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北师大版2024 八年级上册
八年级数学上册期末模拟卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 无理数
2 0.85 判断三边能否构成直角三角形；等腰三角形的定义
3 0.75 最简二次根式的判断
4 0.65 判断命题真假；全等三角形综合问题；角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质
5 0.65 运用中位数做决策；求四分位数
6 0.65 加减消元法
7 0.65 一次函数与几何综合；用勾股定理解三角形；折叠问题
8 0.65 已知函数经过的象限求参数范围；一次函数图象与坐标轴的交点问题；比较一次函数值的大小
9 0.64 点坐标规律探索
10 0.64 求最短路径(勾股定理的应用)
知识点分布
二、填空题 11 0.85 利用图象法解一元一次方程
12 0.74 求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴的交点问题
13 0.65 坐标与图形变化——轴对称
14 0.65 比较一次函数值的大小
15 0.65 几何问题(二元一次方程组的应用)
16 0.64 求最短路径(勾股定理的应用)
知识点分布
三、解答题 17 0.85 运用平方差公式进行运算；二次根式的混合运算
18 0.75 代入消元法；加减消元法
19 0.65 由样本所占百分比估计总体的数量；画条形统计图；由扇形统计图求某项的百分比；求众数
20 0.65 求一次函数解析式；行程问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息
21 0.65 写出直角坐标系中点的坐标；求点到坐标轴的距离
22 0.65 无理数的大小估算；新定义下的实数运算
23 0.64 用勾股定理解三角形
24 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；绝对值非负性；利用算术平方根的非负性解题2025—2026学年八年级上学期期末模拟卷
数 学
（测试范围：八年级上册北师大版2024，第1-7章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在2.3，，，，0.3，0.0102030405060708…（位数无限且从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个0）中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若的三边长为，，，满足，则的形状是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．以下命题正确的是（ ）
A．与线段两个端点距离相等的点在线段的垂线上 B．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
C．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 D．等腰三角形的三条高都相等
5．（新情境 生活应用）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．下图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（ ）
①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为；
②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数；
③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度；
④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知关于x、y的方程组，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知直线经过二，一，四象限，且与两坐标轴交于，两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②的面积为；③若时，；④．其中正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
9．（新情境 规律探索）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，圆柱的底面圆的周长为，高为，一只蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一次函数（k，b为常数，）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程的解为 ．
12．已知一次函数与横轴的交点横坐标是，且平行于函数，那么这个一次函数表达式是 ．
13．已知和关于轴对称，则的值为 ．
14．已知一次函数，点、在该函数图象上，则与的大小关系是： （填“＞”“＜”或“＝”）；
15．将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则 ．
16．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）；
（2）
18．解方程组：
(1)
(2)
19．（新情境 生活应用）某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分．赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分．为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①此次抽查的学生总数为_____；
②请补全抽取的学生成绩条形统计图；
③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为_____分；
(2)在扇形统计图中：_____；
(3)已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？
20．（新情境 社会热点）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．要求无人机从距离地面一定距离的升降平台起飞工作人员通过记录仪得到其中一架无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)升降平台与地面的距离为_____；
(2)求该无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的关系式；
(3)无人机飞行多长时间时与地面的距离为？
21．已知点的坐标为，分别根据下列条件，求出点的坐标．
(1)点在过点且与轴平行的直线上．
(2)若点在第三象限，且点到轴的距离是2，求点的坐标．
22．（新情境 新定义问题）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“坐标区间”为．例如：因为，所以的“坐标区间”为．请回答下列问题：
(1)的“坐标区间”为______；
(2)若无理数的“坐标区间”为，的“坐标区间”为，求的值．
23．（新情境 生活应用）如图，某“双行道桥洞”的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长是，宽是．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该“双行道桥洞”吗？
24．在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，，的面积等于24．
(1)求点B的坐标；
(2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，运动时间为秒，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接AE．若的面积为S，请用含t的代数式表示S；
(3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由．2025—2026学年八年级上学期期末模拟卷
数 学
（测试范围：八年级上册北师大版2024，第1-7章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C B C B B A D
1．D
本题主要考查了无理数的知识，理解并掌握无理数的定义和常见形式是解题关键．无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数．
解：在2.3，，，，0.3，（位数无限且从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个0）中无理数有，，，（位数无限且从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个0），共有4个．
故选：D．
2．D
本题考查的是勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握两个数的积为0，则至少有一个数是0．因为a，b，c为三边，根据，可找到这三边的数量关系，判断形状．
解： ，
或，
当成立时，是等腰三角形，
当时，是直角三角形，
故选：D．
3．B
本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式满足的两个条件是解题的关键．
根据最简二次根式定义判断，最简二次根式满足两个条件：1、被开方数不含分母，2、被开方数不含能开方开得尽的因数或者因式．
解：A、 被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D. ，被开方数含分母，不是最简二次根式，
故选：B．
4．C
本题考查几何命题的真假判断；要判断每个选项的正确性，需结合线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定、角平分线的判定以及等腰三角形的性质来分析．
解： A、与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，但选项中“垂线上”表述不准确，故不符合题意；
B、两边分别相等且其中一组等边的对角相等（即条件），不能保证三角形全等，故不符合题意；
C、角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，这是角平分线的判定定理，故符合题意；
D、等腰三角形的三条高不一定相等（如一般等腰三角形），故不符合题意；
故选：C．
5．B
本题考查了统计中的中位数，箱线图，四分位数，正确理解定义是解题的关键．
从箱线图中可获取数据的最大值、最小值和四分位数以及中位数，据此进行分析比较即可．
解：①由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为，正确；
②由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数为，西安每天的最高温度的中位数为，故济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故②正确；
③由箱线图可得西安的最高气温为，而济南存在高于的温度，故③错误；
④由箱线图可得西安每天的最高温度的中位数为，西安有超过一半的天数最高温度不低于，故④错误，
正确的有2个，
故选：B．
6．C
本题重点考查用加减消元法求解二元一次方程组，当二元一次方程组的两个方程中一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法，熟练掌握加减消元法的技巧是解题的关键．
通过两个方程相减，得到含的方程，将其代入，求解含的一元一次方程，最终完成求解．
解：两个方程相减，得到，
得到，
．
故选：C．
7．B
本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
由解析式求出点，点，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得与的长，，然后设，由在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出M的坐标．
解：令，可得，即，令时，，即，
∴，
由折叠的性质，得：，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故选：B．
8．B
本题考查了一次函数图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据直线经过的象限可判定①结论错误；求出点、坐标，即可求出的面积，可判定②结论正确；直接观察图像，即可判定③结论正确；将两点坐标代入，进行消元，即可判定④结论错误．
解：∵直线经过二，一，四象限，
∴，，
∴，故①结论错误；
∵当时，，当时，；
∴点，，
∴，，
∴的面积，故②结论正确；
直接观察图像，当时，，故③结论正确；
将，，代入直线解析式，得
，
∴，
∴，故④结论错误；
∴正确的有：②③．
故选：B．
9．A
本题考查了点坐标的规律探索，正确归纳推出一般规律是解题关键．
先归纳推得横坐标为所在的列上共有个点，则第个点的横坐标为14，所在列上共有14个点，再根据当横坐标为偶数时，所在列上的点是由下往上排列，在轴上方、轴下方（含轴）各一半，则第个点是其所在列上的第9个点，位于轴上方的第2个点，由此即可得．
解：由题意可知，横坐标为1所在的列上共有1个点，
横坐标为2所在的列上共有2个点，
横坐标为3所在的列上共有3个点，
归纳类推得：横坐标为所在的列上共有个点（为正整数），
∵，，且，
∴第个点的横坐标为14，所在列上共有14个点，
观察平面直角坐标系可知，当横坐标为偶数时，所在列上的点是由下往上排列，在轴上方、轴下方（含轴）各一半，
又∵，，
∴第个点是其所在列上的第9个点，位于轴上方的第2个点，
∴第个点的坐标为．
故选：A．
10．D
本题考查勾股定理的实际应用，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理进行求解即可．
解：将圆柱体展开如图：
由题意，，，
∴，即蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行；
故选D．
11．
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，由一次函数经过得出当时，，即可求解．
解：由图象得，
一次函数经过，
当时，，
方程的解为，
故答案为：．
12．
本题主要考查一次函数的性质，包括一次函数的表达式、两直线平行时斜率的关系以及一次函数与坐标轴交点的求法．由两直线平行，得；再根据与横轴交点横坐标是，得点，代入函数解析式求．解题关键在于理解两直线平行时，一次函数中值相等这一性质，准确求出．掌握一次函数与横轴交点的坐标特征，即交点的纵坐标为，通过代入交点坐标求解．即可求出解．
解：∵一次函数 平行于函数 ，
∴，
∵一次函数与横轴的交点横坐标是，
∴当时，，即点在函数图像上．将点代入，
得，
解得．
∴一次函数表达式为．
故答案为：．
13．1
本题主要考查关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
根据关于轴对称的点的坐标特征求出、的值即可得到答案．
解：∵点和点关于轴对称，
∴横坐标相等：，纵坐标互为相反数：，
解得，，
∴，
故答案为：．
14．
本题考查了一次函数的性质，在直线中，当时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小．根据一次函数，得到函数值随自变量的增大而增大，据此判断即可．
解：∵一次函数，，
∴函数值随自变量的增大而增大，
∵点、在该函数的图象上，并有，
∴，
故答案为：．
15．12
本题考查了二元一次方程组的应用，首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解．
解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为，
根据图1得：，
根据图2得：，
联立解得，
∴，
则．
故答案为：12．
16．
本题考查了平面展开 最短路径问题．如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可．
解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，过作交的延长线于D，则四边形为矩形，连接交于F，则即为最短距离．
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，
∴，，
∴在直角中，．
故答案为：．
17．(1)1
(2)
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式以及二次根式的运算法则．
（1）利用平方差公式进行计算；
（2）分别进行二次根式的除法运算和乘法运算，再进行加减运算．
解：（1）
；
（2）
．
18．(1)
(2)
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）根据代入消元法求解即可；
（2）根据加减消元法求解即可．
（1）解：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
19．(1)①200；②见解析；③90
(2)40
(3)1800人
本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求众数，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）①由得分100分的人数除以占比求出抽查的学生总数；
②由总数乘以得分80分的人数所占的百分比求出得分80分的人数，即可补全条形统计图；
③根据众数的定义结合条形统计图即可求解众数；
（2）由“”减去其余三项的占比即可求解；
（3）用乘以得分分和分的占比即可．
（1）①被调查的人数为：（人），
故答案为：200；
②（人），补全条形统计图如下：
③样本中竞赛成绩出现次数最多的是90分，共出现80次，
因此学生竞赛成绩的众数是90分，
故答案为：90；
（2），即，
故答案为：40；
（3）（人）
答：该校3000名学生中得分不低于90分的学生大约有1800人．
20．(1)；
(2)；
(3)无人机飞行时与地面的距离为．
本题考查了一次函数的应用．
（1）直接根据函数图象作答即可；
（2）设与飞行的时间之间的关系式为，将，代入计算即可；
（3）将代入函数解析式计算即可．
（1）解：由函数图象可知，升降平台与地面的距离为；
故答案为：；
（2）解：设与飞行的时间之间的关系式为，
由函数图象可知，经过，，
即，
解得：，
即与飞行的时间之间的关系式为；
（3）解：当时，，
解得：，
即无人机飞行时与地面的距离为．
21．(1)
(2)
本题考查了坐标与图形性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键．
（1）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列方程求出m的值，再求解即可．
（2）根据到轴的距离得到即可解决问题．
（1）解：因为点P在过点且与y轴平行的直线上，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
（2）解：∵点在第三象限，且点到轴的距离是2，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为．
22．(1)
(2)的值为3
本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点．
（1）仿照题干中的方法，根据“坐标区间”的定义求解；
（2）先根据无理数的“坐标区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“坐标区间”的定义求解．
（1）解：∵，
∴的“坐标区间”是，
故答案为：；
（2）解：∵无理数的“坐标区间”为，
∴，即，
∵的“坐标区间”为，
∴，即，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴
∴的值为3．
23．卡车能通过该桥洞．
本题考查了勾股定理的实际应用，灵活运用所学知识是解题关键．
构造长方形，令，利用勾股定理求得，即可求得，作出判断．
解：如图，因为“双行道桥洞”，根据题意构造长方形，令，
长方形的长是，
，
在中，，根据勾股定理得：
，
，
，
，
卡车能通过该桥洞．
24．(1)点B的坐标为
(2)
(3)存在，或
本题考查动点的函数解析式，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性得出，再由三角形的面积得到，即可求解；
（2）分点P在上和点P在延长线上两种情况利用三角形的面积差计算即可；
（3）先证明，得到，然后连接，证明，可得到点E的坐标为，然后分两种情况，利用三角形的全等解题即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，当点P在上时，，
∵，
∴，
又∵过作轴垂线交直线于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点P在延长线上时，，
；
∴与的关系式为；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点F的坐标为，
连接，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即点P与A重合，
∴，
∴点E的坐标为，
如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，，
则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，，
同理可得，
∴，，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
