2025-2026学年人教版九年级数学下册专项复习提优七 相似（含答案）

专项复习提优七 相似
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10小题，每小题3分，共30分)
1. (2024·辽宁盘锦大洼区期末)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=4，则线段BC 的长是（ ）.
A. 2 B. 4 C.1 D.
2.(2024·重庆中考)若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是（ ）.
A. 1:3 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:9
3.(2024·河北沧州期末)如图,△ACP∽△ABC,若∠A=100°,∠ACP=20°,则∠ACB 的度数是( ).
A. 80° B. 60° C. 50° D. 30°
4.(2024·德阳中考)宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD 是黄金矩形(ABA. 3 B. 2 C.1 D. 0
5. (2024·山西吕梁中阳期末)数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上.如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是( ).
A.都相似 B.只有图(1)相似 C.只有图(2)相似 D.都不相似
6.(2024·巴中中考)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1，则OG=（ ）.
7.如图,在△ABC中,点D,E为边AB 的三等分点,点 F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点 H 为AF与DG 的交点.若AC=12,则DH 的长为( ).
A. 1 B. C.2 D. 3
8.(2024·浙江中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点 B(-2,4)的对应点B'的坐标为( ).
A. (-4,8) B. (8,-4) C.(-8,4) D. (4,-8)
9.分类讨论思想已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD上，若DE=2，连接BE 与对角线AC 相交于点F，则 的值为（ ）.
A. B. C. 或 D. 或·2一3
10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠EPF=90°且∠EPF 的顶点P 是BC 的中点,两边PE,PF 分别交AB,AC 于点 E,F,当∠EPF 在△ABC 内绕点 P 旋转时,下列结论错误的是( ).
A. AE=CF B.△EPF 为等腰直角三角形
C. EP=AP D. 2S四边形AEPF=S△ABC
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.(2024·青海中考)如图,AC和BD 相交于点O,请你添加一个条件: ,使得△AOB∽△COD.
12. (2024·山西中考)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB 的黄金分割点 C处，且 若NP=2cm,则BC的长为 cm(结果保留根号).
13.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上,∠ABC 和∠AQP 均为直角,AP 与BC 相交于点D.测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树高 PQ= m.
14.如图,平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点B作BE∥AC,交DA 的延长线于点E,连接OE,交AB 于点F,则四边形 BCOF 的面积与△AEF 的面积的比值为 .
15.(2024·辽宁葫芦岛兴城期末)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2,射线CF∥AB,点D 在射线CF 上运动,DE⊥BC,垂足为E,若△ABC 与△BDE 相似,则CD 的长为 .
16.(2025·浙江金华五中期末)如图,扇形 AOB 的圆心角. ,半径OA =6,点 D 是 上一点. 交OD的延长线于点E， 交OE 于点G.若DE=4,则
17.(2024·浙江宁波鄞州区期末)如图，在 中， CE 是斜边AB 上的中线，在直线 AB 上方作 ,DE,FE 分别与AC 边交于点 M,N,当 与 相似时，线段CN 的长度为 .
18.(2024·河北中考)如图, 的面积为2,AD 为BC 边上的中线,点 A, 是线段 的五等分点，点A， 是线段 的四等分点，点A 是线段. 的中点.
的面积为 ；
的面积为 .
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)(2025·安徽阜阳期末)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，已知格点三角形ABC(顶点是网格线的交点)的一个顶点A 在x轴上.
(1)以A 为旋转中心，将线段 BC 绕点A 旋转 得到线段. 画出线段
(2)以O为位似中心，将 放大为原来的2倍.
①在所给的网格图中画出放大后的 (其中BC的对应边为.
②若P(x，y)为BC边上任意一点，直接写出点 P 在线段 上的对应点坐标.
20.(6分)(2024·湖南永州零陵区期末)如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙ABDC 处摆一组沙发，沙发的长是客厅长AB 的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形ABDC 的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到CD 的三等分点处.当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接AH，交CD 于点P，则P 即是CD的三等分点.
(1)请仿照小明的方法，找出线段CD的另一个三等分点；
(2)请你证明：P是CD 的三等分点.
21.(8分)(2025·贵州毕节期末)如图,△ABC∽△ACD.
(1)若CD 平分∠ACB,∠ACD=40°,求∠ADC 的度数;
(2)若AD=2,BD=3,求AC 的长.
22.(8分)(2024·山西晋中太谷区期末)《九章算术》中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何 ”大意如下:如图,M,N 为正方形ABCD 一组对边的中点,在△GEF 中,G,M,N,E 四点共线,∠E=90°,F,A,G三点共线,且AD⊥GE,GM=20步,NE=14步,EF=1 775步,求正方形ABCD 的边长.
23.(8分)(2025·北京通州区期末)在矩形 ABCD 中,AB=8,点G 为边AD 上一点,AG=6,CE⊥BG于 点E, 求证：
(1)△ABG∽△ECB;
(2)E 是BG 的中点.
24.(8分)(2024·盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的⊙O上,过点C作⊙O的切线l,过点A 作 l,垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:
(2)若AC=5,CD=4,,求⊙O 的半径.
25.(10分)(2024·湖南衡阳外国语学校期末)如图，在 中,已知点 D,E 分别在边BC,AB 上,EC 和AD 相交于点F,
(1)求证:
(2)如果 求证：
26.(12 分)(2024·自贡中考)为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法.
(1)如图(1)，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF 恰好等于自己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆AB 的影长BC 为11.3m ，据此可得旗杆高度为 m；
(2)如图(2)，小李站在操场上E 点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离CB=16 m.求旗杆高度;
(3)小王所在小组采用图(3)的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：
如图(4)，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上.
如图(5)，在支架上端P 处，用细线系小重物Q，标高线 PQ 始终垂直于水平地面.
如图(6)，在江姐故里广场上E 点处，同学们用注水管确定与雕塑底部 B 处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线 DA 与标高线交点C，测得标高(CG=1.8m,DG=1.5m.将观测点 D 后移24m到D'处.采用同样方法，测得C'G'=1.2m,D'G'=2m.求雕塑高度(结果精确到 1m ).
专项复习提优七相似
1. A[解析]如图，过点A 作平行横线的垂线，交点 B 所在的平行横线于点 D，交点 C 所在的平行横线于点 E，则 即 解得 BC=2.故选A.
2. D[解析]∵两个相似三角形的相似比是1：3，∴这两个相似三角形的面积比是 故选 D.
3. B [解析]∵∠A=100°,∠ACP=20°,∴∠APC=180°-100°-20°=60°.∵△ACP∽△ABC,∴∠ACB=∠APC=60°.故选 B.
4. D [解析]∵PB⊥PC,∴点 P 在以 BC 为直径的圆上,设该圆圆心为M.
∵四边形ABCD 是黄金矩形，
∴令
∴⊙M 的半径为a.
∴AD 边与⊙M 相离,
∴AD 边上满足PB⊥PC 的点P 的个数为0.故选 D.
5. A[解析]由题图(1)，得两个三角形三个内角分别是35°，75°,70°,故两三角形相似;由题图(2),得 ,∠AOC=∠DOB,∴△AOC∽△DOB.故选 A.
6. C[解析]∵图中12个直角三角形都相似， 30°,即直角三角形中较小的锐角为 30°.在 Rt△OAB 中, 同理可得
故选 C.
7. C [解析]∵点D,E为边AB 的三等分点,
∴AD=DE=EB,∴AB=3BE,AE=2AD.∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴EF:AC=BE:AB.∵AC=12,AB=3BE,∴EF:12=BE:3BE,∴EF=4.∵DG∥EF,
∴△ADH∽△AEF,∴DH:EF=AD:AE.∵EF=4,AE=2AD,∴DH:4=AD:2AD,∴DH=2.故选 C.
归纳总结 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例.
8. A [解析]∵△ABC 与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O,点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),∴△ABC与△A'B'C'的相似比为 1: 2.∵点 B 的坐标为(-2,4),∴点B 的对应点 B'的坐标为(-2×2,4×2),即(-4,8).故选A.
9. C [解析]①当点E在AD 上时,
注意题中所给条件是点 E 在直线AD上，因此点 E 的位置需分情况讨论
∵DE=2,AD=BC=6,∴AE=4.
∵四边形ABCD 是菱形,∴AE∥BC,
②当点E 在AD的延长线上时，
∵DE=2,AD=BC=6,∴AE=8.
∵四边形ABCD 是菱形,∴AE∥BC,
综上所述， 的值为 或 .故选C.
10. C [解析]∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.∵点P 是 BC 的中点,∴AP⊥BC,∠CAP=∠BAP=45°,AP= BC =CP,∴∠C=∠BAP. ∵∠EPF = 90°,∴∠CPF+∠FPA=∠FPA+∠APE=90°,
∴∠CPF=∠APE.
在△PCF 和△PAE 中, △PAE(ASA),∴AE=CF,PF=PE,∴△PEF 是等腰直角三角形.故 A，B选项不符合题意.∵AP⊥BC，∠B=45°,∴△APB 是等腰直角三角形.又∠EPF 在△ABC内,∴点E在AB上,∴EP∵△PCF≌△PAE,∴S△PCF=S△PAE,
S△APC.又 即2S四边形AEPF=S△ABC.故D选项不符合题意.故选 C.
11.∠A=∠C(答案不唯一)
[解析]∵四边形 MNPQ 是正方形,∴∠N=∠P=90°.又AB∥NP,∴∠BAN+∠N=180°,∴∠BAN=90°,∴四边形ABPN 是矩形,∴AB=NP=2cm.又
13.6 [解析]由题意可得,BC∥PQ,AB=40 cm,BD=20cm,AQ=12m,∴△ABD∽△AQP,∴ABD=AQP,即 解得QP=6,∴树高PQ=6m.
14. [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC.又BE∥AC,∴四边形 AEBC 是平行四边形,∴AC=BE,∴BE =2OA.∵AC∥BE,∴△OAF∽ 同理可得S△EBF =2S△OBF,S△OBC =S△OAB. 设 S△OAF =x,则S△EBF =4x,S△AEF = 2x, S△OBF = 2x, S△AOB = S△BOC = S△AOF +S△BOF=x+2x=3x,∴S四边形BCOF =S△BOC+S△BOF =
15.1或 [解析]∵∠A=90°,AB=1,AC=2,∴BC= +2 = .∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠DEC=90°.∵△ABC 与△BDE 相似,. 或 即 或 ∴DE=2BE 或
∵DC∥AB,∴∠DCE=∠ABC,∴Rt△DCE∽Rt△CBA, 即 当DE=2BE时,则BE=CE,∴CE=BE= 当 时，则BE=4CE,∴4CE+CE= ，解得 综上所述，CD 的长为1或
16. [解析]∵扇形 AOB 的圆心角∠AOB=90°,半径OA=6,∴OD=OB=OA=6.∵DE=4,∴OE=OD+DE=6+4=10.∵AE⊥AO,∴∠EAO=90°,∴EA= =∠EAO=90°.∵∠EAO+∠AOB=180°,∴OB∥AE,∴∠BOG=∠E,∴△BOG∽△AEO,∴BG=OBA=6=
17. 或 [解析]∵∠ACB=90°,CE 是斜边AB 上的中线,∴EC=EA =EB,∴∠B=∠ECB.∵△DEF∽△ABC,∴∠DEF =∠B.如图(1),当 EF⊥AB 时,∵∠A+∠ANE=90°,∠A+∠B=90°,∴∠ANE=∠B,∴∠MEN=∠MNE=∠B=∠ECB,∴△EMN∽ ∵∠A =∠A,∠AEN =∠ACB = 90°, ∴△AEN ∽ 如图(2),当ME⊥EC时,同理可证∠EMN = ∠MEN = ∠B = ∠ECB,
∴ △EMN ∽△BCE,NM=NE.
∵∠EMN+∠MCE=90°,∠MEN+∠CEN=90°,∴∠ECM=∠NEC,∴NE=CN=MN.∵∠ACE=∠A,∠CEM =∠ACB = 90°, ∴△CEM∽ .故线段 CN的长度为 或
18.(1)1 [解析]∵△ABC 的面积为2,AD 为BC 边上的中线，
∵点A,C ,C ,C 是线段CC 的五等分点,∴AC= ∵点A,D ,D 是线段DD 的四等分点，. ∵点 A 是线段BB 的中点,
在△AC D 和△ACD 中 ∴△AC D ≌△ACD(SAS), ∠C D A=∠CDA,∴△AC D 的面积为1.
(2)7[解析]如图,连接 B D ,B D ,B C ,B C ,C D ,在△AB D 和△ABD中,
∴S△AB D =S△ABD=1,∠B D A=∠BDA.
∵∠BDA+∠CDA=180°,∴∠B D A+∠C D A=180°,∴C ,D ,B 三点共线,
4个三角形等底等高，所以面积相等
在△AC D 和△ACD 中, 1=9.
∴△B C D 的面积为7.
19.(1)如图,线段B C 即为所求.
(2)①如图,△A B C 即为所求.
②点P(x,y)在线段 B C 上的对应点坐标为(-2x,-2y).
20.(1)如图所示,点 Q 即为所求.
(2)∵PD∥AB,∴△HDP∽△HBA,
∴点 P 是CD 的三等分点.
21.(1)∵△ABC∽△ACD,∴∠B=∠ACD=40°.又CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACD=40°,∴∠ADC=∠B+∠BCD=80°.
由三角形的外角性质可得
(2)∵△ABC∽△ACD,
负值舍去).
22.设正方形ABCD 的边长为x步.
∵M，N 为正方形ABCD一组对边的中点，
步.
∵AD⊥GE,∴∠AMG=90°.
∵∠E=90°,∴∠AMG=∠E=90°.
∵∠G=∠G,∴△AMG∽△FEG,
整理，得
解得.
经检验， 都是原分式方程的根.
∵x>0,∴x=250,
∴正方形 ABCD 的边长为250步.
23.(1)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠A=90°,BC=AD,AD∥BC,
∴∠AGB=∠CBE.
∵CE⊥BG,∴∠BEC=90°,
∴∠A=∠BEC,∴△ABG∽△ECB.
∵△ABG∽△ECB,
∴E 是BG 的中点.
24.(1)如图,连接OC.
∵直线l 是⊙O的切线,∴OC⊥l.
∵AD⊥l,∴OC∥AD,
∴∠CAD=∠ACO=∠CAB.
由OA=OC, 可得∠ACO=∠CAB
∵AB 为⊙O的直径,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACD.
(2)∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
,∴⊙O 的半径为
∵∠FDE=∠EDA,∴△DEF∽△DAE,
∴∠DAE=∠DEF.∵∠EDB=∠ADC,
∴∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD.
(2)由(1)知,△ABD∽△ECD,∴∠B=∠ECD,
∴BE=CE.∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=∠BCE+∠ACE,
∴∠BAC=∠ACE,∴AE=BE=CE.
如图,取AD 的中点G,连接CG.
∵∠ACD=90°,
∴∠GDC=∠GCD,
∴∠DGC=180°-2∠ADC.
∵∠BDE=∠ADC,
∴∠ADE=∠CGF.
由(1)知,△DEF∽△DAE,
∴∠AED=∠DFE.∵∠DFE=∠CFG,
∴∠AED=∠CFG,∴△CGF∽△ADE,
26.(1)11.3 [解析]∵影长EF 恰好等于自己的身高DE,∴△DEF 是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，△ABC 是等腰直角三角形,∴AB=BC=11.3m.
(2)由题意可知,∠DCE=∠ACB.
又
∴△DEC∽△ABC,∴△E=BCCE,即 解得AB=12m,∴旗杆高度为12m.
(3)∵∠CDG=∠ADB,∠CGD=90°=∠ABD,∴△DCG∽△DAB,∴CCC=DCB.
设AB= xm,BD= ym,则 同理可得
解得x=28.8,经检验，x=28.8是原方程的解，
故AB≈29m,
∴雕塑高度AB 约为29m.