2025-2026学年人教版九年级数学上册专项复习提优四 圆（含答案）

专项复习提优四 圆
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本题包括10 小题，每小题3分，共30分)
1.(2024·泰安中考)如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上两点,BA 平分∠CBD,若∠AOD=50°,则∠A 的度数为( ).
A. 65° B. 55° C. 50° D. 75°
2.(2024·凉山州中考)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D，交 于点C,测出AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为( ).
A. 50cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20cm
3.(2024·河北承德兴隆期末)如图，冰淇凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是( ).
4.(2024·呼和浩特中考)如图,正四边形 ABCD 和正五边形CEFGH 内接于⊙O,AD 和EF 相交于点M,则∠AMF 的度数为( ).
A. 26° B. 27° C. 28° D. 30°
5.(2024·甘南州中考)如图,AB 是⊙O的直径,DB,DE 分别切⊙O 于点B,C,若∠ACE=18°,则∠D 的度数是（ ）.
A. 18° B. 36° C. 48° D. 72°
6.“莱洛三角形” “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边三角形 ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于( ).
A. π B. 3π C. 2π
7.(2025·湛江雷州一模)蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点 P，Q的坐标分别为( 则点 M 的坐标为（ ）.
8.(2024·四川广安武胜期末)如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN 的周长为( ).
A. 20cm B. 15 cm
C. 10 cm D.随直线 MN 的变化而变化
9.(2024·泰安中考)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）.
10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=-x-2与x轴、y 轴分别交于A，B 两点，C，D是半径为1的⊙O上两动点，且 P为弦CD 的中点.当C，D 两点在圆上运动时，△PAB 面积的最大值是（ ）.
A. 8 B. 6 C.4 D. 3
二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分)
11.(2024·南充中考)如图,AB 是⊙O 的直径,位于 AB 两侧的点C,D 均在⊙O 上,∠BOC=30°,则∠ADC= 度.
12.(2025·广东惠州期中)如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.
13.(2024·广元中考)如图,点 F 是正五边形ABCDE 边DE 的中点,连接 BF 并延长与CD 延长线交于点G,则∠BGC 的度数为 .
14.如图,在⊙O中,直径AB 与弦CD 交于点E, 连接AD，过点 B 的切线与AD 的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB= °.
15.(2024·镇江中考)如图，四边形ABCD 为平行四边形，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边 BC 于点E,连接AE,AB=1,∠D=60°,则 的长l= (结果保留π).
16.(2024·江苏泰州兴化期末)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB=AC,点 D 在弧AC 上,依次连接AD,BD,CD,若CD=2,AD=5,BD=8,则AC 等于 .
17.(2024·呼和浩特中考)如图是平行四边形纸片ABCD,BC=36 cm,∠A=110°,∠BDC=50°,点 M为BC 的中点，若以M为圆心，MC 为半径画弧交对角线BD 于点N，则∠NMC= 度；将扇形MCN 纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径为 cm.
18.如图,⊙O 与正六边形ABCDEF 的边CD,EF 分别相切于点C,F.若AB=2,则⊙O 的半径长为 .
三、解答题(本题包括8小题，共66分)
19.(6分)(2025·湖南株洲期末)如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,DB 平分∠ADC,连接OC,OC⊥BD.
(1)求证:AB=BC;
(2)若∠A=66°,求∠ADB 的度数.
20.(6分)(2024·辽宁葫芦岛建昌期末)如图,点A,B,C为⊙O 上的三个点,∠AOB=3∠BOC,∠ACB=60°.
(1)求∠BAC 的度数;
(2)若AB=6,求 的长.
21.(8分)(2025·山东德州期末)如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC,BD 交于点E,DB 平分
(1)求 的大小；
(2)过点 C 作 交AD 的延长线于点F.若AC=AB,DF=3,求圆的半径.
22.(8分)(2025·浙江杭州拱墅区期末)如图，已知⊙O的半径为2，弦( ,垂足为E,点F 在. 上(不与点A,点C 重合),连接AF,AC,AD,FC.
(1)求证:AC=AD.
(2)若
①求 的度数；
②当 时，求 的长.
23.(8分)(2024·天津中考)在 中， AB 为⊙O 的弦,直线 MN 与⊙O 相切于点C.
(1)如图(1),若 直径CE 与AB 相交于点D，求 和 的大小；
(2)如图(2),若 ,垂足为G,CG 与OB 相交于点 F,OA=3,，求线段OF 的长.
24.(8分)如图,AB,CD 为⊙O 的直径,C为⊙O 上一点,过点 C 的切线与AB 的延长线交于点P, 点E 是 的中点,弦CE,BD 相交于点F.
(1)求 的度数；
(2)若EF=3,，求⊙O 直径的长.
25.(10分)(2024·济宁中考)如图, 内接于⊙O,D 是 BC上一点,AD=AC.. E 是⊙O 外一点, ,连接BE.
(1)若AB=8,求AE 的长;
(2)求证:EB 是⊙O 的切线.
26.(12分)(2024·陕西中考)[问题提出](1)如图(1),在 中， 垂足为D.若AB=15,AC=8,,则AD 的长为 .
[问题解决](2)如图(2)所示，某工厂剩余一块 型板材，其中AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm.为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件.你认为可以吗 若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O 的半径；若不可以，请说明理由.
1. A [解析]∵∠AOD = 50°,∴∠ABD= ∠AOD =25°.∵BA 平分∠CBD,∴∠ABC=∠ABD=25°.∵AB是⊙O的直径，. 65°.故选 A.
2. C [解析]设圆心为O,连接OB,如图所示.∵CD 垂直平分AB,AB=40cm,∴BD=20cm.∵CD=10cm,OC=OB,∴OD=(OB-10) cm.∵∠ODB=90°,∴OD + 解得OB=25,即圆形工件的半径为25 cm.故选 C.
3. D [解析]由题图,知底面直径为8cm,母线长为10cm,则底面周长为8πcm，所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积S= 故选 D.
4. B [解析]如图,连接OG,OF,OD,OE,DF,连接AC,则AC 是正五边形CEFGH、正方形ABCD 的对称轴,
∵AC 是正五边形CEFGH 的对称轴,∴∠AOG=∠AOF=
∴∠DOE = 72° - 54°= 18°,∴∠AMF = ∠MFD + 故选 B.
5. B [解析]如图,连接BC,∵DB,DE 分别切⊙O 于点B,C,∴BD=DC.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°, (2=36°.故选 B.
6. B [解析]∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=3,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∴AB=BC=AC.∵AB的长 ∴该“莱洛三角形”的周长是 3π.故选 B.
7. A[解析]设中间正六边形的中心为D，如图，连接DB.
∵点 P,Q的坐标分别为(-2 3),(0,-3),图中是7个全等的正六边形，
∴OD=1,QD=DB=CM=2,∴点 M 的坐标为(3 ,-2).故选A
8. A [解析]∵△ABC 是一张三角形的纸片,⊙O 是它的内切圆,点 D 是其中的一个切点,AD=10cm,∴如图,设E,F分别是⊙O的切点，
∴DM=MF,FN=EN,AD=AE,∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20(cm).故选 A.
9. A [解析]如图,连接OA,AO',作AB⊥OO'于点B, ∴三角形 AOO'是等边三角形， .故选 A.
10. D [解析]过点O 作OQ⊥AB 于点Q,连接OP,OD,
∴△OCD 为等腰直角三角形.由y=-x-2,得点A(-2,0),B(0,-2),∴OA=OB=2,∴△OAB为等腰直角三角形，. 由题意，得当 P，O，Q三点共线时,S△PAB 最大,∵P 为CD 的中点, 故选D.
11.75 [解析]∵∠BOC=30°,∠AOC+∠BOC=180°,
12.4 [解析]∵∠P=55°,∴∠P 所对弧所对的圆心角是 ∴:最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台.
13.18°[解析]由正五边形的性质可知BG 是正五边形AB-CDE 的对称轴,∴∠DFG=90°.∵∠FDG 是正五边形ABCDE 的外角,
14.66 [解析]如图,连接OC,OD.∵BF 是⊙O 的切线,AB是⊙O 的直径,∴OB⊥BF,∴∠ABF=90°.
∵∠AFB =68°,∴∠BAF =90°-∠AFB=22°,
∴∠BOD =2∠BAF = 44°.
是△AED 的一个外角，
∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
15.π/3 [解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠B=∠D=60°.由题意得AB=AE,∴△ABE 是等边三角形,
思路引导 由平行四边形的性质想到∠B=∠D=60°，从而判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60°，由弧长公式即可求出. 的长.
16. [解析]如图，延长CD 至点 P使CP=BD,作AQ⊥CP 于点Q.
∴∠ABD=∠ACP.
在△ABD 和△ACP 中,
∴△ABD≌△ACP(SAS),∴BD=CP=8,AD=AP=
5.∵在△ADP中,AD=AP,AQ⊥DP,
又CP=8,CD=2,
DQ=5.
在Rt△ADQ中,∠AQD=90°,AD=5,DQ=3,
在Rt△ACQ中,∠AQC=90°,CQ=5,AQ=4,∴AC=
17.402 [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ADC=180°-∠A=70°,∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=20°.∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=20°.∵点M为BC的中点,∴BM=MC.∵以M 为圆心,MC 为半径画弧交对角线 BD 于点N,∴MN=MC,∴BM=MC=MN,∴点B,C,N在以点M 为圆心,MC 为半径的圆上,∴∠NMC=2∠DBC=40°.∵MC= BC=18cm,∴弧CN 的长度为 设这个圆锥的底面圆半径为r cm,则2πr=4π,解得r=2,∴这个圆锥的底面圆半径为2cm.
[解析]如图,连接CF,OC,OF,过点O作OM⊥CF 于点M,过点 D 作DG⊥CF 于点G,过点E作EH⊥CF 于点H,∴EH∥DG.∵EF,CD 是⊙O 的切线,∴∠OFE=∠OCD=90°.∵多边形ABCDEF 是正六边形,∴∠FED=∠CDE=120°, 120°.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC=30°,∴∠EFH=∠DCG=60°.∵∠EHF=∠DGC=90°,CD = EF,∴△CDG≌△FEH(AAS),∴FH=CG,EH = DG,∴四边形 EHGD 是矩形,
∴HG=DE=2.∵EF=CD=2,∴FH=CG= EF= ∴⊙O 的半径长为
19.(1)∵DB 平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∴AB=BC,∴AB=BC.
(2)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠A=66°,
∴∠ADB=∠CDB=33°.
20.(1)∵∠ACB=60°,∠ACB= ∠AOB,
∴∠AOB=120°.
∵∠AOB=3∠BOC,∴∠BOC=40°,
(2)如图,过点O作OD⊥AB 于点D.
由(1)知,∠AOB=120°.
∵OA=OB,∴∠OAD=∠OBD=30°,
的长
21.(1)∵∠ABD=∠CAD,∠CBD=∠CAD,
∴∠ABD=∠CBD.
∵DB 平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
∵四边形ABCD 为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°,
∴2∠ABD+2∠ADB=180°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
(2)由(1)知,∠BAD=90°,
∴∠CAD+∠BAE=90°,BD 为直径.
∵∠ABD=∠CAD,
∴∠ABD+∠BAE=90°,∴∠AEB=90°.
∵BD为直径,∴BD 垂直平分AC,∴AB=BC.
∵AC=AB,∴AB=AC=BC,
∴△ABC 为等边三角形,∴∠ABC=60°,
∴∠ABD=∠CBD=30°.
∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠CDF=∠ABC=60°.
∵CF∥AB,∴∠BAD+∠AFC=180°.
∵∠BAD=90°,∴∠AFC=90°,∴∠FCD=30°,
∴CD=2DF.
∵DF=3,∴CD=6.
∵BD 为直径,∴∠BCD=90°.
∵∠CBD=30°,∴BD=2CD=12,即圆的直径为12,
∴圆的半径为6.
22.(1)∵弦CD⊥直径AB,
∴点A 平分 即
(2)①∵四边形AFCD 内接于⊙O,
∴∠AFC+∠ADC=180°.
∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC,
∴∠ADC=∠ACD=67.5°.
②如图,连接OC,OD.
∵∠ADC=∠ACD=67.5°,
∴∠COD=90°.
的长为
的长为π.
23.(1)∵OA=OB,∴∠A=∠ABO.
∵∠A+∠ABO+∠AOB=180°,∠ABO=30°,
∵直线 MN与⊙O 相切于点C,CE 为⊙O 的直径,
∴∠ECM=90°.
∵AB∥MN,∴∠CDB=∠ECM=90°,
(2)如图,连接OC.
同(1),得∠COB=90°.
∵CG⊥AB,∴∠FGB=90°.
∴∠CFO=∠BFG=60°.
在Rt△COF 中,∠CFO=60°,OC=OA=3,
24.(1)∵PC与⊙O相切于点C,∴OC⊥PC,
∴∠OCB+∠BCP=90°.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC.
∵∠ABC=2∠BCP,∴∠OCB=2∠BCP,
∴3∠BCP=90°,∴∠BCP=30°,∴∠OCB=60°.
(2)如图,连接DE.
∵CD是直径,
∵点 E 是BD的中点，
∴∠DCE=∠FDE=
∵∠DEC=90°,EF=3,∠FDE=30°,
∵∠E=90°,∠DCE=30°,
∴⊙O的直径的长为6
25.(1)∵∠BAE=∠CAD,∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD,即∠EAD=∠BAC.
∵∠ADE=∠ACB,AD=AC,
∴△ADE≌△ACB(ASA),∴AE=AB.
∵AB=8,∴AE=8.
(2)如图,连接BO并延长交⊙O 于点F,连接AF.
∵BF 是⊙O 的直径,∴∠BAF=90°,
∴∠AFB+∠ABF=90°.
∵∠AFB=∠ACB,∴∠ACB+∠ABF=90°.在△ADC中,AD=AC,
∴∠ACB=∠ADC,
∴2∠ACB+∠CAD=180°.
由(1)知,AE=AB,∴∠AEB=∠ABE,
∴2∠ABE+∠BAE=180°.
∵∠BAE=∠CAD,∴∠ACB=∠ABE,
∴∠ABE+∠ABF=90°,即∠OBE=90°.
∵OB 为半径,∴EB 是⊙O 的切线.
26.(1) [解析]在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=15,AC=8，由勾股定理得 17.由三角形的面积得 AD,∴AB ·AC= BC ·AD,
(2)可以.理由如下：
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆，∴所求圆的圆心是△ABC的内心,
作∠ABC 和∠ACB 的平分线BE,CF 交于点O,
则点O 就是裁出的最大圆型部件的圆心O 的位置.
过点O作OH⊥BC于点H,OP⊥AC 于点 P,OQ⊥AB于点Q,连接OA,OB,OC,过点 A 作AM⊥BC 于点 M,如图所示.
设BM= xcm,⊙O 的半径为R cm,
∵AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm,
∴CM=(160-x) cm.
在 Rt△ABM 中,由勾股定理得
在 Rt△ACM 中,由勾股定理得
解得x=50,
∵点O为△ABC 的内心,∴OH=OP=OQ=R cm.
即(100+160+140)R=8000