第二十五章 概率初步 单元练习 （含解析）2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十五章 概率初步 单元练习
【基础练】
一、选择题
1． 下列事件中是必然事件的是（　　）
A．内错角相等 B．经过红绿灯路口，遇到红灯
C．任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D．三角形任意两边之和大于第三边
2．下列说法正确的是（　　）
A．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件
C．射击运动员射击一次，命中10环是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件
3．小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（　　）
A．7种 B．6种 C．5种 D．4种
4．一个不透明的袋子中装有3个黄球、1个白球、4个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到（　　）球的可能性最大.
A．黄 B．白 C．红 D．黑
5．某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
6．如图，向甲、乙两个正方形飞镖盘中各随机投掷一枚飞镖，投中阴影区域的概率分别为和，则下列关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．无法确定的大小
7．元旦游园晚会上有一个闯关活动：将20个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，5个黄色，5个绿色，2个红色．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（　　）
A．黄色 B．绿色 C．白色 D．红色
8．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．“石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（　　）
A．公平 B．对爸爸有利 C．对小亮有利 D．不能判断
10．山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（　　）
A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85
二、填空题
11．取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”．现从中任取1张，恰好是“红桃”的概率是　 　．
12．“任意画一个平行四边形，它是菱形”是　 　事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）
13．已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是，若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是　 　.
14．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是　 　．
【提升练】
一、选择题
15．下列说法正确的是（　　）
A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件
C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
16．笼子里关着一只小松鼠(如图)，笼子主人决定把小松鼠放归大自然.主人将笼子所有的门都打开，小松 鼠要先过第一道门(A或B)，再过第二道门(C或D或E)才能出去，则小松鼠走出笼子的路线(经过两道门)的不同可能有 (　　)
A．2 种 B．3种 C．5 种 D．6 种
17．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
18．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数.若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 则密码的位数至少需要设（　　）
A．五位 B．四位 C．三位 D．二位
19．李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（　　）
A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数
C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数
20．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（　　）
A． B． C． D．
21． 如图，在直径BC为的圆内有一个圆心角为的扇形ABC. 随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
22．在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（　　）
A．20 B．40 C．60 D．100
23．如图，电路图上有编号为①②③④⑥共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
24．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000
合格频数 42 88 141 176 445 724 900
合格频率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.905 0.9
若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是 （　　）
A．2000件 B．3200件 C．16800件 D．18000件
二、填空题
25．甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100m接力赛，丁必须为第四棒的运动员，那么四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有　 　种．
26．在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为　 　．
27．如图是某同学的微信二维码，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为　 　.
28．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中(三张扑克牌属同一副扑克牌)，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张.若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏　 　.(填“公平”或“不公平”)
29．小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表：
投篮次数 20 40 60 80 120 150 200
投中次数 15 33 47 65 95 120 160
投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80
估计小萌投一次篮，投中的概率是　 　（结果精确到0.01）
三、解答题
30．一个不透明的箱子里装有3个只有颜色不同的球，其中1个黑球，2个白球.从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.求下列事件发生的概率：
（1）事件A：摸一次，恰好摸出1个黑球.
（2）事件B：摸两次，摸出2个球的颜色相同.
31．某校在开展科学素养实验探究活动，该活动为学生准备了下面3个实验项目：A．测量物质的密度；B．实验室制取二氧化碳；C．探究凸透镜成像原理．将“A”“B”“C”分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．参与该活动的小明同学先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．
（1）小明同学随机抽取一张恰好选中自己熟悉的实验项目“A”是_____事件；（填“不可能”、“必然”或“随机”）
（2）请用列表法或画树状图法求小明同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C”的概率．
32．有一个转盘（材质均匀）如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为和，当指针刚好落在分界线时，重新转动．
（1）自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率．
33． 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同.圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，下表是实验中的若干统计数据：
摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000
摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103
摸到白球的频率 0.70 0.69 0.71 0.70 0.702 0.699 0.701
（1）当n很大时，请估计摸到白球的概率.（精确到0.1）
（2）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
（3）若要使摸到白球的概率为0.8，则需要往盒子里再放入多少个白球？
参考答案
1．D
【解析】解：A、内错角相等需两直线平行，否则不成立，不是必然事件；
B、经过红绿灯路口可能遇到红灯、绿灯或黄灯，不是必然事件；
C、抛掷硬币可能正面朝上或反面朝上，不是必然事件；
D、三角形任意两边之和大于第三边是三角形的三边关系定理，对于任何三角形都必然成立，是必然事件．
2．D
【解析】解：A、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件故本选项说法错误，不符合题意；
D、“掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件，说法正确，符合题意；
3．B
4．C
【解析】解：∵红球数量最多，
∴摸到红球的可能性最大，
5．C
【解析】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上，他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
6．A
7．C
8．A
9．A
【解析】解：列表：
　 石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头）
剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀）
布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布）
所有等可能的情况有9种，其中小亮获胜的情况有3种，所以小亮获胜的概率是P，爸爸获胜的情况有3种，所以爸爸获胜的概率是P，所以游戏公平；
10．C
11．
【解析】解：取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”，现从中任取1张，则所有等可能的结果共有种，其中恰好是“红桃”的结果有种，
恰好是“红桃”的概率，
12．随机
【解析】解：“任意画一个平行四边形，它是菱形”是随机事件．
13．9
【解析】解：∵ 罚球投中的概率是，
∴ 10次罚球机会，估计能投中的次数是9次，
14．
15．D
【解析】解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意；
B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意；
C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意；
D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意；
16．D
【解析】解：小松鼠走出笼子的路线为AC，AD，AE，BC，BD，BE六种可能.
17．A
【解析】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确；
②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确；
③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确；
综上可知，正确的是①②③，
18．B
【解析】解：∵每一位密码上都可以设置0到9这10个数字，
∴设置n位密码则有 种结果数，
又∵一次就拨对密码的结果数为1，
∴一次就拨对密码的概率为
∴一次就拨对密码的概率小于 则密码的位数
至少需要设4位，
19．C
20．B
【解析】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，
长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，则，
解得：．
即不规则图案的面积约为．
21．D
【解析】解：过点A作于点D.
∵BC是直径
∴
∵AB=AC
∴是等腰直角三角形
∵
∴AD=BD=CD=
∴
∴
∴该粒米落在扇形内的概率为
22．C
23．A
【解析】解：列表如下：
① ② ③ ④ ⑤
①
②
③
④
⑤
共有20种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种，
∴小灯泡发光的概率为．
24．D
【解析】解：合格频率得到合格产品的概率为0.9，
∴ 合格品的件数大约是20000×0.9=18000件，
25．6
【解析】解：当丁作第四棒时，接棒顺序有：
①乙、丙、甲、丁；②乙、甲、丙、丁；
③丙、乙、甲、丁；③丙、甲、乙、丁；
⑤甲、乙、丙、丁；⑥甲、丙、乙、丁．
∴共有6种接棒顺序．
26．
【解析】解：当一元二次方程无实数解时，，
解得：，
∴在，，1，2，3，4这6个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，使得一元二次方程没有实数解的a的值为3和4，一共2个，
∴在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为，
27．1.6
【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，
点落入黑色部分的概率为0.4，
边长为的正方形的面积为，
设黑色部分的面积为，
则，
解得.
估计黑色部分的总面积约为.
28．不公平
【解析】解：用列表法表示所有可能出现的情况，如下表所示：
5 6 7
5 25 30 35
6 30 36 42
7 35 42 49
共有9种等可能出现的结果，其中两次数字乘积为奇数的4种，
∴P(甲获胜) ；
其中两次数字乘积为偶数的5种，
∴P(乙获胜) ；
∵，
∴游戏不公平.
29．0.80
【解析】解：∵0.75≈0.8，0.83≈0.8，0.82≈0.8，0.79≈0.8，…
∴可以看出小亮投中的频率大都稳定在0.8左右，
∴估计小亮投一次篮，投中的概率是0.8
30．（1）解：∵ 3个只有颜色不同的球中，有 1个黑球，2个白球 ，
∴P（A）＝
（2）解：如下表：
据表知：共有9种等可能结果，其中 2个球的颜色相同的结果有5种，
∴P（B）＝
31．（1）随机；
（2）解：列表为：
第一次 第二次 A B C
A
B
C
由表可得，小明同学两次随机抽得的卡片共有9种等可能的结果，其中两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C”的结果又4种，所以其概率．
【解析】（1）因为“A”“B”“C”分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，所以小明同学随机抽取一张恰好选中自己熟悉的实验项目“A”是随机事件．
32．（1）解：由题意可得：，
，
；
（2）解：如图，把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，
列表如下：
第一次
第二次 红 黄1 黄2
红 红，红 红，黄1 红，黄2
黄1 黄1，红 黄1，黄1 黄1，黄2
黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄2
由表格可知，共有种等可能的结果，其中“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果有种，
（一次红色区域，一次黄色区域）．
33．（1）解：观察表格里的数据，随着试验次数的不断增加，频率精确到0.1都等于0.7.
∴当n很大时，估计摸到白球的概率为0.7；
（2）解：60×0.7=42(个)
60-42=18(个)
∴白球42个，黑球18个；
（3）解：设放入x个白球，则
解得x=30
∴需要往盒子里再放入30个白球。