2026届高三数学上学期模拟练习卷（全国甲卷）（含答案）

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2026届高三数学上学期模拟练习卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则中所有元素之和为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若复数为纯虚数，则（　　）
A． B．3 C． D．5
4．已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（　　）
A． B． C． D．
5．已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（　　）
A．1600 B．1400 C．800 D．20
6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数与的图象依次交于A，B，C三点，且恒有，则（　　）
A．2 B．1 C． D．
8．已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（　　）
A．3 B． C．2 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，是两个非零向量，下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下面说法正确的有（　　）
A．角与角的终边相同
B．终边在直线上的角的取值集合可表示为
C．若角的终边在直线上，则的取值为
D．化成弧度是
11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，已知点，直线l交Γ于P、Q两点（异于），当直线l过点A且与x轴垂直时，的重心G在以为直径的圆O上．下列结论正确的是（　　）
A．点到Γ的渐近线的距离为2
B．直线，的斜率之积为2
C．若直线l过点，当时，这样的直线l只有2条
D．若直线l过点A，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知王明在射箭游戏中射一箭中靶的概率为，若每箭是否中靶相互独立，则王明射3箭恰好有2箭中靶的概率为　 　．
13．设函数，已知方程在上有且仅有2个不相等的实数根，则的取值范围是　 　.
14．已知，若成等差数列，成等比数列，则的最小值是　 　.
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的零点个数；
（3）若对任意的，都有，求实数的最大值．
16．已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的大小；
（3）如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值.
17．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．
（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（2）过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
18．某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120 　 　
不满意 　 　 150
合计 200 　 　
请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质．
（1）判断下列数列是否具有性质；
①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．
（2）已知数列具有性质，求的最小值；
（3）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
10．【答案】A,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】2
15．【答案】（1）解：当时，函数，
可得，
所以且，
则切线的斜率为且切点坐标为，
所以，切线方程为，即.
（2）解：当时，函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得极小值，也为最小值，
即，
所以，则函数没有零点，
所以，函数的零点个数为.
（3）解：对任意的，都有成立，则成立，
令，
可得，
因为，要使得恒成立，
则满足，所以.
下面证明：当时，符合题意，此时，
令，
可得，
所以为减函数，
因为，所以，
则
所以恒成立，
则当时，对任意的，都有成立，
综上所述，实数的最大值为.
16．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
在平面内过作，垂足为，
因为，所以垂足不与点重合，如图：
因为平面平面，平面平面平面，
则平面，
又因为平面，所以，
在正方形中，．平面平面，
则平面，
又因为平面，
所以．
（2）解：方法一：在平面内，过作，垂足为，连接，
由（1）得，平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以易知是二面角的平面角，，
在边长为1的正方形中，，
所以，
在Rt中，，
在中，，
则，
解得或.
（i）当，因为，
在中，满足，
则，
又因为平面，
所以平面．
因为平面，则，
所以，
又因为平面，
所以到平面的距离与到平面的距离相等，
过作，垂足为，
又因为易证平面，所以平面平面，
又因为平面平面，平面，
所以平面，在Rt中，，
所以到平面的距离为．
设与平面所成角为，则，
又因为，则．
（ii）当，在中，得：，
如图，在中，
，
在Rt中，，
因为，
设到平面的距离为，
所以，
得，
解得，
所以到平面的距离为，
设与平面所成角为，
又因为，所以，
综上所述，与平面所成角为或．
方法二：以为轴，以为轴，过点的平面的垂线为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，
设，则，
因为，
所以①，
又因为，所以②，
因为平面，
所以平面法向量，
设平面法向量，
则，
所以，不妨取，
则，
所以，
因为二面角为，
所以③，
由①②③，解得或，
即或．
（i）当时，，
设平面法向量，
则
即
不妨取，则，所以，
则，
设与平面所成角为，
则，
又因为，所以．
（ii）当，
则．
设平面法向量，
则，即，
不妨取，则，
所以，
则，
设与平面所成角为，
又因为，所以，
综上所述，与平面所成角为或．
（3）解：法一：因为面，
所以面，
则，
以为正交基建立空间直角坐标系，
因为平面平面，
所以平面，
又因为平面，且平面平面，
所以，
设，，
设平面法向量，，
则，不妨取，则，所以，
因为平面，
所以平面法向量，
因为二面角为，
所以，
则，解得，
则，
设，再设平面法向量，
则，
所以，不妨取，则，所以，
则，
设平面法向量，
则，
所以
不妨取，则，所以，
则，
设
，
则，
当且仅当时，，则最小值为．
法二：求出的过程同法一，
将补成正方体，平面平面，
所以为，
因为因为，过作，垂足为，
又因为平面，
所以为二面角的平面角，
在中，④，⑤，
由④⑤得：，
则，
得．
则，
解得，
当且仅当时，，此时，
则最小值为．
17．【答案】（1）解： 由题意，双曲线的中心为坐标原点，
右焦点为，离心率为，
可得，解得，，
所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为．
（2）证明：由（1）知，，．
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
设，，由，消去，得，
显然，，则，，，
直线的斜率，直线的斜率，
所以，为定值．
18．【答案】解：列联表如下：
单位：人
满意程度 性别 合计
男生 女生
满意 120 30 150
不满意 80 70 150
合计 200 100 300
零假设为：满意程度与性别无关，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
19．【答案】（1）解：①由题意得，，，，
因为，所以数列不具有性质.
②由题意得，，，，，
所以数列具有性质.
（2）解：由，设，其中，
可得，
又因为，
所以
则
因为，
所以，
则与的奇偶性相同，
又因为，
所以为偶数，
因为，所以，
又因为数列，此时，，
综上所述，的最小值为.
（3）解：由，且，
则，
因为数列具有性质，
则，
所以，
记，
所以
因为，
所以，
当时，，
所以，
当时，数列，
此时
则，，
所以，数列满足题意.
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