福建省三明市第一中学2026届高三上学期12月月考
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知等差数列满足，则（ ）
A. B. 3 C. D. 6
4. 已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
5. 过三点的圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 的图象在区间内有个对称中心
C. 在区间上单调递增
D. 的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象
7. 已知实数满足且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若，则与的夹角是锐角
C. 已知向量，，是不共面的向量，则向量，，共面
D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
10. 已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（ ）
A. 的渐近线方程为 B.
C. 的焦距为4 D. 四边形的面积为
11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ）
A.
B. 在处取得极小值
C. 存在唯一的实数使得
D.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则_____．
13. 已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前5项和_____．
14. 直线（）与椭圆交于，两点，过点作轴，垂足为点，直线交椭圆于另一点，则_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为.
（1）求；
（2）点在边上，平分，若，求的周长.
16. 设数列满足.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的最大项.
17. 如图，在正三棱锥中，，，为中点，为棱上一点．
（1）证明：；
（2）已知正三棱锥各顶点均在球的球面上．
（i）求球的半径；
（ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求．
18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；
（3）若，求证：直线过定点.
19. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论在区间上的单调性；
（3）设，证明：．三明一中2025-2026学年上学期高三12月月考
数学参考答案
一、单选题
D
A
B
B
B
A
C
二、多选题
AD
ABD
BCD
三、填空题
12、
1
3
13、129
14、1
14、直线：y=(k≠0)与椭圆E交于P,A两点，设P为第一象限点，P(xo,%),PC⊥x
轴，如图，点A的坐标为(-x,-),点C的坐标为(，0)，
设8小则有三+元，号+少1
(y%-y)+y）1
两式相减得：
(名-x)(+x)2’
又kw=t出，kp=6-,kukp=-义.ty=
xo+x
Xo-x
xo-x xo+x
2
2x2
2 kk
=A,因此，AP⊥BP,所以sin∠APB=1
四、解答题
15、(13分)
(1)因为asinC=V5 ccosA,
由正弦定理得sinAsinC=5 sinCcosA,…2分
又sinC>0,所以tanA=√5，
…4分
由于0
π
3
…5分
(2)因为S。MBC=SAD+SADC:
所以sin∠BC=c·A0sin∠BAD+Dsin∠CAD,
即5c=ADb+e）222b+c,
…7分
由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos4=b2+c2-bc=6+c-3c,…9分
所以3b+c-2W6(b+G-48=0,…10分
解得b+c=26,或6+c=-4v6
3
(舍去)，…12分
所以a+b+c=4+2W6,即△ABC的周长为4+2V6.…13分
16、(15分)
1
1
(（1)将a-2+2两边同乘以2”，
得21.an1=2an+1,即21.a1-2”·an=1,
…3分
又2a=1,因此，{2”…a}是以1为公差，1为首项的等差数列…5分
n
(2)由(1)得2”，an=1+(n-1)×1=m,an=
2,
…7分
因此，么-a2+h-a+1)a+3）
…9分
2”
21
61-6,-a+102m+3)-2m(2n+_-2m+3n+3-3-2n-
20利
20+1
2
.…11分
当n之3时，3-n(2n-3)<0,得bn1-b.<0，即b1…12分
又汉因为久=号，6-号，么-2，所以么<么<么，…3分
即当n<3时，bn1>b,
…14分
21
所以{b}的最大项是b=
8
…15分
17、(15分)
(1)由正三棱锥性质可知PA=PB=PC,AB=AC=BC,连接PN,AN,
故PN L BC,WLBC,…2分
而PNc平面PAN,AWC平面PAN,PNOAN=N,…3分
故BC⊥平面PAW,而MNC平面PAN,…4分
可得MN上BC.
…5分
