期末检测卷（二）（含答案）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

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期末检测卷（二）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、选择题
1．已知向量，向量，若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
2．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
3．已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（　　）
A． B． C． D．
4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．圆：与圆的位置关系为（　　）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
6．已知A，B为圆上的两个动点，且，若直线上存在点P，且P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知二面角的大小为，棱l上有A，B两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段AC与BD都垂直于若，，，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知曲线，则（　　）
A．当时，C是半径为的圆
B．当时，C是焦点在x轴上的椭圆
C．当时，C是焦点在x轴上的双曲线
D．当时，C是两条直线
10．四棱锥的底面为正方形，底面，，，，，其中，下列说法正确的是（　　）
A．存在实数，使得异面直线与的所成角为
B．三棱锥的体积为
C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D．二面角的最大值为
11．我们把由半椭圆与半椭圆：合成的曲线称作“果圆”，其中，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，，是“果圆”与x，y轴的交点，叫做“果圆”的顶点，是线段的中点，为“果圆”上任意一点.则（　　）
A．若半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为
B．若是边长为1的等边三角形，则“果圆”部分方程为
C．若，则
D．若取得最小值，则为“果圆”的顶点
三、填空题
12．点为圆上的动点，则的取值范围为　 　.
13．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为　 　.
14．如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长　 　．
四、解答题
15．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，.
（1）证明：直线平面；
（2）求点到平面的距离.
16．在平面直角坐标系中，圆经过点，且与圆相切于点
（1）求直线的方程；
（2）求圆的标准方程.
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点.
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由.
18．已知点是双曲线上任意一点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）已知点，求的最小值．
19．在平面直角坐标系中，过椭圆中心作斜率为的一条弦，将坐标平面沿轴折成一个直二面角.
（1）求折起后的连线与轴所成夹角的大小；
（2）若此椭圆的离心率为，且过点，求：
（ⅰ）椭圆的标准方程；
（ⅱ）设点，过点作平面的垂线，且，问：椭圆上是否存在点，使得三角形的面积与三角形的面积之比为最小？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A,C
10．【答案】B,C,D
11．【答案】B,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系，
则由，得，解得，同理，
，显然面的一个法向量为，显然且面，故面
（2）解：设面的一个法向量为，且，
由，取，则，所以为平面的一个法向量，
又，点到平面的距离为.
16．【答案】（1）解：把圆化为标准方程，得圆心，，
则直线，即
（2）解：方法一：设圆的方程为，则
两式相减得，则，又因为，所以，
故所求圆的方程为
方法二：圆心线段MN的中垂线方程为，则圆心在直线上，
也在直线上，解得圆心，圆的半径，
所以圆的标准方程
17．【答案】（1）证明：如图所示，连接，，
因为四边形是菱形，所以，
因为，所以为等边三角形，
又因为为的中点，所以，
因为是等边三角形，为中点，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：存在，，理由如下：
因为平面平面，平面平面，
由(1)知，，平面，所以平面，
因为，如图所示，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
设，，
，
设平面的一个法向量，
，令，则，所以，
因为直线与平面的夹角的正弦值为，
所以，
整理得：，由，解得：.
故存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，此时：.
18．【答案】（1）证明：易知双曲线的渐近线方程为，
因为在双曲线上，所以，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
则点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为，
因为，所以，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）解：由（1）知，，则，解得或，
则，，
当且仅当时取等号，则的最小值为.
19．【答案】（1）解：在折后的平面内作轴，因为坐标平面沿轴折成一个直二面角，
则折后平面底面，又因为平面底面，且平面，
则底面，建立空间直角坐标系，如图所示：
则由题意知，折后，，则，轴的方向向量，
则，
则，则连线与轴所成夹角的大小为，
所以是等腰直角三角形，即与轴所成夹角为；
（2）（ⅰ）离心率，设，则，解得，，
则椭圆的坐标方程为：；
（ⅱ）在底面内过点作，垂足为，连，
则由坐标平面，即平面，因为平面，则，
又因为，且，平面，
所以平面，因为平面，所以，即，
，
则题意就是要使二面角的平面角最小，
即当最大时，最小，
假设这样的点存在，令，
则
当时，则，
当时，，
当且仅当是取到等号，
直线的方程是，联立，解得，则点.
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