2025-2026学年人教版九年级数学上册专项复习提优二 二次函数（含答案）

专项复习提优二 二次函数
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·江苏盐城阜宁期末)下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）.
C. y=x+1
2.(2024·包头中考)将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）.
3.(2025·天津津南区期中)已知二次函数 下列说法正确的是（ ）.
A.抛物线的对称轴为直线x=-2 B.抛物线的顶点坐标为(2，3)
C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3
4.(2025·连云港一模)将抛物线 向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线的解析式是( ).
5.平面上有两个二次函数的图形，其顶点 P，Q均在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A,B,C,D 四点,各点位置如图所示,若AB=10,BC=5,CD=6,则PQ的长度为( ).
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6.已知函数若使y=k成立的x的值恰好有3个，则k的值为（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.(2024·眉山中考)定义运算:a b=(a+2b)(a-b),例如 ,则函数y=(x+1) 2的最小值为( ).
A. - 21 B. - 9 C. - 7 D. - 5
8.(2025·天津北辰区期中)如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边 AD 是墙，且AD 的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD 用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB 的长有两个不同的值满足菜园ABCD 面积为 ③菜园ABCD 面积的最大值为200m .其中，正确结论的个数是（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.(2024·赤峰中考)如图，正方形ABCD 的顶点A，C在抛物线. 上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，下列结论正确的是（ ）.
A. m+n=1 B. m-n=1 C. mn=1
10.(2024·东营中考)已知抛物线 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）.
A. abc<0 B. a-b=0
C. 3a-c=0 (m为任意实数)
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.(2024·滨州中考)将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 .
12.(2025·安徽六安金安区期中)已知在二次函数. 的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a 的取值范围是 .
13.(2024·宁夏中考)若二次函数 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是 .
14.(2024·海南期末)如图，二次函数的对称轴为直线.x=2,则当y>-4时，x的取值范围是 .
15.(2024·甘肃中考)如图(1)为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图(2)是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系.y= 的图象，点B(6，2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长(CD=4m,，高DE=1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
16.(2024·陕西西安新城区期末)已知抛物线 经过A(-4,1),B(2,1),C(-5,y ),D(1,y )四点,则y 与y 的大小关系是 (填“>”“<”或“=”).
17.(2024·苏州中考)二次函数 的图象过点A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m),其中m,n为常数,则 的值为 .
18.(2024·重庆梁平区期末)函数. 与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b>0;②b=-3;③c=-3b;④当0三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)(2025·山东济宁任城区期中)如图，已知二次函数 的图象经过点A(1,-2)和B(0,-5).
(1)求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标；
(2)当y≤-2时，请根据图象直接写出x 的取值范围.
20.(6分)某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
时间:第x(天)( x 为整数)
日销售价/(元/件) 50
日销售量/件 124-2x
设该商品的日销售利润为ω元.
(1)直接写出ω与x的函数关系式 .
(2)该商品在第几天的日销售利润最大 最大日销售利润是多少
21.(8分)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长.嘉嘉在点A(6，1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线 的一部分，淇淇恰在点 B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 的一部分.
(1)写出 的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
22.(8分)(2024·北京中考)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
(1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 和 是抛物线上的两点.若对于 都有 求a的取值范围.
23.(8分)(2024·徐州中考)如图,A,B为一次函数.y=-x+5的图象与二次函数 的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4. P为二次函数 的图象上的动点，且位于直线AB的下方,连接PA,PB.
(1)求b,c的值;
(2)求 的面积的最大值.
24.(8分) (2024·浙江中考)已知二次函数 (b,c为常数)的图象经过点A(-2,5)，对称轴为直线
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点 B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m>0)个单位长度后，恰好落在 bx+c 的图象上,求m 的值;
(3)当-2≤x≤n时,二次函数 的最大值与最小值的差为 求n 的取值范围.
25.(10分)综合与实践
问题情境：如图(1)，矩形MNKL 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB 组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN 上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计：如图(2)，AB=6米，AB 的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB 交于点O，点P 是抛物线的顶点，且PO=9米.欣欣设计的方案如下：
第一步:在线段OP 上确定点C,使∠ACB=90°,用篱笆沿线段AC,BC 分隔出△ABC 区域,种植串串红；
第二步：在线段CP 上取点F(不与C，P重合)，过点 F 作AB 的平行线，交抛物线于点 D，E.用篱笆沿DE，CF 将线段AC，BC 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC 区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF 的长.为此，欣欣在图(2)中以AB 所在直线为x轴，OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：
(1)在图(2)中画出坐标系，并求抛物线的函数解析式；
(2)求6 米材料恰好用完时DE 与CF 的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图(2)设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.
26.(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A 在y 轴正半轴上.
(1)如果四个点(0,0),(0,2),(1,1),((-1,1)中恰有三个点在二次函数 a为常数，且a≠0)的图象上.
②如图(1)，已知菱形ABCD 的顶点B，C，D 在该二次函数的图象上，且. 轴，求菱形的边长.
③如图(2)，已知正方形ABCD 的顶点B，D 在该二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点 B在点D 的左侧，设点 B，D的横坐标分别为m，n，试探究n-m是否为定值 如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由.
(2)已知正方形ABCD 的顶点B，D 在二次函数 (a为常数，且a>0)的图象上，点B 在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，直接写出m，n满足的等量关系式.
1. D [解析]A.函数 中，当a=0时，不是二次函数，不符合题意；B.函数 中，x的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意；C.函数y=x+1中，x的次数是1，不是二次函数，不符合题意；D.函数. 是二次函数，符合题意.故选 D.
2. A [解析] 将抛物线 2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为 y= 故选 A.
3. C
4. B[解析]抛物线 向右平移1个单位，得y=(x-1) ，再向下平移1个单位，得 故选 B.
5. B [解析]∵AB=10,BC=5,∴AC=AB+BC=15,∴xc-xp= .∵BC=5,CD=6,∴BD=BC+CD=11,
故选B.
6. D [解析]函数的图象如题图，根据图象知道当y=3时，对应成立的x的值恰好有三个，∴k=3.故选D.
7. B [解析]由题意,得y=(x+1) 2=(x+1+2×2)·(x+1-2)=(x+5)(x-1),即
∴函数y=(x+1) 2的最小值为-9.故选 B.
8. C [解析]设边 AD 长为 x m,则边 AB 长为 当AB=6时, 解得x=28.∵AD 的长不能超过26m,∴x≤26,故①不正确;∵菜园 ABCD 面积为 整理得 解得x=24或x=16,
∴AB 的长有两个不同的值满足菜园ABCD 面积为192m ，故②正确；设矩形菜园的面积为 ym ，根据题意，得 +200.
∴当x=20时，y有最大值，最大值为200,故③正确.∴正确的有2个.故选 C.
9. B[解析]如图，分别过点 A 和点C作y 轴的垂线，垂足分别为 M和N，将A，C两点的横坐标代入函数 解 析 式 得 点 A 坐 标为 点C 坐标为(n,
∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,
∴∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°,∴∠CDN=∠DAM.在△CDN 和△DAM中,
∴DM=CN=n,DN=AM=m,∴MN=DM+DN=m+n.又 n,即(m+n)(m-n)=m+n.∵m>n>0,∴m+n≠0,∴m-n=1.故选 B.
10. D [解析]由函数图象可知,a<0,b<0,c>0,∴abc>0.故A选项不符合题意;∵抛物线过点(-3,0)和(1,0),∴抛物线的对称轴为直线ax=-1,则
∴2a-b=0.故 B选项不符合题意;将b=2a 代入a+b+c=0,得a+2a+c=0,∴3a+c=0.故C选项不符合题意；∵抛物线开口向下，∴当x=-1时，函数取得最大值a-b+c，∴对于抛物线上的任意一点(横坐标为m)，总有 即 故D选项符合题意.故选D.
11.(1,2) [解析]将抛物线. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后抛物线解析式为 ∴顶点坐标为(1,2).
12. a≤2 [解析]二次函数. 的对称轴为直线x=a.∵当x>a时,y的值随x值的增大而增大,∴a≤2.
[解析]∵二次函数 的图象与x轴有交点，. 解得 即m的取值范围为
归纳总结求二次函数 (a,b,c 是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程； 决定抛物线与x轴的交点个数.
14. x<0或x>4[解析]由图象可得抛物线对称轴为直线x=2，抛物线经过点(0，-4)，由抛物线的对称性可得抛物线经过点(4,-4),∴当y>-4时,x的取值范围是x<0或x>4.
15.能 [解析]∵CD=4m ,B(6,2.68),∴6-4=2,在 中,当x=2时,y=-0.02×
∵2.12>1.8,∴货车能完全停到车棚内.
16.< [解析]由抛物线经过A(-4,1),B(2,1),知抛物线对称轴为直线x=-1，且a<0，∴离对称轴水平距离越小，对应函数值越大，
[解析]将A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)代入 得 把C(2,n)代入 得
18.②④ [解析]将点(1,1)和点(3,3)代入二次函数解析式,得 解得 所以二次函数的解析式为 故①错误,②正确;c=3=-b,故③错误；当019.(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代入 得 解得
∴二次函数的表达式为
∴顶点坐标为(-1,-6).
(2)∵点A(1,-2)关于对称轴直线x=-1的对称点C坐标为(-3,-2),∴当y≤-2时,x 的取值范围是-3≤x≤1.
20.[解析]当1≤x≤30时,ω=(0.5x+35-30)·(-2x+124)=-x +52x+620,当31≤x≤60时,ω=(50-30)·(-2x+124)=-40x+2480,∴w与x的函数关系式为
(2)当1≤x≤30时,
∵-1<0,
∴当x=26时,w有最大值,最大值为1296;
当31≤x≤60时,ω=-40x+2480.
∵-40<0,
∴w随x的增大而减小，
∴当x=31时,ω有最大值,最大值为-40×31+2480=1240.
∵1296>1240,
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元.
21.(1)∵抛物线(
∴C 的最高点坐标为(3,2).
∵点A(6,1)在抛物线( 上，
∴抛物线
当x=0时,c=1.
(2)当抛物线C 经过(5,1)时, 1+1,解得
当抛物线C 经过(7,1)时, 解得
∵嘉嘉在x轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，
∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4 和5.
22.(1)将a=1代入,得 ∴顶点坐标为(1,-1).
(2)由题意，得
a)>0.
①当a>0时,
或
解得x >3a或.
3或-a>4,∴a<1或a<-4.
∵a>0,∴0②当a<0时,
或
解得
解得a<-4.
综上所述,023.(1)当x=0时,y=-x+5=5;当x=4时,y=-x+5=1,则A(0,5),B(4,1),
则 解得
(2)由(1),可得 设 如图,作 PE∥OA,交AB 于点E,
则E(m,-m+5),则
∵024.(1)∵二次函数解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
∴b=1，∴抛物线解析式为
又图象经过点A(-2,5),
∴4-2+c=5,∴c=3,
∴抛物线解析式为
(2)∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度(m>0),∴平移后的点为(1-m,9).
又(1-m,9)在 的图象上，
∴m=4或m=-1(舍去),∴m=4.
.当x=-2时,y=5,当 时， 当 时，
∴最大值与最小值的差为
不符合题意，舍去.
当 且 时，即 时，
最大值与最小值的差为 符合题意.
当n>1时，最大值与最小值的差为 或 ，不符合题意.
综上所述，n的取值范围为
知识拓展在二次函数 中,a>0时，离对称轴近的函数值越小；a<0时，离对称轴近的函数值越大.
25.(1)建立如图(1)所示的平面直角坐标系.
∵OP 所在直线是AB 的垂直平分线,且AB=6,
∴点 B 的坐标为(3,0).
∵OP=9,∴点 P 的坐标为(0,9).
∵点 P 是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数解析式为
∵点 B(3,0)在抛物线. 上，
∴9a+9=0,解得a=-1,
∴抛物线的函数解析式为
(2)∵点D,E 在抛物线. 上，
∴设点 E 的坐标为(
∵DE∥AB,交y轴于点F,
∵在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,OA=OB,
根据题意，得
解得 (不符合题意，舍去)，
∴m=2,∴DE=2m=4,CF=-m +6=2.
故 DE 的长为4米,CF 的长为2米.
(3)如图(2)矩形灯带为GHML,
由点A，B，C 的坐标得，直线 AC 和BC 的解析式分别为y=x+3,y=-x+3,
设点 G(b,-b +9),H(-b,-b +9),L(b,b+3),m(-b,b+3),
则矩形周长=
故矩形周长的最大值为 米.
26.(1)①1 [解析]在y=ax 中,令x=0,得y=0,∴点(0,0)在二次函数 (a为常数,且a≠0)的图象上,(0,2)不在二次函数 (a 为常数,且a≠0)的图象上.∵四个点(0,0),(0,2),(1,1),(-1,1)中恰有三个点在二次函数 (a 为常数,且a≠0)的图象上,∴二次函数 为常数，且a≠0)的图象上的三个点是(0,0),(1,1),(-1,1),把(1,1)代入. 得a=1.
②设BC交y轴于点E,如图(1).
设菱形的边长为2t,则AB=BC=CD=AD=2t.
∵AD⊥y轴,AD∥BC,∴BC⊥y轴,
∴B,C关于y轴对称,∴BE=CE=t,
把 代入 得 解得 或t=0(舍去)，∴菱形的边长为
③n-m为定值.如图(2),过点 B 作BF⊥y轴于点F,过点D作DE⊥y轴于点E.
∵点B,D 的横坐标分别为m,n,
∴B(m,m ),D(n,n ),
∴BF=m,OF=m ,DE=n,OE=n .
∵四边形ABCD 是正方形,∴∠DAB=90°,AD=AB,
∴∠FAB=90°-∠EAD=∠EDA.
∵∠AFB=∠DEA=90°,∴△ABF≌△DAE(AAS),
∴BF=AE=m,AF=DE=n,
∵点B,D在y轴的同侧,∴m+n≠0,∴n-m=1.
(2)过点 B 作 BF⊥y轴于点 F,过点 D 作 DE⊥y轴于点E.
∵点B，D的横坐标分别为m，n，
∴B(m,am ),D(n,an ).
①当B,D 在y轴左侧时,如图(3).
由(1),可得△ABF≌△DAE(AAS),∴BF=AE,AF=DE,∴-m=am -AF-an ,AF=-n,
②当B在y轴左侧，D 在y轴右侧时，如图(4).
∴BF=-m,OF=am ,DE=n,OE=an ,
由(1),可得△ABF≌△DAE(AAS),
∴m+n=0或
③当B,D 在y轴右侧时,如图(5).
∴BF=m,OF=am ,DE=n,OE=an ,
由(1),可得△ABF≌△DAE(AAS),∴BF=AE,AF=DE
∴m+n=a(n+m)(n-m).
综上所述，m，n满足的等量关系式为m+n=0 或n