北京市第五中学2025-2026学年高二上学期阶段检测二数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京五中高二（上）阶段检测二
数 学
班级_______ 姓名__________ 学号_________ 成绩_____
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
y = 8x2(1) 抛物线 的焦点坐标为
1
(A) (2,0) (B) ( 2,0) 1(C) (0, ) (D) (0, )
32 32
(2) 圆心是 (3, 2)，且过点 (4,1)的圆的标准方程是
2 2 2 2
（A） (x 3) + ( y + 2) =10 （B） (x + 3) + ( y 2) =10
2 2 2 2
（C） (x 3) + ( y + 2) =100 （D） (x+3) + ( y 2) = 10
(3) 已知数列{an}为等差数列， Sn为其前n项和，满足 S3 = 6，则 a2 的值为
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(4) 已知a = (2,1,3) ,b = ( 1,0, 2) ,c = (3,2, )，若a,b,c三个向量共面，则实数 的值为
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
(5) 设 Sn为等差数列 an 的前 n项和，且 a15 0,a11 + a20 0，若 Sk 0(k N* )，则 k的最小值为
（A）28 （B）29 （C）30 （D）31
y2
C : x2 =1 F ,C l, F FF '
'
(6) 已知双曲线 的右焦点为 在第一、三象限内的渐近线为 过点 作 ⊥ l于点F ,
3
则 F
'
的坐标为
3 2 6 6 3 2 3 1 1 3
(A) ( , ) (B) ( , ) (C) ( , ) (D) ( , )
2 2 2 2 2 2 2 2
2
(7) 已知直线 l : y = k(x +1) 和抛物线C : y =16x.则“ k = 2 ”是“直线 l与C只有一个公共点”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
2
(8) 过点 P(4, 4) 作抛物线 y = 4x的切线交 y轴于点Q,设抛物线的焦点为 F ,则四边形OFPQ的面积为
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
2 2
(9) 集合 A = (x, y) x + y = a (a 0)，集合B = (x, y) x + y = a2 ，若 A B中有 8 个元素，则 a的取值
范围是
3 3
（A） (1, 2 ) （B） (1, 2 ) （C） ( 2, 2 ) （D） ( 2, 2)
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(10) 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为
“阳马”.现有“阳马” P ABCD 如下图所示，其中 PA ⊥平面ABCD ，
PA = AB = AD = 3，点 E 在棱 PC上运动.下列说法正确的是
（A）存在点 E ，使得 AE / /BP
（B）存在点 E ，使得 AE ⊥ BE
（C）点 E 到平面PBD距离的最大值为 3
1
（D）当 PC = 2PE时，三棱锥 P ABE的体积是四棱锥 E ABCD体积的
3
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
2
（11）已知数列{an}的前 n项和为 S = n + n + 5,则a1 = _____,a5 = _________ .n
C : y2（12）已知抛物线 = 6x 的焦点为 F , 点 M 在 C 上.若 M 到直线 x = 3 的距离为 5, 则 MF =
______________.
（13）在等比数列{an}中， a5a6a7 = 8,a2 + a6 = 20, 则 a4 = _______________.
x2 y2
（14） 设 F1和 F2 分别是双曲线 =1(a 0,b 0) 的左、右焦点， A和 B是以O为圆心、OF1 的长
a2 b2
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率是_________.
（15）已知数列 a 满足， a2 + 3a2 = 4， n N*n n n+1 ，给出下列 4 个结论：
①若 a1 =1，则数列 an 是常数列； ②从第二项起，数列 an 中不存在大于 1 的整数；
2 2026 2026③ (an 1)(

a2n+1 1) 0 对 n N* 恒成立； ④ n N
*
0 ，使得 an , . 0
2025 2025
其中正确结论的序号是___________.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(16)（本小题 13 分）
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，四边形 BCC1B1 是边长为 1的正方形， AB = 2 ，M，N分别为AD，
A1B1 的中点.
(Ⅰ ) 求证：MA1 // 平面 ANC；
(Ⅱ ) 求直线 CN与平面D1AC 所成角的正弦值.
(17)（本小题 13 分）
1
在 ABC中，cos A = ,asinC = 4 2 ．
3
（Ⅰ）求 c的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC存在，求 BC边上的
高．
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10 2
条件①： a = 6 ；条件②： a sin B = ；条件③： ABC的面积为10 2 ．
3
(注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，
按第一个解答计分．)
(18)（本小题 14 分）
x2 y2 2
在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C : + =1(a b 0)的离心率为 且短轴长为 2.
a2 b2 2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过定点 (0, 2)的直线 l与椭圆C交于M ， N 两点，若 P (0,1)，求直线 PM 与直线PN 的斜率之积.
(19)（本小题 15 分）
在四棱锥 P ABCD中， 平面 ABCD ⊥平面 PCD， 底面 ABCD为梯形, AB CD， AD ⊥ DC ,且
AB =1,AD = DC = DP = 2, PDC =120 . P
（Ⅰ）求证： AD⊥平面 PCD；
（Ⅱ）求平面 BPD与平面 PDC的夹角的余弦值；
（Ⅲ）若M 是棱 PA的中点，求证：对于棱 BC 上任意一点 F ，MF D
C
与 PC都不平行.
A B
(20)（本小题 15 分）
x2 y2
已知椭圆C : + =1(a b 0)经过 A 2,0 和B(0, 3)两点，点 A2 为椭圆 C的右顶点，点
a2
1
b2
P m,n 为椭圆 C上位于第一象限的点，直线 PA1与 y轴交于点 M，直线 PB与 x轴交于点 N．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程及离心率；
（Ⅱ）比较 MNA1的面积与 NA2B的面积的大小，并说明理由．
(21)（本小题 15 分）
M +m
记无穷数列{an}的前 n项中最大值为M n，最小值为mn，令b
n n
n = ．
2
n
（Ⅰ）若 an = 3 2n，写出b1，b2，b3 ，b4的值；
（Ⅱ）求证：“数列{an}是等差数列”的充要条件是“数列{bn}是等差数列”；
（Ⅲ）若 n N* ， an 2025， b
*
n = 2 ，求证：存在 N0 N ，使得 n N0 ，有bn = bn+1．
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参考答案
一、选择题（每题 4 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B C D A D A C
11.7,10; 12.7/2 13.6 14. 3 +1
15.【答案】②③④
对于①，若 an =1，则 an+1 = 1，不一定是常数列，故①错误；
对于②，∵ a2 + 3a2n n+1 = 4， n N
+ ，∴ an 2 ，
假设数列 an 中从第二项起，存在大于 1 的整数，
即 n0 2，使得 an = 2，此时 a
2
n 1 + 3a
2
n = 4 ， a
2
0 0 0 n 1
= 8不成立，
0
∴假设不成立，故②正确；
对于③，∵ a2 2 +n + 3an+1 = 4， n N ，
∴ a2n 1+ 3a
2
n+1 3 = 0 ， a
2
n 1= 3(a2n+1 1)，
∴ (a2 1)(a2 n N +n n+1 1) 0 对 恒成立，故③正确；
对于④，由③可知： a2 1= 3(a2 1)， n N +n n+1 ，
2026 2026
若 a1 = 1，则取 n0 =1，即可满足 an , ， 0
2025 2025
1
若 a21 1，设数列 bn 满足，b
2
n = an 1， n N
+ ，则bn+1 = bn，
3
n 1
1 1
数列 bn 是公比为 的等比数列，bn = b ， 1
3 3
2026 2026
当 n→+ 时，b → 0 ， a
2 →1
n n ，∴ n N
+
0 ，使得 an , ，故④正确. 0
2025 2025
16.【详解】
1.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，四边形 BCC1B1 是边长为 1 的正方
形， AB = 2 ，M，N分别为 AD， A1B1 的中点.
(Ⅰ ) 求证：MA1 // 平面 ANC；
(Ⅱ ) 求直线 CN与平面D1AC 所成角的正弦值.
【答案】 (Ⅰ ) 证明：取 AC的中点 O，连结 OM，ON，
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1
因为 M是 AD的中点，所以OM // CD，OM = CD，
2
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，因为 N是 A1B1 的中点，
1
所以 NA1 // CD， NA1 = CD，
2
所以 NA1 //OM 且 NA1 =OM ，
所以四边形 NOMA1是平行四边形，所以MA1 //ON ，
又因为MA1 平面 ANC，ON 平面 ANC，
所以MA1 // 平面 ANC；
(Ⅱ ) 解：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，以点 B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C(1,0,0)， A(0,2,0) ，D (1,2,1) ， N (0,1,1)1 ，

所以CN = ( 1,1,1),CA = ( 1,2,0),CD1 = (0,2,1) ，

设平面D AC 的法向量为 n = (x, y, z)1 ，

n CA = 0 x + 2y = 0
则有 ，即 ，
n CD 2y + z = 0 1 = 0

令 y =1，则 x = 2 ， z = 2，故 n = (2,1, 2) ，

|CN n | 3 3
所以 | cos CN ,n |= = = ，
|CN || n | 3 3 3
3
故直线 CN与平面D1AC 所成角的正弦值为 .
3
1
17.在 ABC中，cos A = ,asinC = 4 2 ．
3
(1)求 c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC存在，求 BC边上的高．
10 2
条件①： a = 6；条件②： a sin B = ；条件③： ABC的面积为10 2 ．
3
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；
（2）若选①，可得 A,C都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得b，由余弦定理求得 a，利用等面积法
求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得b，再根据余弦定理可求得 a，由此可说明三角形 ABC存
在，且可由等面积法求解 AD .
1 2 2
【详解】（1）因为 cos A = , A (0,π)，所以 sin A = 1 cos2 A = ，
3 3
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2 2
由正弦定理有 asinC = csin A = c = 4 2 ，解得 c = 6 ；
3
（2）如图所示，若 ABC存在，则设其 BC边上的高为 AD，
1
若选①， a = 6，因为 c = 6 ，所以C = A，因为 cos A = 0，这表明此时三角形 ABC有两个钝角，
3
而这是不可能的，所以此时三角形 ABC不存在，故 BC边上的高也不存在；
10 2
10 2 b 5
若选②， a sin B = ，由 a sinC = 4 2 有 sin B 3 5 ，由正弦定理得 = ,所以b = 5，
3 = = c 6
sinC 4 2 6
1
所以由余弦定理得 a = b2 + c2 2bccos A = 25+36 2 5 6 = 9 ,
3
此时三角形 ABC是存在的，且唯一确定，
1 1 1 2 2 1
所以 S ABC = bcsin A = BC AD ,即 5 6 = 9AD，
2 2 2 3 2
20 2
所以 BC边上的高 AD = ；
9
1 1 2 2
若选③， ABC的面积是10 2 ，则 S ABC = bcsin A = b 6 =10 2 ，
2 2 3
1
解得b = 5，由余弦定理可得 a = b2 + c2 2bccos A = 25+36 2 5 6 = 9可以唯一确定，
3
进一步由余弦定理可得 cosB, cosC也可以唯一确定，即 B,C可以唯一确定，
1 9 20 2
这表明此时三角形 ABC是存在的，且 BC边上的高满足： S ABC = a AD = AD =10 2 ，即 AD = .
2 2 9
(18)（本小题 14 分）
x2 y2 2
在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C : + =1(a b 0)的离心率为 且短轴长为 2.
a2 b2 2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过定点 (0, 2)的直线 l与椭圆C交于M ， N 两点，若 P (0,1)，求直线 PM 与直线PN 的斜率之积.
c 2
=
a 2
a = 2

【详解】（1）解：（1）由 2b = 2 得 b =1
a2 = b2 + c2 c =1


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x2
∴椭圆 C的标准方程为 + y2 =1
2
（2）若直线 l的斜率不存在，设M (s, t )，则N (s, t )，
1
s2
此时 t 1 t 1 1 t
2
2 1 ，与题设矛盾， kPM kPN = = = =
s s s2 s2 2
故直线 l的斜率必存在.
y = kx 1

设 l : y = kx 1
2 2
，M (x1, y1 )，N (x2 , y2 )，联立 x2 得： (2k +1) x + 4kx + 6 = 0 ，
+ y
2 =1
2
= 6(3k 2 4) 0，
8k 6
∴ x1 + x2 = ， x1x2 =
2k 2 +1 2k 2 +1
2
y 1 y 1 y y (y + y )+1 k x x + k (x + x )+1
∵ kPM k
1 2
PN = =
1 2 1 2 = 1 2 1 2
x1 x2 x1x2 x1x2
8k 6 1
代入 x1 + x2 = ， x1x2 = 整理得： kPM kPN = ，
2k 2 +1 2k 2 +1 6
(19)（本小题 15 分）
(19)（本小题 15 分）
在四棱锥 P ABCD中， 平面 ABCD ⊥平面 PCD， 底面 ABCD为梯形, AB CD， AD ⊥ DC ,且
AB =1,AD = DC = DP = 2, PDC =120 .
P
（Ⅰ）求证： AD⊥平面 PCD；
（Ⅱ）求平面 BPD与平面 PDC的夹角的余弦值；
（Ⅲ）若M 是棱 PA的中点，求证：对于棱 BC 上任意一点 F ，
D
MF 与 PC都不平行. C
17．解：（Ⅰ）因为平面 ABCD ⊥平面 PCD
A B
DA 平面 PCD， AD ⊥ DC
平面 ABCD 平面 PCD =CD 所以 AD⊥平面 PCD
（2）在平面 PCD中过点D作DH ⊥ DC，交 PC于H
因为平面 ABCD ⊥平面 PCD
DH 平面 PCD
平面 ABCD 平面 PCD =CD
所以DH ⊥平面 ABCD
因为 AD 平面 ABCD
所以 DH ⊥ AD
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又 AD ⊥ PC ，且 PC DH = H
所以 AD⊥平面 PCD
于是 AD ⊥CD
又DH ⊥CD，DH ⊥ AD
以 D为原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系
所以D(0,0,0),A(2,0,0),P(0, 1, 3),C(0,2,0),B(2,1,0) ，

因为 AD⊥平面 PCD，所以取平面 PCD的法向量为DA = (2,0,0)

设平面 PBD的法向量为 n = (x, y, z)

n DP = 0
因为DP = (0, 1, 3),DB = (2,1,0)，所以
n DB = 0
y + 3z = 0
所以
2x + y = 0

令 z = 2 ，则 y = 2 3, x = 3 ，所以 n = ( 3,2 3,2)
设平面 BPD与平面 PDC的夹角为

AD n 2 3 57
所以 cos = cos AD,n = = =
| AD || n | 2 19 19
（Ⅲ）
法一：
假设棱 BC上存在点 F ，使得MF PC ，显然 F 与点C 不同
所以 P,M ,F ,C 四点共面于
所以 FC ， PM
所以 B FC ， A PM
所以 就是点 A,B,C确定的平面，所以P
这与 P ABCD为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证
法二：
假设棱 BC上存在点 F ，使得MF PC
连接 AC，取其中点 N
在 PAC中，因为M ,N 分别为 PA,CA的中点，所以MN PC
因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合
所以点 F 在线段 AC上，所以 F 是 AC， BC的交点C ，即MF 就是MC
而MC与 PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证
法三：
假设棱 BC上存在点 F ，使得MF PC ，
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3 3
设 BF = BC，所以MF =MB + BF = (1, , ) + ( 2,1,0)
2 2

因为MF PC ，所以MF = PC = (0,3, 3)

1 2 = 0

3
所以有 + = 3 ，这个方程组无解
2
3
= 3
2
所以假设错误，即问题得证
(20)（本小题 15 分）
x2 y2
已知椭圆C : + =1(a b 0)经过 A1 2,0 和B (0, 3)两点，点 A2为椭圆 C的右顶点，点 P为椭
a2 b2
圆 C上位于第一象限的点，直线 PA1与 y轴交于点 M，直线 PB与 x轴交于点 N．
(1)求椭圆 C的方程及离心率；
(2)比较 MNA1的面积与△NA2B的面积的大小，并说明理由．
x2 y2 c 1
【答案】(1) + =1，离心率 e = = ；
4 3 a 2
(2)相等，理由见解析
【分析】（1）根据 a,b求椭圆方程，以及离心率；
（2）首先设点 P的坐标，再利用坐标分别表示两个三角形的面积，做差后，即可比较大小.
【详解】（1）由题意可知， a = 2,b = 3 ， c = a2 b2 =1，
x2 y2 c 1
所以椭圆方程为 + =1，离心率 e = = ；
4 3 a 2
（2）设P (x0 , y0 )
y0 2y0
直线 PA1 : y = (x + 2)，令 x = 0 ，得 yM = ，
x + 2 x0 + 20
y + 3 3x
直线 PB : y = 0 x 3，令 y = 0 ，得 x 0N = ，
x0 y0 + 3
1 3x 2y
所以 S 0 0 MNA = + 2 1 2 y0 + 3 x0 + 2
3x0 y= 0
2y
+ 0
( x + 2) ( y x + 20 0 + 3 ) 0
3x0 y0 + 2y0 ( y0 + 3 )
= ，
( x0 + 2)( y0 + 3 )
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1 3x 0 3xS 0 NBA = 2 3 = 3 2 2 y0 + 3 2( y0 + 3 )
2 3 ( y0 + 3 ) 3x0
=
2( y0 + 3 )
3x0 y0 + 2y0 ( y0 + 3 ) 2 3 ( y0 + 3 ) 3x0
S MNA S1 NBA = 2
( x0 + 2)( y0 + 3 ) 2( y0 + 3 )
4y2 2
= 0
+ 3x0 12 = 0
2( x0 + 2)( y0 + 3 )
所以 S MNA = SNBA 1 2
M +m
21. 记无穷数列{an}的前 n项中最大值为M n，最小值为mn，令b
n n
n = ．
2
（1）若an = 3
n 2n，写出b1，b2，b3 ，b4的值；
（2）求证：“数列{an}是等差数列”的充要条件是“数列{bn}是等差数列”；
（3）若 n N +， an 2025， bn = 2 ，求证：存在 N
+ n N b = b
0 N ，使得 0 ，有 n n+1．
n
【详解】解：（1） 因为an = 3 2n
2
，所以 a1 =1,a2 =1,a3 = 9,a4 = 49，
所以b1 =1,b2 =1,b3 = 5,b4 = 25，
（2）必要性：数列 a n 是等差数列，设其公差为 d .
当 d 0时 an 是递增数列；当 d = 0时 an 是常数列；当 d 0时， an 是递减数列；
a1 + an a1 + an a + a d都有bn = ,b
1 n 1
n+1 bn = = ，
2 2 2 2
所以数列 bn 是等差数列.
充分性：数列 bn 是等差数列，设其公差为 d *
M M m
则b b = n+1 n + n+1
mn *
n+1 n = d ，
2 2
由题意知，M n+1 M n ,mn+1 mn，
当 d * 0时，M *n+1 M n对任意 n N 都成立，
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即M n+1 = an+1 M n an，所以 an 是递增数列，
* M MM = a ,m = a ， d = n+1 n
m
+ n+1
mn a= n+1
an
n n n 1
2 2 2
所以 an 是公差为 2d *的等差数列，
当 d * 0时，mn+1 mn，进而mn+1 = an+1 mn an
所以 an 是递减数列，M n = a1,mn = an，
d *
M
= n+1
M n mn+1 mn a+ = n+1
an ，
2 2 2
所以 a 是公差为 2d *n 的等差数列
M n+1 M n m当 n+1
mn
d * = 0时， + = 0 ，
2 2
因为M n+1 M n与mn+1 mn中至少有一个为0 ，所以二者都为0 ，
进而得 an 为常数列，
综上，充分性成立.
（3）假设数列 bn 中，既有无数个 2，也有无数个-2，
记集合K = k | bk = 2,bk+1 = 2 ，则集合K 必为无限集，
从集合 K 中取 s个数，记为1 k1 k2 k3 ... ks ，
M k +mk M k +1 +mk +1
则对 1 i s，b i i ， i i k = = 2 bk +1 = = 2i 2 i 2
∵M ki +1 M k ,mk +1 mk ，且其中至少一个取等， i i i
∴M k +1 M k = 8,mi i k +1 = mi k ， i
∵ k Mi+1 ki +1， k Mi+1 k +1 i
∴M k M k M k M = 8， 2 1 1+1 k1
M k M M M = 8， 3 k2 k2+1 k2
……
M k M k M M = 8， s s 1 ks 1+1 ks 1
∴M k M k 8(s 1)， s 1
∴当 s→ 时，M k → ，与 M k 2025矛盾， s s
∴假设不成立，即数列 bn 中， 2 和-2 有一个为有限个，
+
∴存在 N0 N ，使得 n N0，有bn = bn+1.
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