期末检测卷（一）（含答案）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 期末检测卷（一）（含答案）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 749.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-30 10:33:40 | ||
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文档简介
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期末检测卷（一）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、选择题
1．若直线与直线垂直，则( )
A．1 B．2 C． D．
2．若，，则（ ）
A． B． C．8 D．10
3．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面，，点M，N分别为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当取得最小值时，三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若且，则
10．直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．的最小值为4
C．对任意的直线，
D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
11．下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为
B．椭圆的离心率为
C．双曲线的实轴长为2
D．抛物线的焦点坐标为
三、填空题
12．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标
13．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ．
14．正方形的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边，的距离分别为3和1，点Q到边，AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为 ．
四、解答题
15．已知圆，直线.
（1）求直线恒过定点的坐标；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
16．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线C上.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
17．如图，在直三棱柱中，，，，E为的中点，点F满足，其中
（1）若平面，求的值；
（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，E，F分别为棱AB，BC的中点．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19．已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值；
（3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】B,C
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：直线，可化为，
联立解得
所以直线恒过定点.
（2）解：，变形为，
所以圆心，半径为，
因为直线恒过定点，所以当直线时，直线被圆截得的弦长最短.
因为直线的斜率为，
所以直线的斜率为，解得.
此时圆心到直线的距离为，
所以最短弦长为.
16．【答案】（1）解：由已知得解得，，
所以双曲线C的方程为
（2）解：设，，由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，
联立消x得
解得，假设存在实数，使得2恒成立，
当，有一个交点为，此时不满足，故，
因此，又，
则，故存在实数满足条件.
17．【答案】（1）解：因为，由已知得平面ABC，如图
建立空间直角坐标系，所以，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
即，取，因为，
所以，，因为平面，
所以，则
（2）解：因为，所以，，，
设平面AEF的法向量为，则即，
取向量，
设平面与平面AEF所成角为，
则
所以平面与平面DBE所成角的余弦值为
18．【答案】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以．
因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以，
因为，所以，又，
所以平面，则．
设，易得，
则，所以，
又，所以平面
（2）解： 以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设，则，则．
由（1）知平面的一个法向量为．．
设平面的法向量为，
则取
设平面与平面的夹角为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为．
19．【答案】（1）解：由题意得，.当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，
此时面积为，∴，
∴椭圆C的方程为．
（2）解：设，则，即，
∴．
（3）证明：由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，．
由得，
，
∴，，
∴，，
∵，∴，即，
∴，
解得或（舍）．
当时，满足，此时MN的方程为，
故直线MN过定点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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期末检测卷（一）-2025-2026学年高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、选择题
1．若直线与直线垂直，则( )
A．1 B．2 C． D．
2．若，，则（ ）
A． B． C．8 D．10
3．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面，，点M，N分别为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当取得最小值时，三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若且，则
10．直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．的最小值为4
C．对任意的直线，
D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
11．下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为
B．椭圆的离心率为
C．双曲线的实轴长为2
D．抛物线的焦点坐标为
三、填空题
12．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标
13．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ．
14．正方形的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边，的距离分别为3和1，点Q到边，AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为 ．
四、解答题
15．已知圆，直线.
（1）求直线恒过定点的坐标；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
16．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线C上.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
17．如图，在直三棱柱中，，，，E为的中点，点F满足，其中
（1）若平面，求的值；
（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，E，F分别为棱AB，BC的中点．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19．已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值；
（3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】B,C
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：直线，可化为，
联立解得
所以直线恒过定点.
（2）解：，变形为，
所以圆心，半径为，
因为直线恒过定点，所以当直线时，直线被圆截得的弦长最短.
因为直线的斜率为，
所以直线的斜率为，解得.
此时圆心到直线的距离为，
所以最短弦长为.
16．【答案】（1）解：由已知得解得，，
所以双曲线C的方程为
（2）解：设，，由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，
联立消x得
解得，假设存在实数，使得2恒成立，
当，有一个交点为，此时不满足，故，
因此，又，
则，故存在实数满足条件.
17．【答案】（1）解：因为，由已知得平面ABC，如图
建立空间直角坐标系，所以，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
即，取，因为，
所以，，因为平面，
所以，则
（2）解：因为，所以，，，
设平面AEF的法向量为，则即，
取向量，
设平面与平面AEF所成角为，
则
所以平面与平面DBE所成角的余弦值为
18．【答案】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以．
因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以，
因为，所以，又，
所以平面，则．
设，易得，
则，所以，
又，所以平面
（2）解： 以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设，则，则．
由（1）知平面的一个法向量为．．
设平面的法向量为，
则取
设平面与平面的夹角为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为．
19．【答案】（1）解：由题意得，.当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，
此时面积为，∴，
∴椭圆C的方程为．
（2）解：设，则，即，
∴．
（3）证明：由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，．
由得，
，
∴，，
∴，，
∵，∴，即，
∴，
解得或（舍）．
当时，满足，此时MN的方程为，
故直线MN过定点．
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