第二十八章 锐角三角函数 检测提优卷（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 检测提优卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·云南中考)如图,在△ABC 中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tanA=( ).
A. B. C. D.
2.(2024·江苏常州溧阳期末)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,如果 那么 cosA 的值是( ).
A. B. C. D.
3.(2024·临夏州中考)如图,在△ABC 中, 则 BC 的长是( ).
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
4.(2024·河南商丘夏邑期末)已知实数a=tan30°,b=cos60°,c=sin45°,则下列判断正确的是( ).
A. b>a>c B. c>a>b
C. b>c>a D. a>c>b
5.新情境发射火箭(2024·长春中考改编)2024年5月29 日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.如图，当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL 为（ ）.
A. asinθ千米 千米 C. acosθ千米 千米
6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,则cosA的值为( ).
A. B. C. D.
7.传统文化赵爽弦图(2024·资阳中考)第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标如图(1)所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图(2)所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形 EFGH 拼成的大正方形ABCD.若EF:AH=1:3,则 sin∠ABE=( ).
B. C.
8.(2024·浙江杭州拱墅区期末)如图，一个钟摆的摆长OA 的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角∠AOB 为2x,点C 是 的中点,OC与AB交于点D,则CD 的长为( ).
C. a(1-sinx) D. a(1-cosx)
9.如图，从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为 30°，看这栋楼底部 C 的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）.
10.(2024·雅安中考)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD 的高度(如图)，他们在A 处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至 B 处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)（ ）.
米 B. 25 米 米 D. 50米
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·江苏泰州姜堰区期末)若锐角α满足2sinα=1,则α= °.
12.(2025·上海松江区一模)已知一个斜坡的坡度i=1：1，那么该斜坡的坡度为 度.
13.(2024·哈尔滨中考)△ABC 是直角三角形,AB=2 ,∠ABC=30°,则AC 的长为 .
14.学过三角函数之后，小明同学明白了梯子(长度不变)的倾斜程度和∠BAC 的三角函数值有关.如图，请你用∠BAC 的正弦(或余弦、正切)的大小来描述梯子的倾斜程度： .
15.如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC= .
16.(2024·深圳中考)如图,在△ABC 中, D 为BC 上一点，若满足 过点 D 作DE⊥AD 交AC 延长线于点E,则
17.“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务.如图，当“神舟”十四号运行到地球表面点 P 的正上方的点 F 处时，从点 F 能直接看到的地球表面最远的点记为Q 点，已知PF= 则圆心角∠POQ 所对的弧长约为 km.(结果保留π)
18.(2024·湖南中考)如图，图(1)为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具———“碓(duì)”的结构简图，图(2)为其平面示意图.已知 于点 B，AB与水平线l相交于点O， 若BC=4分米，(OB=12分米， ，则点 C 到水平线l的距离CF 为 分米(结果用含根号的式子表示).
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)(2024·安徽合肥肥东期末)计算:
20.(6分)(2025·浙江杭州期中)如图,彩旗旗杆AB用AC,AD 两根钢丝固定在地面上,点A,B,C,D在同一平面内，
(1)求旗杆AB部分的长；
(2)求钢丝的总长度.(结果保留根号)
21.(8分)(2024·安徽滁州期末)如图,在 中，AB=AC=4,BC=6.
(1)求 sin B 的值;
(2)延长 BC 至点D,使得 求CD的长.
22.(8分)(2024·浙江中考)如图,在 中， ,AE 是 BC 边上的中线,AB=10,AD=6,
(1)求 BC 的长;
(2)求 的值.
23.(8分 )无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度 BC，无人机在空中点 P 处，测得点 P 距地面上A 点80米，点A 处的俯角为( 楼顶C点处的俯角为 已知点A 与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号).
24.(8分)(2024·广东中考)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形 PQMN 充电站的平面示意图，矩形 ABCD 是其中一个停车位.经测量， CD，GH 是另一个车位的宽，所有车位的长、宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1m，参考数据：
(1)求 PQ 的长;
(2)该充电站有20个停车位，求PN 的长.
25.(10分)(2023·绍兴中考)图(1)是某款篮球架,图(2)是其示意图,立柱OA 垂直于地面OB,支架CD与OA 交于点A，支架 交OA 于点G，支架DE 平行于地面OB，篮筐EF 与支架DE 在同一直线上，OA=2.5米，AD=0.8米，
(1)求 的度数.
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗 请通过计算说明理由.(参考数据：
26.(12分)(2024·河北中考)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 P 恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离.BQ=4m,，仰角为α；淇淇向前走了3m 后到达点 D，透过点 P 恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面 BQ 的距离AB=CD=1.6m,点 P 到BQ 的距离.PQ=2.6m,AC 的延长线交PQ 于点E.(注：图中所有点均在同一平面)
(1)求β的大小及 tanα的值;
(2)求CP 的长及 的值.
1. C [解析]∵在△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4, 故选C.
2. C
3. B [解析]如图,过点 A 作BC 的垂线,垂足为 M,在Rt△ABM 中, .又AB=AC,∴BC=2BM=6.故选 B.
4. B
5. A [解析]在 Rt△ALR 中,AR=a,∠ARL=θ,∴sinθ=ALAR,∴AL=AR·sinθ=asinθ(千米).故选A.
6. C [解析]在△ABC中,∵a=6,b=8,c=10,a +b =6 +8 =36+64=100,c =100,∴a +b =c ,∴△ABC是直角三角形， 故选C.
7. C [解析]根据题意,设EF=x,则AH=3x,∵△ABE≌△DAH,四边形 EFGH 为正方形,∴AH=BE=3x,EF= HE=x,∴AE=4x.∵∠AEB =90°,∴AB = 故选 C.
思路引导由线段的比,可设EF=x,则AH=3x,根据全等三角形、正方形的性质，可得AE=4x，根据勾股定理，可得AB=5x，最后根据正弦的定义可求出sin∠ABE 的值.
8. D [解析]∵点C是AB的中点，
∴OD⊥AB,∴OD=OA·cos∠AOC= acosx,
∴CD=OC-OD=a-acosx=a(1-cosx).故选 D.
思路引导由点 C 是AB 的中点,∠AOB 为 2x,可得∠AOC 的度数，已知OA 的长为a，用余弦的定义可表示OD,再由CD=OC-OD,可得CD的长.
B [解析]如图,过点 A 作AD⊥BC,垂足为 D.由题意,得AD=120m.在 Rt△ABD 中,
∠BAD=
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,
∴这栋楼的高度为160 m.故选B.
10. A [解析]设DC=x 米,在 Rt△ACD 中,∠A=30°, 即 整理，得. 米.在Rt△BCD 中,∠DBC=60°,tan∠DBC=DC,即 整理得 米,∵AB=50米,∴AC-BC=50,即 解得 ∴这栋楼的高度为25 米.故选 A.
11.30 [解析]∵
12.45 [解析]设坡角为α,则tanα=1:1=1,∴α=45度.
13.2或 [解析]若∠A=90°,则 若∠C=90°,则
易错警示 由于没有指明哪个角是直角，需分情况讨论，否则易出错.
14.∠BAC的正弦值越大,梯子越陡 [解析]∵∠ACB= AB 为定值,∴BC 越大,梯子越陡，即∠BAC的正弦值越大，梯子越陡.
15 [解析]如图，连接AC.由勾股定理，得 ，则 AC =AB ,∴△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°,
16. [解析]如图,过点 A 作AH⊥CB 于点H,作CM⊥AD于点M. ∴设BD=8a,CD=5a,∴BC = AB = BD +CD =13a.∵tan∠B = ∴AH=5a,BH=12a,∴DH=BH-BD=4a,CH=a,在 Rt△ACH中, ,在 Rt△ADH中， ∴MC∥DE,∴△AMC∽△ADE,∴CE=DM=.
[解析]设O P=OQ=r km.由题意,得F Q是⊙O的切线，
的长为
18.(6-2 ) [解析]如图，延长DC 交水平线l于点H，连接OC,∵在 Rt△OBH 中, OB=12分米, (分米),OH= 8(分米).
分米.
∵AB⊥CD,∴∠ABC=∠ABD=90°,
∴AB=BC·tan∠ACB=2,
∴旗杆AB 部分的长为2.
(2)∵∠ABC=90°,AB=2,BC=2,
∵∠ABD=90°,∴AD=2AB=4,
∴钢丝的总长度
21.(1)如图,过点 A 作AM⊥BC,垂足为 M.
∵AB=AC,BC=6,∴BM=CM=3.
在 Rt△ABM中,
(2)在 Rt△ADM中,
22.(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6,
∴BC=BD+CD=8+6=14.
(2)∵AE 是BC 边上的中线,
∴DE=CE-CD=7-6=1.
∵AD⊥BC,
23.如图所示,过点 P 作 PH⊥AB于点H,过点C作CQ⊥PH 于点Q,∵CB⊥AB,
∴四边形CQHB 是矩形,
∴QH=BC,BH=CQ.
由题意,得AP=80米,
∠PAH = 60°,∠PCQ=30°,
AB=70米,
(米),AH= (米),
(米),
米，
(米),
∴大楼的高度 BC 为30 米.
24.(1)∵四边形 PQMN 是矩形,∴∠Q=∠P=90°.在Rt△ABQ中,∠ABQ=60°,AB=5.4m,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
∴∠CBE=30°,
(2)在 Rt△BCE 中,
在Rt△ABQ中,BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m.
∵该充电站有20个停车位，
∴QM=QB+20BE=66.7m.
∵四边形 PQMN 是矩形,
∴PN=QM=66.7m.
25.(1)∵CG⊥CD,∴∠ACG=90°.
∵∠AGC=32°,
∴∠GAC 的度数为58°.
(2)该运动员能挂上篮网.理由如下：如图,延长OA,ED交于点M.
∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°.
∵DE∥OB,
∴∠DMA=∠AOB=90°.
∵∠GAC=58°,
∴∠DAM=∠GAC=58°,
在Rt△ADM中,AD=0.8米,
0.53=0.424(米),
∴OM=OA+AM=2.5+0.424=2.924(米).
∵2.924米<3米,
∴该运动员能挂上篮网.
26.(1)由题意,可得 PQ⊥AE,PQ=2.6m ,AB=CD=EQ=1.6m,AE=BQ=4m,AC=BD=3m,
∴CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP=90°,∴CE=PE,∴tan∠PCE=PEC=1,
∴β=∠PCE=45°,tanα=tan∠PAE=PEE=
(2)∵CE=PE=1m,∠CEP=90°,
如图,过点C作CH⊥AP 于点H,
设CH= xm,则AH=
(负值舍去)，