(共24张PPT)
专题突破
一、铅垂法求面积的最大值
方法解读
图 示 公 式
例题精讲
例1 已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交
于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴
交于点C.点P是抛物线上一动点，设点
P的横坐标为t.
(1)如图1，连接AC，BC，则△ABC的
面积为__________；
(2)如图2，点D是抛物线的顶点，则
△OCD的面积为_________；
图1
6
图2
(3)如图3，点P在第四象限，连接BC，BP，
CP，请用含t的式子表示△BCP的面积，并
求出最大面积；
解：如答图，过点P作x轴的垂线，交BC于
点E，∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴直线BC的表达式为y＝x－3.
∵点P的横坐标为t，∴P(t，t2－2t－3)，
E(t，t－3)，∴PE＝t－3－(t2－2t－3)＝
－t2＋3t，
图3
(4)如图4，点P在第四象限，连接AC，CP，BP，请用含t的式子表示四边形ACPB的面积，并求出最大面积.
图4
90
二、割补法求面积的最大值
方法解读
图 示 公 式
S△BCP ＝S△BOP ＋ S△COP－ S△BOC
(2)已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第一象限内，直线l：y ＝－3x ＋ n经过点B，且交x轴于点C，连接CP，BP.设点P的横坐标为m，△CBP的面积为S.
①求S关于m的函数解析式；
解：连接OP.如答图，将B(0，3)代入y ＝
－3x ＋ n，得n＝3.∴y ＝－3x ＋ 3.
令y＝0，则0＝－3x＋3，解得x＝1，∴C(1，0)，
∴OC＝1. ∵A(3，0)，B(0，3)，∴OA＝OB＝3.
②△CBP面积有最大值吗 如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.
三、平面直角坐标系中面积数量关系的转化
方法解读
图 示 公 式
1.两三角形同底：可构造平行线进行面积转化，如图，过点O作直线l∥AB 交抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)于点P，则S△PAB＝S△OAB.
2.可通过解联立抛物线与直线l的解析式，所得的方程组的确定点P的坐标.(共26张PPT)
专题突破
一、平行四边形存在性问题
方法解读
★1.从平移的角度理解平行四边形.
在平面直角坐标系中，根据平行四边形的性质，明确四个顶点的坐标特征.
根据平行四边形对边平行且相等，可以将一条边看作由对边平移得到.
如图，在平面直角坐标系中， ABCD各顶点的坐标分别是A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD).
由图中△ABM ≌△DCN，可知AM＝DN，BM＝CN，所以点A到点B的平移方式，与点D到点C的平移方式相同.
二、直角三角形、矩形的存在性探究
方法解读
★3.解决直角三角形单动点存在性问题时，已知两定点，确定动点位置时，通常按谁为直角顶点分三类情况讨论.利用“两线一圆”找到符合要求的点.
(1)已知AB为定线段，点A，B均在直线l外，在直线l上确一定P，使△ABP为直角三角形，分以下三类情况：
①A为直角顶点
②B为直角顶点
③P为直角顶点
(2) 两种方法求动点坐标：
方法一：代数方法.
利用勾股定理列方程求解.一般情况下，当动点在直线上时，代数法比较简单；当动点在抛物线上时，列方程出现四次方程，计算难度大.
代数方法解直角三角形单动点存在性问题解题步骤如下：
设出点的坐标
表示三角形三边(或三边平方)
分类讨论建立方程
分别求解并判断是否符合题意
确定存在的点
方法二：几何方法.
通过构造“一线三垂直”模型，利用相似三角形解决问题.优先使用几何法解题.
几何法解直角三角形单动点存在性问题解题步骤：
★4.在解决双动点矩形存在性问题时，需先转化为单动点直角三角形存在性问题，求出一个动点的坐标，再通过平移确定另一个动点的坐标(或用中点坐标公式).
分类画图
设相关点的坐标
坐标表示线段长度
构造相似，建立方程
确定点的坐标
(2)当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q，A，B为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标；
答图1
答图2
答图3
(3)点Q在对称轴上，点E在坐标平面内，当以Q，A，B，E为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点E的坐标.
(－3，4)或(－1，2)或(1，4)
三、等腰三角形、菱形的存在性探究
方法解读
★5.解决等腰三角形单动点存在性问题时，已知两定点，确定动点位置时，通常按谁是腰分三种情况讨论.
(1)画图确定点的位置：利用“ 两线一圆”确定动点的位置(找点的方法与直角三角类似)
(2) 两种方法求动点坐标：
方法一：代数法，解题步骤如下：
方法二：几何法，解题步骤如下：
★6. 在解决双动点菱形存在性问题时，需先转化为单动点等腰三角形存在性问题，求出一个动点的坐标，再通过平移确定另一个动点的坐标(或用中点坐标公式).
设出点的坐标
表示三角形三边(或三边平方)
分类讨论建立方程
分别求解并判断是否符合题意
确定存在的点
分类画图
设相关点的坐标
坐标表示线段长度
根据腰长相等，建立方程
确定点的坐标
(2)计算△ABC的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(共17张PPT)
专题突破
方法解读
解决抛物线与平移、翻折、旋转的问题，关键是要抓住图形变化中的特殊点(如顶点)的坐标变化，以及二次项系数的符号变化等，求出变化后的二次函数解析式，再结合条件及图形结构进行其他问题的解决.
举一反三
1.(2025·苏州·二模)定义：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，若2b2＋ac＝0，则称该抛物线是准黄金抛物线.如图，已知抛物线T1：y＝x2－x＋k是准黄金抛物线，交x轴于A，B两点.
(1)求抛物线T1的函数解析式及点A，B的坐标；
解：对于抛物线T1：y＝x2－x＋k，其中a＝1，b＝－1，c＝k，
∵抛物线T1是准黄金抛物线，根据定义2b2＋ac＝0，将a＝1，b＝－1，c＝k，代入可得2×(－1)2＋1×k＝0，即2＋k＝0，解得k＝－2，∴抛物线T1的函数解析式为y＝x2－x－2.令y＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1，∴A(－1，0)，B(2，0)；
(2)将抛物线T1沿x轴翻折，得到抛物线T2.
①抛物线T2__________(填“是”或“不是”)准黄金抛物线；
②当y≥0时，记抛物线T1，T2组成的新图象为“图象W”，图象W交y轴于点C.P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
是
x … 1 2 3 4 5 …
y … 0 m 0 3 8 …
(1)①抛物线C1的对称轴为直线x＝__________，点M的坐标为__________；
2
(0，3)
y＝－(x＋2)2＋7(x≤0)(共20张PPT)
专题突破
一、二次函数与一元二次方程
方法解读
★1.关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点横坐标的值.
图示
Δ＝b2－4ac的正负 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点 两个交点：(m，0)和(n，0) 一个交点：(z，0) 没有交点
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况 两个不相等的实数根：
x1＝m，x2＝n 两个相等的实数根：
x1＝x2＝z 没有实数根
例题精讲
例1 若二次函数y＝x2－3x－4的图象如
图所示，则方程x2－3x－4＝0的解是
_____________________.
例2 若函数 y ＝( m －3) x2－4 x ＋ m 的
图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值
为______________.
x1＝4，x2＝－1
－1或3或4
举一反三
1.如图，二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋ c(a ＜ 0)的图象与x轴交于A (－3，0)，B(1，0)两点，则关于x的方程ax2＋bx ＋ c＝0的解为 ____________________.
x1 ＝－3，x2＝1
2. 二次函数 y ＝x2－2x＋k的图象如图
所示，若关于 x 的一元二次方程 x2－
2x＋k＝ 0 的一个根是 x＝3，则另一个
根是__________.
3. 如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与二次
函数y＝ax2(a≠0)的图象分别交于点
A(－2，2)，B(4，8)，则关于 x 的方程
ax2＝kx＋b 的解为__________________.
x ＝－1
x1 ＝－2，x2＝4
4.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝__________.
5. 若函数 y ＝(a －1)2x2＋3x ＋4的图象与 x 轴只有一个交点，
则 a 的值为_____________.
6.在平面直角坐标系中，若函数y＝(k－2)x2－2kx＋k的图象与
坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能是k值的为( )
A.－1 B.0
C.1 D.2
1
C
二、二次函数与不等式
方法解读
根据函数图象求对应不等式的解集的步骤：
(1)求图象与x轴的交点坐标；
(2)判断符合题意的图象；
(3)写出不等式的解集.
图 示
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集 x＜m或x＞n
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集 m＜x＜n
例题精讲
例3 如图是二次函数y＝ ax2＋bx＋ c的
部分图象，由此可知关于x的不等式ax2
＋bx＋ c＞ 0的解集是( )
A.x ＜－2
B.－2 ＜ x ＜ 4
C. x ＞ 4
D. x ＜－2或x ＞ 4
B
例4 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图
象的一部分如图所示.已知图象经过点
(－1，0)，其对称轴为直线x＝1.
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的
两根分别为__________________；
(2)当x满足_______________时，y＜0.
x1 ＝－1，x2＝3
x＜－1或x＞3
例5 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 1 2 3 …
y … 0 －1 0 …
(1)求该二次函数的解析式；
解：观察表格可知，该二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，
∴设该二次函数的解析式为y＝a(x－2)2－1， ∵该二次函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1－2)2－1，
解得a＝1， 即y＝(x－2)2－1.
(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为_______________，
关于x的不等式ax2＋bx＋c＜3的解集为_____________.
x＜1或x＞3
0＜x＜4
－1＜x＜3
－3＜x＜1
x＜0或x＞4
三、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
例题精讲
例6 “五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间(x为10的整数倍).
(1)若房间定价为300元时，则可租出去__________个房间.此
时，利润为__________元；
38
10 640
(2)为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为每间30元，当x为多少时，民宿利润最大
(3)在(2)的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10 360元，直接写出房间定价x的范围.
(2)当每个书包涨价多少元时，每月所获利润最大 最大利润是多少
解：∵y＝(40－30＋x)(600－10x)
＝－10x2＋500x＋6 000
＝－10(x－25)2＋12 250，∴当x＝25时，y 有最大值12 250，
即当每个书包售价为65元时，月最大利润为12 250元；
(3)直接写出售价在什么范围内商家所获利润不低于 10 000 元.
解：由(1)知，当y＝10 000时，
解得x1＝40，x2＝10.由二次函数图象草
图(如答图)可知当y≥10 000时，10≤x
≤40，
∴当售价不低于50元且不高于80元时，
商家所获利润不低于10 000元.(共12张PPT)
专题突破
方法解读
★1.解决含参函数图象恒过定点问题，通常将函数解析式整理为y＝参数×(关于x的式子)＋不含参数的式子，令参数的系数为零，即可求出x的值，再用代入法即可求出y的值，从而求出定点坐标. 口诀：含参函数图象过定点，参数系数为零.
★2.解决含参函数图象定线问题，通常通过已知条件把动点的横坐标和纵坐标用含同一个参数的式子表示，再令x＝横坐标，y＝纵坐标，然后通过变形进行消参，从而得到定线的函数解析式.
(2，1)，(0，1)
【思维拓展】
(3)如图，若A，B是抛物线y＝x2上的动点，OA⊥OB，且它们的横坐标分别为a，b，连接AB.证明：直线AB过定点.
解：如答图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∴∠AEO＝∠OFB＝90°，∴∠AOE＋∠EAO＝90°.
举一反三
1.问题：探究一次函数y＝kx＋k＋2(k是不为0常数)图象的共性
特点.
探究过程：小明尝试把x＝－1代入时，发现可以消去k，竟然
求出了y＝2.老师问：结合一次函数图象，这说明了什么 小组
讨论得出：无论k取何值，一次函数y＝kx＋k＋2的图象一定经
过定点(－1，2).如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，
那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”.
已知一次函数y＝(k＋3)x＋(k－1)的图象是“点旋转直线”，
求一次函数y＝(k＋3)x＋(k－1)的图象经过的定点P的坐标.
解：∵y＝(k＋3)x＋(k－1)＝k(x＋1)＋3x－1，∴令x＋1＝0，
则x＝－1，∴y＝－4，∴P(－1，－4).
2.已知抛物线y＝ax2－2anx＋an2＋n＋3的顶点P在一条定直线l上.
(1)求出直线l的解析式；
解：∵抛物线y＝ax2－2anx＋an2＋n＋3＝a(x－n)2＋(n＋3)，∴P(n，n＋3).
令n＝x，n＋3＝y，∴y＝x＋3，即直线l的解析式为y＝x＋3；
(2)对于任意非零实数a，存在确定的n的值，使抛物线与x轴有唯一的公共点，求此时n的值；
解：令y＝0，即ax2－2anx＋an2＋n＋3＝0，∴(－2an)2－4a×(an2＋n＋3)＝－4a(n＋3)＝0.
∵a是任意非零实数，∴n＋3＝0，∴n＝－3，∴若抛物线与x轴有唯一的公共点，此时n的值为－3；(共21张PPT)
专题突破
二次函数区间最值问题解题示意图：
一、自变量为全体实数时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值探究
方法解读
★1.若自变量为全体实数
a的符号 草 图 二次函数最值
a＞0
a的符号 草 图 二次函数最值
a＜0
－7
(2)二次函数y＝ax2－4x＋5有最大值还是最小值 请求出这个最值.
解：∵a＞0，∴二次函数有最小值，当x＝2时，y＝x2－4x＋5＝1，
即二次函数y＝ax2－4x＋5有最小值，这个最小值为1.
举一反三
1.二次函数y＝－(x－h)2－3的最大值是__________.
2.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－3 (m为常
数) 的图象经过(0，6)，且对称轴在y轴左侧，则下列关于该二
次函数的说法正确的是( )
A.最大值为－3.75 B.最大值为3.75
C.最小值为 3.75 D.最小值为－3.75
－3
C
方法解读
a的符号 草 图 二次函数最大值 二次函数最小值
a＞0 当x＝n时，函数有最大值
a的符号 草 图 二次函数最大值 二次函数最小值
a＜0 当x＝n时，函数有最小值
例题精讲
例3 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(0，－3)，
(1，－4)，对称轴为直线x＝m.
(1)直接写出b＝_________， c＝_________，m＝________；
(2)当－4≤x≤2时，求二次函数的最值.
解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c开口向上，对称轴为直线x＝1，且|－4－1|＞|2－1|，
∴在－4≤x≤0内，当x＝－4时，ymax＝16＋8－3＝21，当x＝0时，ymin＝－3.
－2
－3
1
举一反三
3.已知二次函数y＝－x2＋6x－5.
(1)该二次函数图象的顶点坐标为___________；
(2)当1≤x≤4时，函数的最大值为__________，最小值为__________.
4
0
方法解读
a的符号 草 图 二次函数最大值 二次函数最小值
a＞0 当x＝m时，函数有最大值 当x＝n时，函数有最小值
a的符号 草 图 二次函数最大值 二次函数最小值
a＜0 当x＝n时，函数有最大值 当x＝m时，函数有最小值
举一反三
4.已知实数a，b满足b－a＝1且b≤2，则代数式a2－4b＋11的最小值是__________.
4
方法解读
a的符号 草 图 二次函数最大值 二次函数最小值
a＞0 当x＝n时，函数有最大值 当x＝m时，函数有最小值
a的符号 草 图 二次函数最大值 二次函数最小值
a＜0 当x＝m时，函数有最大值 当x＝n时，函数有最小值
例题精讲
例5 当2.5≤x≤5时，二次函数y＝－(x－1)2＋2的最大值为 __________.
五、定轴动区间或者动轴定区间时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值探究
方法解读
抛物线的对称轴或自变量取值范围不确定时，需讨论对称轴与自变量取值范围的位置关系.通常分为三种情况讨论：
1.对称轴在自变量取值范围左侧；
2.对称轴在自变量取值范围右侧；
3.对称轴在自变量取值范围内，且此种情况有时仍需要进一步讨论取值范围的左右端点与对称轴距离的大小关系.
－2或6
2(共12张PPT)
专题突破
方法解读
解决比值类最值与定值问题的关键是 “转化”，将比值转化为熟悉的线段比、函数关系或几何量，再利用合相似三角形、二次函数、三角函数等知识，结合变量范围确定其最值(或定值).辅助线构造(如平行线、相似、垂线等)和函数建模是核心技巧.
举一反三
1.(2023·无锡·模拟预测)【问题提出】已
知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥
AB，交BD于点F.将△EBF绕点B顺时针旋
转α(0°＜α＜90°)得到△E'BF'，则AE'与
DF'有怎样的数量关系
探究一：如图1，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F.
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的
位置，连接AE，DF，猜想DF与AE的数量关
系，并证明你的结论；
西例题精讲
例1(2025·齐齐哈尔·三模)如图，在平面直角坐标系中，
已知抛物线v=一三x2+bx+c(a0)与x轴交于点A(-1,0),B(3
O),点D是抛物线顶点
y
D
E
C
M
N
A
B
0
X
解：抛物线y=一x2+x十c(a≠0)与x抽交于点A(-1,0)
B(3,0),
-2×(-1)2-b+c=0,
解得
3
-3×32+3b十c=0,
C=
抛物线的解析式为y=一x2十
-2(x-1)2+2,.顶
点D的坐标为(1,2)；
(2)若M是第一象限内抛物线上的任意一点.
①过点M作ME∥y轴，过点D作DE∥x轴，则
ME
②连接AM,交BC于点N,连接BM,记△BMN的面积为S1,
△ABN的面积为S2,求1的最大值.
52
解：如答图，作MP∥y轴，AQ∥Jy轴，
分别交直线BC于点P和点Q,则MP∥
A2,
MN
MP
AN
D
E
C
M
行-
D
B
答图
根据同高不同底，得一器受
MP
把x=0代入y=一x2+x
得=子C0,
3
设直线BC的解析式为y=c十三，把B(3,0)代入，得3k+三=0
解得k=一子
直线BC的解析式为y=一2x
把x=一1代入y=
得y=2,0(-1,2),A0=2
设Mm,-m2+m+)则Pm,-m+引，aP=-
2m2+m+号-(-m+到=一m2+,
0有景大值名
A
D
E
F
B
C
图1
解：E=2
A
D
E
F
B
C
图2
解：DF=V2AE,
证明如下："BD是正方形ABCD的对角线，'.∠ABD=45°
BD=V2AB.
EF LAB,∠BEF
=90°
,。∠BFE=∠B
0=458
。BE=EF,
,BF=√2BE,。
=√2，由旋转知，∠ABE=∠DBF
AB
'.△ABE∽△DBF,
-阳=2，DF=2AB(共17张PPT)
专题突破
一、抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点问题
方法解读
Δ＝b2－4ac的正负 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
抛物线与x轴的交点 两个交点 一个交点 没有交点
例题精讲
例1 已知二次函数y＝x2＋2kx＋3k＋4(k为常数)图象的顶点在x 轴上，求k的值为__________.
4或－1
举一反三
1.已知抛物线y＝x2－2x＋3k＋4(k为常数)与x轴有公共点，则k的取值范围为__________.
2.求证：抛物线y＝x2－2kx－4(k为常数)的顶点恒在x轴下方.
证明：依题意得a＝1，b＝－2k，c＝－4，∴Δ＝(－2k)2－4×1×(－4)＝4k2＋16.
∵k2≥0，∴4k2≥0，∴4k2＋16＞0，∴抛物线与x轴总有两个交点.又∵抛物线开口向上，
∴ 抛物线y＝x2－2kx－4(k为常数)的顶点恒在x轴下方.
k≤－1
二、抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与平行于x轴的线段(y＝k，m≤x≤n )的交点问题
方法解读
★1.核心步骤总结
步骤 关键操作
联立方程 将线段方程代入抛物线解析式，化简为标准二次方程
开口方向分析 由 a的正负判断抛物线开口方向
对称轴定位
分类讨论 按 a＞0 和 a＜0 分开讨论
边界值验证 检查线段端点处(x＝m，x＝n)的函数值
例题精讲
例2 在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为(－1，
－1)和(4，－1)，若抛物线y＝mx2－2mx＋2(m≠0)与线段 CD
(含两端点)只有一个公共点，则m 的取值范围是____________
_______________.
举一反三
3.已知抛物线y＝ax2＋2ax－1(a ≠ 0)与y轴交于点C，顶点为D.将点E(－1，5)向右平移4个单位长度得到点F，当抛物线与线
段EF只有一个交点时，则a的取值范围是_______________.
m ＝3或
(2)如果a＝－1，当t≤x≤t＋1时，二次函数y＝ax2－6ax－6的最大值为－1，求t的值；
三、抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与斜线段(y＝kx＋b，m≤x≤n )的交点问题
方法解读
对于抛物线与斜线段的交点问题：
(1)一看：看抛物线的对称轴是否确定，若确定，则利用抛物线的对称轴与线段端点求解即可；
(2)二析：分析抛物线是否经过定点(本题中抛物线过原点)，然后联立抛物线与线段的解析式求解，本题中可以求出抛物线和线段的一个交点为定点(1，2)；
(3)三画：通过画图分析，可判断抛物线开口方向以及另一个交点的情况.(共27张PPT)
专题突破
一、用待定系数法求函数解析式
基础知识：二次函数解析式的三种形式：
一般式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 对称轴：直线x＝h ，顶点坐标：(h，k)
交点式 y＝a(x － x1)(x － x2)(a ≠ 0)
用待定系数法确定二次函数的解析式的一般步骤：
(1)一设：①已知顶点坐标，设为顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
②已知除顶点以外的其他点的坐标，设为一般式 y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
③已知与x轴的交点坐标(m，0)，(n，0)，设为交点式 y＝a(x－m)(x－n)(a≠0).
(2)二代：将已知点的坐标代入解析式，得到方程(组).
(3)三解：解方程(组)，得待定系数a，h，k或a，b，c的值.
(4)四写：将求得的待定系数的值代回所设解析式，求出解析式.
类型一：已知点的坐标，直接设解析式，用待定系数法求解
例题精讲
例1 已知二次函数图象与x轴交于点(－1，0) 和 (3，0)，且过点 (0，－3)，求二次函数解析式.
解：设交点式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入 (0，－3) ，得 a＝1，
∴y＝(x＋1)(x－3)，∴y＝x2－2x－3.
举一反三
1.已知二次函数的图象经过点(3，4)，顶点坐标为(4，－3)，可设顶点式为 y＝a(x－4)2－3 ，则二次函数的解析式为________ __________.
y＝7(x
－4)2－3
2.已知抛物线过点A(1，0)，B(－1，0)，C(0，2)，则它的解析式为_________________.
3.(2025·贵州改编)如图，二次函数 y ＝ax2
＋bx＋c 的部分图象与 x 轴的一个交点的横
坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，请根据图
象填空：
(1)二次函数图象的对称轴是直线__________；
(2)二次函数的解析式为____________________.
y＝－2x2＋2
x＝－1
y＝－(x＋1)2＋4
类型二 给出表格，从表格中确定特殊点(顶点、交点)，设解析式，用待定系数法求解
例题精讲
例2 下表给出了某抛物线对应的函数中两个变量x，y的部分对应关系：
特殊点 坐标
顶点 (1，4)
与x轴的交点 (－1，0)(3，0)
与y轴的交点 (0，3)
(1)求该抛物线的解析式；
法2：由表格可知顶点坐标为(1，4)，∴设y＝a(x－1)2＋4，将(0，3)代入，得a＝－1，
∴ y ＝－(x－ 1)2 ＋ 4＝－x2＋2x＋3，
法3：由表格可知抛物线与x轴两个交点的坐标为(－1，0)，
(3，0)，
∴设y＝a(x＋1)(x－3)，将(0，3)代入，得a＝－1，
∴y ＝－(x ＋ 1)(x－ 3)＝－x2＋ 2x ＋ 3；
(2)当点 P 的纵坐标为－5 时，求点 P 的坐标.
解：将y ＝－5代入y ＝－x2 ＋2x＋3，得－5 ＝－x2 ＋ 2x
＋ 3，
解得x1＝4，x2 ＝－2.∴点P的坐标为(4，－5)或(－2，－5).
x … －2 －1 0 2 …
y … －3 －4 －3 5 …
(1)求二次函数的解析式；
解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为(－1，－4)，
∴可设y＝a(x＋1)2－4，代入(2，5)，得5＝9a－4.
∴a＝1，∴y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3；
x＜－3或x＞1
二、二次函数图象的平移
二次函数图象的平移规律如下：
方法解读
一转化 二平移
y＝2x2＋12x＋10
↓配方法
y＝2(x＋3)2－8 向上平移 2 个单位长度 y＝2(x＋3)2－8＋2
即y＝2(x＋3)2－6 上 加
向下平移 2 个单位长度 y＝2(x＋3)2－8－2
即y＝2(x＋3)2－10 下 减
向左平移 2 个单位长度 y＝2(x＋3＋2)2－8
即y＝2(x＋5)2－8 左 加
向右平移 2 个单位长度 y＝2(x＋3－2)2－8
即y＝2(x＋1)2－8 右 减
A
2
5
举一反三
5.(2025·上海)抛物线y＝3x2向下平移2个单位长度所得的抛物线的解析式为_______________.
6.把函数 y＝( x－ 1)2 ＋ 2 的图象向右平移 1 个单位长度，平
移后图象的函数解析式为( )
A. y＝x2＋2 B. y＝(x－1)2＋1
C. y＝(x－2)2＋2 D. y＝(x－1)2＋3
y＝3x2－2
C
D
A
三、二次函数图象的对称变换
方法解读
一、转化 对称轴
(或对称
中心) 写特殊点
(顶点)坐标 二、结合草图，写解析式
y＝－x2＋4x＋2
↓
y＝－(x－2)2＋6 x轴 (2，－6 ) y＝(x－2)2－6(关于x轴对称，开口大小相同，方向相反，∴a＝1)
一、转化 对称轴 (或对称中心) 写特殊点
(顶点)坐标 二、结合草图，写解析式
y＝－x2
＋4x＋2
↓
y＝－(x
－2)2＋6 y轴 (－2，6 ) y＝－(x＋2)2＋6(关于y轴对称，开口大小、方向相同，∴a＝－1)
原点 (－2，－6 ) y＝(x＋2)2－6(关于原点对称，开口大小相同，方向相反，∴a＝1)
例题精讲
例5 已知抛物线C1：y＝－2(x＋3)2＋5.
(1)若抛物线C1与抛物线C2关于x轴对称，则C2的解析式为____________________；
(2)若抛物线C1与抛物线C3关于y轴对称，则C3的解析式为____________________；
(3)若抛物线C1与抛物线C4关于原点对称，则C4的解析式为____________________.
y＝2(x＋3)2－5
y＝－2(x－3)2＋5
y＝2(x－3)2－5
举一反三
9.抛物线y＝2x2＋4x＋3关于y轴对称的抛物线的解析式是_____________________.
10.抛物线y＝－x2＋4x＋3关于x轴对称的抛物线的解析式是_____________________.
y＝2(x－1)2＋1
y＝(x－2)2－7
四、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与系数a，b，c的关系以及含a，b，c的代数式
方法解读
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与系数a，b，c：
代数式 作用 代数式符号 图象特征
a 决定开口方向 a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
代数式 作用 代数式符号 图象特征
－ 决定对称轴的位置(“左同右异”) a·b＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
b＝0 对称轴为y轴
a·b＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c 决定抛物线与y轴交点的位置 c＞0 交点在y轴正半轴
c＝0 交点在原点
c＜0 交点在y轴负半轴
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与含a，b，c的代数式：
方法 举例
赋值法
(特值法) 当x＝1时，y＝a ＋ b ＋ c
当x ＝－ 1时，y＝a－ b ＋ c
当x＝2时，y＝4a ＋ 2b ＋ c
当x ＝－2时，y＝4a－2b ＋ c
例题精讲
例6 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示. 以下结论正确的是__________(填序号).
①abc ＜ 0； ②2a ＋ b＝0；
③4ac－ b2 ＜ 0；④a ＋ b ＋ c ＞0；
⑤4a ＋ 2b ＋ c＞ 0；
⑥对于任意实数m，都有m(am ＋ b)≥
a ＋ b.
拓展练：(1)9a ＋ 3b ＋ c__________0；
(2)4a－ 2b ＋ c __________ 0；
(3)3a ＋ c__________ 0.
②③⑥
＝
＞
＝
举一反三
11.(2025·安徽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图
所示，则( )
A.abc＜0 B.2a＋b＜0
C.2b－c＜0 D.a－b＋c＜0
C
D
13.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象经过点A(－1，0)，B(3，0)与y轴交于
点C，下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，
y随x轴的增大而增大；③3a＋c＝0；
④a＋b≥am2＋bm.其中正确的个数
为( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.②③
B(共11张PPT)
专题突破
方法解读
对于二次函数与角的问题，通常构造相似三角形，利用等角的同名三角函数值相等构造直角三角形、平行线等解决问题.二次函数中的角的问题比较灵活，在遇到具体问题时结合已知条件，观察已有图形结构，合理添加辅助线再构图形解决问题.
例题精讲
例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝
－x2＋2x＋3 与x轴交于点A(－1，0)和点B，与
y轴交于点C.M是第一象限抛物线上的点，且满
足∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标.
举一反三
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函
数y＝－x2－3x＋4的图象与x轴交于A，
B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，
作直线AC.D为直线AC上方抛物线上的一
个动点，横坐标为m，过点D作DF⊥x轴
于点F，交直线AC于点E.当∠ACD＝
2∠BAC时，求点D的坐标.
(2)如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP
＝45° 若存在，请求出点Q的坐标；若不存
在，请说明理由.
解：当点Q在PC下方时，如答图1，过点P作
PH⊥CQ于点H，过点H作MN⊥y轴于点M，
过点P作PN⊥MH于点N，
∴∠PHC＝∠CMH＝∠HNP＝90°.
∵∠QCP＝45°，∴△PHC是等腰直角三
角形，∴CH＝HP.
