2025-2026学年人教版九年级数学下册期末提优测评卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教版九年级数学下册期末提优测评卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 323.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 00:00:00 | ||
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文档简介
期末提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10 小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·青岛中考)如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ）.
2.(2025·河北石家庄桥西区期中改编)在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA等于( ).
A. B. C. D.
3.(2024·广州中考)函数 与 的图象如图所示，若y ，y 均随着x 的增大而减小，则x的取值范围为（ ）.
A. x<-1 B. - 11
4.(2024·山东青岛李沧区期末)在△ABC 中, 则△ABC 的形状( ).
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定
5.(2024·攀枝花中考)如图,△ABC 与△DEF 是位似图形,点O 为位似中心.已知OA :AD=2:1,则△ABC 与△DEF 的相似比为( ).
A. 2:3 B. 1:3 C. 2:1 D. 3:2
6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）.
A. 12π B. 15π C. 18π D. 24π
7.(2024·自贡中考)一次函数y=x-2n+4,二次函数 反比例函数 在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）.
A. n>-1 B. n>2 C. - 18.如图,A,B,C,D是⊙O上的点,AB=AD,AC与BD 交于点E, ⊙O的半径为( ).
A. 6 C. 5
9.((2023·衢州中考)如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC= a,AB=b,AB 的最大仰角为α.当∠C=45°时,则点A 到桌面的最大高度是( ).
C. a+bcosα D. a+bsinα
10.(2024·南通中考)在△ABC中,. 垂足为 H，D 是线段HC 上的动点(不与点 H，C重合)，将线段DH 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE.两位同学经过深入研究，小明发现：当点 E 落在边AC 上时，点D 为HC 的中点；小丽发现：连接AE，当AE 的长最小时， 请对两位同学的发现作出评判（ ）.
A.小明正确，小丽错误 B.小明错误，小丽正确
C.小明、小丽都正确 D.小明、小丽都错误
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.(2023·南通中考)某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力 F 为 N.
12. (2024·西宁中考)阅读相关资料：①如图(1)，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬37°;③如图(2),赤道半径OA 约为6400千米,弦BC∥OA,以BC 为直径的圆的周长就是北纬37°纬线的长度，根据以上信息，北纬3 纬线的长度约为 千米.(参考数据：
13.如图，已知点A(3，3)，B(3，1)，反比例函数 图象的一支与线段AB 有交点，写出一个符合条件的k 的整数值 .
14.(2024·四川宜宾期末)如图, 于点A，若 则 AD 的长为 .
15.(2024·宜宾中考)如图，正五边形 ABCDE 的边长为4，则这个正五边形的对角线AC 的长是 .
16.(2024·无锡中考)如图，平地上一幢建筑物AB 与铁塔CD 相距m米，在建筑物的顶部A 观测塔顶C的仰角为α，塔底D 的俯角为β，则铁塔的高度为 米.(用含m，α，β的式子表示)
17.(2024·眉山中考)如图,菱形ABCD 的边长为6,∠BAD=120°,过点 D 作DE⊥BC,交 BC 的延长线于点E,连接AE 分别交BD,CD 于点F,G,则 FG的长为 .
18.如图(1),在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB 上一点,且AD=2,过点D 作DE∥BC 交AC 于点E,将△ADE 绕点A 顺时针旋转到图(2)的位置.则图(2)中 的值为 .
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)(2024·广东肇庆怀集期末)如图,在△ACD 中,∠C=90°,∠A=15°,点 B 在边AC上,且AB=BD=2.
(1)求 BC 的长;
(2)求 tan∠CAD 的值.
20.(6分)(2024·德阳中考)如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,对角线 AC 与BD 相交于点O,点 F为BC的中点，连接AF与BD 相交于点E，连接CE 并延长交AB 于点G.
证明:(1)△BEF∽△BCO;
(2)△BEG≌△AEG.
21.(8分)(2024·西藏中考)如图,一次函数.y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 的图象相交于A(-3,1),B(-1,n)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足 的x取值范围.
22.(8分)(2024·湖南中考)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如图.
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点 E 作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得 EF 的长为4米； ③在点 F 处用测角仪测得 ④用计算器计算得 si °
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：
(1)求线段CE 和BC的长度;
(2)求底座的底面ABCD 的面积.
23.(8分)(2024·淄博中考)如图,一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A(m,4),B 两点,与x,y轴分别相交于点C,D.且tan∠ACO=2.
(1)分别求这两个函数的解析式；
(2)以点 D 为圆心，线段 DB 的长为半径作弧与x 轴正半轴相交于点E，连接AE,BE.求△ABE 的面积;
(3)根据函数的图象直接写出关于x 的不等式 的解集.
24.(8分 )(2023·济南中考)图(1)是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知AB=1m,BC=0.6m,∠ABC=123°,该车的高度AO=1.7m.如图(2),打开后备箱,车后盖ABC 落在AB'C'处,AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°.
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点 B'到地面l的距离.(结果精确到0.01m)
(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险 请说明理由.(结果精确到0.01m，参考数据：
25.(10分)如图,在] 中， 点D 在边AC 上，将线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转( 得到DA',线段DA'交AB 于点E,作 于点F，与线段AC 交于点G，连接FC，GB.
(1)求证:
(2)求证:
(3)若 当A'G平分四边形DCBE 的面积时，求AD 的长.
26.(12分)如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别是边AD,AB上的点,连接CE,EF,CF.
(1)若正方形ABCD 的边长为2,E 是AD的中点.
①如图(1),当 时，求证：
②如图(2),当 时,求AF 的长.
(2)如图(3),延长CF,DA 交于点G,当 时，求证：AAE=AF.
1. C
2. A [解析]∵AB=5,BC=3,∴AC= -3 =4, 故选 A.
3. D [解析]根据二次函数图象，当x>1时，y 随着x的增大而减小，同样当x>1时，反比例函数y 随着x的增大而减小.故选 D.
4. A [解析]
∴∠A=45°,∠B=60°,
则△ABC 的形状是锐角三角形.故选 A.
5. A [解析]: △ABC 与△DEF 是位似图形，点O 为位似中，心， .故选A.
6. B [解析]由三视图可知此几何体为圆锥.∵d=6,h=4,∴圆锥的母线长为 ∴圆锥的侧面积为 故选B.
7. C[解析]根据题意，得 解得-18. A [解析]连接DC,AO,OD,AO交BD 于点 H.∵AB=AD,∴∠ADE=∠ACD,∴△ADE∽△ACD, 即 解得AD=2 .∵AB=AD,即A 是BD 的中点,∴AO⊥BD,BH=DH =2 .在Rt△ADH 中, ∴OH=OD-2.在 Rt△ODH 中,( 解得OD=6.故选 A.
9. D [解析]过点 A 作AF⊥BE于点F,过点 B 作BG⊥CD于点 G,当∠ABF 最大为α时,在 Rt△ABF 中,AF=AB·sinα=bsinα,在 Rt△BCG 中, ∴.点A 到桌面的最大高度=BG+AF=a+bsinα.故选 D.
10. C [解析]∵将线段 DH 绕点 D 顺时针旋转2α得到线段DE,∴DH=DE,∠HDE=2α.
当点 E 落在边AC 上时,如图(1).
∵∠HDE=∠C+∠CED,∠C=α,
∴∠CED=α=∠C,∴DE=CD,∴DH=CD,
∴D 为CH 的中点.故小明的说法是正确的；如图(2),连接AE,HE,
∵DH=DE,∠HDE=2α,
∵AH⊥BC,
∴∠AHB=∠AHD=90°,
∴∠AHE=∠AHD-∠DHE=α,
∴点E 在射线HE 上运动，
∴当AE⊥HE 时,AE 的长最小,此时∠AEH=∠AHB=90°.
又∠B=∠C=α=∠AHE,
∴△AEH∽△AHB,AE=AH,
，故小丽的说法正确.故选C.
归纳总结 本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意正确地作图，确定点E的轨迹，是解题的关键.
11.2500 [解析]设功率为 P,由题可知 P= Fv,1即 将F=3750N,v=20m/s代入,可得P=75000,即反比例函数为
当v=30m/s时,
12.30720 [解析]过点O作OD⊥BC于点D,如图.
∵BC∥OA,∠AOB=37°,
∴∠CBO=∠AOB=37°.
在 Rt△OBD中,OB=6400千米,
5120(千米),
∴BC=2BD=2×5120=10240(千米),
∴以BC 为直径的圆的周长为 BC·π=10 240π≈10240×3=30720(千米).
∴北纬37°纬线的长度约为30720千米.
13.4(答案不唯一)[解析]由题图可知k>0.∵反比例函数 的图象的一支与线段AB 有交点，且点A(3,3),B(3,1),∴把B(3,1)代入 得k=3,把A(3,3)代入 得k=3×3=9,∴满足条件的k的值的范围是3≤k≤9的整数，故k=4(答案不唯一).
14.24[解析]在 Rt△ABC 中,因为 BC=6,AC=8,所以 在 Rt△ABD 中, 则
所以BD=26,所以AD=24.
可由勾股定理求得
[解析]连接BE交 AC于点O,如图.
∵五边形 ABCDE 是正五边形,
∴∠CBA=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°,BC=AB=AE,∴∠BCA=∠BAC=∠ABE=∠AEB=(180°-
∴∠CBO=∠ABC-∠ABE=
∴∠BOC=180°-∠CBO-∠BCA=180°-72°-36°=72°,
∴∠CBO=∠BOC=72°,
∴CO=BC=4.
∵∠BAO=∠CAB,∠ABO=∠BCA=36°,
∴△ABO∽△ACB,
即
解得 或 (舍去),经检验， 符合题意.
16.(mtanα+mtanβ) [解析]如图,过点A 作AE⊥CD,垂足为E,则∠AEC=∠AED=90°,AE=m米,在Rt△AEC中,CE=AE·tanα=mtanα(米),在Rt△AED中,DE=AE·tanβ=mtanβ(米),∴CD=CE+DE=(mtanα+mtanβ)米,即铁塔的高度为(mtanα+mtanβ)米.
[解析]∵菱形ABCD的边长为6,∠BAD=120°,
∴AD=BC=CD=6,AD∥BC,∠BCD=120°,
∴∠DCE=60°.
∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.
在 Rt△DCE 中,∵. ,
∴BE=BC+CE=9.
∵AD∥BE,∴∠ADE=180°-∠DEC=90°.
在 Rt△ADE 中,由勾股定理,得
∵AD∥BE,∴△AFD∽△EFB,
∵AD∥CE,∴△AGD∽△EGC,
归纳总结 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解题的关键.
18. [解析]∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∴△ADE∽△ABC,∴AB=AEAC.∵将△ADE 绕A 点顺时针旋转到题图(2)的位置,∴∠DAB=∠EAC,
19.(1)∵AB=BD=2,∴∠A=∠ADB=15°,
∴∠DBC=∠A+∠ADB=30°.
在 Rt△DBC 中,由勾股定理,得
20.(1)∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD.
又∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形,∴AB=AC.
∵点 F 为BC 的中点,
∴AF⊥BC,∴∠BOC=∠BFE=90°.
又∠EBF=∠CBO,
∴△BEF∽△BCO.
(2)∵BO⊥AC,AF⊥BC,
∴CG⊥AB,∴∠BGE=∠AGE.
又AC=BC,∴BG=AG.
在△BEG 和△AEG中,
∴△BEG≌△AEG(SAS).
21.(1)∵A(-3,1),B(-1,n)两点都在反比例函数图象上,∴n=3,a=-3,
∴反比例函数的解析式为
∵A(-3,1),B(-1,3)两点都在一次函数y= kx+b图象上，
解得
∴一次函数的解析式为y=x+4.
(2)根据函数图象及交点坐标可知，满足不等式 kx+b>ax的x取值范围为-30.
22.(1)∵GH⊥CE,EF 的长为4米,∠CFG=60.3°,
∴CE=7米.
∵∠BFG=45°,∴BE=EF=4米,
∴CB=CE-BE=3(米).
(2)过点A 作AM⊥GH 于点M,如图.
∵∠AFG=21.8°,
∵AM=BE=4米,∴MF=10米,
∴AB=ME=10-4=6(米),
∴底座的底面ABCD 的面积为3×6=18(平方米).
23.(1)由题意,得点 D 的坐标为(0,2), 把(C(-1,0)代入 得 ∴一次函数的解析式为 y=2x+2.过点A 作AM⊥x轴.
∵AM=4,∴CM=2,∴OM=1,∴点A 的坐标为(1,4),把A(1,4)代入 得
∴反比例函数的解析式为
(2)联立y=2x+2和 得
∴x=-2或x=1,
∴点 B 的坐标为(-2,-2),
利用两点距离公式求得
如图，连接DE，则
∴点E 的坐标为(4,0),CE=OC+OE=5.
∴△ABE 的面积
(3)观察图象,可知当-21时,k x+2> 即
24.(1)如图(1),过点 B'作B'E⊥AD,垂足为 E.
在Rt△AB'E中,∵∠B'AD=27°,AB'=AB=1m,
∴B'E=AB'·sin27°≈1×0.454=0.454(m).
∵平行线间的距离处处相等，
∴B'E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15(m).
故车后盖最高点 B'到地面的距离为2.15 m.
(2)没有危险.理由如下：
如图(2),过点C'作C'F⊥B'E,垂足为F.
∵∠B'AD=27°,∠B'EA=90°,∴∠AB'E=63°.
∵∠AB'C'=∠ABC=123°,
∴∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60°.
在Rt△B'FC'中,B'C'=BC=0.6m,
∴B'F=B'C'·cos60°=0.3m.
∵平行线间的距离处处相等，
∴点C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m).
∵1.85>1.8,∴没有危险.
25.(1)∵∠A+∠AGA'=90°,∠A'+∠AGA'=90°,∴∠A=∠A'.
又AD=A'D,∠ADE=∠A'DG=90°,
∴△ADE≌△A'DG(ASA).
(2)∵∠AFG=∠ACB=90°,∠FAG=∠CAB,
∵∠FAC=∠GAB,∴△FAC∽△GAB,
∴BC=4,∴S△ACB=16.
设DE=DG=x,则AD=A'D=2x,
由△ADE≌△A'DG 和勾股定理可求得
∴A'E=A'D-DE=2x-x=x,
∵∠A'=∠A',∠A'FE=∠A'DG,
平分四边形 DCBE 的面积,∴S△ACB=S△ADE+2S四边形DGFE,
(舍),
思路引导 (1)利用ASA 证明三角形全等；(2)要证AF·GB=AG·FC,也就是证明△FAC∽△GAB,但“两个角对应相等”的条件不够，所以想到“两边成比例，夹角相等”，只要证明△AFG∽△ACB 即可;(3)设 DE=DG=x,利用S△ACB=S△ADE+2S四边形DGFE 建立方程求解即可.
26.(1)①∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠A=∠D=90°.
∵∠CEF=90°,
∴∠AEF+∠CED=90°,∠DCE+∠CED=90°,
∴∠AEF=∠DCE,∴△AEF∽△DCE.
②如图(1),延长 DA 交CF 的延长线于点G,过点 G 作GH⊥CE 交CE 的延长线于点 H.
∵∠H=∠D=90°,∠GEH=∠CED,
∵CD=2,AE=ED=1,∴GH=2HE.
设EH=m,则GH=2m.
(2)如图(2),过点 G 作GH⊥CE 交CE 的延长线于点H.
解法一:设AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x,GH=y,CE=n.
∵∠H=∠D=90°,∠GEH=∠CED,
在Rt△CGH中,
在 Rt△CDE 中,
∵AE=a-t,∴AE=AF.
解法二:设AE=x,正方形边长为1,则DE=EG=1-x,DG=2-2x,∴S△CDE=S△CBG,
利用勾股定理求CG 的长，利用锐角三角函数求CG边上的高来求 S△CEG
解得 或
由AF:CD=AG:DG,得.
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10 小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·青岛中考)如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ）.
2.(2025·河北石家庄桥西区期中改编)在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA等于( ).
A. B. C. D.
3.(2024·广州中考)函数 与 的图象如图所示，若y ，y 均随着x 的增大而减小，则x的取值范围为（ ）.
A. x<-1 B. - 1
4.(2024·山东青岛李沧区期末)在△ABC 中, 则△ABC 的形状( ).
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定
5.(2024·攀枝花中考)如图,△ABC 与△DEF 是位似图形,点O 为位似中心.已知OA :AD=2:1,则△ABC 与△DEF 的相似比为( ).
A. 2:3 B. 1:3 C. 2:1 D. 3:2
6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）.
A. 12π B. 15π C. 18π D. 24π
7.(2024·自贡中考)一次函数y=x-2n+4,二次函数 反比例函数 在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）.
A. n>-1 B. n>2 C. - 1
A. 6 C. 5
9.((2023·衢州中考)如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC= a,AB=b,AB 的最大仰角为α.当∠C=45°时,则点A 到桌面的最大高度是( ).
C. a+bcosα D. a+bsinα
10.(2024·南通中考)在△ABC中,. 垂足为 H，D 是线段HC 上的动点(不与点 H，C重合)，将线段DH 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE.两位同学经过深入研究，小明发现：当点 E 落在边AC 上时，点D 为HC 的中点；小丽发现：连接AE，当AE 的长最小时， 请对两位同学的发现作出评判（ ）.
A.小明正确，小丽错误 B.小明错误，小丽正确
C.小明、小丽都正确 D.小明、小丽都错误
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.(2023·南通中考)某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力 F 为 N.
12. (2024·西宁中考)阅读相关资料：①如图(1)，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬37°;③如图(2),赤道半径OA 约为6400千米,弦BC∥OA,以BC 为直径的圆的周长就是北纬37°纬线的长度，根据以上信息，北纬3 纬线的长度约为 千米.(参考数据：
13.如图，已知点A(3，3)，B(3，1)，反比例函数 图象的一支与线段AB 有交点，写出一个符合条件的k 的整数值 .
14.(2024·四川宜宾期末)如图, 于点A，若 则 AD 的长为 .
15.(2024·宜宾中考)如图，正五边形 ABCDE 的边长为4，则这个正五边形的对角线AC 的长是 .
16.(2024·无锡中考)如图，平地上一幢建筑物AB 与铁塔CD 相距m米，在建筑物的顶部A 观测塔顶C的仰角为α，塔底D 的俯角为β，则铁塔的高度为 米.(用含m，α，β的式子表示)
17.(2024·眉山中考)如图,菱形ABCD 的边长为6,∠BAD=120°,过点 D 作DE⊥BC,交 BC 的延长线于点E,连接AE 分别交BD,CD 于点F,G,则 FG的长为 .
18.如图(1),在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB 上一点,且AD=2,过点D 作DE∥BC 交AC 于点E,将△ADE 绕点A 顺时针旋转到图(2)的位置.则图(2)中 的值为 .
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)(2024·广东肇庆怀集期末)如图,在△ACD 中,∠C=90°,∠A=15°,点 B 在边AC上,且AB=BD=2.
(1)求 BC 的长;
(2)求 tan∠CAD 的值.
20.(6分)(2024·德阳中考)如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,对角线 AC 与BD 相交于点O,点 F为BC的中点，连接AF与BD 相交于点E，连接CE 并延长交AB 于点G.
证明:(1)△BEF∽△BCO;
(2)△BEG≌△AEG.
21.(8分)(2024·西藏中考)如图,一次函数.y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 的图象相交于A(-3,1),B(-1,n)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足 的x取值范围.
22.(8分)(2024·湖南中考)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如图.
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点 E 作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得 EF 的长为4米； ③在点 F 处用测角仪测得 ④用计算器计算得 si °
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：
(1)求线段CE 和BC的长度;
(2)求底座的底面ABCD 的面积.
23.(8分)(2024·淄博中考)如图,一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A(m,4),B 两点,与x,y轴分别相交于点C,D.且tan∠ACO=2.
(1)分别求这两个函数的解析式；
(2)以点 D 为圆心，线段 DB 的长为半径作弧与x 轴正半轴相交于点E，连接AE,BE.求△ABE 的面积;
(3)根据函数的图象直接写出关于x 的不等式 的解集.
24.(8分 )(2023·济南中考)图(1)是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知AB=1m,BC=0.6m,∠ABC=123°,该车的高度AO=1.7m.如图(2),打开后备箱,车后盖ABC 落在AB'C'处,AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°.
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点 B'到地面l的距离.(结果精确到0.01m)
(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险 请说明理由.(结果精确到0.01m，参考数据：
25.(10分)如图,在] 中， 点D 在边AC 上，将线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转( 得到DA',线段DA'交AB 于点E,作 于点F，与线段AC 交于点G，连接FC，GB.
(1)求证:
(2)求证:
(3)若 当A'G平分四边形DCBE 的面积时，求AD 的长.
26.(12分)如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别是边AD,AB上的点,连接CE,EF,CF.
(1)若正方形ABCD 的边长为2,E 是AD的中点.
①如图(1),当 时，求证：
②如图(2),当 时,求AF 的长.
(2)如图(3),延长CF,DA 交于点G,当 时，求证：AAE=AF.
1. C
2. A [解析]∵AB=5,BC=3,∴AC= -3 =4, 故选 A.
3. D [解析]根据二次函数图象，当x>1时，y 随着x的增大而减小，同样当x>1时，反比例函数y 随着x的增大而减小.故选 D.
4. A [解析]
∴∠A=45°,∠B=60°,
则△ABC 的形状是锐角三角形.故选 A.
5. A [解析]: △ABC 与△DEF 是位似图形，点O 为位似中，心， .故选A.
6. B [解析]由三视图可知此几何体为圆锥.∵d=6,h=4,∴圆锥的母线长为 ∴圆锥的侧面积为 故选B.
7. C[解析]根据题意，得 解得-1
9. D [解析]过点 A 作AF⊥BE于点F,过点 B 作BG⊥CD于点 G,当∠ABF 最大为α时,在 Rt△ABF 中,AF=AB·sinα=bsinα,在 Rt△BCG 中, ∴.点A 到桌面的最大高度=BG+AF=a+bsinα.故选 D.
10. C [解析]∵将线段 DH 绕点 D 顺时针旋转2α得到线段DE,∴DH=DE,∠HDE=2α.
当点 E 落在边AC 上时,如图(1).
∵∠HDE=∠C+∠CED,∠C=α,
∴∠CED=α=∠C,∴DE=CD,∴DH=CD,
∴D 为CH 的中点.故小明的说法是正确的；如图(2),连接AE,HE,
∵DH=DE,∠HDE=2α,
∵AH⊥BC,
∴∠AHB=∠AHD=90°,
∴∠AHE=∠AHD-∠DHE=α,
∴点E 在射线HE 上运动，
∴当AE⊥HE 时,AE 的长最小,此时∠AEH=∠AHB=90°.
又∠B=∠C=α=∠AHE,
∴△AEH∽△AHB,AE=AH,
，故小丽的说法正确.故选C.
归纳总结 本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意正确地作图，确定点E的轨迹，是解题的关键.
11.2500 [解析]设功率为 P,由题可知 P= Fv,1即 将F=3750N,v=20m/s代入,可得P=75000,即反比例函数为
当v=30m/s时,
12.30720 [解析]过点O作OD⊥BC于点D,如图.
∵BC∥OA,∠AOB=37°,
∴∠CBO=∠AOB=37°.
在 Rt△OBD中,OB=6400千米,
5120(千米),
∴BC=2BD=2×5120=10240(千米),
∴以BC 为直径的圆的周长为 BC·π=10 240π≈10240×3=30720(千米).
∴北纬37°纬线的长度约为30720千米.
13.4(答案不唯一)[解析]由题图可知k>0.∵反比例函数 的图象的一支与线段AB 有交点，且点A(3,3),B(3,1),∴把B(3,1)代入 得k=3,把A(3,3)代入 得k=3×3=9,∴满足条件的k的值的范围是3≤k≤9的整数，故k=4(答案不唯一).
14.24[解析]在 Rt△ABC 中,因为 BC=6,AC=8,所以 在 Rt△ABD 中, 则
所以BD=26,所以AD=24.
可由勾股定理求得
[解析]连接BE交 AC于点O,如图.
∵五边形 ABCDE 是正五边形,
∴∠CBA=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°,BC=AB=AE,∴∠BCA=∠BAC=∠ABE=∠AEB=(180°-
∴∠CBO=∠ABC-∠ABE=
∴∠BOC=180°-∠CBO-∠BCA=180°-72°-36°=72°,
∴∠CBO=∠BOC=72°,
∴CO=BC=4.
∵∠BAO=∠CAB,∠ABO=∠BCA=36°,
∴△ABO∽△ACB,
即
解得 或 (舍去),经检验， 符合题意.
16.(mtanα+mtanβ) [解析]如图,过点A 作AE⊥CD,垂足为E,则∠AEC=∠AED=90°,AE=m米,在Rt△AEC中,CE=AE·tanα=mtanα(米),在Rt△AED中,DE=AE·tanβ=mtanβ(米),∴CD=CE+DE=(mtanα+mtanβ)米,即铁塔的高度为(mtanα+mtanβ)米.
[解析]∵菱形ABCD的边长为6,∠BAD=120°,
∴AD=BC=CD=6,AD∥BC,∠BCD=120°,
∴∠DCE=60°.
∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.
在 Rt△DCE 中,∵. ,
∴BE=BC+CE=9.
∵AD∥BE,∴∠ADE=180°-∠DEC=90°.
在 Rt△ADE 中,由勾股定理,得
∵AD∥BE,∴△AFD∽△EFB,
∵AD∥CE,∴△AGD∽△EGC,
归纳总结 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解题的关键.
18. [解析]∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∴△ADE∽△ABC,∴AB=AEAC.∵将△ADE 绕A 点顺时针旋转到题图(2)的位置,∴∠DAB=∠EAC,
19.(1)∵AB=BD=2,∴∠A=∠ADB=15°,
∴∠DBC=∠A+∠ADB=30°.
在 Rt△DBC 中,由勾股定理,得
20.(1)∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD.
又∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形,∴AB=AC.
∵点 F 为BC 的中点,
∴AF⊥BC,∴∠BOC=∠BFE=90°.
又∠EBF=∠CBO,
∴△BEF∽△BCO.
(2)∵BO⊥AC,AF⊥BC,
∴CG⊥AB,∴∠BGE=∠AGE.
又AC=BC,∴BG=AG.
在△BEG 和△AEG中,
∴△BEG≌△AEG(SAS).
21.(1)∵A(-3,1),B(-1,n)两点都在反比例函数图象上,∴n=3,a=-3,
∴反比例函数的解析式为
∵A(-3,1),B(-1,3)两点都在一次函数y= kx+b图象上，
解得
∴一次函数的解析式为y=x+4.
(2)根据函数图象及交点坐标可知，满足不等式 kx+b>ax的x取值范围为-3
22.(1)∵GH⊥CE,EF 的长为4米,∠CFG=60.3°,
∴CE=7米.
∵∠BFG=45°,∴BE=EF=4米,
∴CB=CE-BE=3(米).
(2)过点A 作AM⊥GH 于点M,如图.
∵∠AFG=21.8°,
∵AM=BE=4米,∴MF=10米,
∴AB=ME=10-4=6(米),
∴底座的底面ABCD 的面积为3×6=18(平方米).
23.(1)由题意,得点 D 的坐标为(0,2), 把(C(-1,0)代入 得 ∴一次函数的解析式为 y=2x+2.过点A 作AM⊥x轴.
∵AM=4,∴CM=2,∴OM=1,∴点A 的坐标为(1,4),把A(1,4)代入 得
∴反比例函数的解析式为
(2)联立y=2x+2和 得
∴x=-2或x=1,
∴点 B 的坐标为(-2,-2),
利用两点距离公式求得
如图，连接DE，则
∴点E 的坐标为(4,0),CE=OC+OE=5.
∴△ABE 的面积
(3)观察图象,可知当-2
24.(1)如图(1),过点 B'作B'E⊥AD,垂足为 E.
在Rt△AB'E中,∵∠B'AD=27°,AB'=AB=1m,
∴B'E=AB'·sin27°≈1×0.454=0.454(m).
∵平行线间的距离处处相等，
∴B'E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15(m).
故车后盖最高点 B'到地面的距离为2.15 m.
(2)没有危险.理由如下：
如图(2),过点C'作C'F⊥B'E,垂足为F.
∵∠B'AD=27°,∠B'EA=90°,∴∠AB'E=63°.
∵∠AB'C'=∠ABC=123°,
∴∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60°.
在Rt△B'FC'中,B'C'=BC=0.6m,
∴B'F=B'C'·cos60°=0.3m.
∵平行线间的距离处处相等，
∴点C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m).
∵1.85>1.8,∴没有危险.
25.(1)∵∠A+∠AGA'=90°,∠A'+∠AGA'=90°,∴∠A=∠A'.
又AD=A'D,∠ADE=∠A'DG=90°,
∴△ADE≌△A'DG(ASA).
(2)∵∠AFG=∠ACB=90°,∠FAG=∠CAB,
∵∠FAC=∠GAB,∴△FAC∽△GAB,
∴BC=4,∴S△ACB=16.
设DE=DG=x,则AD=A'D=2x,
由△ADE≌△A'DG 和勾股定理可求得
∴A'E=A'D-DE=2x-x=x,
∵∠A'=∠A',∠A'FE=∠A'DG,
平分四边形 DCBE 的面积,∴S△ACB=S△ADE+2S四边形DGFE,
(舍),
思路引导 (1)利用ASA 证明三角形全等；(2)要证AF·GB=AG·FC,也就是证明△FAC∽△GAB,但“两个角对应相等”的条件不够，所以想到“两边成比例，夹角相等”，只要证明△AFG∽△ACB 即可;(3)设 DE=DG=x,利用S△ACB=S△ADE+2S四边形DGFE 建立方程求解即可.
26.(1)①∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠A=∠D=90°.
∵∠CEF=90°,
∴∠AEF+∠CED=90°,∠DCE+∠CED=90°,
∴∠AEF=∠DCE,∴△AEF∽△DCE.
②如图(1),延长 DA 交CF 的延长线于点G,过点 G 作GH⊥CE 交CE 的延长线于点 H.
∵∠H=∠D=90°,∠GEH=∠CED,
∵CD=2,AE=ED=1,∴GH=2HE.
设EH=m,则GH=2m.
(2)如图(2),过点 G 作GH⊥CE 交CE 的延长线于点H.
解法一:设AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x,GH=y,CE=n.
∵∠H=∠D=90°,∠GEH=∠CED,
在Rt△CGH中,
在 Rt△CDE 中,
∵AE=a-t,∴AE=AF.
解法二:设AE=x,正方形边长为1,则DE=EG=1-x,DG=2-2x,∴S△CDE=S△CBG,
利用勾股定理求CG 的长，利用锐角三角函数求CG边上的高来求 S△CEG
解得 或
由AF:CD=AG:DG,得.
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