第二十七章 相似检测提优卷 （含答案）2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似检测提优卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·连云港中考)如图的网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）.
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
2.(2024·东营垦利区模拟)如图,在△ABC 中,DE∥BC分别交AC,AB 于点 D,E,EF∥AC交BC 于点 F, 则DE 的长为( ).
B. C.2 D. 3
3.(2024·哈尔滨中考)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,点 E 在AB 上,EF∥AD 交CD 于点F,若AE:BE=1:2,DF=3,则FC 的长为( ).
A. 6 B. 3 C. 5 D. 9
4.(2024·河北邢台信都区期末)如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（ ）.
5.(2024·河南中考)如图,在 ABCD 中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC 的中点,EF∥AB交BC于点 F.若AB=4,则EF 的长为( ).
A. B.1 C. D. 2
6.(2023·浙江中考)如图,平面在直角坐标系中,△ABC 的三个顶点分别为A(1,2),B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2 的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是( ).
A. (2,4) B.(4,2) C.(6,4) D. (5,4)
7.(2023·南京中考)如图，不等臂跷跷板AB 的一端A 碰到地面时，另一端B 到地面的高度为60cm；当AB 的一端B 碰到地面时，另一端A 到地面的高度为90cm，则跷跷板AB 的支撑点O到地面的高度OH 是( ).
A. 36cm B. 40cm
C. 42cm D. 45cm
8.如图,在 ABCD中,F是AD上一点,CF 交BD 于点E,CF 的延长线交BA 的延长线于点G,EF=1,EC=3,则GF的长为( ).
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
9.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB 的中点.若点E 在边AC 上,且 则AE 的长为( ).
A. 1 B. 2
C. 1或 D. 1或2
10.(2024·德州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为D,AE 平分∠BAC,分别交BD,BC 于点F,E.若AB:BC=3:4,则BF:FD为( ).
A. 5:3 B.5:4 C. 4:3 D. 2:1
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.如图,直线AD,BC 交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则 的值为 .
12.(2024·盐城中考)两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 .
13.(2024·滨州中考)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边AB,AC 上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 .(写出一种情况即可)
14.如图,△ABO 的顶点坐标是A(2,6),B(3,1),O(0,0),以点O为位似中心,将△ABO 缩小为原来的 ,得到△A′B′O,则点A′的坐标为 .
15.(2024·重庆中考)如图,在△ABC 中,延长AC 至点D,使CD=CA,过点D 作DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC 于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= .
16.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点 F 处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点 E 处，然后沿着直线BF 后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD 于点F，AB⊥BD 于点 B,BF=6米，DF=2米，EF=0.5米,CD=1.7米,则这棵树的高度(AB的长)是 米.
17.(2024·成都中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD 是△ABC 的一条角平分线,E为AD 中点,连接BE.若BE=BC,CD=2,则BD= .
18.如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,点 P 在对角线BD上,过点 P 作MN⊥BD,交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交BD 于点E,连接EN,BM,DN.下列结论:①EM=EN;②四边形MBND 的面积不变;③当AM : MD=1 : 2时, ④BM+MN+ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)(2024·广州中考)如图,点E,F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
20.(6分)(2025·天津红桥区模拟)如图,线段AB,CD 相交于点E,若AE=10,CE=6,BE=5,DE=3.
(1)求证:AC∥DB;
(2)若 BD=CE,求 AC 的长.
21.(8分)(2024·安徽安庆二十校联考期末)如图，在平面直角坐标系中，给出了格点 (顶点均在正方形网格的格点上)，已知点 A 的坐标为(2，3).
(1)画出 关于y轴对称的
(2)以点 O 为位似中心，在给定的网格中画出. 使 与 位似，并且点 的坐标为(4,-6);
(3)仅用无刻度直尺作出 的中线AD，保留作图痕迹.
22.(8分) (2025·北京东城区文汇中学期中)如图是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度AB，有以下两种方案：
方案一：如图(1)，在距离旗杆底B点30m远的D 处竖立一根高2m 的标杆CD，小丽在 F 处站立，她的眼睛所在位置E、标杆的顶端C 和塔顶点A 三点在一条直线上.已知小丽的眼睛到地面的距离 ,点 F,D,B在同一直线上.
方案二：如图(2)，小颖拿着一根长为16cm的木棒CD 站在离旗杆30m的地方(即点E 到AB 的距离为 30m).她把手臂向前伸，木棒竖直， ，当木棒两端恰好遮住旗杆(即E，C，A在一条直线上,E,D,B 在一条直线上),已知点 E 到木棒CD 的距离为40cm.
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度AB.
23.(8分)(2024·上海中考)如图所示,在矩形ABCD 中,E 为边CD 上一点,且
(1)求证:
(2)F为线段AE 延长线上一点，且满足 求证:CE=AD.
24.(8分)(2024·无锡中考)如图,在△ABC 中,点D 在AC上,连接BD,以BD 为直径作⊙O,⊙O 经过点A,与BC 交于点E,且
(1)若 求∠AEC 的度数;
(2)若AB=6,AD=3,求CE 的长.
25.(10分)(2025·福建泉州鲤城区期中)已知在△ABC中,∠ABC=2∠C,BG平分∠ABC,AB=8 点D,E分别是边 BC,AC上的点(点D 不与点B,C 重合),且∠ADE=∠ABC,AD,BG相交于点 F.
(1)求 BC 的长;
(2)如图，如果BF=2CE,求BF:GF的值；
(3)如果 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 的长.
26.(12分)
(1)如图(1),点A,B在直线l上,AC⊥l,DB⊥l,垂足分别为A,B,点 P 在线段AB 上,且PC⊥PD,垂足为 P.结论:AC·BD=AP·BP.(请将下列证明过程补充完整)
证明:∵AC⊥l,BD⊥l,PC⊥PD,
∴∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°,
∴∠C+∠APC=90°, +∠APC=90°,
∴ = ，(同角的余角相等)
(两角分别相等的两个三角形相似)
∴ = ，(相似三角形的对应边成比例)
即AC·BD=AP·BP.
[建构模型]
(2)如图(2),点A,B 在直线l上,点 P 在线段AB上,且∠CAP=∠DBP=∠CPD.结论AC·BD=AP·BP 仍成立吗 请说明理由.
[解决问题]
(3)如图(3),在△ABC中,AC=BC=5,AB=8,点P 和点D 分别是线段AB,BC上的动点,始终满足∠CPD=∠A.设AP 长为x(01. D 2. A
3. A [解析]∵在四边形ABCD 中,AD∥BC,EF∥AD,∴AD∥EF∥BC,∴AEB=FE,C,即 解得FC=6.故选 A.
4. A[解析]设放大后的宽是 xcm，∵放大前后的两个矩形相似,∴5:10=3:x,∴x=6,∴放大后的宽是6cm,放大后的矩形的面积=10×6=60(cm ).故选 A.
5. B [解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴OC= AC.∵点E 为OC 的中点, ∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴FB=CE,即 ∴EF=1.故选 B.
6. C [解析]∵△ABC 与△A'B'C'位似,△A'B'C'与△ABC的位似比为2:1,∴△ABC 与△A'B'C'的相似比为1:2.∵点C的坐标为(3,2),∴点C'的坐标为(3×2,2×2),即(6,4).故选C.
7. A [解析]如图(1),过点 B 作BC⊥AH,垂足为C.∵OH⊥AC,BC⊥AC,∴∠AHO=∠ACB=90°.∵∠BAC= 如图(2),过点A 作AD⊥BH,垂足为D.∵OH⊥BD,AD⊥BD,∴∠OHB=∠ADB=90°.∵∠ABD=∠OBH, 解得OH=36,∴跷跷板AB 的支撑点O 到地面的高度OH 是36 cm.故选 A.
8. C [解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC.∵AD∥BC,∴△DEF∽△BEC, ! 故选 C.
9. D [解析]在△ABC 中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,∴AC=2BC=4,AB=2 ,∠C=60°.∵点D 是AB 的中点， 如图(1),当∠ADE=90°时, 如图(2),当 时,取AC 的中点H,连接DH.∵点D 是AB的中点，点H 是AC 的中点， 1,∴∠AHD=∠C=60°,DH=DE=1,∴∠DEH=60°,∴∠ADE=∠A=30°,∴AE=DE=1.故选D.
思路引导由直角三角形的性质，可求得AC=2BC=4， ，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质即可求解.
10. A [解析]∵AB:BC=3:4,∴设AB=3x,BC= AC,∴∠ADB =∠ABC=90°. 又∠BAD =∠CAB, x.∵AE平分∠BAC,
∴∠BAF=∠DAF,∴∠AEB=∠AFD.
→等角的余角相等
∵∠AFD=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF.
∵∠ABE=∠ADF=90°,∠BAE=∠DAF,
故选 A.
一题多解∵AB: BC=3:4,∴设AB=3x,BC= AC,∴∠ADB =∠ABC = 90°. ∵∠BAD =∠CAB, x,如图,过点 F 作 FH⊥AB 于点 H,同理可得△BHF∽△BDA,∴HF=ADB.∵AE 是∠BAC 的平分线,FD⊥AC,∴FH=FD,∴BF=AB/=
11.32[解析]∵AO=2,OF=1,∴AF=AO+OF=2+1=3.∵AB∥EF∥CD,∴BE=AFFD=
12.1:2 13.∠ADE=∠C(答案不唯一)
14.( ,2) 或 [解析]∵以原点O 为位似中心，把△ABO缩小为原来的 ,可以得到△A'B'O,点A的坐标为(2，6)，∴点A'的坐标是 或 ,即( ,2)或(
15.3 [解析]∵CD=CA,DE∥CB,∴CF 是△ADE的中位线,∴AF=EF,DE=2CF=2.∵DE=DC,∴AC=2CF=2.∵∠CAB=∠CFA,∠ACF=∠ACB,∴△CAF∽△CBA,∴AC: BC=CF:AC,∴2: BC=1:2,∴BC=4,∴BF=BC-FC=3.
16.4.1 [解析]如图,过点 E 作水平线交AB 于点G,交CD于点 H.∵DB 是水平线,CD,EF,AB 都是铅垂线,∴DH=EF=GB=0.5米,EH=DF=2米,EG=FB=6米,∴CH=CD-DH=1.7-0.5=1.2(米).根据题意，得∠CHE = ∠AGE = 90°,∠CEH = ∠AEG,∴△CHE∽△AGE,∴ 即 解得 AG=3.6米,∴AB=AG+GB=3.6+0.5=4.1(米).
[解析]连接CE,过点 E 作EF⊥BC于点F,如图,设BD=x,则BC=BD+CD=x+2.∵∠ACB=90°,E 为 AD 的中点, ∴∠CAE =∠ACE,∠ECD =∠EDC,∴∠CED =2∠CAD.∵BE=BC,∴∠ECD=∠BEC,∴∠BEC=∠EDC.∵∠ECD=∠BCE,∴△ECD∽△BCE,
∴BC=CD ,∠CED =∠CBE,∴CE = CD·BC =2(x+2)=2x+4.∵AD 平分∠CAB,∴∠CAB=2∠CAD,∴∠CAB=∠CED,∴∠CAB=∠CBE.∵∠ACB=90°=∠BFE,∴△ABC∽△BEF,∴ACB=BCBF.∵CE=DE,
又E 为AD 中点,∴AC=2EF,
→由三角形中位线的性质可得
解得x= 或 (负值，舍去)，
18.②③④[解析]①∵MN⊥BD,要使EM=EN,需要MP=NP,而 P 不一定是MN 的中点,故①错误;②如图(1),延长ME 交BC 于点F,在矩形ABCD 中,由勾股定理,得 BD = 10.∵ME⊥AD,MN⊥BD,∴∠EMN +∠DMN=∠DMN+∠ADB=90°,
∴∠EMN=∠ADB.易知∠MFN=∠A=90°,
∴△MFN∽△DAB,∴MFA=FNA=MN,F即 ,解得 MN =7.5,∴四边形 MBND 的面积为 故②正确；③易知AB∥ME,∴△ABD∽△MED,∴MAB=MDAD又AM:
∵∠ADB=∠EMN,∠MPB=∠A=90°,
故③正确；
④∵BM+MN+ND=BM+ND+7.5,∴当BM+ND的值最小时,BM+MN+ND 的值最小.分别作点 B,D关于AD,BC 的对称点B',D',如图(2),再把CD'平移到图(3)的C'D'处,
使得CD'=4.5,
连接B'D',则 B'D'就是 BM+ND 的最小值,∴ ,即 BM+MN+ND 的最小值是12.5+7.5=20,故④正确.
19.∵BE=3,EC=6,CF=2,
∴BC=3+6=9.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°.
20.(1)∵AE=10,CE=6,BE=5,DE=3,
又∠AEC=∠BED,∴△AEC∽△BED,∴∠A=∠B,∴AC∥DB.
∵CE=6,BD=CE,∴BD=6,∴AC=12.
21.(1)如图(1),△A B C 即为所求.
(2)如图(1),△A B C 即为所求.
(3)如图(2),AD 即为所求.
22.若选择方案一：
如图(1),过点 E 作EH⊥AB,垂足为 H,交CD 于点G.
由题意,得 EH⊥CD,EF=
DG=BH=1.5m,
FD=EG=1.5 m,EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5(m),
∴CG=CD-DG=2-1.5=0.5(m),∠CGE = ∠AHE=90°.
∵∠CEG=∠AEH,
∴△CEG∽△AEH,
即
∴AB=AH+BH=10.5+1.5=12(m),
故旗杆的高度 AB 为12m;
若选择方案二：
如图(2),过点E作EH⊥AB,垂足为H,交CD 于点G,则∠AHE=90°.
∵CD∥AB,
∴∠CGE=∠AHE=90°,
∴EH⊥CD,由题意,得 CD= 16 cm=
0.16m,EG=40cm=0.4m,EH=30m.
∵CD∥AB,∴△ECD∽△EAB,
即
故旗杆的高度AB 为12m.
23.(1)∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC,
∴∠ABD+∠ADB=90°.
∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=90°,
∴∠ABD=∠DAE.
又∠BAD=∠ADE=90°,
(2)连接AC,交 BD 于点O,如图.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠ADE=90°,OA=OD=EF=CF= BD,
∴∠DAE +∠AED =90°,∠ADO =∠OAD,∠FEC=∠FCE.
∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=90°,
∴∠ADB=∠AED.
∵∠FEC=∠AED,∴∠ADO=∠FEC.
∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE,在△ODA 和△FEC中.
∴△ODA≌△FEC(AAS),∴CE=AD.
24.(1)∵BD为直径,∴∠BAD=90°.
∵∠C=40°,∴∠ABC=90°-40°=50°.
∴∠AEB=∠ADB=65°,
∴∠AEC=115°.
(2)如图,连接DE.
∵BD 为⊙O的直径,.
∴BE=AB=6,∠CED=180°-90°=90°,
∴∠CED=∠CAB.
∵∠C=∠C,∴△CED∽△CAB,
设CE=x,CD=y,则
25.(1)∵∠ABC=2∠C,BG平分∠ABC,
∴∠ABG=∠GBC=∠C,∴BG=CG.
∵∠BAG=∠CAB,∴△ABG∽△ACB,
(2)由(1)知,△ABG∽△ACB,∴∠AGB=∠ABC.
∵∠ADE=∠ABC,∴∠AGB=∠ADE.
∵∠FAG=∠DAE,∴∠AFG=∠AED.
∵∠AFG+∠AFB=180°,∠AED+∠CED=180°,
∴∠AFB=∠CED.
又∠ABG=∠C,∴△ABF∽△DCE,
∴∠DC=BFCE=2,∴CD=4,∴BD=BC-CD=6.
过点G 作HG∥BC交AD 于点 H,如图,
同理，
(3)∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠AGB,∴DE∥BG,
∴∠AFG=∠AGF,∴AF=AG.
∵∠ABC=2∠C,∴∠AED=2∠C,∴∠EDC=∠C,
∴CE=DE.
由(2)知,△ABF∽△DCE,∴AF=BF,
∴GF=BG-BF=CG-AG=
同理，
当AD=DE时,作CE 中垂线交BC 于点 H,则CH=EH,∴∠C=∠HEC,
∴∠EHD=2∠C=∠ABD.
又∠BAD=180°-(∠ABD+∠ADB),∠EDH=180°-(∠ADB+∠ADE),且∠ABD=∠ADE,
∴∠BAD=∠EDH,
∴△ABD≌△DHE,
∴AB=DH=8,
综上，BD 的长为 或1.
26.(1)∠DPB ∠C ∠DPB △BDP AC BP BD
(2)成立，理由如下：
∵∠C+∠CPA=180°-∠CAP,∠CPA+∠BPD=180°-∠CPD,∠CAP=∠CPD,
∴∠C=∠BPD.
∵∠CAP=∠DBP,
∴△APC≌△BDP,
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的对应边成比例
∴AC·BD=AP·BP.
[解析]∵AB=8,AP=x,∴BP=AB-AP=8-x.∵AC=BC=5,∴∠A=∠B.∵∠CPD+
32
∠BPD=∠A+∠ACP,∴∠BPD=∠ACP, 当x=4时，BD有最大值为