2025-2026学年人教版九年级数学上册专项复习提优一 一元二次方程（含答案）

专项复习提优一 一元二次方程
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10 小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·云南中考)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）.
C. 80(1-x)=60 D. 80(1-2x)=60
2.(2024·湖北荆州江陵期末)方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）.
A. 3,5,7 B. 3,-5,-7 C. 3,-5,7 D.3,5,-7
3.(2024·贵州黔东南州期中)如果关于x的方程中a-b+c=0，那么方程必有一个根是( ).
A. 1 B. - 1 C. 0 D. 2
4.(2024·贵州中考)一元二次方程 的解是（ ）.
5.(2025·聊城一模)用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）.
6.(2024·河南开封期末)若关于x 的一元二次方程的根为 则这个方程是( ).
7.(2024·潍坊中考)已知关于x的一元二次方程. 其中m,n满足m-2n=3,关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）.
A.无实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
8.(2024·通辽中考)如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门(由其他材料制成)，则BC长为（ ）.
A. 5m或6m B. 2.5m或3m
C. 5m D. 3m
9.(2024·乐山中考)若关于x 的一元二次方程. 的两根为x ,x ,且 则p 的值为( ).
B. C. - 6 D. 6
10.已知三个关于x的一元二次方程ax+b=0恰有一个公共实数根，则 的值为（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.(2024·深圳中考)一元二次方程 的一个解为.x=1,则
12.已知关于x 的一元二次方程的一次项系数为0，则a 的值为 .
13.(2024·云南中考)若一元二次方程 无实数根，则实数c 的取值范围为 .
14.(2025·河南洛阳期中)张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 .
15.(2024·成都中考)若m,n 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 .
16.若方程 的两根为x ,x ,则 的值为 .
17.(2024·广东湛江经开区期末)定义新运算：对于任意实数a，b，都有 2ab，其中等号右边是通常的减法及乘法运算.如 嘉嘉写了一个满足以上运算的等式:x (-3)=-5,其中x 的值为 .
18.(2024·重庆期末)若关于x 的一元二次方程. 的唯一实数根也是关于x 的一元二次方程 的根，则关于x 的方程的根为 .
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)解方程:
(2)x(x+1)=1.
20.(6分)(2024·辽宁中考)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65
日销售量y/件 … 55 45 35
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)该商品日销售额能否达到2600元 如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由.
21.(8分)(2024·遂宁中考)已知关于x 的一元二次方程
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 且 求m的值.
22.(8分)(2025·河北沧州期末)定义新运算“ ”:对于实数m,n,p,q,有[m,p] [q,n]=mn+pq,，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算.例如： 2=34.
(1)求关于x的方程 的根；
(2)若关于x的方程 有两个实数根，求k 的取值范围.
23.(8分)(2025·山东聊城期末)如图，某儿童乐园的场地是长、宽分别为35m，15m的矩形.儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将场地的长、宽增加相同的长度后，新场地仍是一个矩形.
(1)若扩充后的矩形场地面积为 ，求新的矩形场地的长与宽.
(2)儿童乐园改造升级后，经过调查发现，票价30元/人时游客数为每天500人，票价每提高1元，则游客减少10人，要使得儿童乐园日营业额达到1.6万元，票价应定为多少元
24.(8 分)(2024·贵州黔南州期末)阅读材料：解方程 我们可以将 视为一个整体，然后设 则 原方程化为 解得
当y=1时,
当y=4时,
∴原方程的解为
根据上面的解答，解决下面的问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；
(2)解方程:
25.(10分) (2025·重庆丰都期末)为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团(队)组织开展“全民消防·生命至上”主题活动.据了解，某县某消防器材专卖店10月份销售某款手提式干粉灭火器200个，12月份销售338个.
(1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率.
(2)若该款手提式干粉灭火器的进价为40元/个.销售过程中发现，当售价为50元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为每个多少元
26.(12分)(2024·江苏无锡新吴区期末)某大型品牌书城购买了A，B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A，B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍.
(1)求商家购买 A书籍和B书籍的进价.
(2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍。据统计，B书籍的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5本。商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B书籍的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本 B书籍的售价为多少元？
专项复习提优一 一元二次方程
1. B[解析]利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本×(1一甲种药品成本的年平均下降率) ，即可列出关于x的一元二次方程，得80(1- 故选 B.
2. B 3. B
4. B [解析]∵x -2x=0,∴x(x-2)=0,.则x=0或x-2=0,解得 故选 B.
5. C
6. C[解析]∵关于x 的一元二次方程的根为x = 这个方程是 故选C.
7. C [解析]∵ 5>0，∴原方程有两个不相等的实数根.故选C.
8. C [解析]设 BC 长为x m,则 AB 的长为 x)m，根据题意，得 解得x=5或x=6(舍去),
注意墙长为5.5m，BC 长应小于等于5.5故 BC长为5m.故选C.
9. A[解析]∵关于x的一元二次方程. 的两根为x ン 即 解得 故选 A.
方法诠释 本题考查了一元二次方程 (a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x ,x ,则 也考查了一元二次方程的解.
10. D[解析]设x 是它们的一个公共实数根，则
把上面三个式子相加并整理，得 1)=0.
因为 所以a+b+c=0，所以 故选 D.
11.3 [解析]由题知,将x=1代入一元二次方程,得1-4+a=0,解得a=3.
12.-1 [解析]由题意,得a-1≠0且 解得a=-1.
13. c>1[解析]∵一元二次方程. 无实数根，
14.20%[解析]设每月盈利的平均增长率是x，根据题意，得 解得 -2.2(不符合题意，舍去)，∴每月盈利的平均增长率是20%.
15.7 [解析]∵m,n 是一元二次方程. 的两个实数根，∴ 9=-2+9=7.
16.24[解析]∵方程 的两根为x ,x , 则原式
17.-1或-5 [解析]∵x (-3)=-5,∴x -2x× 解得x=-1或x=-5.
[解析]∵关于x 的一元二次方程 有唯一实数根，. 0,解得a=±2.∵关于x 的方程( 0是一元二次方程，∴a=-2，∴关于x的一元二次方程 为 解得 ∵关于x的一元二次方程. 的唯一实数根也是关于x的一元二次方程( 的根，∴x=-1是关于x 的一元二次方程- 0的根， ∴关于x的方程 为 解得
19.(1)∵x +2x-3=0,∴(x-1)(x+3)=0,
∴x-1=0或.
(2)x(x+1)=1,，整理，得
20.(1)由题意,设一次函数的关系式为y= kx+b,又结合表格数据可得图象过(45,55),(55,45),
得 解得
∴所求函数关系式为y=-x+100.
(2)不能.理由如下：
由题意，销售额
又销售额是2600元，.
∴方程没有实数解，故该商品日销售额不能达到2600元.
这里a=1,b=-(m+2),c=m-1,
∴无论 m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)设方程 的两个实数根为x ,x ,则.
即
整理，得m +m-2=0,∴(m+2)(m-1)=0,
解得 n的值为-2或1.
22.(1)∵[x ,x-1] [3,2]=0,
整理，得
∵方程有两个实数根，
注意方程有两个实数根，则k≠0
解得 且k≠0.
23.(1)设场地的长、宽增加 xm，则新的矩形场地的长为(35+x)m,宽为(15+x)m,
根据题意,得(35+x)(15+x)=800,
整理，得
解得 (不符合题意，舍去)，
∴35+x=35+5=40,15+x=15+5=20.
故新的矩形场地的长为40 m，宽为20 m.
(2)设票价应定为y元/人，则每天游客数为500-10(y-30)=(800-10y)人,
根据题意,得y(800-10y)=16000,
整理，得 解得 故票价应定为40元/人.
24.(1)换元 转化
令 则原方程可化为
解得a=-3或a=4,
(舍去)或 解得
故原方程的解是.
25.(1)设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为x，由题意，得 解得 3(不符合题意，舍去).
故该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为30%.
(2)设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为y元/个，
由题意,得[200-5(y-50)](y-40)=2625,整理，得
(不符合题意，舍去).
故该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为55元/个.
26.(1)设商家购买 A 书籍的进价为x 元/本，B书籍的进价为(40-x)元/本,
根据题意，得 解得x=16,经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意，
∴40-x=40-16=24.故商家购买 A 书籍的进价为16元/本，B 书籍的进价为24元/本.
(2)设每本B 书籍的售价为y元，则每本B 书籍的销售利润为(y-24)元，平均每天可售出 (355—10y)本.
根据题意,得(25-16)×50+(y-24)(355-10y)=775,整理，得 解得
∵要促进 B 书籍的销量,∴y=29.
故每本 B 书籍的售价为29元.