注重活动经验的积累.学生要注重数学阅读，提升数学抽象水平，会将题干中描述的信息准确地转化为数学语言，从而将现实问题抽象为数学问题.
例题精讲
例1 (2025·吉林)【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关.
实验过程：如图1，在两个完全相
同的溢水杯中，分别盛满甲、乙
两种不同密度的液体，将完全相
同的两个质地均匀的圆柱体小铝
块分别悬挂在弹簧测力计A，B的
下方，从离桌面20 cm的高度，分
别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化(溢水杯的杯底厚度忽略不计).
【解决问题】
(1)当小铝块下降10 cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数；
解：由图2可知，当小铝块下降10 cm时，弹簧测力计A的示数为2.8 N，弹簧测力计B的示数为2.5 N；
(2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式；
解：设当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力A关于x的函数解析式为F拉力A＝k1x＋b1，
例2 (2025·山西)综合与实践
【问题情境】青蛙腾空阶段的运动路线(如图1)可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人(如图2)，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
【实验数据】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm.
【数学建模】如图3，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数解析式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.
(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过.如图4，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内).
解：该平台的高度为6 cm.
举一反三
1.(2024·新疆)数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
(1)【准备测量工具】
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量
角器的圆心处，细线的另一端系一个小
重物，制成一个简单的测角仪(图1)，利
用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺.
(2)【实地测量数据】
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，
使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗
杆的最高点(图2)；
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的
距离为16.8 m，眼睛到地面的距离为
1.6 m.
(3)【计算旗杆高度】
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为_________；
35°
②根据测量数据，画出示意图4，AB＝1.6 m，BC＝16.8 m，求旗杆CD的高度(精确到0.1 m参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)；
③若测量者仍站在原处(B点)，能否用三角尺替代测角仪测出仰角α 若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角尺测出仰角α，请写出测量方法.
解：不能.
若使用含30°角的三角尺，可以把三角
尺的30°角的顶点对着眼睛，直角边在
水平线上，视线沿着三角尺的斜边向上
看，然后向后退，直至退到60°角的顶
点与点D重合即可停下，即得到此时的
仰角为30°，标记自己的位置，测量自
己的位置与点C的距离，即可通过解直
角三角形进行计算，如示意图如答图1.
若使用含45°角的三角尺，可以把三角
尺的45°角的顶点对着眼睛，直角边在
水平线上，视线沿着三角尺的斜边向上
看，然后向前走，直至走到另一个45°
角的顶点与点D重合即可停下，即得到
此时的仰角为45°，标记自己的位置，
测量自己的位置与点C的距离，即可通过解直角三角形进行计算，示意图如答图2.
2.(2025·苏州)综合与实践
小明同学用一副三角尺进行自主探究.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12 cm.
【观察感知】
(1)如图1，将这副三角尺的直角顶点和两条
直角边分别重合，AB，DE交于点F，求
∠AFD的度数和线段AD的长(结果保留根号)；
【探索发现】
(2)在图1的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上(如图2).
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由.
解：AB⊥DE，理由如下：
∵在Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6 cm，
∴∠CAG＝∠ACG＝45°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝∠CAG＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，
∴AB⊥DE.(共18张PPT)
专题突破
方法解读
中考项目式学习题目是近年来中考改革的重要方向，强调真实情境、跨学科融合、实践探究，旨在考查学生的综合应用能力、问题解决能力和创新思维能力.项目式学习题目典型的出题结构是：情境导入→任务分解→跨学科整合→实验/实践→成果展示.备考时应强化真题训练、提升建模能力、培养开放性思维能力.
例题精讲
例1 (2025·吉林)综合与实践：
确定建筑物的3D打印模型的高度.
项目提出：如图1是某城市规划展
览馆.树人中学的3D打印社团为展
示城市文化，准备制作该城市规
划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据.
项目报告表时间：2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
项目实施 任务一
测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了
如图所示的测量草图.
1.测出测角仪的高CD＝1.4 m.
2.利用测角仪测出展览馆顶端A的
仰角∠ACE＝61°.
3.测出测角仪CD底端D处到展览馆
AB底端B处之间的距离DB＝42 m.
项目实施 任务二
计算实际
高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度(结果精确到1 m，参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804).
项目实施 任务三
换算模型
高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1∶400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为__________cm(结果精确到1 cm).
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据
19
例2 (2025·兰州)综合与实践：在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题.
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决.
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
生长素浓度x/标准单位 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y/% 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于或等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验.
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)任务一：求出解析式
观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的解析式；
(2)任务二：求抑制生长素浓度范围
请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围.
解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，由表格可知当y＝35时，x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5.
举一反三
1.(2025·广西钦州·二模)项目式学习
背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然
而在日常生活中，水龙头漏水造成水资
源浪费现象仍较为突出.某校园内有一个
漏水的水龙头，数学活动小组要探究其
漏水造成的浪费情况.同学们把一个带有
刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y(毫升)是否为时间t(分钟)的函数.
素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的几组数据：
时间t/分钟 1 2 3 4 5 …
总水量y/毫升 10 15 20 25 30 …
问题探究和问题解决
任务
1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点.
解：如答图.
任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断总水量y(亳升)与时间t(分钟)的函数关系，请求出这个解析式.
解：(1)当y＝65时，则5t＋5＝65，解得t＝12，
∴当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；
(2)易知此水龙头1分钟浪费水5亳升，
∴照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费5×60＝300(毫升)水；
任务3 (1)同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟
(2)照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水
解：建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换.
任务3 (3)请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议.
