2025-2026学年人教版九年级数学下册专项复习提优八锐角三角函数（含答案）

专项复习提优八锐角三角函数
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10 小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·江苏扬州期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c,若已知∠A和a,求c，你认为最直接的求解应选择三角函数是（ ）.
A. cosA B. sin A C. tanA D.无法选择
2.(2024·河北沧州期末)如图,在Rt△ABC中,CD 是斜边AB 上的高,则下列正确的是( ).
3.(2025·河南南阳期末)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A，B，C都在格点上，则sin B 的值为( ).
C.
4.(2025·湖南衡阳期末)在 Rt△ABC中,∠C=90°,若 则AC 等于( ).
A. B. 3 C. 4 D. 5
5.新情境认识圆规(2024·陕西渭南期末)如图是一把圆规的平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂.已知OA=OB=m,若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB=2θ,则A,B 之间的距离为( ).
A. 2m·sinθ B. m·sin2θ C. 2m·tanθ D. m·tan2θ
6.(2024·淄博中考)如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC 为35m.又在点C 处测得该楼的顶端A 的仰角是29°.则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是( ).
7.(2024·深圳中考)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m 的测量仪EF 测得顶端A 的仰角为 小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得顶端A 的仰角为 ，则电子厂AB 的高度约为（ ）.(参考数据：
A. 22.7m B. 22.4m C. 21.2m D. 23.0m
8.(2024·德阳中考)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD 的高度，如图，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B 处测得C 处的仰角为60°，在小楼房楼顶A 处测得C处的仰角为30°(AB，CD 在同一平面内，B，D在同一水平线上)，则建筑物CD 的高为（ ）米.
A. 20 B. 15 C. 12
9.如图,分别经过原点O和点A(4,0)的动直线a,b夹角∠OBA=30°,点M 是OB 中点,连接AM,则sin∠OAM 的最大值是( ).
D.
10.(2025·山东淄博博山区期末)在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图(如图(1))的启发，将正方形改编成矩形，如图(2)所示，由两对全等的直角三角形(△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG)和矩形 EFGH 拼成大矩形ABCD.连接CH,设∠CHG=α,∠CDG=β.若 BC=2AB, 则矩形 EFGH 与矩形ABCD 的面积比为（ ）.
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·浙江绍兴嵊州期末)在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,则sin∠B 的值是 .
12.(2024·南通中考)社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度.如图，他们在B 处测得旗杆顶部A 的仰角为60°,BC=6m ,则旗杆AC的高度为 m.
13.(2025·吉林长春期末)有6个大小相同的小正方形，恰好如图放置在△ABC 中，则 tan B 的值等于 .
14.将 的 按如图所示的方式放置在一把刻度尺上，顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm(结果精确到0.1cm，参考数据：
15.(2024·江苏常州期末)如图,在 中， ,垂足为 D,以CD 为直径的⊙O交BC 于点E,连接AE,交⊙O 于点F,连接DF.已知 则
16.为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A 地和B 地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A 地去往B地需要绕行到C 地的路线，改造成可以直线通行的公路AB.如图，经勘测，AC=6千米，∠CAB=60°,∠CBA=37°,则改造后公路AB 的长约是 千米(精确到0.1千米,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75, ≈1.73).
17.(2024·盐城中考)如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30 m的点 P 处，测得教学楼底端点 A 的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B 的俯角为45°，则教学楼AB 的高度约为 m.(精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
18.(2024·福建中考)无动力帆船是借助风力前行的.如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA 为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ 为30°，风对帆的作用力 F 为400 N.根据物理知识，F可以分解为两个力. 与 ，其中与帆平行的力. 不起作用，与帆垂直的力. 又可以分解为两个力 与 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：:F=AD=400,则. .(单位：N，参考数据：sin 40°≈0.64,cos40°≈0.77)
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6 分)(2025·安徽安庆期末)计算:sin 45°·cos45°+tan30°· sin 60°.
20.(6分)(2024·吉林松原长岭期末)在△ABC 中,∠A,∠B 都为锐角, 求∠A,∠B,∠C 的度数.
21.(8分)(2024·徐州中考)如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A 为“彭城风华”观演场地，点B 为“水族展览馆”，点C 为“徐州汉画像石艺术馆”.已知 .求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB.(精确到1m，参考数据：
22.(8分)贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图(1)景区内修建观光索道.设计示意图如图(2)所示，以山脚A 为起点，沿途修建AB，CD 两段长度相等的观光索道，最终到达山顶 D 处，中途设计了一段与AF 平行的观光平台BC为50m.索道AB 与AF 的夹角为15°，CD与水平线夹角为 A,B 两处的水平距离AE 为576m, 垂足为F.(图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上)
(1)求索道AB 的长;
(2)求水平距离AF的长.(结果精确到1m，参考数据：
23.(8分)(2024·安徽中考)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处.已知BE 与水平线的夹角 点 B 到水面的距离BC=1.20m,点A 处水深为1.20m，到池壁的水平距离AD=2.50m.点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求 的值.(精确到0.1m，参考数据： s )
24.(8分)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C，E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A，D，B，F在同一直线上.点C，点E 到AB 的距离分别为CD，EF，且CD=EF=7m,CE=895m,，在C处测得A 点的俯角为 ,在 E 处测得B点的俯角为 小型汽车从点 A 行驶到点B 所用时间为45 s.
(1)求A，B两点之间的距离(结果精确到1m).
(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点 A 行驶到点B 是否超速 并通过计算说明理由.(参考数据：
25.(10分)(2024·济南中考)城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便.某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF 和地面DE 所在的直线都平行，点F 在与地面垂直的中轴线AE 上，
成果梳理 …
请根据记录表提供的信息完成下列问题：(结果精确到0.01m，参考数据： 0.9 4)
(1)求点 C 到地面DE 的距离;
(2)求顶部线段 BC的长.
26.(12分)如图，一艘轮船在A 处测得灯塔M 位于A 的北偏东 方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达 B 处，测得灯塔M 位于B 的北偏东( 方向上，测得港口 C位于B 的北偏东 方向上.已知港口C在灯塔M 的正北方向上.
(1)填空: 度， 度；
(2)求灯塔M 到轮船航线AB 的距离(结果保留根号)；
(3)求港口 C与灯塔M 的距离(结果保留根号).
1. B [解析]∵ 故选 B.
2. D [解析]∵在 Rt△ABC中,CD 是斜边AB上的高,
故选D.
3. A [解析]如图,连接AD,则∠ADB=
故选 A.
4. B [解析]如图所示,∵在 Rt△ABC中,∠C=90°,
∵AB=5,∴BC=4,∴AC= -4 =3.故选 B.
5. A [解析]如图,连接AB,过点O作OC⊥AB于点C,则∠OCA=90°.∵OA=OB,∴AC=E 在Rt△AOC 中, sinθ,∴AB=2AC=2m·sinθ,即A,B 之间的距离为2m·sinθ.故选 A.
6. A [解析]在 Rt△ABC 中,∠ACB =29°,BC=35 m,
∴AB=(35×tan29°)m,∴用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序是35 tan2回回.故选 A.
7. A [解析]由题意得EF=BM=1.8m,CD=BN=1.5m,DF=5m,EM=BF,BD=CN,EM⊥AB,CN⊥AB,设BD=CN= xm,∴EM=BF=DF+BD=(x+5)m.在Rt△AEM中,∠AEM=45°,∴AM=EM·tan45°=(x+5)m,在Rt△ACN 中,∠ACN=53°,∴AN=CN·tan53°≈ x(m).∵AM+BM=AN+BN=AB,∴x+5+1.8= 解得 AN+BN=21.2+1.5=22.7(m),∴电子厂AB 的高度约为22.7m.故选 A.
8. B[解析]设过点A 的水平线与CD 交于点E，如图，由题意,知四边形ABDE 是矩形,DE=AB=10米,AE=BD,在Rt△BCD 中, 在 Rt△ACE 中, 解得CD=15米.故选 B.
9. A [解析]如图,作△AOB 的外接圆⊙T,连接OT,TA,TB,取OT 的中点K,连接KM.∵∠ATO=2∠ABO=60°,TO= TA,∴△OAT 是等边三角形.∵A(4,0),∴TO=TA=TB=4.∵OK=KT,OM=MB,∴KM= ∴点M 在以K 为圆心，2为半径的圆上运动，当AM 与⊙K 相切时,∠OAM 最大,此时 sin∠OAM 的值最大.∵△OTA 是等边三角形,OK=KT,∴AK⊥OT, ∵AM 是切线,KM 是半径,. 过点M 作ML⊥OA 于点L,KR⊥OA 于点R,MP⊥RK 交RK 的延长线于点 P.
∵∠PML=∠AMK=90°,∴∠PMK=∠LMA.∵∠P=∠MLA=90°,∴△MPK∽△MLA,∴MM=PKAL=MKM= 设PK=x,PM=y,则有 解得 故选 A.
10. B [解析]∵四边形ABCD 是矩形,BC=2AB,∴AB=CD,AD=BC,AD=2CD.设CG=x,HG=y.
∵△AHD≌△CFB,△ABE≌△CDG,且这四个三角形均为直角三角形,∴∠AHD=∠DGC=90°,∴∠DAH+ ∴DG=2x+y,AH=4x+2y,EH=3x+2y.
即 x)=0.∵y+x≠0,∴y=2x,∴DG=4x,DC= x, 故选 B.
11.
12.6 [解析]由题意可得 BC=6m .又
13. [解析]如图,依题意得FH∥BC,EH=1,FH=2,
14.2.7 [解析]如图,过点B 作BD⊥OA 于点D,过点C作CE⊥OA 于点 E.在△BOD 中,∠BDO=90°,∠DOB=45°,∴BD=OD =2cm .在△OCE 中,∠COE =37°, 由BD⊥OA, CE⊥OA, 可知BD=CE=2cm←即OC 与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7 cm.
15. [解析]连接 DE.∵CD 为直径,∴∠DEC=90°.
∵DE = DE, ∴ ∠DFE = ∠DCE. ∵ CD ⊥AB,
∴∠DAC+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠DAC=∠DCE,
∴DE=3,∴在Rt△DCE 中,(
∴在Rt△DCA 中.
16.9.9 [解析]过点C作CD⊥AB 于点 D,如图.
在Rt△ADC 中,AC=6 千米,∠CAB=60°,cos∠CAB= 3(千米),CD=AC·sin∠CAB=6sin 60°=3 (千米).在Rt△CDB 中,. (千米),
(千米).
17.17 [解析]如图，令AB 的延长线与PQ的延长线交于点C,由题意,知AC=30m,PQ=26.6m,∠APC=37°, 在Rt△APC 中, 40(m),∴QC=PC-PQ=40-26.6=13.4(m).
在Rt△BQC中,BC=QC=13.4m,∴AB=AC-BC=30-13.4=16.6≈17(m).
18.128 [解析]∵∠PDA=70°,∠PDQ=30°,
∴∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=70°-30°=40°.
∵AB∥QD,∴∠BAD=∠ADQ=40°,在 Rt△ABD 中,F=AD=400,∠ABD=90°,∴F =BD=AD·sin∠BAD=4( 56,由题意可知,BD⊥DQ,∴∠BDC+∠PDQ=90°,∴∠BDC=90°-∠PDQ=60°,在 Rt△BCD 中,BD=256,∠BCD=90°,∴f =
19.原式
利用绝对值和平方的非负性可得
即cosA= ,tanB=1.∵∠A,∠B 都为锐角,∴∠A=60°,∠B=45°,
21.如图,过点 B 作BH⊥AC 于点H,
设AH= xm,
∵∠BAC=60°,∴∠ABH=90°-60°=30°,
∵∠BCA=45°,∠BHC=90°,
∴△BHC 是等腰直角三角形，
故“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离 AB约为1197m.
22.(1)在 Rt△ABE 中,∠AEB =90°,∠A =15°,AE =576m,
故AB 的长约为600 m.
(2)如图,延长 BC 交DF 于点G.
∵BC∥AE,∴∠CBE=90°.
∵DF⊥AF,
∴∠AFD=90°,
∴四边形 BEFG 为矩形,
∴EF=BG,∠CGD=∠BGF=90°.
∵CD=AB=600m,∠DCG=45°,
∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC+CG=576+
故AF 的长约为1049m.
23.如图,过点 E 作EH⊥AD 于点H,
由题意可知,∠CEB=α=36.9°,EH=1.20m,
2.50-1.60=0.90(m),
24.(1)根据题意,得四边形CDFE 是矩形,
∴DF=CE=895m,
在Rt△EBF 中,
∴DB=DF-BF=895-7=888(m).
在Rt△ACD 中,
∴AB=AD+BD=11.9+888≈900(m).
故A，B 两点之间的距离约为900m.
(2)没有超速.理由如下:∵900÷45=20(m/s),
∴小型汽车每小时行驶20×3600=72000(m).
∵72000m=72km,72<80,
∴小型汽车从点 A 行驶到点 B 没有超速.
25.(1)如图,过点C作CN⊥ED,交ED 的延长线于点N,垂足为N，
∵∠CDE=97°,∴∠CDN=83°.
在 Rt△CDN 中, CD=6.7m,
故点 C到地面DE 的距离约为6.65m.
(2)如图,过点 B 作BP⊥CF,垂足为 P,
∵CF∥DE,∴∠FCD=∠CDN=83°.
∵∠BCD=98°,
∴∠BCP=∠BCD-∠FCD=15°.
∵平行线间的距离处处相等，
∴EF=CN=6.65m.
∵AE=8.5m,
∴BP=AF=AE-EF=8.5-6.65=1.85(m).
在Rt△BCP 中, 故顶部线段BC的长约为7.14m.
26.(1)30 45 [解析]如图,分别过点C,M,作CD⊥AB,ME⊥AB,垂足分别为D,E.
∵∠DBM=∠BAM+∠AMB=60°,∠BAM=30°,∴∠AMB=30°.
∵点 B 在点A 的正北方向，点C 在点M 的正北方向,∴AB∥CM.
∵∠DBC=45°,∴∠BCM=45°.
(2)由(1)知∠A=∠AMB,∴AB=BM=20海里.
在Rt△EBM中,
(海里).
故灯塔M 到轮船航线AB 的距离为10 海里.
(3)∵CD⊥AB,ME⊥AB,AB∥CM,∴四边形DEMC 是矩形.
∴CD=EM=10 海里,DE=CM.
在 Rt△CDB中,∵∠DBC=45°,
∴∠DBC=∠DCB,∴DB=DC=10 海里.
在 Rt△EMB 中,
(海里).
∴CM=DE=DB-EB=10( -1)氵海里.
故港口C与灯塔M的距离为 海里.